1、【 精品教育资源文库 】 微专题 10 带电粒子在磁场中的临界极值和多解问题 带电粒子在磁场中的临界极值问题 1试画出以下三种情形下带电粒子的临界示意图 甲：改变速度 v，使粒子不射出磁场区的速度满足的条件 乙：改变速度 v，为使粒子不从 PQ 边界射出速度的最大值 丙：改变速度 v，粒子能打在上极板 MN 上的长度 温馨提示 2利用 “ 动态圆 ” 分析临界极值问题 (1)滚动圆法：粒子速度大小不变，方向改变，则 r mvqB大小不变，但轨迹的圆心位置变化，相当于圆心在绕着入射点滚动 (如图所示 ) (2)放缩 圆法：入射粒子的速度方向不变，但大小变化，造成圆心在一条射线上变动，半径大小不
2、断变化的放缩圆 (情形如图所示 ) (3)平移圆法：速度大小和方向相同的一排相同粒子进入直线边界，各粒子的轨迹圆弧可以由其他粒子的轨迹圆弧沿着边界平移得到 (如图所示 ) 【 精品教育资源文库 】 如图所示，在 xOy 坐标系的第一象限有方向垂直纸面向外的有界匀强磁场， y轴是它的左边界、曲线 OP 是它的右边界， OP 的曲线方程为 y 2hx2.在 y 轴上有一点 Q(0， h)，一电荷量为 q(q 0)，质量为 m 的粒子从 Q 点以不同的速率沿 x 轴正方向射 入磁场从磁场的右边界射出的粒子中，速率为 v0的粒子在磁场中运动位移最短不计粒子的重力求 (1)磁感应强度的大小； (2)能
3、从磁场的右边界射出的粒子的速率范围 解析： (1)设粒子从 M(x， y)点射出磁场，则： MQ x2 y h 2 又： y 2hx2 联立 解得： MQ y2 32hy h2 由 可知，当 y 34h 时， MQ 有最小值 粒子在磁场中运动的轨迹半径满足： qBv0 mv20r O1N y (h r) r h4 O1N2 x2 r2 由 得 B 8mv07qh (2)设轨迹圆与磁场右边界相切于 D(x， y)点，半径为 R，由几何关系： x Rsin 【 精品教育资源文库 】 h R y Rcos 联立 解得： R 2 2 14 h 又 qvmB mv2mR，联立 得 vm27 v0. 答
4、案： (1)8mv07qh (2)v 27 v0 带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题 分析临界问题的关键是找准临界点：以题目中的 “ 恰好 ”“ 最大 ”“ 最高 ”“ 至少 ” 等词语为突破口，挖掘隐含条件，分析可能的情况，必要时画出几个半径不同的轨迹，找出临界条件，如： (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切 (2)当速率 v 一定时，弧长 (或弦长 )越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长 (3)当速率 v 变化时，圆心角越大的，运动时间越长 在直角坐标系中 有 P、 Q 两点，坐标如图所示，虚线是以原点 O 为圆心的半圆，半圆与 x 轴围
5、成的区域只存在垂直纸面向外的匀强磁场大量同种粒子从 P 点射入磁场，入射方向均在 xOy 平面内，速度方向与 x 轴正方向的夹角在 0 到 180 的范围内粒子在磁场中做圆周运动的半径为 r，满足 L r2 L，所有粒子均不从半圆虚线边界射出，已知粒子的质量为 m(不计重力 )，带电荷量为 q 0，磁场的磁感应强度大小 B 求： (1)经过 Q 点时速度方向与 y 轴垂直的粒子的速度大小 (2)虚线半圆的最小半径和从 P点运动到 Q点的所有粒子中运动时间的最大值和最小值 解析： (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动， qvB mv2R，由图 1 可知 RLcos 30 ， 解得 v 2 3qBL3
6、m . 【 精品教育资源文库 】 图 1 (2)当粒子以最大半径 R 2L 向 x 轴负方向发出刚好与半圆相切时，运动情况如图 2 所示 图 2 由几何关系得 L2 R2 (r R)2， 解得虚线半圆的最小半径 r (2 5)L， 带电粒子在磁场中的运动周期 T 2 Rv ，从 P 点运动到 Q 点，粒子运动时间 t 360 T，其中 ( 为 PQ 运动轨迹对应的圆心角 ) 如图 3 所示，以 O3为圆心的粒子，圆心角最大， 图 3 由几何关系可知半径 R 2 33 L，且满足 L R2 L， 由图可知图心角 240 ， 从 P 点运动到 Q 点，粒子运动的最长时间 t1 4 m3qB ，
7、以 Q4为圆心对应的圆心角最小，半径 R 2l， 由图可知圆心角 60 ， 从 P 点运动到 Q 点，粒子运动的最短时间 t2 m3qB. 答案： (1) 2 3qBL3m (2)(2 5)L 4 m3qB m3qB 【 精品教育资源文库 】 1如图所示，在一个半径为 R 的半圆区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B O 点是该半圆的圆心， OP 是垂直于直线边界的半径两个完全相同的质量为 m、电量为 q 的粒子以相同的速率 v 分别从 O 点沿 OP 和从 P 点沿 PO 射入磁场区域，对于两个粒子的运动情况下列分析正确的是 ( ) A从 O 点沿 OP 射入磁场的粒子将向上
8、偏转 B两粒子通过磁场的时间相等 C如果 v qBR2m ，则从 O 点沿 OP 射入磁场的粒子通过磁场的时间为 mqB D如果 v qBRm ，则从 O 点沿 OP 射入磁场的粒子通过磁场的时间较长 解析： 选 C 根据左手定则分析可知，从 O 点沿 OP 射入磁场的粒子向下偏转，选项 A错误；分析粒子以相同速率 v 从 O 点沿 OP 和从 P 点沿 PO 射入磁场区域，其轨道半径相同，但在磁场中运动的弧长不相同，如下图所示，所以两粒子通过磁场的时间不相同，选项 B错误；如果 v qBR2m ，则粒子在磁场中运动的轨道半径 r mvqB R2，从 O 点沿 OP 射入磁场的粒子在磁场中的运
9、动轨迹正好是半个圆周，通过磁场的时间为 t T2 mqB ，选项 C 正确；如果v qBRm ，则粒子在磁场中的轨道半径 r mvqB R，从 O 点沿 OP 射入磁场的粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为 3 ，从 P 点沿 PO 射入磁场的粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为 2 ，所以从 O 点沿 OP 射入磁场的粒子通过磁场的时间较短，选项 D 错误 2 (2018 广东清远联考 )如图所示，在一平面正方形 MNPQ 区域内有一匀强磁场垂直于【 精品教育资源文库 】 纸面向里，磁感应强度为 B 一质量为 m、电荷量为 q 的粒子以速度 v 从 Q 点沿着与 QP 边夹角为 30 的方
10、向垂直进入磁场，从 QP 边射出已知 QP 边长为 a，不计粒子的重力，下列说法正确的是 ( ) A该粒子带正电 B运动过程中粒子的速度不变 C粒子在磁场中运动的时间为 m3qB D粒子的速度 v 的最大值为 qBa2m 解析： 选 C 粒子从 PQ 边射出磁场，粒子刚射入磁场时受到的洛伦兹力垂直于速度斜向右下 方，由左手定则可知，该粒子带负电，故 A 错误；粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子的速度大小不变，方向发生变化，故 B 错误；粒子在磁场中转过的圆心角 230 60 ，粒子在磁场中的运动时间 t 360 T 60360 2 mqB m3qB，故 C 正确；粒子从 P 点射出磁场时轨迹半径
11、最大，粒子的速度最大，此时粒子的轨迹半径 r a，由 qvB mv2r得粒子的最大速度 v qBrm qBam ，故 D 错误 带电粒子在磁场中的多解问题 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解多解形成原因一般包含下述几个方面： 带电粒子电性不确定形成多解 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解 如图所示，宽度为 d 的有界匀强磁场，磁感应强度为 B， MM 和 NN 是它的两条边界 现有质量为 m，电荷量为 q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入要使粒子不能从边界【 精品
12、教育资源文库 】 NN 射出，则粒子 入射速率 v 的最大值可能是 _. 温馨提示 题目中只给出粒子 “ 电荷量为 q” ，未说明是带哪种电荷若带正电荷，轨迹是如图所示的上方与 NN 相切的 1/4 圆弧，轨道半径： R mvBq， 又 d R R/ 2， 解得 v (2 2)Bqd/m. 若带负电荷，轨迹如图所示的下方与 NN 相切的 3/4 圆弧，则有： R mvBq ， d R R/ 2， 解得 v (2 2)Bqd/m. 所以本题应填 (2 2)Bqdm 或 (2 2)Bqdm . 磁场方向不确定形成多解 有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感
13、应强度方向不确定而形成的多解 临界状态不唯一形成多解 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过 180 从入射界面这边反向飞出，如图所示于是形成了多解 运动的往复性形成多解 带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间 运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解，如图所示 【 精品教育资源文库 】 如图，一足够大的绝缘弹性挡板水平放置，挡板上方 M 点与挡板的距离为 h3 m， M 点与挡板上的 N 点的连线垂直于挡板挡板上方空间存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度 B 1 T一质量 m 110 3 kg，电荷量 q 110 3 C
14、 的带负电微粒，从挡板上某点出发，以垂直于挡板的速度进入电磁场区域后恰能做圆周运动微粒若与挡板碰撞时，将以原速率被弹回，且电荷量不变，忽略重力的影响， g 10 m/s2，求： (1)若微粒运动过程中能击中 M 点 ，求其速度的最小值和以该速度运动时出发点与 N 点的距离 d. (2)若微粒从距 N 点距离 s 9 m 的 A 点出发，到击中 M 点的运动时间的可能值 解析： (1)微粒能击中 M 点，且速度最小，则半径 r 3 m 由 r mvqB可得 v qBrm 3 m/s d 2rn r 3(2n 1) (n 0,1,2?) (2)设微粒与挡板碰撞 n 次，则最大半径趋近于 s2n 要击中 M 点，则 s2n h 即 n1.5 ，故 n 可能取 0,1 当 n 0 时，轨迹如图中 所示 由几何关系： r2 h2 (s r)2得 r 5 m sin hr 35，故 37 此时时间 t1 180 37360
