1、 第七章第七章 非线性系统分析非线性系统分析第一节第一节 控制系统中的典型非线性特性控制系统中的典型非线性特性第二节第二节 描述函数法描述函数法第三节第三节 用描述函数法分析非线性系统用描述函数法分析非线性系统第四节第四节 改善非线性系统性能的方法改善非线性系统性能的方法1第一节第一节 控制系统中的典型非线性特性控制系统中的典型非线性特性一、非线性系统组成：一、非线性系统组成：非线性环节非线性环节+线性环节线性环节 二、典型非线性特性二、典型非线性特性(4(4种种)1 1、饱和、饱和 2 2、死区、死区 3 3、回环、回环 4 4、继电、继电 2 三、特点：稳定性与结构、初始条件有关三、特点：
2、稳定性与结构、初始条件有关 四、分析方法四、分析方法 1 1、描述函数法：近似性，高阶系统也很方便，较多应用。、描述函数法：近似性，高阶系统也很方便，较多应用。2 2、相平面法较精确，因高阶作图太复杂，较少应用。、相平面法较精确，因高阶作图太复杂，较少应用。（实际限于二阶非线性系统），（实际限于二阶非线性系统），注意：注意：非线性常微分方程没有相同的求解方法，求解三阶以上系统方非线性常微分方程没有相同的求解方法，求解三阶以上系统方程困难；程困难；不能用叠加原理；不能用叠加原理；本质非线性，即不能用小偏差方法进行线性化。本质非线性，即不能用小偏差方法进行线性化。研究非线性系统并不需求得其时域响应
3、的精确解，而重要关心研究非线性系统并不需求得其时域响应的精确解，而重要关心其时域响应的性质，如：稳定性、自持振荡。其时域响应的性质，如：稳定性、自持振荡。典型非线性特性典型非线性特性3 第二节第二节 描述函数法描述函数法一、描述函数的定义一、描述函数的定义 非线性元件的输入为正弦波时，将其输出的非正弦波的一次谐非线性元件的输入为正弦波时，将其输出的非正弦波的一次谐波（基波波（基波)与输入正弦波的复数比，定义为非线环节的描述函数。与输入正弦波的复数比，定义为非线环节的描述函数。分析：分析：设输入为：设输入为：则输出：则输出：假设输出为对称奇函数，则假设输出为对称奇函数，则 ；假设系统的线性部分具
4、有低通；假设系统的线性部分具有低通滤波特性，高次谐波可忽略。滤波特性，高次谐波可忽略。tAtxsin)()sincos()(10tnBtnAAtynnn20cos)(1ttdntyAn00A4则非线性环节输出可认为则非线性环节输出可认为 tBtAtytysincos)()(111)sin(11tY11jeY21211BAY111arctanBA 此时，非线性环节可以用一个等效的元件来代替，该元件的输此时，非线性环节可以用一个等效的元件来代替，该元件的输入信号和输出信号分别为入信号和输出信号分别为 tAtxsin)(1jAe)sin(11tY)(ty11jeY则输入、输出的复数比，即为则输入、输
5、出的复数比，即为描述函数描述函数，常用，常用 表示。表示。11)(jeAYAN)(AN典型非线性特性典型非线性特性5二典型非线性特性的描述函数二典型非线性特性的描述函数（1 1）饱和特性的描述函数）饱和特性的描述函数 饱和特性的输入、输出特性为饱和特性的输入、输出特性为当输入为正弦信号时当输入为正弦信号时ttxsin)(wtwtwtwtkAbwtkAtx11110sinsin)(其输出信号的数学表达式其输出信号的数学表达式由于由于x(t)x(t)为单值对称函数，故有为单值对称函数，故有 0,001AA典型非线性特性典型非线性特性6201)(sin)(1wtwtdtxB2111212112221
6、2121111100102202)(1arcsin2)(0)(1arcsin2)(1)(121arcsin214sin1sin1sin21arcsin214cos2sin41214cos2sin212cos)2cos1(214cos)(sin24)(sin)(sinsin411121111AaAaAakeAxANBBAxAaAaAaAkAaAaAaAaAaAkAaAaAkAaAkAawtwtkAAadwtwtkAwtbwtwtdkAwtwtdbwtwtdwtkABAjarctg注：其它典型非线性描述函数的描述函数计算方法相同。可参见表注：其它典型非线性描述函数的描述函数计算方法相同。可参见表7
7、-1典型非线性特性典型非线性特性7第三节第三节 用描述函数法分析非线性系统用描述函数法分析非线性系统1 1、系统的稳定性分析、系统的稳定性分析 典型非线性系统结构图典型非线性系统结构图 闭环传递函数频率特性为闭环传递函数频率特性为 特征方程为特征方程为 式中式中-1/N(A-1/N(A），称为非线性特性的负倒描述函数。），称为非线性特性的负倒描述函数。)()(1)()()()(jwGANjwGANjwRjwC)(1)(0)()(1ANjwGjwGAN8比较：比较：线性系统特征方程线性系统特征方程 G(j)=G(j)=1 1；线性系统：（线性系统：（1 1，j0j0）点是判断稳定的关键点。）点是
8、判断稳定的关键点。非线性系统：判断稳定性不是点（非线性系统：判断稳定性不是点（1 1，j0j0）,而是一条线而是一条线 1 1N(AN(A）。）。由线性部分的频率特性与描述函数负倒特性之间相对位置可以由线性部分的频率特性与描述函数负倒特性之间相对位置可以判断非线性系统的稳定性及自激振荡。判断非线性系统的稳定性及自激振荡。2 2、判据内容、判据内容 在开环幅相特性平面上，画出线性特性在开环幅相特性平面上，画出线性特性 G(j)G(j)曲线曲线(最小相位最小相位)。1 1）若）若G(j)G(j)轨迹不包围轨迹不包围1 1N N（A A）曲线曲线,则此非线性系统稳定则此非线性系统稳定 2 2）若）若
9、G(j)G(j)轨迹包围轨迹包围1 1N(AN(A），则非线性系统不稳定。），则非线性系统不稳定。3 3）若）若G(j)G(j)与与1 1N N（A A）相交，则在交点处，系统处于临界稳定，）相交，则在交点处，系统处于临界稳定，可能产生周期持续震荡。这种持续震荡可以用正弦振荡来近似，其可能产生周期持续震荡。这种持续震荡可以用正弦振荡来近似，其振荡的振幅和频率可以分别用交点处振荡的振幅和频率可以分别用交点处1 1N N（A A）轨迹上的）轨迹上的A A 值，值，G(j)G(j)曲线上对应的曲线上对应的值来表征。值来表征。描述函数法分析非线性系统描述函数法分析非线性系统9 图图a)a)，频率特性不
10、包围负倒特性，稳定，频率特性不包围负倒特性，稳定图图b)b)，频率特性包围负倒特性，不稳定，频率特性包围负倒特性，不稳定图图c)c)，两特性相交，可能产生自振。，两特性相交，可能产生自振。描述函数法分析非线性系统描述函数法分析非线性系统10 第四节第四节 改善非线性系统性能的方法改善非线性系统性能的方法 一、改变线性部分的参数或对线性部分进行校正改变线性部分的参数或对线性部分进行校正 1 1、减小线性部分的放大系数、减小线性部分的放大系数K K值，使两特性曲线不产生相交点。值，使两特性曲线不产生相交点。例题例题7.17.1 2 2、对线性部分进行串联校正，使两特性曲线不产生相交点。、对线性部分
11、进行串联校正，使两特性曲线不产生相交点。例题例题(p168)(p168)3 3对线性部分进行并联校正，使两特性曲线不产生相交点。对线性部分进行并联校正，使两特性曲线不产生相交点。例题例题(p169)(p169)二、改变非线性特性二、改变非线性特性 1 1、改变非线性元件的参数、改变非线性元件的参数 例如，在例例如，在例7.17.1中，当线性部分参数不变中，当线性部分参数不变(k=15)(k=15)时，改变非时，改变非线性部分的参数线性部分的参数a a或或b b，可以使负倒描述函数曲线往左移，从而使，可以使负倒描述函数曲线往左移，从而使两特性曲线不相交，即使原有自持振荡的系统变为稳定。两特性曲线不相交，即使原有自持振荡的系统变为稳定。112 2、对非线性元件采用某种并联校正、对非线性元件采用某种并联校正 例如，一个饱和非线性元件并例如，一个饱和非线性元件并入一合适的死区非线性元件后，变入一合适的死区非线性元件后，变成了线性比例元件。成了线性比例元件。见图示说明：见图示说明：描述函数法分析非线性系统描述函数法分析非线性系统12
