1、多元函数积分学考研辅导考研辅导 多元函数积分可看作定积分推广为多元函数在不同几何形体上的积分。定积分定积分（一元函数在区间 上的积分）可推广为：曲线积分曲线积分 （多元函数在曲线上的积分）曲面积分曲面积分 （多元函数在曲面上的积分）n重积分重积分 （n元函数在n维空间中的区域上的 积分）ba,几种几何形体上的积分：D闭区间a,bL（平面区域）（平面曲线）（曲面）（空间区域）（空间曲线）如果 存在，则称这个极限为函数 在几何形体G上的积分,记为即01limmaxniiiiifpgg （）()f p Gfp dg 01limniiiGfp dgfpg 为了便于今后讨论，当G为不同的几何形体时，对应
2、的积分都给出了固定的名称和符号 当G为平面有界闭区域（常记为D）时，称为二重积分二重积分，记为 当G为空间有界闭区域（常记为 ）时，称为三重积分三重积分，记为Ddyxf),(,)f x y z dv当G为平面有限曲线段（常记为L）或空间有限曲线段（常记为 ）时，称为第一型曲第一型曲线积分线积分（也称为对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分），记为 当G为空间有限曲面片（常记为）时，称为第一型曲面积分第一型曲面积分（也称为对面积的曲面对面积的曲面积分积分），记为Ldsyxf),(dszyxf),(,)f x y z dS 与定积分类似，当 在G上连续时，积分 必定存在。具有与定积分类似的性质：具有与定
3、积分类似的性质：以二重积分为例，线性性，可加性，比较性，估值性，积分中值定理Gdgpf)(Gdgpf)(pf几何形体上积分的物理意义 若一个非均匀物体，其形状如上述几何形体G，其密度为G上的函数 ，则在G的元素dg上，其质量应是 dg，于是该物体的总质量为例如平面上非均匀薄片的质量为 p p()GMp dg dyxMD ,二重积分二重积分一.几何意义:以曲面 为曲顶的曲顶柱体 的体积.二.计算(求体积)-化为累次积分(一).直角坐标系下的计算:设D（X型）：则 0,yxfz 12x yx,axb21()()(,)(,)bxaxDf x y dxdydxf x y dy积分后先对xyx0 xyD
4、xy21yba设D（Y型）：则 12yxycyd21()()(,)(,)dycyDf x y dxdydyf x y dx积分后先对yx1()xy2()xyyxODdc 若D不是X型（或Y型），则将D分为几个区域，使它们为X型（或Y型），几个区域上的积分之和就是所给二重积分的值。问题:选择积分次序 交换积分次序例1 求解 X型若Y型则积分较繁。221,:,1,1DIyxy dD yx xy 所围.112213122211112133xIdxyxy dyxydxx:1,11Dxyy 122111yIdyyxy dxD1110yx例2 所围成。分析 若先 后 积分，无法积分。解 先 后 积分，（Y
5、型）2,:,1,0yDIe dD yx yxyxxy:0,01Dxyy22221100001120011122yyyyyyIdye dxex dyye dye dye11yx0D2110yxIdxe dy例3 交换二次积分的顺序分析 要将按X型域确定积分限改为按Y型域确定积分限。为此，应根据定限的方法先将题中所给的积分限还原成平面区域D，然后再按Y型域重新确立积分限，得到二次积分.1220010(,)(,)xxdxf x y dydxf x y dy解 将所给积分限还原成D的图形，由其中知D是由y=x，y=2x，y=0三条直线所围成，于是按y型域定限 得12DDD1:0,01Dyxx2:02,
6、12Dyxx:2,01D yxyy1220010120(,)(,)(,)xxyydxf x y dydxf x y dydyf x y dx2012DD11xy例4 设 在 上连续，证明证 由等式左边，得改变积分顺序，得所以，左边 右边000()()()cycdyf x dxcx f x dx f x0,c:0,0Dxyyc00()()()cccxdxf x dycx f x dx:,0D xycxc(二)极坐标计算二重积分极坐标是由极点和极轴组成，坐标 ，其中r为点p到极点o的距离，为or到op的夹角。r=常数；（从o出发的同心圆）=常数；（射线）直角坐标与极坐标的关系为：,r0,02r c
7、ossinxryrO(,)p 在极坐标下，面积元素为由直角坐标和极坐标的对应关系，于是得到二重积分在极坐标下的形式其中drd dr(,)(,)DDf x y dF rrdrd,cos,sinF rf rr注:记住一些常见曲线的极坐标表示.例如.圆,椭圆,射线等.若积分区域D：12()(),r AO1()r 2()r DAOD2()r 1()r 于是得到极坐标下二重积分化为二次积分的公式：或写作21()()(,)(,)DF rrdrdF rrdr d 21()()(,)(,)DF rrdrddF rrdr 若极点在D的内部则D可以用不等式 ，表示，这时有0210()r 2()00(,)(,)DF
8、 rrdrddF rrdr AOD()r 例5 将化为极坐标下的二次积分。解 利用 把积分区域的边界曲线化为极坐标形式：1r 1sincosrxy112,:11,01Df x y dDxyxxcossinxryr11,sincosrr1210sincos1:1,0sincos2,cos,sinDDrf x y ddf rrrdr例6 计算 ，其中D是以原点为圆心，半径为 的圆域。解 D可以表示成dxdyeDyx22a0,02ra222222222000020121(1)(1)2xyrDDarraaaedxdyerdrdderdredede问题 本题为何不用直角坐标计算？如何计算广义积分 简单无
9、穷限的二重积分怎样计算?20?xedx三.关于多元积分的对称性(二重积分为例)设 在 上连续,存在,(1)如果 关于 轴对称,而 关于变量 是奇(偶)函数,则其中(,)f x yD(,)DIf x y d10,(,)(,)2(,),(,)(,)Dfx yf x yxIf x y dfx yf x yx 当时（关于 为奇函数）当时（关于 为偶函数）Dy(,)f x yx1(,)|0DDx yx(2)如果 关于 轴对称,而 关于 变量是奇(偶)函数,则其中(,)f x yDxy20,(,)(,)2(,),(,)(,)Df xyf x yIf x y df xyf x y 当时当时2(,)|0DDx
10、 yy(3)如果 关于原点对称,而 关于 是奇(偶)函数,则(4)若 关于 对称,则 (轮换对称性)D(,)f x y,x y120,(,)(,)2(,)2(,),(,)(,)DDfxyf x yIf x y df x y dfxyf x y 当时当时yxD(,)(,)DDf x y df y x d12(,)(,)DDf x y df y x d(1)以上前三种情况类似于奇偶函数在对称区间上的定积分性质,第(4)种情况则是多元积分的特殊性质.(2)利用对称性简化计算十分有效,但对称性在使用时,必须要兼顾被积函数和积分区域两个方面,即对称性要相匹配才能利用.(3)三重积分,曲线积分,曲面积分同
11、样可以利用与二重积分类似的对称性简化计算.例7计算 ,为由双纽线 所围成.解:区域 对称于原点,而被积函数 故由对称性的第(3)种情况,积分值为在第一象限部分域上积分值的二倍,化为极坐标系下的二次积分来计算.故 .Dxydxdy222()2xyxyDD(,)(,)fxyf x ysin2320012sincos6Dxyddrdr例8 证明不等式 其中 ,.证:积分区域 关于直线 对称,由轮换对称性,有从而,有即利用对称性,将被积函数由原来非同角三角函数之和化为同角三角函数之和.221(cossin)2Dyx d:DD01x01y22coscosDDy dx dyx2222(cossin)(co
12、ssin)DDyx dxx d由于 而 ,故 ,从而 但 是单位正方形,面积为1,所以222cossin2sin()4xxx201x21sin()142x212sin()24xD221(cossin)22DDyx dd(,)zf x y221()()xyxyDAffdxdyxyDxoy1.曲面的面积若曲面 ,则的面积其中为在面上的投影区域.若 ：或(,)xg y z(,)yh x z221yzyzDAggdydz则类似的有或221zxxzDAhhdxdz四.多元积分的应用2.重心(以平面薄片为例)设有一平面薄片,占有 面上的闭区域 ,连续函数 为 处的面密度,则重心坐标为平面图形的形心坐标为:
13、xoyD(,)x y(,)x y(,)(,)DDxx y dxx y d(,)(,)DDyx y dyx y d1DxxdA1DyydA3.转动惯量(以平面薄片为例)对于 轴:对于 轴:对于原点:2(,)xDIyx y d2(,)yDIxx y dxy22()oDIxyd 4.对质点的引力(以平面薄片为例)平面薄片(占区域 )对位于 轴上点处的单位质量的质点的引力为其中 Dz0(0,0,)Ma(0)a,xyzFF F F32222(,)()xDx y xFGdxya32222(,)()yDx y yFGdxya32222(,)()zDx yFGdxya 注：其它几何形体(空间立体,曲线段和曲面
14、等)的重心、转动惯量和引力的求法与平面薄片的类似,公式中的二重积分换成相应的三重积分、曲线积分和曲面积分.三重积分的计算法 三重积分 可以用直角坐标、柱面坐标和球面坐标来计算。其方法都是将三重积分化为三次积分。(,)f x y z dv体积元素 ，一一 直角坐标计算三重积分dvdxdydz(,)(,)f x y z dvf x y z dxdydz 12,zx yzzx yx yD设则(先一后二）再根据D是X型域或Y型域对二重积分的区域D确定积分限，就得到三次积分。21(,)(,)(,)(,)zx yzx yDf x y z dvf x y z dz dxdy:Oxyzab(,)x y1()y
15、y x2()yyxD1z2z1S2S1(,)zz x y2(,)zzx y例如D为X型域，则有这是先对z，次对y，最后对x的三次积分。2211()(,)()(,)(,)(,)bxzx yaxzx yf x y z dvdxdyf x y z dz 计算三次积分可以先算定积分再算二重积分（先一后二法），也可以先算一个二重积分，再算一个定积分即先二后一法先二后一法:设区域 的z值的最大值和最小值为 和 ，过 内任一点z，作水平平面与 交出截面 ，就是二重积分的区域。ZDZD12,c c1c2cxyzOzDz1c2c 先在D上对x，y积分然后在 上对z积分。这样得到再把 上的二重积分化为二次积分即可
16、。12,c c21(,)(,)zccDf x y z dvdzf x y z dxdyZD二.用柱面坐标计算三重积分 设 为空间一点，如果将 改用另外三个数 来表示，则称 为点M的柱面坐标柱面坐标。它与直角坐标的关系是:zOxyr(,)M x y z(,)P rz zyxM,zyx,zr,zr,cossin(0,02,)xryrrzzz 体积元素为 三重积分在柱面坐标系下的形式dvrdrd dz(,)(cos,sin,)f x y z dvf rrz rdrd dz由于柱面坐标中的r,就是平面极坐标下的r,，所以上述三重积分21(,)(,)(,)(cos,sin,)rrDf x y z dvr
17、drdf rrz dz21(,)(,)(,)(,)zx yzx yDf x y z dvdxdyf x y z dz可先写成三三 用球面坐标计算三重积分 设 为空间一点，如果将 改用另外三个数 来表示。则称 为点M的球面坐标球面坐标。OxyzxyzrAPM zyxM,zyx,r ,r球面坐标与直角坐标的关系是sincossinsin(0,0,02)cosxryrrzz 体积元素 三重积分在球面坐标系下的形式2sindvrdrd d 2(,)(,)sinf x y z dvf rrdrd d 其中(,)(sincos,sincos,cos)f rf rrr 一般将右端的形式化为先对r、次对 、最
18、后对的三次积分来计算。第一型曲线积分的计算法第一型曲线积分的计算法 第一型曲线积分 或 也称为对弧长的曲线积分，它可以化为定积分来计算。(,)Lf x y ds(,)f x y z ds设平面有限光滑曲线段L的参数式为()()xtyt()t 弧的微分（弧长元素）的公式为22dsdt因为 中的点(x,y)在L上的变化，因此可将 L及 的表达式代入 ，这里积分变量是 t，变化区间是 ，因此化为一个定积分，即,f x yds(,)Lf x y ds22(,)(),()Lf x y dsfttdt 如果L由 给出，则可将x看作参数，即 ,yy xaxb()xxyy x()axb代入上面公式即得 2(,
19、),)1()baLf x y dsf x y xyx dx如果L由 给出，则可将y看作参数，同理可得()()xx ycyd 2(,),)()1dcLf x y dsf x yyxydy对于空间的第一型曲线积分，情况类似。设空间有限光滑曲线段 的参数式为()()()xtytzt()tv 则有222(,)(),(),()()()()f x y z dsftttttt dt 在封闭曲线上的曲线积分，常用符号 或 表示。L 第二型曲线积分的计算法第二型曲线积分的计算法 设 ，其中 为有向曲线弧.也称为对坐标的曲线积分，它可以化为定积分来计算。有性质 (,)(,)LP x y dxQ x y dy(,)
20、(,)LP x y dxQ x y dy(,)(,)LP x y dxQ x y dyL若 由参数方程表示:且 的起点对应 ,而的终点对应参数 ,则设 的起点和终点分别对应 和 ,则L()()xx tyy tLtt(,)(,)LP x y dxQ x y dy (),()()(),()()P x ty t x tQ x ty t y tdt ,:tzztyytxxtt(,)(,)(,)P x y z dxQ x y z dyR x y z dz (),(),()()(),(),()()(),(),()()Pxt yt zt x tQxt yt zt y tRxt yt zt z t dt 第一
21、型曲面积分的计算法第一型曲面积分的计算法 第一型曲面积分 也称为对面积的曲面积分，它可以化为二重积分来计算。若 曲面面积元素则其中 为 在面 上的投影区域.(,)f x y z dS:(,)zz x y221xydSzzdxdy(,),(,)xyDf x y z dSf x y z x y221xyzzdxdyxyDxoy如果曲面 的方程由x=x(y,z)或y=y(x,z)给出，也可类似地把第一型曲面积分化为yoz面或xoz面上的二重积分。2222:,1:,1yzxzyzDxzDxx y zf x y z dsfx y zy zxx dyy x zf x y z dsfx y x zzyy d
22、若为封闭曲面,则要分块,利用可加性计算.第二型曲面积分计算第二型曲面积分计算(为有向曲面)的物理意义是指在单位时间内流体流过速度场中一片有向曲面指定侧的流量.也称为对坐标的曲面积分，它可以化为二重积分来计算。有性质,当积分曲面改变为相反侧时,对坐标的曲面积分要改变符号.(,)(,)(,)P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy(,),(,),(,)vP x y z Q x y z R x y z 如果 ,则其中 为 在面 上的投影区域,若的指定侧为上侧()则取“+”号.若 的指定侧为下侧(),则取“”号.由所给曲面方程的不同形式,决定向不同的坐标面上投影.:(,
23、)zz x y(,),(,)xyDR x y z dxdyR x y z x y dxdy xyDxoycos0cos0若:,则其中 为 在面 上的投影区域,若 的指定侧为前侧 ,则取“+”号.若 的指定侧为后侧 ,则取“”号.若 :,则其中 为 在面 上的投影区域,若 的指定侧为右侧 ,则取“+”号.若 的指定侧为左侧 ,则取“”号.(,)xx y z(,)yy x z(,)(,),yzDP x y z dydzP x y zy z dydz ,(,),zxDQ x y z dzdxQ x y z x z dzdx yzDyoz(0)cos(cos0)zxDzox(cos0)(cos0)各类
24、积分之间的关系各类积分之间的关系一.对弧长的曲线积分与对坐标的曲线积分的关系其中 是有向曲线弧 上点 处与 方向一致的切线向量的方向余弦.类似地,其中 为 上点 处的切线向量的方向角.(coscos)LLPdxQdyPQdscos,cosdxdydsdsL(,)M x yL(coscoscos)PdxQdyRdzPQRds,(,)M x y z二.对面积的曲面积分与对坐标的曲面积分的关系其中 为 上点 处的法线向量的方向余弦.由于 ,有下列转换公式:(coscoscos)PdydzQdzdxRdxdyPQRdScos,cos,cos(,)M x y zcosdydzdScosdzdxdScos
25、dxdydScos(,)(,)cos(,)cosP x y z dydzP x y zdSP x y zdxdycos(,)(,)cosQ x y z dzdxQ x y zdxdy若 ,则此时,计算第二型曲面积分也可以将三个积分合起来只投影到一个坐标面，计算一个二重积分。上(,)zz x y22cos1xxyzzz22cos1yxyzzz221cos1xyzz(,)(,)xP x y z dydzP x y zz dxdy dxdyzzyxQdxdzzyxQy ,三.平面上对坐标的曲线积分与二重积分的关系 格林公式 设闭区域 由分段光滑的曲线 围成，函数 在 上有一阶连续偏导数，则 取正向.
26、DL(,),(,)P x y Q x y()LDQPPdxQdydxdyxy正LD四.曲面积分与三重积分的关系 高斯公式 设空间闭区域 是由分片光滑的闭曲面 所围成,函数 在 上有一阶连续偏导数,则(,),(,),(,)P x y z Q x y z R x y z()PQRPdydzQdzdxRdxdydVxyz外五.空间第一型曲线积分与第二型的曲面积分的关系-斯托克斯公式 设 为分段光滑的空间有向闭曲线，为以 为边界的分片光滑的有向曲面,的正向与 的侧符合右,手系,函数 在包含曲面 在内的一个空间区域内有一阶连续偏导,则当 时，得出格林公式.(,),(,),(,)P x y z Q x y
27、 z R x y z()()()RQPRQPPdx Qdy Rdzdydzdzdxdxdyxyzxxy0z 曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件1.平面单连域内四个等价命题:设 在单连域 上有一阶连续偏导数,则下列四个命题是等价的:(1)(2)(3)与路径无关(只与的起点和终点有关)(4)在 内存在 ,使得 (是全微分 的原函数）(,),(,)P x y Q x yDPQyx(,)x yD0LPdxQdy LPdxQdyD(,)u x yduPdxQdy(,)u x yPdxQdy2原函数 的求法（二种方法）（1）选择平行于坐标轴的折线作曲线积分：或(,)u x y000(,)(,
28、)(,)(,)(,)M x yMxyu x yP x y dxQ x y dy0M AAMPdxQdy000(,)(,)xyxyP x y dxQ x y dy0000(,)(,)(,)yxyxM BBMu x yPdxQdyQ xy dyP x y dx0MMAxyoB(2)不定积分法：因 故由 有 (*)其中 为待定函数,由此得又 满足 故求出 ,代入(*),即得 .(,)(,)duP x y dxQ x y dy(,)uP x yx(,)uQ x yy(,)uP x yx(,)(,)()u x yP x y dxy()y(,)()uP x y dxyyyu(,)uQ x yy(,)()(
29、,)P x y dxyP x yy()y(,)u x y梯度梯度,散度与旋度散度与旋度.一.梯度设 具有一阶连续偏导数,则称向量为函数的梯度.(,)uu x y zgradu,uuuxyz二.散度 设向量场 其中 具有一阶连续偏导数,则称 为向量场的散度.物理意义：稳定流动的不可压缩流体在点 的源头强度即在单位时间、单位体积内所产生的流体质量.为负数表示点 处流体在消失.(,)(,),(,),(,)A x y zP x y z Q x y z R x y z,P Q RPQRdivAxyz MdivM三.旋度.设向量场 ,其中 具有一阶连续偏导数,则称向量,AP Q R,P Q R(),(),()RQPRQProtAyzzxxy 为向量场的旋度.可记为ijkrotAxyzPQR
