1、概率统计第二节第二节 边缘分布边缘分布边缘分布概念的引出边缘分布概念的引出()()()(,)xxXFxP Xxf t dtdtf t y dy注意到注意到:积出的是变积出的是变量量 t 的函数的函数lim(,)yxyf t v dtdv 内层为广内层为广义积分义积分lim(,)yF x y(,)F x分布函数分布函数的定义的定义分布函数分布函数的连续性的连续性概率统计一一.边缘分布的定义边缘分布的定义则则 ()(,),XFxF x()(,)YFyFy分别分别称为称为二维随机变量二维随机变量(X,Y)关于关于 X 和和关于关于 Y 的的边缘分布函数边缘分布函数.二二.当当(X,Y)为离散型随机变
2、量为离散型随机变量1()(,)iXi jxx jFxF xP .1()1,2iii jjPP XxPi 则则 X 边缘分布函数边缘分布函数边缘分布律边缘分布律设设 为为 X,Y 的联合分布函数，的联合分布函数，(,)F x y(,)X Y已知已知为为的联合分布律的联合分布律(,)iji jP Xx YyP概率统计1()(,)jYi jyy iFyFyP.1()1,2jji jiPP Yypj 边缘分布律边缘分布律注注:三三.当当(X,Y)为连续型随机变量为连续型随机变量边缘分布函数边缘分布函数则则 Y 表示是由表示是由 关于关于 求和得到的；求和得到的；表示是表示是 由由 关于关于 求和得到的
3、求和得到的.iPi jPj.jPii jP已知连续型随机变量已知连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度的联合概率密度 及联合分布函数及联合分布函数(,)f x y(,)F x y概率统计则则 X 的的边缘分布函数边缘分布函数:()(,)(,)xXFxF xf x y dy dx 边缘概率密度边缘概率密度:()(,)Xfxf x y dy 则则 Y 的的边缘分布函数：边缘分布函数：边缘概率密度边缘概率密度:()(,)(,)yYFyFyf x y dx dy()(,)Yfyf x y dx 概率统计把一枚均匀硬币抛掷三次，设把一枚均匀硬币抛掷三次，设 X 为三次抛掷中为三次抛掷中正面出现的次数，正
4、面出现的次数，Y为正面出现次数与反面出现为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值次数之差的绝对值求：求：(X,Y)的联合分布律的联合分布律（X,Y）可取值：）可取值：(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P(X=0,Y=3）P(X=1,Y=1）P(X=2,Y=1)=3/8P(X=3,Y=0)=1/8列表如下列表如下例例1解：解：311()283313()28概率统计 二维联合分布律全面地反映了二维随机变量二维联合分布律全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律的取值及其概率规律.而单个随机变量而单个随机变量X,Y也具有也具有自己的概率分布自己的概率分布.那么此例中二者之间的关
5、系怎么那么此例中二者之间的关系怎么体现呢？体现呢？从表中不难求得从表中不难求得:P(X=0)=1/8,P(X=1)=3/8P(X=2)=3/8,P(X=3)=1/8,P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1）P(X=0,Y=3)+P(X=3,Y=3）注意这两个分布正好是注意这两个分布正好是表中的行和与列和表中的行和与列和.问：问：=3/8+3/8=6/8,P(Y=1)=1/8+1/8=2/8.P(Y=3)=概率统计 如下表所示如下表所示1.习惯上常将边缘分布律写在联合分布律表格的边习惯上常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词缘上，由此得出边缘分布这个名词.2.由联
6、合分布律可以确定边缘分布律，但由边缘分由联合分布律可以确定边缘分布律，但由边缘分 布律一般不能确定联合分布律布律一般不能确定联合分布律.注意：注意：概率统计设随机变量设随机变量 X 在在 1,2,3,4 四个整数中等可能地四个整数中等可能地取值；另一随机变量取值；另一随机变量Y 在在 1 X 中等可能地取一中等可能地取一整数整数解解:由边缘分布律的定义，可知先得求出由边缘分布律的定义，可知先得求出(X,Y)的联合分布律的联合分布律(1)1,2,3,4X的的取取值值1,2,3,4Y的的取取值值也也是是1111(1,1)144PP XY x=1时，时，y只有只有 一个值，故对一个值，故对y 来说是
7、必然事来说是必然事 件，件，其概率为其概率为1例例2.求求:二维随机变量二维随机变量(X,Y)的边缘分布律的边缘分布律.jP.iP与与概率统计121(1,2)004PP XYX=1时时,y 的值取不到的值取不到2,故对故对y 来说是不可能事件来说是不可能事件,其概率为其概率为013(1,3)0PP XY0)4,1(14 YXPP211 11(2,1)4 28PP XY0,0,812141242322 PPP313233341 111,04 31212PPPP414243441 111,4 41616PPPP概率统计(,)X Y的的联合分布律联合分布律为为：XY11000441110088411
8、1101 21 21 24111111 61 61 61 64.1234jP2 51 3734 84 84 84 8.4321iP概率统计边缘分布律边缘分布律),()2(YX4321X11114444kP4321Y48348748134825kP设设(X,Y)均匀分布在由直线均匀分布在由直线 ，x 轴轴和和y 轴所围成的区域轴所围成的区域 D 上上.12 yx求求:(X,Y)的联合概率密度与边缘概率密度的联合概率密度与边缘概率密度.解解:其它其它0),(1),(DyxAyxf例例3.所以其概率密度为：所以其概率密度为：(,)X Y因为因为服从均匀分布服从均匀分布(1).概率统计由题意可知由题意
9、可知 D 域图为域图为:1xy02D11 212A 其它其它其联合密度其联合密度0),(1),(Dyxyxf(2).因为边缘概率密度为因为边缘概率密度为:dyyxfxfX),()(概率统计则得则得:2(1)01()0Xxxfx 其其它它同理可得同理可得:1102()20Yyyfy 其其它它()0Xfx()1Xfxdy(,)0f x y 0 x 1x 或或时时01x时时2(1)x2(1)0 xdy 概率统计例例4.设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度为：的概率密度为：2211222221212()()()()122(1)212(,)121xxyyf x ye ,xy 求求:二维正态随
10、机变量二维正态随机变量(X,Y)的边缘概率密度的边缘概率密度解解:22122122()()()2yxx 212212()()yx 21221()x 由于由于:概率统计于是于是:2122122211()1()22(1)2121()21xyxXfxeedy 212211()1yxt 令：令：则有：则有：22121()2211()2xtXfxeedt 2121()2112xe x y 2222()221()2yYfye 同理有：同理有：222tedt 概率统计 从而可得出：由从而可得出：由 X 和和 Y 的边缘分布一般是不的边缘分布一般是不能能 确定确定 X 和和 Y 的联合分布的的联合分布的.结论结论二维正态分布的两个边缘分布均是一维正态二维正态分布的两个边缘分布均是一维正态分布，并且都不依赖于参数分布，并且都不依赖于参数 ，亦即对于给，亦即对于给定的定的 ，不同的，不同的 对应不同的对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布却都是一二维正态分布，但它们的边缘分布却都是一样的。样的。2121,
