1、例例1 设生男孩的概率为设生男孩的概率为p,生女孩的概率为生女孩的概率为q=1-p，令令X表示随机抽查出生的表示随机抽查出生的4 4个婴儿个婴儿中中“男孩男孩”的个数的个数.贝努里概型贝努里概型和和二项分布二项分布一、一、我们来求我们来求X的概率分布的概率分布.4,3,2,1,0,)1(44kppCkXPkkkX的概率函数是：的概率函数是：男男 女女X表示随机抽查的表示随机抽查的4 4个婴儿中男孩的个数，个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为生男孩的概率为 p.X=0X=1X=2X=3X=4X可取值可取值0,1,2,3,4.例例2 将将一枚均匀骰子抛掷一枚均匀骰子抛掷3次，次，令令X 表示表示3
2、3次中出现次中出现“4”4”点的次数点的次数3,2,1,0,)65()61(33kCkXPkkkX的概率函数是：的概率函数是：不难求得，不难求得，掷骰子：掷骰子：“掷出掷出4 4点点”，“未掷出未掷出4 4点点”一般地，一般地，设在一次试验中我们只考虑两个设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果：互逆的结果：A或或 ，或者形象地把两个互或者形象地把两个互逆结果叫做逆结果叫做“成功成功”和和“失败失败”.A 新生儿：新生儿：“是男孩是男孩”，“是女孩是女孩”抽验产品：抽验产品：“是正品是正品”，“是次品是次品”这样的这样的n次独立重复试验称作次独立重复试验称作n重贝努里重贝努里试验，简称贝努里试验
3、或试验，简称贝努里试验或贝努里概型贝努里概型.再设我们重复地进行再设我们重复地进行n次独立试验次独立试验 (“(“重重复复”是指这次试验中各次试验条件相同是指这次试验中各次试验条件相同 )，每次试验成功的概率都是每次试验成功的概率都是p，失败的概率，失败的概率都是都是q=1-=1-p.用用X表示表示n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A（成功成功）出现的次数，则出现的次数，则nkppCkXPknkkn,1,0,)1()(1)(0nkkXP（2）不难验证：不难验证：0)(kXP（1）称称r.vr.vX服从参数为服从参数为n和和p的二项分布，记作的二项分布，记作 XB(n,p)当当n=1时，时，
4、P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1称称X服从两点分布服从两点分布007125.0)95.0()05.0()2(223CXP例例3 已知已知100个产品中有个产品中有5个次品，现从中个次品，现从中有放回有放回地取地取3次，每次任取次，每次任取1个，求在所取个，求在所取的的3个中恰有个中恰有2个次品的概率个次品的概率.解解:因为这是有放回地取因为这是有放回地取3次，因此这次，因此这3 次试验次试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验.依题意，每次试验取到次品的概率为依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设设X为所取的为所取的3个中的次品数，个中的
5、次品数，于是，所求概率为于是，所求概率为：则则 X B(3,0.05)，注：若注：若将本例中的将本例中的“有放回有放回”改为改为”无放无放回回”，那么各次试验条件就不同了，不是贝，那么各次试验条件就不同了，不是贝努里概型，此时，只能用古典概型求解努里概型，此时，只能用古典概型求解.古典概型与贝努里概型不同，有何区别？古典概型与贝努里概型不同，有何区别？00618.0)2(310025195CCCXP请思考：请思考：贝努里概型对试验结果没有等可能的贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；）每次试验条件相同；二项分布描述的是二项分布描述的是n
6、重贝努里试验中出现重贝努里试验中出现“成功成功”次数次数X的概率分布的概率分布.（2）每次试验只考虑两个互逆结果）每次试验只考虑两个互逆结果A或或 ，A 且且P(A)=p，；pAP1)(（3）各次试验相互独立）各次试验相互独立.可以简单地说，可以简单地说，例例4 某类灯泡使用时数在某类灯泡使用时数在1000小时以上小时以上的概率是的概率是0.2，求三个灯泡在使用，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率小时以后最多只有一个坏了的概率.解解:设设X为三个灯泡在使用为三个灯泡在使用1000小时已小时已坏坏的灯泡数的灯泡数.X B(3,0.8)，把观察一个灯泡的使用把观察一个灯泡的使用
7、时数看作一次试验时数看作一次试验,“使用到使用到1000小时已坏小时已坏”视为视为“成功成功”.每次试验每次试验,“成功成功”的概率为的概率为0.8 P(X 1)=P(X=0)+P(X=1)=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104,)2.0()8.0()(33kkkCkXP3,2,1,0k 对于固定对于固定n及及p，当，当k增增加时加时,概率概率P(X=k)先是随先是随之增加直至之增加直至 达到最大值达到最大值,随后单调减少随后单调减少.二项分布的图形特点：二项分布的图形特点：XB(n,p)当当(n+1)p不为整数时，二项概不为整数时，二项概率率P(X=k)在在k=(n+1)p达到
8、最达到最大值；大值；(x 表示不超过表示不超过 x 的最大整数的最大整数).n=10,p=0.7nPk0 对于固定对于固定n及及p，当，当k增增加时加时,概率概率P(X=k)先是随先是随之增加直至之增加直至 达到最大值达到最大值,随后单调减少随后单调减少.二项分布的图形特点：二项分布的图形特点：XB(n,p)当当(n+1)p为整数时，二项概率为整数时，二项概率P(X=k)在在k=(n+1)p和和k=(n+1)p-1处处达到最大达到最大值值.课下请自行证明上述结论课下请自行证明上述结论.n=13,p=0.5Pkn.0 想观看二项分布的图形随参数想观看二项分布的图形随参数n,p的的具体变化，请看演
9、示具体变化，请看演示二项分布二项分布二、二项分布的泊松近似二、二项分布的泊松近似 当试验次数当试验次数n很大时，计算二项概率变很大时，计算二项概率变得很麻烦，如教材例得很麻烦，如教材例4中，要计算中，要计算 我们先来介绍我们先来介绍二项分布的泊松近似，二项分布的泊松近似，后面第十七讲中，我们将介绍二项分布的后面第十七讲中，我们将介绍二项分布的正态近似正态近似.kkkkkCkXPXP500050006500050006)1000999()10001()()5(或诸如此类的计算问题，必须寻求近似方法或诸如此类的计算问题，必须寻求近似方法.证明见教材证明见教材.定理的条件意味着当定理的条件意味着当
10、n很大时，很大时，pn 必定必定很小很小.因此，泊松定理表明，当因此，泊松定理表明，当 n 很大，很大，p 很小时有以下近似式：很小时有以下近似式：!)1(keppCkknkkn泊松定理泊松定理设设 是一个正整数，是一个正整数，则有，则有npn,2,1,0,!)1(limkkeppCkknnknknn其中其中 np n 100,np 10 时近似效果就很好时近似效果就很好.请看演示请看演示二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似实际计算中，实际计算中，!)1(keppCkknkkn其中其中 np 此例说明，当此例说明，当p不是很小，而是很大不是很小，而是很大(接接近于近于1)，可将问题略为转换一下
11、，仍然可以，可将问题略为转换一下，仍然可以应用泊松近似应用泊松近似.当当 n很大时，很大时，p不是很小，而是很大不是很小，而是很大(接接近于近于1)时，时，能否应用二项分布的泊松近似？能否应用二项分布的泊松近似？请看教材例请看教材例5.下面我们看一个应用例子下面我们看一个应用例子.例例5 为保证设备正常工作，需要配备适量为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员的维修人员.设共有设共有300台设备，每台的工台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若若在通常的情况下，一台设备的故障可由一在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理人来处理.问至少应配
12、备多少维修人员，问至少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于的概率小于0.01?我们先对题目进行分析：我们先对题目进行分析：300台设备，独立工作，出故障概率都是台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理一台设备故障一人来处理.问至少配备多少维修人员，才能保证当设问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?设设X为为300台设备同时发生故障的台数，台设备同时发生故障的台数，300台设备，独立工作，每台出故障概率台设备，独立工作，每台出故障概
13、率p=0.01.可看作可看作n=300的贝努里概型的贝努里概型.XB(n,p)，n=300,p=0.01可见，可见，300台设备，独立工作，出故障概率都是台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理一台设备故障一人来处理.问至少配备多少维修人员，才能保证当设问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?设设X为为300台设备同时发生故障的台数，台设备同时发生故障的台数，XB(n,p)，n=300,p=0.01设需配备设需配备N个维修人员，个维修人员，所求的是满足所求的是满足P(XN)N)N)kkNkkC30
14、03001300)99.0()01.0(30013!3Nkkken大大,p小小,np=3,用用 =np=3的泊松近似的泊松近似下面给出正式求解过程：下面给出正式求解过程：13!3Nkkke即至少需配备即至少需配备8个维修人员个维修人员.查书末的泊松分布表得查书末的泊松分布表得我们求满足我们求满足1301.0!3Nkkke的最小的的最小的N.N+1 9,即即N 8,0038.0!393kkke,012.0!383kkke这一讲，我们介绍了二项分布这一讲，我们介绍了二项分布.二项分布是实际中最常见的离散型分布之一二项分布是实际中最常见的离散型分布之一.二项分布描述的是二项分布描述的是n重贝努里试验
15、中出现重贝努里试验中出现“成功成功”次数次数X的概率分布的概率分布.我们介绍了二项分布的泊松近似，我们介绍了二项分布的泊松近似，使用时应注意条件使用时应注意条件.在解应用题时需要注意判断问题是否在解应用题时需要注意判断问题是否为为贝努里概型贝努里概型，可否用可否用二项分布求解二项分布求解.85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看
16、着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥
17、雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE
18、丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度
19、，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认
20、最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到
21、第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，
22、而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰
23、夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
