1、专题04 勾股定理的逆定理专题测试1三角形的三边长分别为5，12，13；9，40，41；8，15，17；13，84，85，其中能够构成直角三角形的有（）A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】解：、52+122169132，能构成直角三角形，故本小题正确；、92+4021681412169，能构成直角三角形，故本小题正确；、82+152289172，能构成直角三角形，故本小题正确；、132+8426973852，不能构成直角三角形，故本小题错误故选：C2如图：一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容下的最长木棒长为（）A11cmB12cmC13cmD14cm【答案】C【解
2、析】解：侧面对角线BC232+4252，CB5m，AC12m，AB13（m），空木箱能放的最大长度为13m，故选：C3九章算术中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（）Ax2（x4）2+（x2）2B2x2（x4）2+（x2）2Cx242+（x2）2Dx2（x4）2+22【答案】A【解析】解：根据勾股定理可得：x2（x4）2+（x2）2，故选：A4如图，
3、三个正方形的面积分别为S13，S22，S31，则分别以它们的一边为边围成的三角形中，1+2_度【答案】90【解析】解：S13，S22，S31，AC2+BC2AB2，ACB90，1+21809090，故答案为：905满足a2+b2c2的三个正整数，称为勾股数写出你比较熟悉的两组勾股数：_； _【答案】3，4，5；6，8，10【解析】解：根据勾股数定义可得3，4，5；6，8，10，故答案为：3，4，5；6，8，106观察下列式子：当n2时，a224，b2213，c22+15n3时，a236，b3218，c32+110n4时，a248，b42115，c42+117根据上述发现的规律，用含n（n2的整
4、数）的代数式表示上述特点的勾股数a_，b_，c_【答案】2n，n21，n2+1【解析】解：当n2时，a224，b2213，c22+15n3时，a236，b3218，c32+110n4时，a248，b42115，c42+117勾股数a2n，bn21，cn2+1故答案为：2n，n21，n2+17如图所示，在ABC中，CDAB于D，AC4，BC3，CD（1）求AD的长；（2）求证：ABC是直角三角形【答案】见解析【解析】解：（1）CDAB，ADC90，AD=AC2-CD2=42-(125)2=165；（2）证明：由上题知AD，同理可得BD，ABAD+BD5，32+4252，BC2+AC2AB2，AB
5、C是直角三角形8如图，在四边形ABCD中，D90，AB2，BC4，CDAD（1）求BAD的度数；（2）求四边形ABCD的面积【答案】见解析【解析】解：（1）连接AC，如图所示：CDAD，D90，DACACD45，AC2AD2+CD22612AC23，在ABC中，AB2+AC222+1216BC2，BAC90BC2AB，ACB30，BADBAC+CAD90+45135；（2）四边形ABCD的面积ABC的面积+ACD的面积=12223+1266=239如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A、B、C为格点（格子线的交点）（1）判断ABC的形状，并说明理由；（2）求AB边上的高【答案】见解析【解
6、析】解：（1）AB=52+52=52，BC=62+22=2，AC，BC2+AC2（2）2+（）2（52）2AB2，ABC是直角三角形；（2）设AB边上的高为h，SABC=12BCACABh，h22即AB边上的高为2210如图，在43的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，（1）分别求出线段AB，CD的长度；（2）在图中画线段EF，使得EF，以AB，CD，EF三条线段长为边能否构成直角三角形，并说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）AB；CD=22+22=22（2）如图，EF=22+12=5，CD2+EF28+513，AB213，CD2+EF2AB2，以AB、CD、EF三条线段可以组成直角三
7、角形.11已知ABC，ABn21，BC2n，ACn2+1（n为大于1的正整数），试问ABC是直角三角形吗？若是，哪条边所对的角是直角？请说明理由【答案】见解析【解析】解：ABC是直角三角形，理由是：ABC中，ABn21，BC2n，ACn2+1（n1），AB2+BC2（n21）2+（2n）2n42n2+1+4n2，（n2+1）2AC2即BC2+AC2AB2，这个三角形是直角三形，边AC所对的角是直角12如图，RtABC中，B90，AB3，BC4，CD12，AD13，点E是AD的中点，求CE的长【答案】见解析【解析】解：在RtABC中，B90，AB3，BC4，AC=AB2+BC2=32+42=5，
8、CD12，AD13，AC2+CD252+122169，AD2169，AC2+CD2AD2，C90，ACD是直角三角形，点E是AD的中点，CE13有一块边长为40米的正方形绿地ABCD，如图所示，在绿地旁边E处有健身器材，BE9米由于居住在A处的居民去健身践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走米，踏之何忍”请你计算后帮小明在标牌的处填上适当的数【答案】见解析【解析】解：在 RtABE中，由勾股定理得：AE=AB2+BE2=402+92=41，而AB+BE40+949，因为49418，所以标牌上填的数是814在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水
9、一尺引葭赴岸，适与岸齐问水深几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈10尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面1尺如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池深多少尺？”【答案】见解析【解析】解：设这个水池深x尺，由题意得，x2+52（x+1）2，解得：x12答：这个水池深12尺15如图，有一个由传感器控制的灯A装在门上方离地高4.5m的墙上，任何人只要移至头顶距该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光，请问一个身高1.5m的学生要走到离墙AB多远的地方灯刚好发光？【答案】见解析【解析】解：当人走到点C的位置，头顶D与点A距离是5m
10、时，灯刚好自动发光，作DEAB于E，则AE4.51.53，在RtADE中，DE=AD2-AE2=4，答：身高1.5m的学生要走到离墙AB4m的地方灯刚好发光16如图，一学校（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为1km，在公路上距该校2km处有一车站（点N），该校拟在公路上建一个公交车停靠点（点p），以便于本校职工乘车上下班，要求停靠站建在AN之间且到此校与车站的距离相等，请你计算停靠站到车站的距离【答案】见解析【解析】解：如图，连接MP，在RtMAN中，MA1，MN2，由勾股定理得AN=MN2-AM2=22-12=3，设NPxkm，则PMxkm，PA（x）km，在RtMAP中，由勾股定理得1
11、2+（x）2x2，解得x=233答：停靠站应建在线段AN上离点N的距离为233km处17一架云梯长10m，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙6m（1）这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了2m，那么梯子的底部在水平方向也是滑动了2m吗？【答案】见解析【解析】解：（1）由题意可知ABC是直角三角形BC6m AC10m由勾股定理得：AB8（m），梯子的高为8米；（2）由题意可知ACDE10m，AD2m，BD826（m），在RtDBE中，由勾股定理得：BE=DE2-BD28（m），CEBEBC862（m），即CEAD，答：梯子的底部在水平方向也是滑动了2m18如图，铁路MN和公
12、路PQ在点O处交汇，QON30，公路PQ上A处有一所学校，AO240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时，学校是否受到噪音影响？若受影响，假使火车的速度是72千米/时，那么学校受影响的时间为多少？【答案】见解析【解析】解：如图：过点A作ACON，ABAD200米，QON30，OA240米，AC120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB200米，AB200米，AC120米，由勾股定理得：BC160米，CD160米，即BD320米，72千米/小时20米/秒，影响时间应是：3202016秒答：A处受噪音影响的时间为16秒19根据安徽省实
13、施中华人民共和国道路交通安全法办法第二十八条规定“小汽车在同方向划有二条以上机动车道的城市道路上最高速度不得超过60km/h”如图，省内一辆小汽车自右向左在同方向划有二条以上机动车道的城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速观察点A正前方30m的C处，过了2.5后行驶到B处，此时测得小汽车与车速观察点A之间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？【答案】见解析【解析】解：在RtABC中，AC30m，AB50m；据勾股定理可得：40（m）小汽车的速度为v16（m/s）163.6（km/h）57.6（km/h）；60（km/h）57.6（km/h）；这辆小汽车没有超速行驶答：这辆小汽车没有超速20如图，甲、乙两船同时从A港口出发，甲船以每小时30海里的速度向西偏北32的方向航行2小时到达C岛，乙船以每小时40海里的速度航行2小时到B岛，已知B、C两岛相距100海里，求乙船航行的方向【答案】见解析【解析】解：由题意得：甲2小时的路程30260海里，乙2小时的路程40280海里，且BC100海里，（3分）AC2+AB2602+80210000，BC2100210000，AC2+AB2BC2，（7分）BAC90，C岛在A西偏北32方向，B岛在A东偏北58方向乙船航行的方向是东偏北58方向
