1、第十一章反常积分11.3 瑕积分的性质与收敛判别第1页，共61页。一一、引例引例二、两类反常积分的定义二、两类反常积分的定义第2页，共61页。一一.引入引入例：曲边梯形”的面积。，右边所围成的“开口轴及直线求曲线1,12xxxy0 xy1b2x1y 解解：由于这个图形不是封闭的 曲边梯形,而在x轴的正方 向是开口的，即这时的积 分区间为1，+），bxdxxAbbb1111,1121的面积为则故显然当b改变时，曲边梯形的面积也随之改变，1)11(lim1lim21bdxxbbbb时，即故则所求曲边梯形的面积为1第3页，共61页。二、两类反常积分的定义二、两类反常积分的定义.定义定义1:设函数 f
2、(x)在区间a,+)上连续,取b a,如果极限babdxxf)(lim存在,则称此极限为函数 f(x)在无穷区间a,+)上的无穷限反常积分,记作 即,)(adxxfbabadxxfdxxf)(lim)(1)第4页，共61页。这时也称无穷积分 收敛;若上述极限不存在,就称无穷积分 发散,这时记号 不再表示数值了。例如：oyxb211xy1第5页，共61页。类似地,设函数 f(x)在区间(,b上连续,取a 0.如果极限 存在,则称此极限为无界函数 f(x)在(a,b上的反常积分.(4)这时也称反常积分 收敛.如果上述极限不存在,就称反常积分 发散.第16页，共61页。类似地,设函数 f(x)在区间
3、a,b)上连续,而在点 b 的左邻域内无界,取 0.存在,则定义如果极限(5)否则,就称反常积分 发散.第17页，共61页。设函数 f(x)在区间a,b上除点c(a c b)外连续,而在点 c 的邻域内无界,如果两个广义积分 都收敛,则定义(6)否则,就称反常积分 发散.badxxf)(第18页，共61页。所以,x=a为被积函数的无穷间断点.于是:oyxaa a1221xay图5-7-1)0(:4022axadxa计算反常积分例第19页，共61页。且由于.:5112的收敛性讨论反常积分例xdx第20页，共61页。当q 1时,收敛;当q 1时,发散.证:当q=1时 )(:6baqaxdx证明反常
4、积分例第21页，共61页。当q 1时,因此,当q 1时,反常积分 收敛,其值为 当q 1时,广义积分 发散.第22页，共61页。例例7 7 计算反常积分计算反常积分.ln21 xxdx解解 21ln xxdx 210lnlim xxdx 210ln)(lnlim xxd 210)ln(lnlim x )1ln(ln()2ln(lnlim0 .故原反常积分发散故原反常积分发散.第23页，共61页。.)0(110的收敛性讨论瑕积分pdxxp例8.解解:),10(1,ln,1),1(111110upupupdxxpp被积函数 f在(0,1 上连续,x=0 是瑕点.由于.且瑕积分收敛时故当，p10;1
5、11lim11010upuppdxxdxx.1瑕积分发散于时当，P第24页，共61页。.)1(3032 xdx1 x瑕点瑕点解解 3032)1(xdx 103132)1()(xdx 1032)1(xdx 10032)1(limxdx3 3132)1(xdx 31032)1(lim xdx,233 3032)1(xdx).21(33 例例9 9 计算反常积分计算反常积分第25页，共61页。注意注意反常积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用反常积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积分
6、时，要仔细检查是否有瑕点。分时，要仔细检查是否有瑕点。反常积分中，反常积分中，N-L公式，换元积分公式、分部积分公公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限值。式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限值。第26页，共61页。如如 无穷限积分无穷限积分 aaFFdxxf)()()(bFbFdxxf)()()(aavduauvudv)(再如再如 瑕积分瑕积分)0()()(aFbFdxxfba)()0()(aFbFdxxfba bacabcdxxfdxxfdxxf)()()()()0()0()(aFcFcFbF babavduabuvudv0)(第27页，共61页。0
7、2)1)(1(1无无关关并并求求其其值值与与 dxxxI 例例10 证明证明证证dxxxI 02)1)(1(1 dxxx 1012)1)(1(1 21II dxxxI 1021)1)(1(1)1(tx 令第28页，共61页。dtttt 12)1)(1(21III dxxxdxxxx 1212)1)(1(1)1)(1(41112 dxx第29页，共61页。四四.小结小结(1)无穷积分和瑕积分的定义;(2)无穷积分和瑕积分收敛与发散的定义;(3)无穷积分的计算：(i).求出函数f(x)的原函数F(x).)(limxFx时，则求出上限为(ii).)(limxFx时，则求出上限为第30页，共61页。一
8、一.无穷积分的性质无穷积分的性质二二.无穷积分收敛的判别法无穷积分收敛的判别法第31页，共61页。一一.无穷积分的性质无穷积分的性质性质性质则为任意常数都收敛与若，k，kdxxfdxxfaa2121,)()(且也收敛，dxxfkxfka)()(2211aaadxxfkdxxfkdxxfkxfk.)()()()(22112211性质性质b，auaf上可积在任何有限区间若,且同敛散与则，dxxfdxxfba)()(.)()()(dxxfdxxfdxxfbbaa第32页，共61页。性质性质，dxxf，uafa收敛且上可积在任何有限区间若)(,且必收敛则，dxxfa)(.)()(dxxfdxxfaa注
9、注.)()(为绝对收敛称收敛时当aadxxf，dxxf性质说明绝对收敛的级数自身一定收敛但自身收敛的级数不一定绝对收敛我们称收敛而不绝对收敛的级数为条件收敛第33页，共61页。二二.无穷积分收敛的判别法无穷积分收敛的判别法，比较原则，比较原则:)(收敛的充要条件是无穷积分adxxf便有只要,021GuuaG.)(21uudxxf，柯西准则，柯西准则，gfa积都在任何有限区间上可和上的两个函数设定义在),且满足),),()(axxgxf第34页，共61页。，比较原则，比较原则，gfa积都在任何有限区间上可和上的两个函数设定义在),且满足),),()(axxgxf则;)()(收敛则收敛若dxxf，
10、dxxgaa.)()(发散则发散若aadxxg，dxxf推论推论aadxxgdxxf，ci;)()(0)(同敛散与时当且上可积都在任何有限区间和设,0)(,x，guagfcxgxfx)()(lim;)()(0)(收敛则收敛若时当dxxf，dxxg，ciiaa.)()()(发散则发散若时当dxxf，dxxg，ciiiaa第35页，共61页。，柯西判别法，柯西判别法，ua，aaf上可积且在任何有限区间定义在设,)0)(,.)(limxfxpx1(),)1();paf xxapf x dxx则 当且0时收敛 发散时且当.)(1),1)(dxxfpaxxxfap推论推论且上可积且在任何有限区间定义在设
11、，ua，af,),()1,0();aipf x dx 则当0时收敛()1,0().aiipf x dx 当时发散第36页，共61页。，狄利克雷判别法，狄利克雷判别法若uadxxfxF)()(，a上有界在),上在),)(axg则时单调趋于当，x0.)()(收敛adxxgxf，阿贝尔判别法，阿贝尔判别法若adxxf)(则上单调有界在收敛，ax，g),)(.)()(收敛adxxgxf第37页，共61页。解：解：例例1.讨论收敛性，讨论收敛性，021sindxxx),0,111sin22xxxx由于收敛且21102dxx根据比较原则.绝对收敛021sindxxx第38页，共61页。例例2.讨论下列无穷
12、积分的收敛性，讨论下列无穷积分的收敛性，0521.1)2(;)1(dxxxdxexx解解(1)：都有由于,R,0limlim22xxxxexexx根据柯西判别法1dxexx.都收敛R解解()：11lim5221xxxx由于根据柯西判别法0521dxxx.发散第39页，共61页。例例3解解,111103/43434xxx ,134 p根据比较原则，根据比较原则，.1134的收敛性的收敛性判别无穷积分判别无穷积分 xdx.1134收敛收敛无穷积分无穷积分 xdx第40页，共61页。例例43/221.1xdxx判别无穷积分的收敛性解解2222/31lim1limxxxxxxxx ,根据极限判别法，所
13、给广义积分发散根据极限判别法，所给广义积分发散例例5解解xxxxxxarctanlimarctanlim,2 根据极限判别法，所给无穷积分发散根据极限判别法，所给无穷积分发散.arctan1的收敛性的收敛性判别无穷积分判别无穷积分dxxx 第41页，共61页。(),)()()aaf xaf x dxf x dx 定理设函数在区间上连续，如果收敛；则也收敛证证).)()(21)(xfxfx 令令,)()(0)(xfxx ，且，且,)(收敛收敛dxxfa .)(也收敛也收敛dxxa ,)()(2)(xfxxf 但但,)()(2)(bababadxxfdxxdxxf.)()(2)(aaadxxfdx
14、xdxxf 即即收敛收敛.第42页，共61页。().af x dx定义 满足定理条件的广义积分称为绝对收敛()af x dx绝对收敛的无穷积分必定收敛例例0sin(,0).axebxdx a ba判别无穷积分都是常数的收敛性解解.,sin0收敛收敛而而 dxeebxeaxaxax.sin0收敛收敛 dxbxeax所以所给无穷积分收敛所以所给无穷积分收敛.第43页，共61页。第44页，共61页。第45页，共61页。小结小结一一.无穷积分的性质无穷积分的性质二二.无穷积分收敛的判别法无穷积分收敛的判别法.柯西准则柯西准则.比较原则比较原则.柯西判别法柯西判别法.狄利克雷判别法狄利克雷判别法.阿贝尔
15、判别法阿贝尔判别法第46页，共61页。11.3瑕积分的性质与收敛判别瑕积分的性质与收敛判别瑕积分与无穷积分有平行的理论和结果.第47页，共61页。一一.瑕积分的性质瑕积分的性质性质性质12()()bbaaf x dxf x dx当瑕积分与都收敛时1 12 2()(),bak f xk f x dx瑕积分也收敛且b1 1221122()()()().bbaaak f xk fx dxkf x dxkfx dx性质性质(,)fxaa b若 的瑕点为，c为任意常数c()(),baafx dxfx dx则 瑕 积 分与同 敛 态 且()()().bcbaacf x dxf x dxf x dx2112
16、,ffxak k若 与 的瑕点同为，为任意常数则第48页，共61页。性质性质,()au bfx dx上可积.则当收敛时，(),af x dxb必收敛 且()().bbaaf x dxf x dx注注()().bbaaf x dxf x dx当收敛时称为绝对收敛性质说明绝对收敛的级数自身一定收敛但自身收敛的级数不一定绝对收敛我们称收敛而不绝对收敛的级数为条件收敛(,fxafa b若函数 的瑕点为，在的任一内闭区间第49页，共61页。二二.无穷积分收敛的判别法无穷积分收敛的判别法():baf x dx a瑕积分为瑕点 收敛的充要条件是120,0,uua a只要便有.)(21uudxxf.柯西准则柯
17、西准则第50页，共61页。，比较原则，比较原则()();bbaag x dxf x dx若收敛 则收敛()().bbaaf x dxg x dx若发散 则发散推论推论()0()();bbaaicf x dxg x dx 当时与同敛态()0,g x 又若且()lim()xaf xcg x，则有()0()();bbaaiicg x dxf x dx当时若收敛则收敛()()().bbaaiiicg x dxf x dx 当时若发散则发散(,(,a bfgxaa b 设定义在上的两个函数 和瑕点同为都在任何区间 u,b上可积且满足()(),(,f xg xxa b第51页，共61页。.柯西判别法柯西判
18、别法(,(),(,fa b au ba b设 定义在为瑕点 且在任何区间上可积,lim()().pxaxaf x1(),1();()bpaf xpf x dxxa则 当且0时,收敛 1(),1().()bpaf xpf x dxxa当且时,发散推推论论(,fa bau ba b设 定义于为瑕点，且在任何区间上可积,若()1,0,();baipf x dx 则当0时收敛()1,0,().baiipf x dx 当时发散第52页，共61页。例例1例例2第53页，共61页。第54页，共61页。第55页，共61页。例例3.ln31的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分 xdx解解的左邻域内无界的左邻
19、域内无界被积函数在点被积函数在点1 x由洛必达法则知由洛必达法则知xxxxx11limln1)1(lim0101 ,01 根据柯西判别法极限形式根据柯西判别法极限形式,所给广义积分发散所给广义积分发散.第56页，共61页。例例4.1sin31的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分dxxx 解解也收敛也收敛从而从而dxxx 101sin收敛，收敛，而而 1,11sinxdxxxx收敛，收敛，dxxx 101sin根据比较判别法根据比较判别法,第57页，共61页。)0()(01 sdxxessx定义定义特点特点:1.积分区间为无穷积分区间为无穷;.001.2右领域内无界右领域内无界的的时被积函数
20、在点时被积函数在点当当 xs,1121011 dxxeIdxxeIsxsx设设;,1)1(1是常义积分是常义积分时时当当Is ,10时时当当 s 函数第58页，共61页。,111111sxssxxexxe .,2,111收敛收敛根据比较审敛法根据比较审敛法而而Is ,0lim)(lim)2(112 xsxsxxexxex.,12也收敛也收敛根据极限审敛法根据极限审敛法I.0)2(),1(01均收敛均收敛对对知知由由 sdxxesxs)(s o第59页，共61页。函数的几个重要性质：函数的几个重要性质：).0()()1(ssss递推公式递推公式.)(0 ss时，时，当当).10(sin)1()(3 ssss余元公式余元公式.2)()(0122012 duuesuxdxxessusx有有，中，作代换中，作代换在在 第60页，共61页。小结小结一一.瑕积分的性质瑕积分的性质二二.暇积分收敛的判别法暇积分收敛的判别法.柯西准则柯西准则.比较原则比较原则.柯西判别法柯西判别法.狄利克雷判别法狄利克雷判别法.阿贝尔判别法阿贝尔判别法第61页，共61页。
