1、2022-7-301第二章 z变换n2.1 引言n2.2 z变换的定义及收敛域n2.3 z反变换n2.4 z变换的基本性质和定理n2.5 z变换与拉普拉斯变换、傅立叶变换的关系 n2.6 序列的傅里叶变换n2.7 傅里叶变换的一些对称性质n2.8 离散系统的系统函数及频率响应2022-7-3022.1 引言信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。一、时域分析法 1.连续时间信号与系统 信号的时域运算，时域分解，经典时域分析法，近代时域分析法，卷积积分。2.离散时间信号与系统 序列的运算，卷积和，差分方程的求解。2022-7-303二、变换域分析法 1.连续时间信号与系统：信号与系统的频域分析、
2、复频域分析。2.离散时间信号与系统：Z变换，DFT(FFT)。Z变换可将差分方程转化为代数方程。2022-7-3042.2 z变换的定义及收敛域一、z变换定义：序列x(n)的z变换定义如下：nnznxnxZzX)()()(其中，z为变量，z变换将一个无限长的序列x(n)变成了z的代数式X(z)。如果x(n)和X(z)是线性变换的，则X(z)包含了x(n)的全部信息。x(n)和X(z)在什么时候是线性变换？X(z)收敛时。2022-7-305二、z变换的收敛域 1.定义：使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的 集合称作X(z)的收敛域.2.收敛条件：X(z)收敛的充要条件是绝对可和。绝对
3、可和。Mznxnn)(即：2022-7-3063.一些序列的收敛域 回顾阿贝尔定理:对于负指数幂级数存在满足的z级数必绝对收敛。|z-|为最小收敛半径。0)(nnznxzz（圆外所有区域）2022-7-307同样，对于正指数幂级数存在满足 0|z|z+|的z级数必绝对收 敛。|z+|为最大收敛半径。（圆内区域）0)(nnznx2022-7-308（1）有限长序列nnnnnxnx其他,0),()(21;)(,)()(2121nnnznxznxzXnnnnn，若每一项有界，;)(21nnnznxn，是有界的，必有考虑到2022-7-309;)(21nnnznxn，是有界的，必有考虑到平面”。即所谓
4、“有限，外的开域也就是除，域是所以有限长序列的收敛，则只要时，同样，当，则只要时，因此，当zzzzzzzznzzzznnnnnnn),0(,00,00,/102022-7-3010在特殊情况下，收敛域可能扩大：znzn000(021），（反因果的有限长序列因果的有限长序列），2022-7-3011（2）右边序列 是指在 时，x(n)有值，而在 x(n)=0的序列。11,0),()(nnnnnxnx1)()(nnnznxzX*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,101)()(nnnnnznxznx1nn 1nn 2022-7-30121)()(nnnznxzX101)()(nnnnnznx
5、znx收敛域:z0zRx所以：右边序列的收敛域为：zRx（圆外，但不包括无穷远处）2022-7-3013 特殊情况还可扩大：因果序列：它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔 定理可知收敛域为：zRx0,00),()(nnnxnx（圆外，且包括无穷远处）2022-7-3014（3）左边序列 是指在 时，x(n)有值，而在 x(n)=0的序列。22,0),()(nnnnnxnx2nn 2nn 210)()(nnnnnznxznx*第一项为z的正幂级数，第二项为有限长序列2)()(nnnznxzX2022-7-3015210)()(nnnnnznxznx2)()(nnnznxzX收敛域:xRz0 z0所
6、以：左边序列的收敛域为：（圆内，但不包括0）xRz02022-7-3016特殊情况还可扩大：反因果序列：收敛域为：xRz0,00),()(nnnxnx（圆内，且包括0）2022-7-3017（4）双边序列 是指n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。01)()()()(nnnnnnznxznxznxzX2022-7-301801)()()()(nnnnnnznxznxznxzX收敛域:xRz0zRx所以：双边序列的收敛域为：xxRzR（环域）2022-7-3019 归纳：几种序列的收敛域及特例收敛域特殊情况收敛域有限长序列右边序列因果序列左边序列反因果序列双边序列 当 不
7、收敛 z0znzn000021，zRxzRxxRz0|xRzxxRzRxxRR2022-7-30202022-7-30212022-7-30222022-7-3023例2-1:求序列的Z变换及收敛域。解：这相当时的有限长序列，021 nn)()(nnx1)()(0ZZnnZnn其收敛域应包括即充满整个Z平面。,0zz,0 z2022-7-30242022-7-3025例2-2:求序列 的Z变换及收敛域。解：)()(nuanxnnnnnnnazazazazznuazX)()(1)()()(121101这是无穷等比级数,公比是 ，在什么情况下收敛？1 azq|,1|1azaz即azazzazzX,
8、11)(1所以：2022-7-3026azazzazzX,11)(1 使z变换的分母等于0的z的值，称为z变换的极点。本例，极点为 。az 收敛域内不能有极点。或收敛域以极点为边界。因果序列的收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。2022-7-3027例2-3:求序列 z变换及收敛域。解：)1()(nubnxnnnnnnnnnzbzbznubnx)()1()(111bzbzzzbzbzX,1)(11反因果序列的收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。本例，极点为 。bz 2022-7-3028例2-4:求序列 z变换及收敛域。解：00)(nbnanxnn|,)()2()(01bzabzazbazza
9、zzbzzzazbzXnnnnnn双边序列的收敛域为环状区域,且以极点为边界。本例，极点为 。,az bz|a|b2022-7-3029附：00)(nbnanxnn)1()()(nubnuanxnn可写成：对复杂的序列，一般都分解成简单的序列，分别求其z变换和收敛域，然后综合。2022-7-3030常用z变换可写成公式形式：序列Z变换收敛域注意：只有z变换和它的收敛域两者在一起才和序列相对应。其它序列见p54：表2-1 几种序列的z变换)()(nnx,0 z)()(nuanxnazzzX)(az)1()(nubnxnbzzzX)(bz 1)(zX2022-7-3031回顾：2.2 z变换的定义及收敛域几种序列的收敛域及特例：收敛域特殊情况收敛域有限长序列右边序列因果序列左边序列反因果序列双边序列 当 不收敛 z0znzn000021，zRxzRxxRz0 xRzxxRzRxxRR2022-7-3032常用z变换可写成公式形式：序列Z变换收敛域注意：只有z变换和它的收敛域两者在一起才和序列相对应。其它序列见p54：表2-1 几种序列的z变换)()(nnx,0 z)()(nuanxnazzzX)(az)1()(nubnxnbzzzX)(bz 1)(zX
