1、1第五章第五章 椭圆型方程的差分方法椭圆型方程的差分方法 (一一)Poisson方程方程（二）差分格式的性质（二）差分格式的性质（三）边界条件的处理（三）边界条件的处理（四）变系数方程（四）变系数方程（五）双调和方程（五）双调和方程（六）特征值问题（六）特征值问题2(一一)Poisson方程方程2222(,),(,)uuuf x yx yDxy (,)|0,0,Dx yxayb(,)|0,0,0,0Dx yxayb ybxa区域以及边界离散区域以及边界离散,11abhkIJ(,):,1;.,1ijihjxyxih iiIDyjk jjJ 内内点点为为(,):,;0,1,0,1,10,1,0,1
2、,1ijijhxyxih yjkDiIjJ JjJiI I边边界界点点为为4xyab(,),(,)0,0,uu x yx yab 内点内点边界点边界点 返回返回:(2)(2)IJ 总总5xyab(,),(,)0,0,uu x yx yab 返回返回12 Iuuu122 IIIuuu IJu:IJ 内内点点1.五点差分格式五点差分格式利用Taylor级数展开有222441224411211(,)2(,)(,)(,)(,)24,ijijijjjijiiu xh yu xyu xh yhuhuyuyxxxxx 222441224411211(,)2(,)(,)(,)(,)24,ijijijiiijj
3、ju xyku xyu xykkuhu xu xyyxyy 2222(,)uuLuuf x yxy 1,1,1,12222ijijiji jiji jhijhijijuuuuuuL uufhk =(,),ijijff x y其其中中则则22,(,)()ijhi ji jT xyL uLuO hk8(,)i j 由于上差分方程中由于上差分方程中只出现只出现u在在(i,j)及其四个及其四个临点上的值临点上的值,故称为五故称为五点差分格式点差分格式1,1,1,12222ijijiji jiji jhijijuuuuuuufhk=,()=,()(,)=(,)=,(,).hijijijhijijijhi
4、jijijijufxyDuxyDuu xyxyx yD ，其其中中Possion方程第一边值问题的差分逼近为方程第一边值问题的差分逼近为改写为代数方程改写为代数方程,仅考虑仅考虑1,1,1,1,2222iji jiji ji ji ji juuuuuufhk 1,;1,;iI jJ hk 解：解：2222220(,)(,)log(1)(,)(,)|0,1uux yDxyu x yxyx yDDx yx y 例例：五五差差分分格格式式求求解解11,11,1,1,214i jiji jiji ji juuuuufh 先仅下标先仅下标 j 小的未知量放前面小的未知量放前面,相同的相同的 j 的再按的
5、再按 i 从小到大顺利排列从小到大顺利排列111,;1,;iJ jI 按自然顺序排列网点按自然顺序排列网点(i,j)按自然顺序排列网点按自然顺序排列网点(i,j)1,;1,;,1,1,2,;jjJiIiIIji 定义向量定义向量1,2,21 111,JIIhJIuuuuuuu 于是差分方程为于是差分方程为:21hHugh 121,;1,;iI jJ 分析系数矩阵分析系数矩阵H对于第一个结点对于第一个结点(1,1),1,11,00,12,11,21,1214uuuufhu 410100 1j 时时2j I个个,11,1,1,214i jiji jiji ji juuuuufhI个个.(1,1)H
6、对对应应 的的第第一一行行未知节点未知节点1j 2j 1,;1,;iI jJ 分析系数矩阵分析系数矩阵H对于第二个结点对于第二个结点(2,1),2,12,01,13,12,22,1214uuuufhu4101 0014 10 10 1j 2j I个个,11,1,1,214i jiji jiji ji juuuuufhI个个.(2,1)H节节点点对对应应 的的第第二二行行1j 2j 1,;1,;iI jJ ,11,1,1214i jiji jiji jijuuuuufh分析系数矩阵分析系数矩阵H对于前对于前I个结点个结点,系数矩阵系数矩阵H为为 41114111411141 1j 2j BIBI
7、IBIHIBIIB ,11,1,1214i jijijiji jijuuuuufh五点差分格式五点差分格式21hHugh 等价于等价于B,I为为I维方阵维方阵,H为为I*J维方阵维方阵1,;1,;iI jJ 2222220,(,)0,1 0,1(,)lg(1),(,)uux yDxyu x yxyx yD 13hk取取xy01112 uu34 uu87 34 1 2 6 5 对于第一个结点对于第一个结点,12831240uuuh 即即123184uuu ,11,1,1214i jijijiji jijuuuuufh例：例：17同理同理,对于另外三个结点对于另外三个结点,分别有分别有124674
8、uuu xy01112 uu34 uu87 34 1 2 6 5 134234uuu 243454uuu 联立联立,有线性代数方程组有线性代数方程组1816722334544110140110410114uuuu 1016lglg99.22(,)lg(1),(,)u x yxyx yD 123184uuu 18计算机实现计算机实现 五点差分格式的系数矩阵五点差分格式的系数矩阵 算法算法 程序程序返回返回19五点差分格式的系数矩阵五点差分格式的系数矩阵对对possion方程第一边值问题建立五点差分格式方程第一边值问题建立五点差分格式,11,1,1214 1,;1,i jijijiji jijuu
9、uuufhiIjJ将双下标数列将双下标数列ui,j按自然顺序排成单下标按自然顺序排成单下标uk,那么那么11214 1,kIkkkkIkuuuuufhkIJ 20这样有代数方程组这样有代数方程组Hu=g,其中其中11214 1,kIkkkkIkuuuuufhkIJ 21这样有代数方程组这样有代数方程组Hu=g,其中其中21BIIBIHhIBIIB 4114114114B H是稀疏矩阵是稀疏矩阵,每一每一行最多行最多5个数不为个数不为0H是对角占优矩阵是对角占优矩阵H是对称正定是对称正定课堂练习课堂练习23 微分方程微分方程差分格式差分格式真解真解u=u(x,y)真解真解u=un 相相容容性性收
10、收敛敛性性 稳定性稳定性对于双曲与抛物方程：对于双曲与抛物方程：24,222222(,)(,)(,)2(,)(,)(,)2(,)(,)+(,)(,)i jhi ji jhijijijijijijijijijijR uL uLuu xyu xyu xh yu xyu xh yhu xyku xyu xykkuuu xyu xyxy 相容性相容性所以五点差分格式是相容的所以五点差分格式是相容的.44224444 1(,)()12ijhku xyO hkxy,(,)iji jf xyf 2.九点差分格式九点差分格式2222222=,=,=,+=,=hhDxyx yhh D 令令那那么么有有44222
11、22424+=(+)2=(2)hD (,)(1)(,)!nnndhdu xh yhu x ydxn dx1020304050=,=,=,=,=ue uue uueuueuueu 等等231123!nxxxxxen(,)dhdxeu x y 0231456781123400002342342342346(1123423411)234234()Suuuue ue ueueuO h ！1020304050=,=,=,=,=ue uue uueuueuueu 22=,=,=,hhDxyx y 其其中中023145678625678()SuuuuO h272424610002424620001=4+(2
12、)+()121=4+2+(+4)+()6SuhuhD uO hSuhuhD uO h 40D u消消去去得得2241200024201()612SSuuhuO hh四阶精度四阶精度0uf由24120142062SSuh fhf20uf 2,222211()(,),(3.17),tan.0r,02 ruuurf rrrrryrxyx 0(3.17)000lim0.(3.18)rrruuurrr 方方程程的的系系数数于于奇奇异异，因因此此只只当当时时有有意意义义。为为了了定定出出有有意意义义的的解解，需需补补充充 于于有有界界的的条条件件,可可设设 满满足足3 3 极坐标形式的差分格式极坐标形式的
13、差分格式若求解域是圆环、环形域或扇形域，若求解域是圆环、环形域或扇形域，则采用极坐标是方便的，此时则采用极坐标是方便的，此时Poisson方程形如方程形如,.(0.5),0,1,2,(1),0,1,/,12ijrrrir ijhJjJ 和令(,)111111222221()(,)()(,)(,)1()ijrijijijiiiiiurrrrru rrru rru rrr 任意点任意点用中心差商公式用中心差商公式(,)2112222(,)2(,)(,)11()rijijijijiu ru ru rurr 分别取等步长分别取等步长(,)(0),ijri 2,2211()ruuurrrrr 11,11
14、11,222221,1,22(3.17),1()1()21.()ijijijiiiiiiji ji ji jiirurrururruuufr 代代到到就就得得到到逼逼近近它它的的差差分分方方程程下面用有限体积法获得在点下面用有限体积法获得在点 的的差分方程差分方程2,2211()(,),(3.17)ruuurf rrrrr 0(,)jr(0.5),0,1,2,(1),0,1,12/,ijrir ijjJhJ 11221122221(,)jjjjrruurdr drf rddrrrr 11(,),22Drrr jj 用用r乘方程乘方程上积分上积分2,2211()(,),(3.17)ruuurf
15、rrrrr 并对得到的方程在并对得到的方程在 121211221122121222112211=11=,(,)(,)jjjjjjjjrrrjjuurdr drrruurddrrruuuurrdu ru rdrrrrr 左r 11222,(,)(,)(,)2222jjjjuururrrrrruurfrr 用中心差商代替上面的微商，并用用中心差商代替上面的微商，并用 除得除得2rr 1,0,0,10,0,10,2224()jjjjjjuuuuufrrr 1122112211002211,(,)()0,(,jjjjrrjjuuurrdu ru rdrrf rddrrrr 利用中矩形公式积分得利用中矩形公式积分得0lim0.rurr P1411.用五点差分格式求解用五点差分格式求解Poisson方程方程 的边值问题的边值问题16,(,),0,(,)ux yDux yD 其中其中(,)|,|1Dx yxy作业作业
