1、图形与几何内容分析及教学建议图形与几何内容分析及教学建议 主讲教师主讲教师:张晓斌张晓斌第1页，共193页。一、2011版课标中图形与几何内容具体变化“图形的认识”“图形与证明”合并为“图形的性质”。“图形与变换”“图形的变化”1.删去的内容关于等腰梯形的相关要求探索并了解圆与圆的位置关系关于影子、视点、视角、盲区等内容，以及对雪花曲线和莫比乌斯带等图形的欣赏等关于镜面对称的要求第2页，共193页。2 增加的内容会比较线段的大小，理解线段的和、差，以及线段中点的意义了解平行于同一条直线的两条直线平行会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类了解并证明圆内接四边形的对角互补；了解正多边形的概念及
2、正多边形与圆的关系尺规作图：过一点作已知直线的垂线；已知一直角边和斜边作直角三角形；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形*了解平行线性质定理的证明*探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧*探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等*了解相似三角形判定定理的证明第3页，共193页。六条基本事实一条直线截两条平行直线所得的同位角相等两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行若两个三角形两边及其夹角（两角及其夹边，或三边）分别相等，则这两个三角形全等的全等全等三角形的对应边、对应角分别相等 九条基本事实两点确定一条直线。两点之间线段最
3、短。过一点有且只有一条直线与这条直线垂直两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行两边及其夹角分别相等的两个三角形全等两角及其夹边分别相等的两个三角形全等三边分别相等的两个三角形全等两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等 理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等的性质 了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法 灵活
4、运用不同的方式确定物体的位置 在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置 能在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化坐标与图形运动：在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。第4页，共193页。二、图形与几何领域教材特点分析二、图形与几何领域教材特点分析 知识：基本图形 图形的性质、分类、证明 图形的变化 运用坐标描述图形的位置与运动 空间观念 推理能力（合情、演绎）第5页，共193页。1.1.加强数形结合思想的渗透，体现各部分知识之间的横向联系。例 平面直角坐标系内容提前安排大纲教材 代数中函数之前出现坐
5、标系 坐标系的作用局限与函数图象课标教材 坐标系安排在相交线、平行线后 坐标系不仅用于函数图象，而且用于几何第6页，共193页。第7页，共193页。2.循序渐进地培养推理能力，作好由实验几何到论证几何的过渡。直观与推理的结合直观与推理的结合 使推理成为学生观察、实验、探究得出结论的使推理成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，逐步养成严谨的思维习惯。自然延续，逐步养成严谨的思维习惯。推理论证不仅是证明或推翻猜想，也是发现新结论推理论证不仅是证明或推翻猜想，也是发现新结论的重要手段。的重要手段。第8页，共193页。第9页，共193页。对推理证明的安排对推理证明的安排 在重视直观实验的同时，不
6、降低对逻辑推理的在重视直观实验的同时，不降低对逻辑推理的要求，使学生逐步形成要求，使学生逐步形成从感性到理性从感性到理性的思维习惯和的思维习惯和严谨科学的方法。严谨科学的方法。循序渐进循序渐进 “说点儿理说点儿理”“”“说理说理”“简单推理简单推理”“”“符号表示推理符号表示推理”适时安排，起点早适时安排，起点早一以贯之一以贯之第10页，共193页。七上 “几何图形初步”说点儿理七下 “相交线与平行线”说理 简单推理 用符号表示推理八上 “三角形”要求学生证明 “全等三角形”“轴对称”八下 “勾股定理”“平行四边形”九上 “旋转”“圆”九下 “相似”一以贯之循序渐进第11页，共193页。处理好
7、推理与证明的关键章节 在“相交线与平行线”中，结合实例从“说理”到“简单推理”，并正式出现“证明”（让学生看到完整的证明，不要求学生完整证明，要求学生会填空完成一些关键步骤和填理由），注意循序渐进，推理的步骤控制好长度 正式出现“证明”之前，循序渐进给出严格的推理的符号语言第12页，共193页。在图中，1与2互补，3也与2互补，由“同角的补角相等”，可以得出1=3同理，2=4这样，我们得到：对顶角相等 上面推出“对顶角相等”这个结论的过程，可以写成下面的形式：因为 1与2互补，3与2互补（邻补角的定义），所以 1=3（同角的补角相等）第13页，共193页。第14页，共193页。第15页，共19
8、3页。七下对学生的要求第16页，共193页。3.从感性到理性，从静态到动态地提高对图形的认识能力。例 实验与推理结合，适当运用坐标与图形的变化第17页，共193页。第18页，共193页。第19页，共193页。第20页，共193页。4.数形结合，体现研究方法的联系例 对”与圆有关的位置关系”的处理 点和圆的位置关系 直线和圆的位置关系 实验与探究圆和圆的位置关系 研究的对象-两个图形间的位置关系 研究的方法-将两个图形间的位置关系分类，从几何、代数两方面分析特性 关注的问题-（1）几何特性（交点个数及区域分布）；（2）代数特性（“两图形间的距离”与半径的比较）。数形结合两方面讨论第21页，共19
9、3页。内容安排 学习目标 教学建议三、章节分析几何图形初步第22页，共193页。（一）内容安排（一）内容安排几何图形几何图形 约约4 4课时课时直线、射线、线段直线、射线、线段 约约3 3课时课时角角 约约5 5课时课时课题学习课题学习 设计制作长方体设计制作长方体 形状的包装纸盒形状的包装纸盒 约约2 2课时课时小结小结 约约2 2课时课时第23页，共193页。知识结构框图知识结构框图 第24页，共193页。（二）（二）本章学习目标本章学习目标1.通过从实物和具体模型的抽象，了解几何图形、立体图形与平面图形以及几何体、平面和曲面、直线和曲线、点等概念.2.了解直棱柱、圆柱、圆锥的展开图，能根
10、据展开图想象相应的几何体，制作立体模型，在平面图形和立体图形相互转换的过程中，初步培养空间观念和空间想象力3.进一步认识直线、射线、线段的概念，掌握它们的符号表示；掌握基本事实：两点确定一条直线，两点之间线段最短，了解它们在生活和生产中的应用；理解两点间距离的意义，能度量两点间的距离；会比较线段的大小，理解线段的和、差及线段的中点概念，会画一条线段等于已知线段第25页，共193页。4.理解角的概念，掌握角的符号表示，会比较角的大小，认识度、分、秒并能作简单的换算，会计算角的和与差。了解角的平分线、余角、补角的概念，知道补角和余角的性质5.初步认识几何图形是描述现实世界的重要工具，初步应用几何图
11、形的知识解决一些简单的实际问题，培养学习图形与几何知识的兴趣，通过交流活动，初步形成积极参与数学活动，主动与他人合作交流的意识第26页，共193页。1注意揭示几何图形基本概念源于现实世界的抽象性特点 几何图形、点、线、面、体、平面图形、立体图形、几何图形等概念，是从现实中抽象出来的最基本的几何概念，必须注意这些基本概念与客观现实的联系，初步了解这些概念的抽象性特点，从而能初步用几何观点认识现实世界。章头图 第1节开头 点、线、面、体的关系 练习、习题中 （三）教学建议（三）教学建议第27页，共193页。2让学生在观察、操作、想象、交流等活动中学习知识发展空间观念 思考 探究 数学活动第28页，
12、共193页。第29页，共193页。第30页，共193页。第31页，共193页。3重视几何语言的培养和训练文字语言、符号语言、图象语言 几何模型图形文字符号 线段的比较 线段的和与差 线段的中点 角的比较 角的和差 角的平分线符号文字图形 练习、习题中第32页，共193页。第33页，共193页。第34页，共193页。4重视培养学生学习几何知识的兴趣重视培养学生学习几何知识的兴趣注意揭示所学知识与实际的联系，让学生认识所学知识在实际工作生活中的广泛应用价值。在一些习题中适当增加一些探索规律、猜想结论的问题，让学生体验到探究的乐趣。重视对于画图、作图等活动，让学生在动手操作的活动中培养几何学习的兴趣
13、。第35页，共193页。5.注意与小学知识内容的衔接 前两学段 直观认识一些简单几何图形，能辨认从不同方向看到的物体的形状，认识一些简单几何体的展开图，能区分直线、射线、线段的概念并体会它们的一些性质，结合生活情景认识角并知道周角、平角等概念。本章 认识一些常见的几何图形，进一步认识点、线、面、体，在平面图行和立体图形相互转换的过程中，初步建立空间观念；进一步认识直线、射线、线段和角，理解它们的概念和有关的一些性质，并能初步应用。第36页，共193页。6.要充分发挥实物、模型、图片的作用和信息技术的应用 展现丰富多彩的图形世界 帮助认识空间图形与平面图形的关系，在动态变化的图形中寻找不变的位置
14、关系和数量关系，从而发现图形的性质。第37页，共193页。7.注重概念间的联系，在对比中加深理解 直线、射线、线段 线段的比较、和、差、中点与角的比较、和、差、角的平分线 第38页，共193页。第39页，共193页。第40页，共193页。8.要重视画图技能的培养 在几何图形的教学中，绘图和作图是重要的教学内容，在教学过程中画出高质量的几何图形对于培养学生的空间观念、空间想象力具有重要意义。第41页，共193页。9.注意把握教学要求 点、线、面、体的概念 立体图形、平面图形等概念 从不同方向看立体图形 展开立体图形 推理能力的培养 第42页，共193页。（一）内容安排 知识结构 主要变化 重点、
15、难点及思想方法（二）主要变化（三）教学建议三、章节分析相交线与平行线三、章节分析相交线与平行线第43页，共193页。相交线 约3课时 平行线及其判定 约3课时 平行线的性质 约4课时 平移 约2课时 小结 约2课时（一）内容安排第44页，共193页。平移平移平移的性质平移的性质知识结构相相交交线线两条直线两条直线相交相交两条直线两条直线被第三条被第三条直线所截直线所截邻补角邻补角对顶角对顶角垂线垂线邻补角互补邻补角互补对顶角相等对顶角相等存在性和存在性和唯一性唯一性垂线段垂线段最短最短点到直线点到直线的距离的距离同位角、内错角、同位角、内错角、同旁内角同旁内角平平行行线线平行公理及平行公理及其
16、推论其推论平行线的判定平行线的判定平行线的性质平行线的性质第45页，共193页。（二）主要变化 本章正式出现“证明”，并用例、习题明确对学生的要求会填关键步骤和理由。2.正文及小结中渗透研究几何问题的基本思路和方法。第46页，共193页。命题、定理、证明 出现完整证明出现完整证明 第47页，共193页。习题习题补全证明的关键步骤补全证明的关键步骤 第48页，共193页。重点：垂线的概念与平行线的判定和性质 难点：通过简单推理得出数学结论的方法 思想方法：研究几何问题的基本思路和方法第49页，共193页。（三）教学建议（三）教学建议1.注意突出重点内容 教学中，教学中，由于内容较多，每课教学时都
17、要突出一两个重点，由于内容较多，每课教学时都要突出一两个重点，课堂活动也要围绕这一两个重点进行课堂活动也要围绕这一两个重点进行。例如例如，“相交线相交线”的重点是的重点是“对顶角相等对顶角相等”。又又如如，研究两条直线的位置关系重点是研究一些图形的性质，研究两条直线的位置关系重点是研究一些图形的性质（如对顶角相等、垂线的性质，平行线的判定和性质等如对顶角相等、垂线的性质，平行线的判定和性质等），而而基基本概念本概念（如（如邻补角、对顶角邻补角、对顶角、垂直、平行垂直、平行）掌握即可，不要做过多掌握即可，不要做过多变式训练变式训练。再如再如，对于命题、定理、证明等概念，在本章，要求学生在学过，对
18、于命题、定理、证明等概念，在本章，要求学生在学过一些命题的基础上，了解命题的概念以及命题的构成一些命题的基础上，了解命题的概念以及命题的构成，而，而知道命题的知道命题的真假真假、了解定理的概念了解定理的概念、知道什么是证明知道什么是证明等等，不要在这里过多，不要在这里过多要求要求。第50页，共193页。2.把握好对推理与证明的教学要求把握好对推理与证明的教学要求 教学中，教学中，把握好对证明的教学要求，要求学生知道把握好对证明的教学要求，要求学生知道什么是证明，能在给出的推理过程中，填出一些关键步什么是证明，能在给出的推理过程中，填出一些关键步骤和理由即可，不要求学生写出完整的证明过程骤和理由
19、即可，不要求学生写出完整的证明过程。第51页，共193页。3 3.处理好平移内容处理好平移内容 教学中，教学中，注意注意整套整套教科书的安排，使学生从感性到教科书的安排，使学生从感性到理性、从静态到动态逐步加深对平移的理解理性、从静态到动态逐步加深对平移的理解。第52页，共193页。本章本章先从观察几个由图形的平移得到的美丽图案入手，分析这些图先从观察几个由图形的平移得到的美丽图案入手，分析这些图案的共同特点，发现每一个图案都是由一个图形经过平行移动得到的案的共同特点，发现每一个图案都是由一个图形经过平行移动得到的。通过探索平移前后两个图形之间的关系，发现平移的基本性质，通过探索平移前后两个图
20、形之间的关系，发现平移的基本性质，并学习利用平移设计图案和分析解决实际生活中的问题并学习利用平移设计图案和分析解决实际生活中的问题。“平面平面直角坐标系直角坐标系”中中安排了安排了“用坐标表示平移用坐标表示平移”的内容，用代数的方法的内容，用代数的方法研究平移，为研究平移，为以以后使用平移发现几何结论后使用平移发现几何结论、研究几何问题打下基础研究几何问题打下基础；九年级九年级“旋转旋转”要求学生能综合应用平移、轴对称、旋转等变要求学生能综合应用平移、轴对称、旋转等变换进行图案设计，认识和欣赏它们在现实生活的应用换进行图案设计，认识和欣赏它们在现实生活的应用。第53页，共193页。第54页，共
21、193页。三、章节分析三角形（一）内容安排（二）主要变化（三）教学建议第55页，共193页。（一）内容安排与三角形有关的线段 约2课时与三角形有关的角 约3课时多边形及其内角和 约2课时小结 约1课时第56页，共193页。第57页，共193页。（二）主要变化 了解三角形的重心的概念第58页，共193页。探索并掌握直角三角形的两个锐角互余第59页，共193页。符号表示四边形内角和等于360的推出过程第60页，共193页。第61页，共193页。（三）教学建议1.加强与实际的联系教科书通过举出三角形的实际例子让学生认识和感受三角形，形成三角形的概念第62页，共193页。多边形概念的引入，也是类似处理
22、的第63页，共193页。教科书在介绍三角形的稳定性的同时，顺带介绍了四边形的不稳定性这些内容是通过如下的实际问题引入的：“盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条为什么要这样做呢？”第64页，共193页。2.加强与已学内容的联系三角形的高、中线、角平分线分别与已学过的垂线、线段的中点、角的平分线有关.第65页，共193页。用拼图的方法认识三角形的内角和等于180可以启发学生得出证明这个结论的方法，而证明的过程中要用到平行线的性质与平角的定义第66页，共193页。第67页，共193页。3.加强推理能力的培养在“相交线与平行线”一章已经给出了证明的概念，在本章中进一步借助三
23、角形的内角和等于180”这个结论的探索与证明让学生体会证明的必要性 第68页，共193页。三角形内角和定理是本章的重点内容在本章中，由平行线的性质与平角的定义证明了这个定理由这个定理还证明了“直角三角形的两个锐角互余”“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”以及多边形内角和公式 此外，还由“两点之间，线段最短”证明了“三角形两边的和大于第三边”，由多边形内角和公式证明了多边形外角和公式安排这些内容有助于提高学生的推理能力第69页，共193页。教科书注意分析证明结论的思路，通过多提问题，留给学生足够的思考时间，让学生经历发现和提出问题、分析和解决问题的过程例如，对于三角形内角和定理，设计
24、实验操作的探究栏目，并对操作过程进行分析，从而获得证明的思路注重证明思路的分析有助于学生学好推理证明 第70页，共193页。第71页，共193页。4.把握好教学要求直接点明三角形的三条中线交于一点的结论第72页，共193页。对于三角形的角平分线，在本章中只要知道它的定义，能够从定义得出角相等就可以了学生在画角平分线时发现三条角平分线交于一点，可直接肯定这个结论，在下一章“全等三角形”中再证明这个结论第73页，共193页。在本章中，三角形的稳定性是通过实验得出的，待以后学过“三边分别相等的两个三角形全等”，可进一步明白其中的道理 证明三角形的内角和等于180有一定的难度，只要学生了解得出结论的过
25、程，不要在辅助线上花太多的精力，以免影响对内容本身的理解与掌握，对推理的要求应循序渐进第74页，共193页。（一）内容安排（二）主要变化（三）教学建议三、章节分析全等三角形三、章节分析全等三角形第75页，共193页。（一）内容安排（一）内容安排全等三角形 约1课时三角形全等的判定 约6课时角的平分线的性质 约2课时小结 约2课时第76页，共193页。内容安排内容安排知识结构知识结构全等三角形全等三角形对应边相等，对应角相等对应边相等，对应角相等全等形全等形应用应用边边边，边角边，角边角边边边，边角边，角边角，角角边，斜边、直角边角角边，斜边、直角边判判定定性性质质第77页，共193页。重点：三
26、角形全等的判定方法 难点：利用三角形全等的判定方法进行推理论证 思想方法：研究几何问题的基本思路和方法第78页，共193页。三角形全等条件的探究过程 （1 1）探究前的引导更明确）探究前的引导更明确 过去过去现在现在（二）主要变化（二）主要变化第79页，共193页。1.重视渗透研究几何图形的基本问题和方法 进一步明确图形的判定和性质是研究几何图形的两个重要方面 利用判定和性质在命题陈述上的互逆关系 应用实验和论证相结合的方式推出新结论（三）教学建议第80页，共193页。利用判定和性质在命题陈述上的互逆关系引利用判定和性质在命题陈述上的互逆关系引入入三角形三角形全等的全等的判定判定第81页，共1
27、93页。应用实验和论证相结合的方式推出新结论应用实验和论证相结合的方式推出新结论测量测量猜想猜想证明证明第82页，共193页。2.注重设计让学生自主探究的活动 在几何学习中，学生的动手操作和自主探究对他们运用几何思想、发现几何结论具有积极的意义第83页，共193页。三角形全等条件的探究过程三角形全等条件的探究过程探究目标：探究目标：在三条边分别相等，三个角也分别相等的六个条件在三条边分别相等，三个角也分别相等的六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等探究思路探究思路：从从“一个条件一个条件”开始，逐渐增加条件的数量，对开始，逐渐增加条件的数量，对
28、“一个条件一个条件”“”“两个条件两个条件”“”“三个条件三个条件”的情形分别进行的情形分别进行探究探究第84页，共193页。3.注重体现知识间的联系 在内容和习题的编写中，体现全等三角形与线段相等、角相等的联系第85页，共193页。将平移、翻折、旋转三种图形的变化与全等三角形将平移、翻折、旋转三种图形的变化与全等三角形联系起来联系起来第86页，共193页。4.将研究几何图形的基本思想和方法贯穿本章教学 在教学中要充分利用学生已有的研究几何图形的思想在教学中要充分利用学生已有的研究几何图形的思想方法，用几何思想贯穿全章的教学。方法，用几何思想贯穿全章的教学。第87页，共193页。5.让学生充分
29、经历探究过程 教学中教学中要要让学生充分经历探究三角形全等让学生充分经历探究三角形全等条件的条件的过程，在明过程，在明确探究目标、形成探究思路的前提下，按计划逐步探索两个三角形全等确探究目标、形成探究思路的前提下，按计划逐步探索两个三角形全等的条件。的条件。特别是判定三角形全等的特别是判定三角形全等的“边边边边边边”“”“边角边边角边”“”“角边角角边角”方法方法是以基本事实的方式给出来的，不需要证明来确认其正确性，判定直角是以基本事实的方式给出来的，不需要证明来确认其正确性，判定直角三角形全等的三角形全等的“斜边、直角边斜边、直角边”方法在本章中也暂时没给出证明，教学方法在本章中也暂时没给出
30、证明，教学中要让学生通过画图、测量、实验、分析、归纳等操作来感知三角形的中要让学生通过画图、测量、实验、分析、归纳等操作来感知三角形的边、角条件与两个三角形全等之间的关系，在充分探索的基础上感受结边、角条件与两个三角形全等之间的关系，在充分探索的基础上感受结论的合理性。论的合理性。第88页，共193页。6.重视对学生推理论证能力的培养 本套教科书：“说点儿理”“说理”“简单推理”“用符号表示推理”本章：“用符号表示推理”教学中可以以具体的问题为载体，先引导学生分析由已知推出结教学中可以以具体的问题为载体，先引导学生分析由已知推出结论的思路，由教师示范证明的格式，再逐步要求学生独立分析、写出论的
31、思路，由教师示范证明的格式，再逐步要求学生独立分析、写出完整的证明过程。同时要注意根据教学内容及时地安排相应的训练，完整的证明过程。同时要注意根据教学内容及时地安排相应的训练，让学生切实提高推理论证能力。让学生切实提高推理论证能力。第89页，共193页。三、章节分析轴对称（一）内容安排（二）主要变化（三）教学建议第90页，共193页。（一）内容安排第91页，共193页。（二）主要变化“13.1轴对称”分两个小节，并增加尺规作图内容第92页，共193页。第93页，共193页。（三）教学建议 1.教学中注意联系实际 轴对称图形利用轴对称解决实际问题利用轴对称设计图案第94页，共193页。第95页，
32、共193页。2.注意知识间的联系，有机地整合相关内容 利用轴对称的有关知识研究等腰三角形的性质，再利用全等三角形的知识证明第96页，共193页。第97页，共193页。第98页，共193页。3.注意让学生经历观察、实验、归纳、论证的过程 将实验几何与论证几何有机结合思考 探究 归纳 数学活动 画图 折纸 剪纸 度量 做试验 推理证明成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续 等边对等角 三线合一第99页，共193页。第100页，共193页。4.教学中要注意通过对比加深概念的理解轴对称图形 两个图形成轴对称 区别：一个图形 两个图形 联系：都有对称轴 二者可以互相转化第101页，共193页。5.满
33、足学生多样化的学习需求，为学生提供个性化学习的时间和空间 欣赏轴对称图案 利用轴对称进行图案设计 探究坐标系下轴对称的特点 发现等腰三角形中相等的线段第102页，共193页。6.注意推理证明的教学 不仅要求学生通过观察、实验、探究得出一些有关图形的结论，还要求学生对这些结论进行证明，使推理证明成为学生探究得出结论的自然延续，进一步体会证明的必要性。加强证明题前分析的教学 纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，学会选择简便方法。添加辅助线的问题第103页，共193页。7.重视现代信息技术工具的应用利用计算机软件探索轴对称的性质 探索轴对称的点的坐标的特点 探索线段垂直平分线的性质 利用计算
34、机软件进行图案设计 第104页，共193页。第105页，共193页。三、章节分析勾股定理（一）内容安排（二）学习目标（三）教学建议第106页，共193页。勾股定理 约4课时勾股定理的逆定理 约3课时小结 约1课时（一）内容安排第107页，共193页。本章知识结构图本章知识结构图 第108页，共193页。勾股定理是初等几何的一个重要定理，有广泛的应用。本章主要介绍了勾股定理及其逆定理，并介绍这两个定理的一些初步的应用，另外，结合这两个定理，介绍了逆命题和逆定理的有关知识。直角三角形是一种极常见而特殊的三角形，它有许多性质，如两个锐角互余，30的角所对的直角边等于斜边的一半。本章所研究的勾股定理，
35、是直角三角形的非常重要的性质，有极其广泛的应用。第109页，共193页。勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，这就搭建起了几何图形与数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用。勾股定理不仅在平面几何中是重要的定理，而且在三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的基础，定理对现代数学的发展也产生了重要而深远的影响。没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦。所以，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一。第110页，共193页。本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的逆定理及其应用。在第一节中，教科书安排了对于勾股定理的观察、计算
36、、猜想、证明及简单应用的过程。教科书首先简略讲述了毕达哥拉斯从观察地面图案的面积关系发现勾股定理的故事，并让学生也去观察同样的图案，以发现等腰直角三角形这种特殊直角三角形下的特殊面积关系，进而得出三边之间的关系。在进一步的“探究”中又让学生对某些直角三角形进行计算，计算以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的正方形的面积，发现以两直角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的正方形的面积。于是，对于更一般的结论提出了猜想。第111页，共193页。历史上对于勾股定理的证明的研究很多，得到了许多证明方法。教科书正文中介绍了公元3世纪三国时期中国数学家赵爽的证明方法。这是一种面
37、积证法，依据是图形在经过适当切割后再另拼接成一个新图形，切割拼接前后图形的各部分的面积之和不变，即利用面积不变的关系和对于图形面积的不同算法推出图形的性质。在教科书中，图17.16（1）中的图形经过切割拼接后得到图17.16（3）中的图形，证明了勾股定理。第112页，共193页。根据勾股定理，已知两条直角边的长a,b，就可以求出斜边c的长。根据勾股定理还可以得到，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长。也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长。教科书相应安排了两个例题和一个“探究”栏目，让学生学习运用勾股定理解决问题，并运用定理证明了斜边和一条直
38、角边对应相等的两个直角三角形全等。第113页，共193页。在第二节中，教科书首先让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而作出猜想：如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。教科书借助于勾股定理和判定全等三角形的定理(SSS)证明了这个猜想，得到了勾股定理的逆定理。勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的一种重要依据。本节结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立。第114页，共193页。（二）（二）学习目标学习目标（1）经历勾股定理及其逆定
39、理的探索过程，知道这两个定理的联系和区别，能用这两个定理解决一些简单的实际问题.（2）初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，会用这两个定理解决一些几何问题.（3）通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。（4）通过对于我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养民族自豪感。通过对于勾股定理及其逆定理的探索，培养数学学习的自信心。第115页，共193页。（三）教学建议 1通过教学提高学生分析问题解决问题的能力 本章内容虽然不多，但教学内涵却很丰富。勾股定理及其逆定理不仅在数学中有重要的地位，定理本身也有重要的实际应用。本章还结合两个定理引入了逆命
40、题、逆定理等比较抽象的概念。这些知识本身易混易错，学习有一定的难度。应该对本章的教学引起重视，使本章的教学对培养学生逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力发挥应有的作用。第116页，共193页。在勾股定理的教学中，一方面要重视学生观察、猜想能力的培养，也要重视从特殊结论到一般结论的严密思维能力的培养。从勾股定理到它的逆定理，学生往往会从直觉出发想当然地认为勾股定理的逆命题也一定成立，而从这种直觉上升到逻辑严密地思考和证明，认识到两个结论有联系但却并不相同，认识到新的结论仍需要经过严格地证明，这是思维能力提高的重要体现，这在教学中是应该引起重视的。另外，逆命题概念的教学也是一个教学难点，怎样写出
41、一个命题的逆命题，原命题和逆命题真假的多种可能性，怎样的命题可以称为逆定理，这些都是学生容易出错的知识点。第117页，共193页。勾股定理及其逆定理在解决实际问题中有广泛的应用价值，在证明几何结论中也起着非常重要的作用，在教学中也要引起充分的重视。教学中可以适当把一些中外数学史中的材料充实到课堂中，使本章的教学更加充实，取得更好的效果。第118页，共193页。2围绕证明勾股定理培养学生数学学习的自围绕证明勾股定理培养学生数学学习的自信心信心 一个缺乏自信的人是不可能成就一番事业的。自信就是不示弱，自信就是自强不息，相信自己的能力，相信自己行，勇于同困难作斗争。数学课往往是初中学生最想学好又不容
42、易学好的一门课，而在数学学习中所培养起来的自信心往往成为学生今后成长的重要力量，在数学教学中要特别重视培养学生数学学习的自信心，进而培养更广泛的自信心。第119页，共193页。勾股定理被公认是初等几何中的最重要的定理之一，定理结论奇异、形式优美，寻找勾股定理的新证法成为古今中外名家百姓都热衷研究的问题，而勾股定理的赵爽证法被认为是极其优美简洁的证明方法。了解、理解甚至独立发现一个重要定理的证明方法对于树立数学学习的自信心往往能起到特别的作用。第120页，共193页。勾股定理的证明方法相当多，让学生从定理条件和结论去分析找到一个新的证明方法并非高不可攀，所以，在本定理的教学中，除正文介绍的有关内
43、容外，可以根据实际教学情况，对于学生提出不同的教学要求，可以让学生自主探究定理的证明，既可以让学生根据图形分析自主得到证法，也可以安排收集定理多种证法的数学课外活动，通过这些活动，使学生对勾股定理有较好的理解，从而培养他们学好数学的信心。第121页，共193页。第122页，共193页。第123页，共193页。3总结和定理、逆定理有关的内容 本章引出了逆定理的概念，为了让学生对这一概念掌握得更好，可以在小结时结合已经学过的一些结论以加深理解。例如，可以结合在本套教科书第十二章“全等三角形”中的两个定理：“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”和“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”来
44、进行复习。这里，前一个结论是角的平分线的性质定理，后一个结论就是角的平分线的性质定理的逆定理。还可以举出其他的一些适当的例子。这样就可以从定理、逆定理的角度认识已学的一些结论，明确其中一些结论之间的关系。第124页，共193页。互逆命题、互逆定理的概念，学生接受它们应该困难不大，但对于那些不是以“如果那么”形式给出的命题，叙述它们的逆命题有时也会有困难，可以尝试首先把命题变为“如果那么”的形式。当然，要注意把握教学要求，不宜涉及结构太复杂的命题。第125页，共193页。第126页，共193页。三、章节分析平行四边形（一）内容安排（二）学习目标（三）教学建议第127页，共193页。（一）内容安排
45、平行四边形 约6课时特殊的平行四边形 约 6课时小结 约 2课时 第128页，共193页。本章知识结构图本章知识结构图 知识展开的顺序第129页，共193页。（二）（二）学习目标学习目标1理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，了解它们之间的关系；2探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算；3.了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离；4.探索并证明三角形中位线定理；第130页，共193页。5通过经历平行四边形以及特殊平行四边形性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养学生的合情推理能力；6通过平行四
46、边形以及特殊平行四边形的性质定理、判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力；7通过分析平行四边形与各种特殊平行四边形概念之间的联系与区别，使学生进一步认识特殊与一般的关系。第131页，共193页。1突出图形性质定理和判定定理的探索与发现过程，通过合情推理发现结论，形成猜想，运用演绎推理证明猜想（三）教学建议（三）教学建议第132页，共193页。第133页，共193页。2强调从数学本身提出问题，通过图强调从数学本身提出问题，通过图形性质定理的逆命题，提出判定图形是形性质定理的逆命题，提出判定图形是否成立的命题，运用演绎推理证明这些否成立的命题，运用演绎推理证明这些命题
47、的真伪，给出图形的判定定理，进命题的真伪，给出图形的判定定理，进一步明确图形的性质定理与判定定理之一步明确图形的性质定理与判定定理之间的关系间的关系。第134页，共193页。第135页，共193页。3加强“图形的性质”和“图形的变化”“图形与坐标”等之间的联系，从多种角度认识图形的性质第136页，共193页。第137页，共193页。4强调转化与化归等数学思想方法第138页，共193页。5注意与现实生活的联系第139页，共193页。第140页，共193页。三、章节分析旋转（一）内容安排（二）学习目标（三）教学建议第141页，共193页。（一）内容安排（一）内容安排图形的旋转 约2课时中心对称 约
48、3课时课题学习 图案设计 约2课时小结 约1课时第142页，共193页。知识结构图知识结构图第143页，共193页。旋转旋转中心旋转角旋转旋转中心旋转角 图形的旋转图形的旋转第144页，共193页。第145页，共193页。中心对称的概念、性质和有关作图中心对称图形的概念关于原点对称的点的坐标的关系中心对称中心对称第146页，共193页。关于中心对称 （1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）对重合的方式有限制，也就是它们的位置关系必须满足一个条件：将其中一个图形绕某点旋转180后能够与另一个图形重合。第147页，共193页。探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）。运
49、用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计。课题学习课题学习图案设计图案设计第148页，共193页。1通过实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；2能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用。3通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形；4探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计。（二）学习目标（二）学习目标第149页，共193页。（三）教学建议1.注重联系实际第150页，共1
50、93页。2.注重探究过程注重探究过程探索成中心对称的两点所连线探索成中心对称的两点所连线段与对称中心的关系段与对称中心的关系探究旋转的性质探究旋转的性质第151页，共193页。3.3.注重与已学图形变换的联系注重与已学图形变换的联系平移、轴对称和旋转都是全等变换。在作已知图形平移后的图形或作与已在作已知图形平移后的图形或作与已知图形成轴对称的图形时，只要确定已知知图形成轴对称的图形时，只要确定已知图形中的一些特殊点（如多边形的顶点）图形中的一些特殊点（如多边形的顶点）的对应点，这种处理对于作已知图形旋转的对应点，这种处理对于作已知图形旋转后的图形也适用。后的图形也适用。第152页，共193页。
