1、二倍角的正弦、余弦、正切一、复习两角和（差）的三角公式sinsincoscoscossincoscossinsintantan1tantantan练习0002000000022000015tan115tan165.22tan15.22tan255.7sin5.37cos5.7cos5.37sin475cos75sin2312sin12cos269sin24sin69cos24cos1、返回sinsincoscoscos二倍角公式的推导22sincos2cos22sin212cos1cos22cos1cossin22利用变形为cossin22sinsincoscossinsintantan1ta
2、ntantan2tan1tan22tank2注Zkk4返回例一、（公式巩固性练习）求值：1sin2230cos2230=18cos22 2.3.8cos8sin22 4.12cos24cos48cos48sin84245sin210224cos224cos216sin12cos12sin212cos24cos24sin4例二.2365cos125cos125sin222.2sin2cos44cos)2sin2)(cos2sin2(cos2222)125cos125)(sin125cos125(sin1.继续 3 4 tan11tan112tantan1tan222coscos21221cos2
3、cos2122 例三、若tan =3，求sin2 cos2 的值57tan11tantan2cossincossincossin2222222解：sin2 cos2=例四、条件甲：条件乙：那么甲是乙的什么条件？asin1a2cos2sin解：sin1a2)2cos2(sina|2cos2sin|即当在第三象限时，甲 乙；当a 0时，乙 甲 甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。继续例五、（P43 例一）已知 ),2(,135sin求sin2，cos2，tan2的值。cos2=tan2=解：),2(,135sin1312sin1cos2sin2=2sincos=169120169119sin
4、212119120返回的值是？、4cos2sin212的值为？则、若tan1tan,2cossin2_52cos5cos3、27254、若_sin1sin1，则练习2cos32412sin2返回1、二倍角公式是和角公式的特例，体现将一般化归为特殊的基本数学思想方法。2、二倍角公式与和角、差角公式一样，反映的都是如何用单角的三角函数值表示复角（和、差、倍）的三角函数值，结合前面学习到的同角三角函数关系式和诱导公式可以解决三角函数中有关的求值、化简和证明问题。归纳总结返回二倍角的正弦、余弦、正切一二三四五正切正切二倍角的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦、)cos(sinsincoscos)sin(s
5、incoscossin )tan(tantan1tantan 2cos 22sincos 2sin cossin2 2tan 2tan1tan2 )cos(sinsincoscos )sin(sincoscossin )tan(tantan1tantan 3例例:证证明明下下列列各各式式1cos22cos)1(2 2sin212cos)2(2cos)1(证证明明 22sincos )cos1(cos22 22cos1cos 1cos22 1cos22cos2 2cos)2(22sincos 22sin)sin1(22sinsin1 2sin21 2sin212cos 2cos 22sincos
6、 2sin cossin2 2tan 2tan1tan2 1cos22 2sin21 4例例)(2cos12sin2cos12sin tanA cotB sinC 2sinD:解解 原原式式)1cos2(12sin)sin21(12sin22 22cos22sinsin22sin 22cos2cossin2sin2cossin2 )cos(sincos2)sin(cossin2 tan 练习练习 cot2cos12sin0 2cos 22sincos 2sin cossin2 2tan 2tan1tan2 1例例.2tan,2cos,2sin),20(,54cos的的值值求求若若 :解解20,
7、54cos 53sin 2sin cossin2 545322524 2cos 22sincos 22)53()54(257 2tan 2cos2sin 2572524724练习练习.2tan),2(,135cos的的值值求求若若 :解解 2,135cos1312sin tan cossin512 2tan 2tan1tan2 2)512(1)512(21191202例例:用用二二倍倍角角公公式式化化简简2)cos(sin)1()cos)(sincos(sin)2(44cossin)3(2tan112tan11)4(cossin21 2sin1 )sin(cos22 2cos )cos)(si
8、ncos(sin2222 2cos 2tan1)2tan1()2tan1(2 2tan12tan22 2tan 练习练习)(2,135cos,1312sin:是是则则已已知知 第第一一象象限限角角A第第二二象象限限角角B第第三三象象限限角角C第第四四象象限限角角D:解解,135cos,1312sin cossin22sin)135(13122 169120 0 22sincos2cos 22)1312()135(169119 0 是第三象限角是第三象限角 2练习练习)(10sin1 5sin5cosA 5sin5cosB 5cos2C5sin5cosD :解解10sin1 5cos5sin25
9、cos5sin22 2)5cos5(sin|5cos5sin|)5cos5(sin 2cos 22sincos 2sin cossin2 2tan 2tan1tan2 1cos22 2sin21 5例例)20(:用用二二倍倍角角公公式式化化简简 cos1)1(4cos22)2(cos1)1(:解解)12cos2(12 2cos22|2cos|2 2cos2 4cos22)2()2sin21(222 )2sin4222 )2sin42|2sin2|2sin2 结论结论22)1(224)2(6例例:化化简简)310(tan40sin)1(00 0080sin310sin1)2(原原式式解解)1(:
10、)310cos10sin(40sin000 000010cos10cos310sin40sin 000010cos)6010sin(240sin 00010cos50sin240sin 0010cos80sin2 2 原式原式)2(0010cos310sin1 000010cos10sin10sin310cos 000010cos10sin)1030sin(2 0020sin2120sin2 4 123四四、基基础础训训练练P 左左边边证证明明)1(sincossin3coscossincos3sin cossinsin3coscos3sin cossin221)3sin(2sin212sin
11、 2 7例例:证证明明xxx3sin4sin33sin)1(xxxcos3cos43cos)2(3 )1(证证明明)2sin(xx 左边左边xxxxsin2coscos2sin xx2cossin2)sin1(sin22xx xx3sin2sin xx sin)sin21(2 xxxx33sin2sinsin2sin2 xx3sin4sin3 右右边边 xxx3sin4sin33sin )2()2cos(xx 左左边边xxxxsin2sincos2cos xxxxxsincossin2cos)1cos2(2 )cos1(cos2coscos223xxxx xxxx33cos2cos2cosco
12、s2 xxcos3cos43 2cos 22sincos 2sin cossin2 2tan 2tan1tan2 1cos22 2sin21 xxx3sin4sin33sin xxxcos3cos43cos3 )2(23五五、基基础础训训练练P 左左边边证证明明)2(3sin4sin3)cos3cos4(3 )cos(sin4)cos(sin333 )cossincos(sin43)cos(sin22 )cossin443)cos(sin qp41 pqp 4 8例例:化简化简0015cot15tan:解解0015cot15tan 000015sin15cos15cos15sin 000200
13、0215sin15cos15cos15cos15sin15sin 00020215cos15sin15cos15sin 00020215cos15sin221)15sin15(cos 0030sin2130cos 32 223四四、基基础础训训练练P cossinsincostancot cossinsincos22 2sin212cos 2cot2 左边左边 4tan42tan22cot2 4tan4)2tan2(cot2 4tan4)4cot2(2 4tan44cot4 )4tan4(cot4 )8cot2(4 右右边边 原式成立原式成立9例例:化化简简0072cos36cos)1(000
14、80cos40cos20cos)2(原式原式解解)1(:000036sin272cos36cos36sin200036sin272cos72sin 00036sin472cos72sin2 0036sin4144sin 00036sin4)36180sin(0036sin436sin 41 原原式式)2(0000020sin280cos40cos20cos20sin2 000020sin280cos40cos40sin 00020sin480cos80sin 0020sin8160sin 81 85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，
15、不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流
16、的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标
17、运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异
18、常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听
19、着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处
20、的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健
21、康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不
22、会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
