1、1第1页，共59页。课程说明及考核办法 课程说明课程说明 面向通信学院的必修课，面向通信学院的必修课，40学时学时.周学时周学时3，实际授课，实际授课13次左右次左右.学时所限，基本上按教材内容授课学时所限，基本上按教材内容授课.考核办法考核办法 课程结束后，统一组织考试课程结束后，统一组织考试.成绩为百分制，无平时成绩成绩为百分制，无平时成绩.2第2页，共59页。第一章 复数与复变函数 本章主要内容本章主要内容 复数的概念；复数的概念；复数的性质，运算；复数的性质，运算；复平面点集及区域；复平面点集及区域；复变函数的定义、极限、连续复变函数的定义、极限、连续.3第3页，共59页。第一节 复数
2、极其几何表示 复数的概念复数的概念 由实数由实数 x、y 和和虚数单位虚数单位 i 构成的数构成的数 z=x+i y 称为称为复数复数(Complex number).全体复数记为全体复数记为C.i 称为称为虚数单位虚数单位，i 2=1.x 称为复数的称为复数的实部实部，记为，记为 x=Re(z)y 称为复数的称为复数的虚部虚部，记为，记为 y=Im(z)4第4页，共59页。y 0 时，又称时，又称z=x+i y为为虚数虚数，若同时若同时x=0 称称z=i y 为为纯虚数纯虚数.y=0 时，称时，称 z=x 为为实数实数.R C.两个复数相等是指它们的实部与虚部两个复数相等是指它们的实部与虚部
3、 分别相等分别相等.（与向量相等定义相同）（与向量相等定义相同）与实数不同，一般来说，任意两个复与实数不同，一般来说，任意两个复 数不能比较大小数不能比较大小.（同向量的定义）（同向量的定义）复数的历史复数的历史(参考参考)5第5页，共59页。从复数从复数 z=x+i y 的定义可知，复数是的定义可知，复数是 由一对有序实数由一对有序实数(x,y)惟一确定的惟一确定的.于是可建立全体复数和于是可建立全体复数和xOy平面上的全平面上的全 部点之间的一一对应关系部点之间的一一对应关系.),(i:2yxyxzRC 称称 xOy 平面的平面的x 轴为轴为实轴实轴，y 轴为轴为虚轴虚轴.把和复数建立了一
4、一对应关系的平面称把和复数建立了一一对应关系的平面称 为为复平面复平面或或 z 平面平面.复数的几何表示复数的几何表示6第6页，共59页。在复平面上，把复数在复平面上，把复数 z=x+iy 和平面和平面 点点P(x,y)当作同义语。当作同义语。复数复数 z=x+i y 还可以用以原点为起点还可以用以原点为起点,P(x,y)为终点的向量为终点的向量 来表示来表示.OP 向量的长度称为向量的长度称为 z 的的模模或或绝对值绝对值.22|yxrz 7第7页，共59页。当当z 0时，向量时，向量 与正实轴的夹角称与正实轴的夹角称 为复数的为复数的辐角辐角，记为，记为 则有则有OP.ArgzxyArgz
5、 )tan(当当z 0时，若时，若 1为复数为复数 z 的一个辐角，的一个辐角，则则 1+2n 也是复数也是复数 z 的辐角，因此，的辐角，因此，任何一个复数任何一个复数 z 0 都有无穷多个辐都有无穷多个辐 角，记为角，记为).,2,1,0(21 nnArgz 当当z=0时时,z=0，辐角不确定，辐角不确定.8第8页，共59页。满足满足 的辐角的辐角 0称为称为Arg z的的 主值主值，记作，记作 0=arg z.于是有于是有 0).,(argArg2102 nnzz 复数的三角表示式与指数表示式复数的三角表示式与指数表示式 利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系,sin,co
6、s ryrx )sini(cosi ryxz称为复数称为复数 z 的的三角表示式三角表示式.9第9页，共59页。利用利用欧拉公式欧拉公式：又可以得到又可以得到 sinicosi e i)sini(cosrerz 称为复数的称为复数的指数表示式指数表示式.复数的各种表示法可以相互转换，可复数的各种表示法可以相互转换，可 根据需要使用不同的复数表示式根据需要使用不同的复数表示式.10第10页，共59页。复数的运算复数的运算 加法和减法加法和减法两个复数两个复数 ，111yxzi 222yxzi )(i)(212121yyxxzz 乘法乘法),i()-()i)(i(12212121yxyxyyxxy
7、xyxzz 221121复数运算方法与多项式复数运算方法与多项式(运算律运算律)相同相同.11第11页，共59页。共轭复数共轭复数称称 为为 的的共轭复数共轭复数yxzi yxzi 共轭复数有下列性质共轭复数有下列性质z 与与 关于实轴对称关于实轴对称.z2121zzzz 2121zzzz)0(22121 zzzzz22222ImReyxzzzzz zz 12第12页，共59页。zzzRe2 zzzImi 2 )(i )i)(i()i)(i(ii02222221122222212122222211221121 zyxyxyxyxyyxxyxyxyxyxyxyxzz复数除法复数除法 为实数为实数
8、zzz 13第13页，共59页。复数三角表示式与指数表示式的积商复数三角表示式与指数表示式的积商 设有两个非零复数设有两个非零复数 z1、z2.111111 i)sini(coserrz 222222 i)sini(coserrz 乘法乘法)(iii2121212121 errererzz)sinicos21212121 （）（rrzz14第14页，共59页。定理定理 两个复数乘积的模等于它们模的两个复数乘积的模等于它们模的 乘积乘积,两个复数乘积的辐角等于它们辐两个复数乘积的辐角等于它们辐 角的和角的和.2121 zzzz 2121zzzzArgArg)(Arg 注意注意 由于辅角的多值性，
9、上式中的等式是两由于辅角的多值性，上式中的等式是两个无限集合意义下的相等，即对于个无限集合意义下的相等，即对于Arg(z1z2)的任的任一值，一定有一值，一定有Argz1及及Argz2的各一值与之对的各一值与之对应，使得等式成立；反过来也是一样应，使得等式成立；反过来也是一样.15第15页，共59页。除法除法 )isin()cos()(iii1212121212121212 rrerrererzz1212 zzzz 定理定理 两个复数商的模等于它们模的商，两个复数商的模等于它们模的商，两个复数商的辐角等于它们辐角的差两个复数商的辐角等于它们辐角的差.1212zzzzArgArgArg 16第1
10、6页，共59页。复数的幂复数的幂)sini(cos nnrznn nininsincos)sin(cos 上式又称为上式又称为棣莫弗公式棣莫弗公式(r=1).)sin(i)cos()sini(cos)sini(cos nnrnnrzznnnn 001(n为整数为整数)17第17页，共59页。复数的方根复数的方根若复数若复数 wn=z，则称复数，则称复数 w 为为 z 的的 n次次方根，记为方根，记为 .设设nzw )sini(cos rz)sini(cos w)sini(cos)sini(cos rnnnnkknrn 2 2,1 则有则有18第18页，共59页。)1,1,0()2sini2(c
11、os1 nknknkrzwnn 复数复数 w 为为 z 的的 n次方根为次方根为 可得到可得到n个不同的值，在几何上，个不同的值，在几何上，这这n个值是以原点为中心，个值是以原点为中心，为半径的为半径的 圆的内接正圆的内接正n边形的边形的n个顶点个顶点.nznr119第19页，共59页。例题例题已知已知 ，求，求z 的值的值.0i14 z)4sini4(cos2i14 z解解)3,2,1,0(424sini424cos28 kkkz列出各值列出各值(略略)20第20页，共59页。求方程求方程 的根的根.014 z解解sinicos14 z41 z)3,2,1,0(42sini42cos kkk
12、列出各值列出各值(略略)21第21页，共59页。复球面及无穷大复球面及无穷大 复球面复球面(参见教材，引入参见教材，引入惟一无穷远点惟一无穷远点)无穷远点与无穷大无穷远点与无穷大 复平面上，与原点距离为无穷大的点，复平面上，与原点距离为无穷大的点，我们称之为我们称之为“无穷远点无穷远点”，记为，记为.关于无穷远点，我们规定其实部、虚关于无穷远点，我们规定其实部、虚 部、辐角无意义，并且规定，部、辐角无意义，并且规定，复平面上复平面上 有有惟一惟一的的“无穷远点无穷远点”，.|复平面加上无穷远点称为复平面加上无穷远点称为扩充复平面扩充复平面.22第22页，共59页。第二节 复变函数区域的概念区域
13、的概念 邻域邻域 复平面上，以复平面上，以 z0 为中心，以为中心，以 0为半径为半径的圆的内部的点的集合的圆的内部的点的集合称为点称为点z0的一个的一个邻域邻域 0 zz这里讲的定义这里讲的定义,本质上与高数中的相同本质上与高数中的相同.23第23页，共59页。内点与开集内点与开集设设G为一点集，为一点集，z0为为G中的任意一点中的任意一点.若存在点若存在点 z0 的一个邻域完全包含在的一个邻域完全包含在G内，则称内，则称 z0 为为G的的内点内点.若若G内的每个内的每个点都是它的内点，则称点都是它的内点，则称G为为开集开集.区域区域设点集设点集D满足下列两个条件：满足下列两个条件：D是开集
14、是开集；D是连通的是连通的，即，即D中任何两点都可以用中任何两点都可以用一条完全属于一条完全属于D的折线连接起来的折线连接起来.则称则称D为一个为一个区域（连通的开集）区域（连通的开集）.24第24页，共59页。与区域相关的几个概念与区域相关的几个概念设设D为一个区域，若点为一个区域，若点P的任意邻域内，的任意邻域内，既有属于既有属于D的点，也有不属于的点，也有不属于D的点，的点，则称则称P为为D的的边界点边界点.区域区域D与它的边界一起构成与它的边界一起构成闭区域闭区域或闭或闭 域，记作域，记作 .DD的所有边界点称为的所有边界点称为D的的边界边界.若存在正数若存在正数M,使区域使区域D的每
15、个点的每个点 z 都满都满 足足 ，则，则D称为称为有界区域有界区域，否则称，否则称 为为无界区域无界区域.Mz 25第25页，共59页。区域举例区域举例圆盘圆盘|z z0|r 是无界区域，又是是无界区域，又是无穷远无穷远 点的一个邻域点的一个邻域.26第26页，共59页。若若 x(t)和和 y(t)是两个连续实变函数，则是两个连续实变函数，则 x=x(t)，y=y(t)(a t b)代表一条代表一条平面连续曲线平面连续曲线.如果令如果令平面曲线的概念平面曲线的概念)()(i)()(btatytxtzz 那么这条曲线就可以用一个方程来表那么这条曲线就可以用一个方程来表示，称为平面曲线的示，称为
16、平面曲线的复数表示式复数表示式.27第27页，共59页。若在若在a t b上上 都是连续的都是连续的,且且 ,则称此曲线则称此曲线 为为光滑曲线光滑曲线.)()(tytx 和和0)()()(ty itxtz由几段光滑曲线连接而成的曲线称为由几段光滑曲线连接而成的曲线称为按按 段光滑曲线段光滑曲线.曲线曲线C:z=z(t)(a t b)为一条连续曲为一条连续曲 线，线，z(a)与与z(b)分别是分别是C 的的起点起点和和终点终点.对于满足对于满足a t1 0,存在存在0，当当0 z z0 时，有时，有 Azf)(则称则称A为为f(z)当当z 趋向于趋向于z0时的极限时的极限,记作记作 Azfzz
17、)(lim036第36页，共59页。应该注意，定义中应该注意，定义中z 趋向于趋向于z0的方式是的方式是 任意的，即不论任意的，即不论 z 从什么方向，以何从什么方向，以何 种方式趋向于种方式趋向于z0，f(z)都要趋向于同一都要趋向于同一 个常数个常数 A.37第37页，共59页。极限的计算定理极限的计算定理 Azfzz)(lim000000i,i),(i),()(yxzvuAyxvyxuzf 设设则则0),(lim00uyxuyyxx 0),(lim00vyxvyyxx 定理的证明略定理的证明略(一个复变函数的极限是一个复变函数的极限是 两个二元实变函数的极限两个二元实变函数的极限).38
18、第38页，共59页。实变函数中关于极限的运算法则，对于实变函数中关于极限的运算法则，对于复变函数来说也成立复变函数来说也成立.极限的运算法则极限的运算法则 定理定理:若若 ,Azfzz)(lim0Bzgzz)(lim0;)()(lim0BAzgzfzz ;)()(lim0ABzgzfzz).0()()(lim0 BBAzgzfzz39第39页，共59页。复变函数的连续性复变函数的连续性 若若 ，则称，则称f(z)在在 z0处处连续连续，若若f(z)在区域在区域D内内处处连续处处连续，则称，则称f(z)在在D内内连续连续.）0()(lim0zfzfzz 处连续的充要条件是处连续的充要条件是 在在
19、(x0,y0)处连续处连续.000),(),()(iyxzyxivyxuzf 在在),(),(yxvyxu和和40第40页，共59页。连续函数的和、差、积、商为连续函数连续函数的和、差、积、商为连续函数.连续函数的复合函数为连续函数连续函数的复合函数为连续函数.函数函数f(z)在曲线在曲线C上上 z0 点处连续是指点处连续是指 Czzfzfzz )()(lim00在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段 上连续的函数上连续的函数 f(z),在曲线上是在曲线上是有界有界的，的，即存在一正数即存在一正数M，在曲线上恒有，在曲线上恒有 Mzf)(41第41页，共59页。第
20、二章 解析函数 本章主要内容本章主要内容 复变函数的导数；复变函数的导数；解析函数的概念；解析函数的概念；函数解析的充要条件；函数解析的充要条件；初等函数初等函数.42第42页，共59页。第一节 解析函数的概念复变函数的导数复变函数的导数设函数设函数 w=f(z)定义在区域定义在区域 D内，内，z0与与 z0+z 均是均是 D内的点内的点.若极限若极限 zzfzzfz )()(lim000存在，则称存在，则称 f(z)在在 z0可导可导，这个极限值，这个极限值称为称为f(z)在在 z0的的导数导数，记作，记作)(0zf zzfzzfzwzfzzz )()(limdd)(00000 43第43页
21、，共59页。注意，复变函数的导数的定义，虽然注意，复变函数的导数的定义，虽然 在形式上和实变函数的导数的定义类在形式上和实变函数的导数的定义类 似似,但实质上却有很大的差别但实质上却有很大的差别.在复变函数的导数的定义中，在复平在复变函数的导数的定义中，在复平 面上面上 z 0 方式是方式是任意的任意的；而在一元；而在一元 实变函数的导数定义中，只要求实变函数的导数定义中，只要求 x在在 实轴上沿左与右两个方向趋于零实轴上沿左与右两个方向趋于零.因此因此 复变函数的导数要求更严格复变函数的导数要求更严格.若若f(z)在区域在区域D内处处可导，则内处处可导，则f(z)称称 在在D内内可导可导.4
22、4第44页，共59页。例题例题求求 f(z)=z2 的导数的导数.解解zzfzzfzfz )(lim)(0）（zzzz2)2(lim0 zzzzz 220)(lim45第45页，共59页。对于复平面内的任意一点对于复平面内的任意一点 z zzfzzfzfz )(lim)(0）（zzzzzzzzzz 00limlimyixyixzzzz 00limlim由于上式的极限不存在，函数不可导由于上式的极限不存在，函数不可导.函数的函数的 f(z)=的导数是否存在？的导数是否存在？z46第46页，共59页。现在以两种特殊方式让现在以两种特殊方式让 z 0，分别，分别计算极限值计算极限值.当当z+z 沿沿
23、 x 轴方向趋于轴方向趋于z 时，时，即即 x 0,y=0时，则时，则 当当z+z 沿沿 y 轴方向趋于轴方向趋于z 时，时，即即 x=0,y 0时，则时，则 1limiilim00 xxyxyxxz 1iilimiilim00 yyyxyxyz 47第47页，共59页。复变函数可导与连续的关系复变函数可导与连续的关系和一元实变函数一样，若函数和一元实变函数一样，若函数w=f(z)在在z0处的可导，则处的可导，则f(z)在在z0处必连续处必连续.证明证明 由导数的定义有由导数的定义有 zzfzzfzfz )()(lim)(0000)()()()(000zfzzfzzfz 令令48第48页，共5
24、9页。)()(lim000zfzzfz 从而从而zzzzfzfzzf )()()()(000 因此因此)()()()(000zfzzfzzfz 令令即即 f(z)在在z0处连续处连续.49第49页，共59页。复变函数的求导公式复变函数的求导公式由于复变函数导数的定义与一元实变函由于复变函数导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全相同，而数中导数的定义在形式上完全相同，而 且极限的运算法则也相同且极限的运算法则也相同.因而实变函数中的求导法则都可以推广因而实变函数中的求导法则都可以推广 到复变函数中来到复变函数中来.现将几个求导法则罗列于下现将几个求导法则罗列于下0)(C1)(nnnz
25、z50第50页，共59页。)()()(z)(zgzfzgf )()()()()(z)(zgzfzgzfzgf )()()()()()()(2zgzgzfzgzfzgzf ).(),()()(zgwzgwfzgf 其中其中)(1)(wzf w=f(z)与与z=(w)是互是互为反函数的单值函数为反函数的单值函数.51第51页，共59页。解析函数的概念解析函数的概念 若函数若函数 w=f(z)在在 z0 的的某邻域内某邻域内处处可处处可 导，则称导，则称 f(z)在在 z0 处解析处解析.若若f(z)在区域在区域D内处处可导，则称内处处可导，则称f(z)在在 D内解析或称内解析或称f(z)是是D内的
26、内的解析函数解析函数.函数在区域内解析与在区域内可导是两函数在区域内解析与在区域内可导是两 个等价的概念个等价的概念.函数在一点处解析和在一点处可导是两函数在一点处解析和在一点处可导是两 个不等价的概念个不等价的概念.函数在一点处可导，函数在一点处可导，不一定在该点处解析不一定在该点处解析.52第52页，共59页。若若f(z)在在 z0 处不解析，则称点处不解析，则称点 z0 为函数为函数 w=f(z)的的奇点奇点 函数解析性举例函数解析性举例函数函数 f(z)=z2在复平面上处处可导，所在复平面上处处可导，所 以在复平面上是解析的以在复平面上是解析的.函数函数 f(z)=在复平面上处处不可导
27、，在复平面上处处不可导，所以在复平面上处处不解析所以在复平面上处处不解析.z53第53页，共59页。讨论函数讨论函数 f(z)=z 2 解析性解析性.zzfzzf )()(22zzzz zzzzzzz )(zzzzz 因为因为 54第54页，共59页。若若z=0，则当，则当 z0时上式的极限为零时上式的极限为零.zzzzzzfz0lim)(若若z 0，令，令 z沿直线沿直线 y=k x 趋于零趋于零,则则yxyxzz ii i1i1iikkxkxxkx 由由 k 的任意性可知的任意性可知,上式不趋于一个确上式不趋于一个确定的值，即当定的值，即当 z0时，极限不存在时，极限不存在.55第55页，
28、共59页。所以函数所以函数 f(z)=z 2只在只在z=0处可导，处可导，而在其它点不可导而在其它点不可导.由解析的定义，它由解析的定义，它 在复平面内处处不解析在复平面内处处不解析.因为因为 w 在复平面内除在复平面内除 z=0 外处处可导外处处可导 讨论函数讨论函数 w=解析性解析性.z121ddzzw 所以函数除所以函数除z=0 外处处解析；外处处解析；而而z=0是它的奇点是它的奇点.56第56页，共59页。解析函数的运算解析函数的运算根据求导法则，不难证明如下结论根据求导法则，不难证明如下结论两个解析函数的和、差、积、商两个解析函数的和、差、积、商(除去除去 分母为零的点分母为零的点)都是解析函数都是解析函数.解析函数的复合函数仍是解析函数解析函数的复合函数仍是解析函数.由上述结论可知由上述结论可知所有多项式在复平面内是处处解析的所有多项式在复平面内是处处解析的.57第57页，共59页。任意一个有理分式函数任意一个有理分式函数(多项式的商多项式的商)在分母不为零的点处是解析的在分母不为零的点处是解析的.使分母为零的点是它的奇点使分母为零的点是它的奇点.58第58页，共59页。59第59页，共59页。
