1、第1页，共33页。问题问题:(1)如何描述微观粒子的状态如何描述微观粒子的状态？(2)微观粒子的状态变化时应微观粒子的状态变化时应 遵循什么样的运动规律遵循什么样的运动规律？()()ip rEti k rtAeAe 第2页，共33页。量子力学与经典力学量子力学与经典力学第3页，共33页。2 薛定谔方程经典力学中，体系运动状态随时间的变化遵循牛顿力学。和经典力学类似，我们也应建立一个决定 随 变化规律的方程式。从物理上，这个方程式必须满足下述条件：(,)r ttI.由于波函数满足态叠加原理，而态叠加原理对任何时间都成立，因此描述波函数随时间变化的方程应该是线性方程。II.方程的系数仅含有质量、电
2、荷等内禀量，不应含有和个别粒子运动状态特定性质有关的量，如动量。第4页，共33页。2 薛定谔方程、因为波函数 的自变量是 ，因此它必然是关于 和 的偏微分方程。、由于经典力学是量子力学的极限情况，因此这个方程必须满足对应原理对应原理，当 时，它能过渡到牛顿方程。、对于自由粒子，这个方程的解应该是平面波。,r trt0h第5页，共33页。2.薛定谔方程 方程的寻找 对平面波式 分别对 和 求微商后得：由上两式可以看出能量与动量作用在波函数上的结果与算符 及 作用在波函数上的结果相同，即存在对应关系：()()ip rEti k rtAeAe rt2.1iEt2222.2p;2.3Eipit iti
3、 第6页，共33页。2.3薛定谔方程 1926年，薛定谔推广上述规则到一般情况，找到了描述波函数演化规律的薛定谔方程，设单个粒子体系的哈密顿量为：得到薛定谔方程：22(,)2HU r tm 22(,)2iU r tHtm 第7页，共33页。2.3 薛定谔方程A.薛定谔方程式量子力学的基本假设之一，但必须指出，我们并未建立薛定谔方程，因为只知道微分方程的解是不足以建立微分方程的。A.以上对应关系式（2.3）式，只是在直角坐标系中的对应关系，在其他坐标系中不一定成立。22(,)2iU r ttm 第8页，共33页。2.3 薛定谔方程下面我们讨论一下定态情况：若 不显含时间 ，则薛定谔方程可用分离变
4、量法求解，此时可令：Ut(,)()()2.4r tr f t221()2idfU rf dtm将上式代入薛定谔方程并用 遍除等式两边，可得：()()r f t第9页，共33页。显然上式左边只和 有关，右边只和 有关，故两边都只能等于一个常数，用 表示这个常数，有trE2.5dfiEfdt22()2.62U rEm和上式可改写为：222()()02.7mrEU r此即定态薛定谔方程定态薛定谔方程。第10页，共33页。2.3 薛定谔方程方程（2.5）的解可直接给出为()iEtf tce代入 （2.4）并将 吸收入 中去，并有归一化条件来确定，有 c()r(,)()2.8iEtr tr e又具有这种
5、形式的波函数描述的状态称为 。定态而满足 (2.8)式的波函数 和 ，(,)r t()r称为定态波函数定态波函数。2.5dfiEfdt第11页，共33页。2.薛定谔方程以 表示体系的能量算符的第 个本征值，是与 相应的波函数，则体系的第 个定态波函数是nEnnnnE(,)()niEtnr tr e含时的薛定谔方程的一般解，可以写成这些定态波函数的线性叠加：(,)()niEtnnnr tcr e第12页，共33页。一维势阱问题一维势阱问题粒子粒子势能势能 满足满足边界边界条件条件pEpEaxxEax,0,0,0p (1)是固体物理金属中自由电子的简化模型；是固体物理金属中自由电子的简化模型；(2
6、)数学运算简单，量子力学的基本概念、数学运算简单，量子力学的基本概念、原理在其中以简洁的形式表示出来原理在其中以简洁的形式表示出来.3.一维定态问题讨论pEaxo第13页，共33页。),0(,0axxaxxE,0,p228hmEk axE0,0p08dd2222hmEx0dd222kxpEaxo第14页，共33页。kxBkxAxcossin)(0dd222kx波函数的波函数的标准条件：标准条件：单值、有限和连续单值、有限和连续.0,0,0BxkxAxsin)(pEaxo第15页，共33页。,0sinnkaka228hmEk 2228mahnE,3,2,1,nank量子数量子数0sin,kaAa
7、x0sinkapEaxo第16页，共33页。kxAxsin)(xanAxsin)(,3,2,1,nank 归一化归一化条件条件1dd0*2xxa1dsin022xxanAaaA2pEaxo第17页，共33页。)0(,sin2)(axxanaxkxAxsin)(ankaA2得得08dd2222hmEx 波动方程波动方程pEaxo第18页，共33页。xanaxsin2)(22 概率密度概率密度2228mahnEn 能量能量)0(,sin2axxana)(x),0(,0axx 波函数波函数pEaxo第19页，共33页。a 粒子粒子能量能量量子化量子化讨论讨论1：基基 态态 能能 量量)1(,8221
8、nmahE2228mahnEn 能能 量量 激发态激发态能量能量),3,2(,812222nEnmahnEn 一维无限深方势阱中粒子的一维无限深方势阱中粒子的能量能量是是量子化量子化的的.pEaxo第20页，共33页。b 粒子在粒子在势阱中各处势阱中各处出现的出现的概率密度概率密度不同不同概率密度概率密度)(sin2)(22xanaxxanaxsin2)(波波 函函 数数 例如，当例如，当 n=1时，时，粒子在粒子在 x=a/2处出现的处出现的几率最大几率最大第21页，共33页。c 波函数为波函数为驻波形式驻波形式，阱壁处为波节，波，阱壁处为波节，波腹的个数与量子数腹的个数与量子数 n 相等相
9、等0 xa1n2n3n4nn2nxanAxsin)(xanaxsin2)(220pEa16E19E14E1E10 x第22页，共33页。tEinnnex txY)(),(tinexanapnp2)sin(2驻波驻波？A)A)考虑考虑 时间因子时间因子 是沿是沿 x 轴正向、负向传播的波，形成轴正向、负向传播的波，形成 驻波驻波。两端为波节。只有某些波长的波才能形成驻波。两端为波节。只有某些波长的波才能形成驻波。n的取值不同的取值不同,能量不同，腹的数目不同。波腹的能量不同，腹的数目不同。波腹的数目等于数目等于 n的数目。的数目。a 为半波长的整数倍为半波长的整数倍.ieeii2sinqqq讨论
10、讨论2 2：第23页，共33页。B)束缚态与扩展态束缚态与扩展态:束缚态束缚态:在在 r 波函数为零的状态称为束缚态波函数为零的状态称为束缚态.n(x)=0 （x 0 x a)xanAx npsin)(束缚态束缚态扩展态扩展态:如对自由粒子的波函数如对自由粒子的波函数)(0),(xpEtixetrYY有有:常数YY202),(tr因此一般有因此一般有:0),(2Yxtr所以自由粒子的状所以自由粒子的状态为态为扩展态扩展态.第24页，共33页。可以证明对势阱可以证明对势阱的势能函数为的势能函数为:axxU-a0)(a xxxU 或或-a)(势阱宽度势阱宽度2a的一维无限深势阱中粒子其定态波函数为
11、的一维无限深势阱中粒子其定态波函数为:)(2sin1)(axanaxnYpD)宇称宇称:222122022xxxphhxapExamphEEmma C)基态能量与测不准关系基态能量与测不准关系:第25页，共33页。该波函数具有下列性质该波函数具有下列性质:当当n n 为偶数时为偶数时:当当n n 为奇数时为奇数时:xxnnYY xxnnYY这来源于势函数这来源于势函数U(x)U(x)对对x=0 x=0处的对称性处的对称性U(x)=U(-x)U(x)=U(-x)宇称算符宇称算符:xxPYYP P称为宇称算符称为宇称算符.以以P P表示把表示把X X变为负变为负X X的运算的运算,则有则有:P P
12、的本征值的本征值:由由 )(2xxPxPYYY知知 P P2 2的本征值为的本征值为1,1,因此因此 P P的本征值为的本征值为+1+1或或-1,-1,即有即有:xxP11YY xxP22YY偶宇称偶宇称 奇宇称奇宇称 第26页，共33页。量子力学处理问题的基本步骤：量子力学处理问题的基本步骤：1)写出哈密顿量及哈密顿算符写出哈密顿量及哈密顿算符.4)由初始条件和边界条件由初始条件和边界条件,并依据波函数的并依据波函数的 标准化条件的要求标准化条件的要求,求出能量本征值求出能量本征值.3)解出通解解出通解,其中包含待定常数其中包含待定常数:能量本征值及一些待定常数能量本征值及一些待定常数.5)
13、求出与本征值相应的本征波函数求出与本征值相应的本征波函数.6)进行必要的讨论进行必要的讨论.2)建立薛定格方程建立薛定格方程.第27页，共33页。本节我们将进一步讨论粒子在一定区域内出现的几率将怎样随时间变化。设描述粒子状态的波函数是 ，在 时刻 在 点周围单位体积内粒子出现的几率是：几率密度随时间的变化率为：(,)r trt*(,)(,)(,)r tr tr t*ttt4.概率流密度与概率流守恒定律第28页，共33页。n由薛定谔方程及其共轭：212iUtmi*2*12iUtmi n可得：*22*()2()2.4.12itmim 4。概率流密度与概率流守恒定律第29页，共33页。4.概率流密度
14、与概率流守恒定律令：称为概率流密度，由（2.4.1）式得：（2.4.2）式就是概率流守恒定律。*()2iJm 02.4.2Jt第30页，共33页。4.概率流密度与概率流守恒定律对上式两边同时对任意空间体积 积分VVSddVJdSdt 这是概率流守恒定律的积分表示此式表明，在空间某体积 内发现粒子的概率在单位时间内的增量，必定等于在同一时间内通过 的边界 流入体积 的概率。VVVS第31页，共33页。4.概率流密度与概率流守恒定律A.若以粒子的质量 乘 和 ，则有：mJ2(,)mmmr t是在 时刻在点 的质量密度。rt*()2miJmJ 是质量流密度，满足：0mmJt即量子力学中的质量守恒定律第32页，共33页。4.概率流密度与概率流守恒定律B.同样，以粒子电荷 乘 和 后，得到是电流密度，eJee是电荷密度，eJeJNoImage方程 是量子力学中的电荷守恒定律。0eeJt第33页，共33页。
