1、1第四章 矩阵 1 1、矩阵概念的一些背景、矩阵概念的一些背景 矩阵是线性代数中最基本的概念之一，也矩阵是线性代数中最基本的概念之一，也是解决数学问题和实际问题的一个强有力的武是解决数学问题和实际问题的一个强有力的武器之一。器之一。-2第四章 矩阵 矩阵在密码学中的应用实例古罗马皇帝恺撒首先使用了这样一种密码：在保留明文中的大小写、空格及标点符号的前提下，把明文中的每一个字母转化为英文字母表中的第4个字母。人们为了纪念恺撒德，就把这种密码称为恺撒密码。但是恺撒密码有一个致命的缺陷，即每个字母与经过转化后的字母分别在明文和密文出现的频率是相通的。1929 年，Hill 提出了一种克服恺撒密码缺陷
2、的密码，该密码以矩阵变换的方法建立字母组间的对应关系，该方法的诞生从此使密码学进入了以数学方法处理问题的新阶段。-3第四章 矩阵 化学反应中方程式的配平是一个棘手的问题，但是有一类方程式的配平利用矩阵来处理十分简洁方便。定义 化学反应中每一个化合物含有它们所有的每一种原子的个数，排列成的数字表称为化学反应矩阵。-4第四章 矩阵 定义1 由 个数排成的 行 列的数表nm mn njmiaij,2,1;,2,1 111212122212nnmmmnaaaaaaaaa称为 矩阵矩阵.nm 矩阵的定义简记为 .ijnmijnmaaAA ,m nA这个数称为 的元素 简称为元.-5第四章 矩阵 例1 3
3、4695301是一个 实矩阵,42 2222222613i是一个 复矩阵,33 例2 n维向量也可以看成矩阵的特殊形式：n维维行向量行向量就是就是1n矩阵；矩阵；n维维列向量列向量就是就是n1矩阵。矩阵。-6第四章 矩阵 设设A(aij)mn，B(bij)lk，如果，如果ml，nk，且，且对于对于i1,2,m；j1,2,n,都成立，都成立，称称AB。如 9532是一个 矩阵,41 421是一个是一个 矩阵矩阵,13 4是一个是一个 矩阵矩阵.11 例4ijija=b -7第四章 矩阵 2 2、矩阵的运算、矩阵的运算1、加法加法定义1设设 111212122212nnijsnsssnaaaaaa
4、Aaaaa 111212122212nnijsnsssnbbbbbbBbbbb -8第四章 矩阵 则则 111112121121212222221122ijijijsnsnnnnnsssssnsnCcabababababababababab 称为称为A和和B的的和和，记为，记为CA+B。注注 1）矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加。相加 的矩阵必须要有相同的行数和列数2）矩阵加法满足 结合律：A+(B+C)=(A+B)+C；交换律：A+B=B+A。-9第四章 矩阵 3）元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为Osn或或O。对于所有的矩阵A，都有A+OA。4）矩阵 称为矩阵A的负矩阵，记为-A。则有A+(
5、-A)O。111212122212nnsssnaaaaaaaaa5）矩阵的减法定义为 ABA(-B)6）秩(AB)秩(A)秩(B)-10第四章 矩阵 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例1 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 -11第四章 矩阵 引例 1 变量组之间的关系设有三组变量 x1,x2,x3,x4、y1,y2,y3、z1,z2，它们之间的关系分别为)1(.,3432421414333232131332322212123132121111yayayaxyayayaxyayayaxyayayax2、乘法
6、 -12第四章 矩阵 )2(,232131322212122121111zbzbyzbzbyzbzby求 x1,x2,x3,x4与 z1,z2之间的关系.把(2)代入(1)，得31kkikiyax2131jjkjkikzba2131jjkjikkzba3121kjkjikjzba -13第四章 矩阵 )3(.)4,3,2,1(3121izbajkkjikj如果用21)4()4,3,2,1(jjijiizcx来表示 x1,x2,x3,x4 与 z1,z2 之间的关系，比较(3)，(4)两式，就有)5(.)2,1;4,3,2,1(31jibackkjikij -14第四章 矩阵 设某地区有甲、乙、
7、丙三个工厂,每个工厂都产 品工 厂甲乙丙 20 30 10 45 15 10 70 2020 15 35 25产量(单位:个)如下表所示:生产、4种产品.已知每个工厂的年 -15第四章 矩阵 已知每种产品的单价(元/个)和单位利润(元/个)如下表所示:项 目产 品单 价单位利润 100 20 150 45 300 120 200 60求各工厂的总收入与总利润.-16第四章 矩阵 容易算出各工厂的总收入与总利润,也项 目工 厂总收入总利润甲乙丙 15500 5650 28000 10350 19750 6775本例中的三个表格可用三个矩阵表示,设,677519750103502800056501
8、5500602001203004515020100253515202070101545103020,C,BA可以列表如下:-17第四章 矩阵 定义21 1221nijijijinnjikkjkca ba ba ba b.ABC iksnAakjnmBbijsmCc设，那么矩阵其中称为A与B的乘积，记为例222263422142 C22 16 32 816?-18第四章 矩阵 注 1）两个矩阵相乘，必须第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等。2）计算法则：两个矩阵A与B乘积的第i行第j列的元素等于第一个矩阵A的第i行与第二个矩阵B第j列的对应元素乘积的和。3）矩阵乘法满足;AB CA BC（1）
9、结合律,A BCABAC;BC ABACA（2）分配律 -19第四章 矩阵 4）矩阵乘法不满足交换律，即一般来说ABBA例如 设 1111A 1111B则则,0000 AB,2222 BA.BAAB 故故5）矩阵乘法不满足消去律，即当 时，不一定有 ；ABACBC 因为由上例可以看到，两个不为零的矩阵的乘积可以是零。-20第四章 矩阵 100010001 定义3 主对角线上的元素全是1，其余元素全是0的nn矩阵称为n级单位矩阵，记为 ，简记为E。nE显然有snnsnssnsnA EAE AA特别的,如果 ,则称 可交换.ABBA,A B -21第四章 矩阵 11kkAAAA A定义4 设A是一
10、nn矩阵，则A的方幂定义为由乘法结合律有注 1）方幂只能对行数和列数相等的矩阵来定义。2）一般来说klk llkklA AAAAkkkABA B -22第四章 矩阵 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111若令若令,212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA,21nxxxX,21mbbbBAXB方程组变成方程组变成 -23第四章 矩阵 例3 设101211300514A 034121311121B则034101212111303110514121CAB 567102621710 -24第四章 矩阵 3、数量乘法数量乘法
11、定义5 矩阵111212122212nnmmmnkakakakakakakakaka()ijmnAakkA称为矩阵与数 的数量乘积，记作。注 1）用数k乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上k。2）数量乘法满足(1)kl AkAlA(2)k ABkAkB -25第四章 矩阵 (4)1AA(5)k ABkABA kB(6)kAkE AA kE(7)kElEkl E(8)kElEkl E(3);kl Ak lA定义矩阵000000kkkEk 通常称为数量矩阵。-26第四章 矩阵 4、转置定义6 设111212122212nnsssnaaaaaaAaaa11211122212ssnnnsnaaaaaaAa
12、aa 所谓A的转置就是指矩阵 -27第四章 矩阵 注 1）sn矩阵的转置是ns矩阵。2）矩阵的转置满足(1)AA(2)ABAB(3)ABB A(4)kAkA例如122458A1425;28A 18 6B18.6B -28第四章 矩阵 例4 已知已知,102324171,231102 BA.AB求解法1 102324171231102AB,1013173140 01714 133 10AB -29第四章 矩阵 解法2ABB A 213012131027241.1031314170 -30第四章 矩阵 3 3、矩阵乘积的行列式与秩、矩阵乘积的行列式与秩1、乘积的行列式乘积的行列式定理1 设A,B是
13、数域P上的两个nn矩阵，那么即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积。ABA B推论1 设 是数域P上的nn矩阵，于是1212mmA AAA AA12,mA AA -31第四章 矩阵 定义1 数域P上的nn矩阵A称为非退化的，如果 ；0A 推论2 否则称为退化的。设A,B是数域P上nn矩阵，矩阵AB为退化的充分 必要条件是A,B 中至少有一个是退化的。2、矩阵乘积的秩矩阵乘积的秩设A,B分别是数域P上nm和ms矩阵，于是定理2即乘积的秩不超过各因子秩。秩(AB)min秩(A)，秩(B)12,tAA AA推论3 如果那么秩(A)秩(Aj)1minj t -32第四章 矩阵 如果矩阵如果矩阵B
14、满足满足ABBAE，那么，那么B就称为就称为A的的逆矩阵逆矩阵，记为，记为A-1。n级方阵矩阵级方阵矩阵A称为称为可逆可逆的，如果有的，如果有n级方阵级方阵B，使得使得 ABBAE这里这里E为为n级单位矩阵。级单位矩阵。4 4、矩阵的逆、矩阵的逆定义7定义81、矩阵的逆的定义注注 1）由矩阵乘法法则，只有方阵才有逆矩阵；2）若 是可逆矩阵，则它的逆矩阵是唯一的.A -33第四章 矩阵 例如 设111122,111122AB,EBAAB .的一个逆矩阵的一个逆矩阵是是AB2、逆矩阵的求法定义9111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 设设Aij是矩阵是矩阵中元素中元素aij的代的
15、代数余子式，矩阵数余子式，矩阵11211*1222212nnnnnnAAAAAAAAAA 为为A的的伴随矩阵伴随矩阵。-34第四章 矩阵 定理3 矩阵矩阵A是可逆的充分必要条件是是可逆的充分必要条件是A非退化，而非退化，而 1*10AAdAd 注注 1）由定理3可以看出，对于 n 级方阵A，B，如果 ABE，那么A，B就都是可逆并且它们互为逆 矩阵；2）定理3中给出了求逆矩阵的公式，但计算量一 般较大。推论如果矩阵如果矩阵A，B可逆，那么可逆，那么 与与AB也可逆，且也可逆，且A 11AA 111ABBA -35第四章 矩阵 1111,.AAAA若 可逆 则亦可逆 且总结 逆矩阵的运算性质 2
16、,0,AA若 可逆 数则可逆 且111.AA 3,A BAB若为同阶方阵且均可逆 则亦可逆 且 1ABB1 1 A .1212 AA推推广广1AmA1 mA1 1A 114,.AAAA若 可逆 则 亦可逆 且 115,.AAA若 可逆 则有 -36第四章 矩阵 矩阵矩阵A是一个是一个sn矩阵，如果矩阵，如果P是是ss可逆矩阵可逆矩阵，Q是是nn可逆矩阵，那么秩可逆矩阵，那么秩(A)=秩秩(PA)=秩秩(AQ)定理4例1 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵.343122321A解123221343A 20,.1存在存在 A,2341211 A,3331212 A -37第四章 矩阵 同理可得,2,6
17、,6,223222113 AAAA,2,5,4333231 AAA,222563462 A得得故故 AAA11 22256346221.11125323231 -38第四章 矩阵 ,331212321 A.1151531132 B解331212321 A010430321 ,?,.A B下列矩阵是否可逆 若可逆 求出其逆矩阵例24,0.A可可逆逆所所以以 -39第四章 矩阵 ,3332111 A,4312212 A,5311213 A.A,A,A,A,A,A341103333231232221 同理可求得同理可求得 33231332221231211111AAAAAAAAAAAAA.31540
18、413341 -40第四章 矩阵 1151531132 B由于由于,0.B不不可可逆逆故故,022 EAA由由 EEAA2 得得,0 AEEAA 212 EAA220,:.AAAEA设方阵 满足方程证明可逆例4.可可逆逆故故A1 A证明 -41第四章 矩阵 对于行数和列数较高的矩阵A，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.具体做法是：将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.5 5、矩阵的分块、矩阵的分块,321 BBB bbaaA110101000001例如（1）-42第四章 矩阵 bbaaA1101
19、01000001,4321 CCCC A1a1C002C10010a3Cbb11004C即（2）-43第四章 矩阵 那那末末列列数数相相同同的的行行数数相相同同与与其其中中,ijijBA.11111111 srsrssrrBABABABABA srsrsrsrBBBBBAAAAA11111111,1）加法 设矩阵A与B的行数相同，列数相同，采用相同的分块法，有 -44第四章 矩阵 11112 ,rssrAAAAA设乘为数数那么1111.rssrAAAAA -45第四章 矩阵 （3）乘法乘法 设矩阵设矩阵A(aik)sn，B(bkj)nm,把把A，B分为一些小矩阵：分为一些小矩阵：其中每个其中每
20、个Aij是是sinj小矩阵，每个小矩阵，每个Bij是是nimj小小矩阵。于是有矩阵。于是有1211112122122212rrrllllrmmmnBBBnBBBBnBBB 1211121122122212lllttttlnnnAAAssAAAAsAAA -46第四章 矩阵 1211112122122212rrrttttrmmmsCCCsCCCCABsCCC 11221(1,2,;1,2,)pqpqpqpllqlpkkqkCA BA BA BA Bpt qr -47第四章 矩阵 114 ,srAAA设转置rA11sA11.TTTsrAAA则TsA1TrA1 -48第四章 矩阵 5AnA设 为 阶
21、方阵，若 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块都是方阵。即,21 sAAAAOO1,2,.iAisA其中都是准对阵 则称为角矩阵方12.sAA AA准对角矩阵的行列式具有下述性质准对角矩阵的行列式具有下述性质:-49第四章 矩阵 (6)对于两个有相同分块的准对角矩阵对于两个有相同分块的准对角矩阵12000000lAAAA 12000000lBBBB 1122000000llA BA BABA B -50第四章 矩阵 1122000000llABABABAB 11111221000000000000llAAAAAA 如果如果A1，A2，Al都是可逆矩阵都是可逆矩阵
22、 -51第四章 矩阵 例1 设设,1011012100100001 A,0211140110210101 B.AB求求解分块成分块成把把BA,10011001A00001121,EEO1A -52第四章 矩阵 0211140110210101B 11B E21B22B则则 2221111BBEBEAOEAB.2212111111 BABBAEB -53第四章 矩阵 .2212111111 BABBAEBAB又又21111BBA 110121011121 11012043,1142 02141121221BA,1333 -54第四章 矩阵 于是于是 2212111111BABBAEBAB.131
23、1334210410101 -55第四章 矩阵 .,ABABA 求求,100100000001 bbaaA设设 bbaaB100000001000例2分块分块将将BA,bbaaA100100000001,0021 AA,011 aaA;112 bbA解 -56第四章 矩阵 bbaaB100000001000,0021 BB,101 aaB;102 bbB 21210000BBAABA,002211 BABA aaaaBA100111,2112 aa -57第四章 矩阵 bbbbBA101122,2212 bb.2200120000210012 bbaa 21210000BBAABA 22110
24、0BABA -58第四章 矩阵 212121000000AABBAAABA,00222111 ABAABA,123223111 aaaaaaABA,231223223222 bbbbbbABA -59第四章 矩阵 212121000000AABBAAABA 22211100ABAABA.23001220000001232233223 bbbbbbaaaaaa -60第四章 矩阵 例3 设设,120130005 A.1 A求求解 120130005A,21 AOOA ,51 A;5111 A -61第四章 矩阵 ;321112 A 12111AOOAA.3201100051 ,12132 A -
25、62第四章 矩阵 6 6、初等矩阵、初等矩阵 由单位阵由单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵。定义1三类初等矩阵三类初等矩阵 -交换交换 的第的第 行与第行与第 行行(或第或第 列与列与第第 列）列）得到的初等矩阵得到的初等矩阵；E(,)P i jijij -把把 的第的第 行的行的 倍加到第倍加到第 行行(或或第第 列的倍加到第列的倍加到第 列列)得到的初等矩阵得到的初等矩阵。(,()P i j kEjkiij()P i k -用数域用数域 中的数中的数 乘乘 的第的第 行行(或或第第 列列)得到的初等矩阵。得到的初等矩阵。PkEii -63第
26、四章 矩阵 引理 对于一个对于一个sn矩阵矩阵A作一初等行变换就相当于作一初等行变换就相当于在在A的左边乘上相应的的左边乘上相应的ss初等矩阵；对初等矩阵；对A作一初等作一初等列变换就相当于在列变换就相当于在A的右边乘上相应的的右边乘上相应的nn初等矩阵初等矩阵。矩阵矩阵A与与B称为称为等价等价的，如果的，如果B可以由可以由A经过一经过一系列次初等变换得到。系列次初等变换得到。注 初等矩阵皆可逆，且其逆仍为同类初等矩阵：1(,)(,),P i jP i j11()(),P i kP i k1(,()(,()P i j kP i jk定义2 -64第四章 矩阵 定理1 任意一个任意一个sn矩阵矩
27、阵A作都与一形式为作都与一形式为1 0000 1000 0100 0000 000 的矩阵等价，它称为矩阵的矩阵等价，它称为矩阵A的的标准形标准形，主对角线上，主对角线上1的的个数等于个数等于A的秩的秩(1的个数可以是零的个数可以是零)。注 矩阵等价具有反身性、对称性、传递性。-65第四章 矩阵 例1用初等变换将下列矩阵化为标准形用初等变换将下列矩阵化为标准形1 1 3 11 3 2 52 2 6 72 4 5 6A 1 13 11 00 01 00 00 21 40 21 40 21 40 00 50 00 50 00 50 21 40 21 40 00 01 0 0 01 0 0 01 0
28、 0 00 2 0 00 1 0 00 1 0 00 0 0 50 0 0 10 0 1 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0A解 -66第四章 矩阵 注 矩阵A、B等价的充分必要条件是具有初等矩阵P1，Pl，Q1，Qt，使1212ltAP PPBQ QQ n级矩阵级矩阵A为可逆的充分必要条件是它能表成为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积：一些初等矩阵的乘积：12mAQ QQ 两个两个sn矩阵矩阵A，B等价的充分必要条件为，存等价的充分必要条件为，存在可逆的在可逆的s级矩阵级矩阵P与可逆的与可逆的n级矩阵级矩阵Q使使APBQ 定理6推论1 -67第四章 矩阵 推论2 可逆矩
29、阵总可以经过一系列初等行变换化成可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位阵。单位阵。注 矩阵求逆的方法11AAA伴随矩阵法：；(,)初等行变换初等列变换（）或-1-1A EE,AAEEA初等变换法：-68第四章 矩阵 例20 1211421 0A ，求，求A-1。0 12 1 0 0114 0 1 0114 0 1 00 12 1 0 021 0 0 0 121 0 0 0 11140101 14010012 1000 12100038 02 10 02 32 1解 -69第四章 矩阵 1 140101 1063 20 1042 10 1042 10 02 32 10 02 32 1 1 0
30、021 11 0 02110 1042 10 1 04210 02 32 1310 0 1122121142131122A -70第四章 矩阵 -71第四章 矩阵 nmEOOEE分块初等矩阵有以下三种：-72第四章 矩阵 对换两行(列)所得到,OEEOmn矩阵 P 所得到,POOEEOOPmn.,nmnmEPOEEOPE某一行(列)左乘(右乘)一个一行(列)加上另一行(列)的P(矩阵)倍数所得到 -73第四章 矩阵 和初等矩阵与初等变换的关系一样，分块初等矩阵有与初等矩阵类似的性质：用分块初等矩阵左乘分块矩阵 A,在保证可乘的情况下，其作用相当于对分块矩阵 A 进行一次相应的初等行变换；用分块
31、初等矩阵右乘分块矩阵 A，其作用相当于对分块矩阵 A 进行一次相应的初等列变换。例如，设有如下分块矩阵 -74第四章 矩阵 ,DCBA分别用三种分块初等矩阵左乘它，其结果如下：,BADCDCBAOEEOmn,DCPBPADCBAEOOPn;PBDPACBADCBAEPOEnm -75第四章 矩阵 ,DCBA分别用三种分块初等矩阵右乘它，其结果如下：,CDABOEEODCBAmn,DCPBAPEOOPDCBAn.DDPCBBPAEPOEDCBAnm -76第四章 矩阵 例1，且，且 A，D 可逆，求可逆，求 T-1。A OTC D 1mnEOA OA OC DO DCAE 111A OAOO DOD 11111111mnEOAOAOTCAEODD CAD 解 由又所以 -77第四章 矩阵 例2 1A BTC D 设设T1可逆，可逆，D可逆，试证可逆，试证(A-BD-1C)-1存在，并求存在，并求T1-1。11mnA BEBDABD C OC DOECD 而右端仍可逆，故而右端仍可逆，故(A-BD-1C)-1存在。存在。解 由 -78第四章 矩阵 1111111111111111111111mnABD COEBDTOED C ABD CDABD CABD CBDD C ABD CD C ABD CBDD 再由例1知 -
