1、第一课时第一课时4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(1)(1)阅读教材阅读教材P3435并回答下列问题：并回答下列问题：x轴上两点轴上两点A(A(x1,0)、B(B(x2,0)之间的距离？之间的距离？y轴上两点轴上两点C(C(0,y1)、D(D(0,y2)之间的距离？之间的距离？如果直线如果直线l平行平行x轴轴,A,B,A,B是是l上的上的两点两点,A(,A(x1,n)、B(B(x2,n),),求求AB=?AB=?如果直线如果直线l1平行平行y轴轴,C,D,C,D是是l1上的上的两点两点,C(,C(m,y1)、D(D(n,y2),),求求CD=?CD=?在平面
2、直角坐标系中，在平面直角坐标系中，A(A(3,0)、B(B(0,4)，求，求AB=AB=？在直角坐标系中，任意两点在直角坐标系中，任意两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),),求求P1 P2=?设设P1(-1,3)、P2(4,-9),),求求P1 P2=?),sin(),(cos(),sin,(cos2121 PPPP求求已已知知?),sin(),(cos(),0,1(2121 PPPP求求已已知知 4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(1)(1)阅读教材阅读教材P3435并回答下列问题：并回答下列问题：x轴上两点轴上两点A(A(x1,0)、B(B(x2,
3、0)之间的距离？之间的距离？y轴上两点轴上两点C(C(0,y1)、D(D(0,y2)之间的距离？之间的距离？xyo1l),(1ymC),(2ymD),(1nxA),(2nxBl如果直线如果直线l平行平行x轴轴,A,B,A,B是是l上的上的两点两点,A(,A(x1,n)、B(B(x2,n),),求求AB=?AB=?如果直线如果直线l1平行平行y轴轴,C,D,C,D是是l1上的上的两点两点,C(,C(m,y1)、D(D(n,y2),),求求CD=?CD=?|12xxAB|12yyCD|12xxAB|12yyCD 在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，A(A(3,0)、B(B(0,4)，求，求AB
4、=AB=？xyo),(111yxP),(222yxP),(21yxQ在直角坐标系中，任意两点在直角坐标系中，任意两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),),求求P1 P2=?2212212212212221221)()(|yyxxyyxxQPQPPP 22122121)()(yyxxPP xyo)0,3(A)4,0(B54322 AB由此得到平面内由此得到平面内P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点间的距离公两点间的距离公式式.4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(1)(1)4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(1)(1)
5、13)39()1(4 2221 PP设设P1(-1,3)、P2(4,-9),),求求P1 P2=?),sin(),(cos(),sin,(cos2121 PPPP求求已已知知?),sin(),(cos(),0,1(2121 PPPP求求已已知知 )cos(22)sin(1)cos(2221 PP)sinsincos(cos22sin)sin(cos)cos(2221 PPxyO 1P2P3P4P 4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(1)(1)问题探讨问题探讨).cos(.)tan(),sin(),cos(,.首首先先来来研研讨讨系系等等计计算算和和它它们们之之
6、间间的的关关如如差差的的三三角角函函数数本本节节开开始始探探讨讨两两角角和和与与诱诱导导公公式式数数的的关关系系和和三三角角函函数数的的前前面面学学习习了了同同角角三三角角函函.coscos)cos(:,)(:猜猜想想确确考考一一下下下下述述猜猜想想是是否否正正请请同同学学们们思思我我们们学学习习过过提提出出问问题题acabcba究究下下面面利利用用坐坐标标法法进进行行研研坐坐标标法法).cos(:sinsincoscos.sinsincoscos,的的值值来来表表示示期期望望能能用用我我们们到到位位圆圆上上的的位位置置很很容容易易找找的的值值在在单单这这样样同同一一个个单单位位圆圆中中这这三
7、三个个角角作作在在若若把把、).sin(),(cos(),sin(),(cos(),sin,(cos),0,1(4321 PPPP设设xyO 1P2P3P4P )(2),2(),2,0(4231 OPPOPP则则设设4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(1)(1)4231PPPP 则则).sin(),(cos(),sin(),(cos(),sin,(cos),0,1(4321 PPPP设设 sinsincoscos)cos(:,4231 整理得整理得由由PPPP)sinsincos(cos2242 PP)cos(2231 PP sinsincoscos)cos(
8、:两角和的余弦公式两角和的余弦公式)()(C公式强化训练题公式强化训练题4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(1)(1)?)2cos()7(?sin)sin(cos)cos()6(?105sin75sin105cos75cos)5(?105cos)4(?)(cos)3(?)cos()2(?)cos()1(BBABBABA4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切（两角和与差的正弦、余弦、正切（1 1）小小 结结.sinsincoscos:)3(;,)2(;)1(:、顺序是顺序是右边三角函数的排列的右边三角函数的排列的的符号相反的符号相反中间符号与左边两角间中间符号
9、与左边两角间公式中右边有两项公式中右边有两项取任意值都成立取任意值都成立公式对公式对公式的特点公式的特点:两角和的余弦公式两角和的余弦公式)(C sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(?15cos:思考题思考题.,.)2(.,)()(,)1(:22122121会会公公式式领领基基础础上上记记忆忆掌掌握握公公式式的的来来龙龙去去脉脉的的要要在在理理解解角角函函数数的的关关键键所所在在本本公公式式和和应应用用是是学学好好三三算算规规律律函函数数的的运运揭揭示示同同名名不不同同角角的的三三角角公公式式的的内内涵涵是是而而得得出出的的单单位位圆圆中中的的三三角角函函数数值
10、值再再借借助助于于作作为为桥桥梁梁以以两两点点间间距距离离公公式式法法公公式式的的推推导导应应用用了了坐坐标标注注、yyxxPP 第二课时第二课时4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(3)(3)()(C sinsincoscos)cos(?:.1表示的意义表示的意义和和代号代号问问 CC sinsincoscos)cos()()(C:)(的余弦公式的余弦公式差差两角和两角和?,2,2?sin)2cos(:,.3)(可可得得怎怎样样的的式式子子换换成成换换成成把把上上式式中中的的证证明明请请运运用用公公式式 C sin)2cos(;cos)2sin(?,:.2中的
11、取值范围是什么中的取值范围是什么公式公式问问 ),(取任意角取任意角 诱诱导导公公式式称称为为扩扩充充到到任任意意角角也也成成立立余余角角公公式式得得到到了了初初中中学学过过的的互互为为:,.:正正余余弦弦可可以以互互化化本本公公式式最最优优的的特特点点4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(3)(3)问题探讨问题探讨?,)sin()sin(,的的三三角角函函数数来来表表达达如如何何用用与与即即的的正正弦弦公公式式必必然然要要研研究究两两角角和和与与差差公公式式有有两两角角和和与与差差的的余余弦弦说说从从数数学学现现象象的的对对称称性性来来 )()(S sinco
12、scossin)sin(:)(的正弦公式的正弦公式差差两角和两角和)()(S sincoscossin)sin(:)(的正弦公式的正弦公式差差两角和两角和).(,整整体体思思想想思思想想方方法法的的现现象象是是数数学学的的一一种种重重要要这这种种从从整整体体去去把把握握数数学学式式而而直直接接运运用用的的公公将将其其化化归归已已知知或或已已学学过过视视为为一一个个整整体体教教材材在在推推导导中中将将 .sincoscossin:)3(;,)2(;)1(:、顺顺序序是是右右边边三三角角函函数数的的排排列列的的的的符符号号相相同同中中间间符符号号与与左左边边两两角角间间公公式式中中右右边边有有两两
13、项项取取任任意意值值都都成成立立公公式式对对公公式式的的特特点点公式强化训练公式强化训练?25sin20sin25cos70sin)8(?)54sin()36cos()54cos()36sin()7(?sin)cos(cos)sin()6(?105sin75cos105cos75sin)5(?15cos)4(?;105sin)3(?)sin()2(?;)sin()1(BBABBABA4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(3)(3);22)8(;1)7(;sin)6(;0)5(;426)4(,426)3(,)2(,)1(A 略略略略4.64.6两角和与差的正弦、余
14、弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(3)(3):基基础础训训练练题题.)sin(),23,(,43cos),2(,32sin.1的值的值求求已知已知例例 12356)sin()6sin(2)sin(3)cos(:.2 求求证证例例)2sin(2)sin(6cos)cos(6sin2)sin(23)cos(21 2:分分析析.2sin,2sin,53)sin(,1312)cos(,432.3的的值值求求已已知知例例 ,40,23),()(2),()(2:分析分析.65162sin,6556135)54(131253)()sin(2sin 同同理理得得4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角
15、和与差的正弦、余弦、正切(3)(3).tantan,52)sin(,32)sin(.4的的值值求求已已知知例例 .sincos,cossin,sincoscossintantan:代代入入即即可可的的思思想想解解出出应应用用方方程程从从已已知知条条件件中中分分析析 4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(3)(3)问题探讨问题探讨)()(C sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos()()(C:)(的余弦公式的余弦公式差差两角和两角和)()(S sincoscossin)sin(:)(的正弦公式的正弦公式差差两角和两角和)()(S sin
16、coscossin)sin(?,:.1切切问问题题何何解解决决两两角角和和与与差差的的正正我我们们如如余余弦弦问问题题弦弦解解决决了了两两角角和和与与差差的的正正问问、?)tan(,.2 示示的的正正切切来来表表用用单单角角能能否否像像上上面面公公式式一一样样、4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(3)(3)问题探讨问题探讨).tan(首首先先推推导导)cos()sin()tan(sinsincoscossincoscossin (这里有什么要求这里有什么要求?)coscossinsincoscoscoscoscoscossincoscoscoscossin (
17、又有什么要求又有什么要求?)tantan1tantan )(2Zkk )(22Zkkk tantan1tantan)tan(?:问问题题如如何何解解决决两两角角差差的的正正切切问问)tan(tan1)tan(tan)(tan)tan(tantan1tantan )tan(:两角差的正切公式两角差的正切公式.,tantan,tantan)4(.,)(,)3().(1),(,)2(;,)1(联联系系在在一一起起此此常常又又与与一一元元二二次次方方程程因因式式子子两两角角和和的的正正切切公公式式中中有有母母相相反反分分同同相相差差分分子子加加运运算算与与左左边边的的和和公公式式中中都都是是正正切切运
18、运算算和和的的正正切切积积的的差差与与分分母母是是差差的的正正切切和和与与分分子子是是公公式式中中右右边边是是分分式式义义的的取取值值要要使使正正切切值值有有意意公公式式中中 、:两角和的正切公式两角和的正切公式4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(3)(3)问题探讨问题探讨:公公式式的的特特点点)(:T代号代号)(:T代代号号4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(3)(3).15tan)1(;75tan)1(.5的的值值求求例例.75tan30tan175tan30tan)2(;18tan42tan118tan42tan)1(:
19、.6 计计算算下下列列各各式式的的值值例例.15tan115tan1.7的值的值计算计算例例 .32)2(;32)1.(5 .1)2(;3)1.(6 315tan45tan115tan45tan15tan115tan1,45tan1,分分析析.)tan(,tan,tan)0(0.82的的值值求求的的两两个个根根为为且且已已知知一一元元二二次次方方程程例例 caacbxax tantan1tantan)tan(:分析分析.tantantantan代入即可代入即可而而 acab 小小 结结4.64.6两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切(3)(3)()(CS)()(CS 代代以
20、以)(T 代代以以)(T相除相除相除相除两角和与差的正弦、余弦、两角和与差的正弦、余弦、正切公式的内在联系：正切公式的内在联系：).(2,)2(.,2,)1(:)()(ZkkTT 于于均不能等均不能等中中和和在公式在公式公式为简便公式为简便以利用诱导以利用诱导的整数倍时的整数倍时中有一个角为中有一个角为当当注注 三角函数恒等变形实质是对角、函数名称的变化，而转三角函数恒等变形实质是对角、函数名称的变化，而转化的依据就是一系列三角公式，如化的依据就是一系列三角公式，如:同角三角函数关系同角三角函数关系可实现函数名称的转化；可实现函数名称的转化；诱导公式及和、差角的三角函数诱导公式及和、差角的三角
21、函数可实现角的形式的转可实现角的形式的转化化.在应用公式时要注意它的逆向变换、多向变换，即对公式在应用公式时要注意它的逆向变换、多向变换，即对公式要要“三会三会”:正用、逆用、变用正用、逆用、变用.要注意通过拆角、拼角的技巧要注意通过拆角、拼角的技巧用已知角表示未知角用已知角表示未知角.85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着
22、切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷
23、利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁
24、格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，
25、或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最
26、快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第
27、二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而
28、是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏
29、尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
