1、 在初中代数里我们已经学习过,在平面直角坐标系内,可以用一对有序实数来表示平面上一点的位置。反之,对于任何一个有序实数对,在平面内都可以确定一个点。这里将进一步讨论用代数的方法来研究平面内的直线及性质。本章先介绍两个重要公式,然后学习直线方程的概念及直线的有关性质。第一节一次函数与直线一、两个重要公式1.两点间距离公式 A、B两点间距离记为AB,表示线段AB的长度。根据两点的坐标,就可求出平面内两点间的距离。在平面内,当A、B两点在数轴上时,如果它们的坐标分别是x1和x2,那么,不论这两点的相对位置如何,都有AB=x2-x1 如在图9-1中,A点坐标为-2,B点坐标为3,则AB=3-(-2)=
2、5,即A、B两点间的距离为5。图 9-1分别向x轴和y轴作垂线P1M1、P1N1和P2M2、P2N2,垂足分别是M1(x1,0)、N1(0,y1)、M2(x2,0)、N2(0,y2),并设直线P1N1和P2M2交于点Q。则在RtP1QP2中,P1P22=P1Q2+QP22 因为P1Q=M1M2=x2-x1 QP2=N1N2=y2-y1 设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是平面内任意两点,如图9-2所示,从P1、P2所以P1P22=x2-x12+y2-y12 由此得到两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)间的距离公式P1P2=图 9-2坐标。解 设点P的坐标为(x,0),根据AP=5,
3、得=5即=5两边平方,得(x-1)2+9=25x1=5,x2=-3例1已知点P在x轴上,它与点A(1,-3)的距离等于5,求点P的经检验,这两个值都是原方程的根。因此点P的坐标为(5,0)或(-3,0),如图9-3所示。图 9-3直角三角形。证明由两点间距离公式,得AB2=(3-0)2+(1-0)2=10 BC2=(1-3)2+(7-1)2=40 AC2=(1-0)2+(7-0)2=50于是 AB2+BC2=AC2 例2 求证:以A(0,0)、B(3,1)、C(1,7)为顶点的三角形是所以,ABC是直角三角形,其中B是直角,如图9-4所示。图 9-4 2.线段的中点坐标公式如图9-5所示,设线
4、段P1P2的两个端点分别是P1(x1,y1)、P2(x2,y2),点P(x,y)为线段的中点,从P1、P和P2分别作y轴的平行线,交x轴于点M1、M和M2。由平面图形的性质有M1M=MM2 x-x1=x2-x 由图9-5可知,x-x10,x2-x0,所以 x-x1=x2-x从而 x=图 9-5由此得到点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)之间所连线段的中点P的坐标为 x=,y=上式称为线段P1P2的中点坐标公式。解 设端点B的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得-5=,1=所以x=-9,y=5即端点B的坐标为(-9,5)。例3已知线段AB的中点坐标是(-5,1),端点A的坐标是(-1,-3)
5、,求端点B的坐标。二、直线的倾斜角和斜率1.一次函数的图像和直线方程初中研究一次函数时,在平面直角坐标系中,画出的一次函数图像是一条直线。例如函数y=2x+1的图像是直线l(如图9-7)。图 9-7一般地,一次函数y=kx+b的图像是一条直线,函数和直线之间具有下列关系:1)以满足函数y=kx+b的每一组x、y的值为坐标的点都在直线上;2)直线上的任何点,它的坐标值x、y都满足函数关系式y=kx+b。由于函数y=kx+b也可以看成是一个关于x、y的二元一次方程,即kx-y+b=0,因此这个方程和直线也具有下列关系:1)以方程kx-y+b=0的每一组解x、y为坐标的点都在直线上;2)直线上任何点
6、的坐标值都是方程kx-y+b=0的解。把方程kx-y+b=0称为直线的方程,直线称为这个方程的直线。例5 已知直线l的方程为2x-3y+6=0:(1)判断点P1和P2(2,-1)是否在直线l上;(2)求直线l与x轴交点的坐标;(3)若点A(3,m)在直线l上,求m的值。解 (1)把点P1的坐标代入方程2x-3y+6=0,得左边=2-31+6=0=右边所以点P1在直线上。把点P2(2,-1)的坐标代入方程2x-3y+6=0,因为左边=22-3(-1)+6=130即方程两边不相等,所以P2(2,-1)不在直线l上。(2)把直线与x轴交点的纵坐标y=0代入方程2x-3y+6=0,得2x+6=0 x=
7、-3即直线与x轴的交点坐标为(-3,0)。(3)把点A(3,m)代入方程2x-3y+6=0,得23-3m+6=0所以m=42.直线的倾斜角和斜率(1)直线的倾斜角一条直线l向上的方向与x轴正方向所成的最小正角称为直线l的倾斜角。这个角就是x轴绕直线与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线第一次重合时所形成的角。图9-8中的角1是l1的倾斜角,角2是l2的倾斜角 图9-8当直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0,因此平面内任意一条直线都能确定唯一的倾斜角,的取值范围是:0 180(0 0;3)当为钝角时,k=tan0;4)当=90时(直线垂直于x轴),因为tan90不存在,所以斜率k不存在。解
8、根据直线的倾斜角的概念,可得倾斜角为=180-45=135斜率为 k=tan135=-1倾斜角不同的直线,其斜率也不同,常用斜率来表示倾斜角不等于90的直线对于x轴的倾斜程度。例6如图9-9所示,求直线l的倾斜角和斜率。图9-9如图9-10所示,设直线l上两点P1、P2的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2),直线的倾斜角90(即x1x2),从P1、P2两点分别作x轴的垂线P1M1、P2M2,M1、M2是垂足,再作P1QP2M2,交直线P2M2于点Q。当直线P1P2的倾斜角为锐角时,有k=tan=tanP2P1Q=可以证明,当为钝角时,以上结论也成立。所以,经过P1(x1,y1)、P2(x2
9、,y2)两点的直线的斜率公式为k=(x1x2)当x1=x2时,直线垂直于x轴,这时斜率不存在。求得斜率k后,即可根据0180求出直线的倾斜角。图9-10例7求经过A(-2,0)、B(-5,3)两点的直线的斜率和倾斜角。解k=-1即 tan=-1因为0180所以=135因此,这条直线的斜率是-1,倾斜角是135。例8如图9-11所示,直线l1的倾斜角1=30,直线l2l1,求l1和l2的斜率。解l1的斜率k1=tan30=因为l2的倾斜角2=1+90=30+90=120所以l2的斜率k2=tan120=-图9-11第二节直 线 方 程 在平面内,要确定一条直线,必须具备两个独立的条件,从前面的学
10、习知道,若给定了直线的斜率,就是给定了它的方向,但还不能确定直线的位置,还需再给一个条件。下面将讨论如何利用斜率和其他条件建立直线的方程。一、直线的点斜式方程已知直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k,求直线l的方程 (如图9-12)。设点P(x,y)是直线l上不同于点P0(x0,y0)的任意一点,根据直线的斜率公式,得=k即 y-y0=k(x-x0)可以证明,直线l上的每个点的坐标都是上面方程的解;反之以该方程的解为坐标的点都在直线上。因此,该方程就是所求的直线方程。图9-12这个方程是由直线上一点和斜率确定的,通常叫做直线的点斜式方程。代入直线的点斜式方程,得y-(-1)=-(x-)即
11、x+y-2=0例1求经过点P(,-1),倾斜角为的直线方程。解 这条直线的斜率k=tan=-当直线l的倾斜角为90时,直线没有斜率,这时,直线l与y轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示,但因为l上每一点的横坐标都等于x0(如图9-14),所以它的方程是 x=x0 图9-13图9-14若已知直线l的斜率是k,与y轴的交点是P(0,b),代入直线的点斜式方程,得直线l的方程y-b=k(x-0)即 y=kx+b 二、直线的两点式方程已知直线l经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2),求直线l的方程。因为直线l经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),并且x1x2,所以将它的
12、斜率k=代入点斜式方程,得y-y1=(x-x1)当y2y1时,方程可以写成=这个方程是由直线l上两点确定的,所以叫直线的两点式方程。例2已知直线l与x轴的交点为(a,0),与y轴的交点为(0,b),其中a0,b0,求直线l的方程。解 因为直线l经过A(a,0)和B(0,b)两点,代入两点式方程,得=即+=1如果直线与x轴相交于点(a,0),则称a为直线在x轴上的截距,以上直线方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的,所以叫做直线的截距式方程。例3三角形的顶点是A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2)(如图9-15),这个三角形三边所在的直线方程?图9-15解 直线AB过A(-5,0)、B(3
13、,-3)两点,由两点式得=即3x+8y+15=0这就是直线AB的方程。直线BC过点B(3,-3)、C(0,2),斜率为k=-代入斜截式方程,得y=-x+2即 5x+3y-6=0这就是直线BC的方程。直线AC过A(-5,0)、C(0,2)两点,由截距式方程,得+=1即2x-5y+10=0三、直线方程的一般形式 前面学习的是直线方程的几种特殊形式,它们都是关于x、y的一次方程,下面研究一般的二元一次方程和直线的关系。在平面直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角,当90时,它们都有斜率,方程可写成下面形式:y=kx+b当=90时,直线的方程可以写成x=x0的形式,由于是在坐标平面内讨论问题,所以这个方程
14、仍应认为是关于x、y的二元一次方程,其中y的系数是0,因此在平面直角坐标系中,任何一条直线的方程都是关于x、y的二元一次方程。下面证明,任何关于x、y的二元一次方程都表示一条直线。关于x、y的二元一次方程的一般形式是Ax+By+C=0其中A、B不同时为0。1)当B0时,方程Ax+By+C=0可化为y=-x-这就是直线的斜截式方程,它表示斜率为-,在y轴上截距为-的直线。x=-它表示一条与y轴平行或重合的直线。2)当B=0时,由于A、B不同时为0,必有A0,方程Ax+By+C=0可以化为根据以上讨论,又得到下面的结论:在平面直角坐标系中,任何关于x、y的二元一次方程都表示一条直线。把方程Ax+B
15、y+C=0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式。例4已知直线l经过点A(6,-4),斜率为-,求直线l的点斜式、截距式和一般式方程。解 经过点A(6,-4),并且斜率等于-的直线的点斜式方程是y+4=-(x-6)化成截距式方程是+=1化成一般式方程是4x+3y-12=0例5把直线l的方程x-2y+6=0化为斜截式方程,求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距,并画图。解 将原方程移项,得2y=x+6两边除以2,得斜截式方程y=x+3因此,直线l的斜率k=,它在y轴上的截距是3,在上面方程中令y=0,得x=-6即直线l在x轴上的截距是-6。画一条直线时,只要找出这条直线上的任意两点即可,
16、通常是找出直线与两个坐标轴的交点,上面已经求得直线l与x轴、y轴的交点为A(-6,0)、B(0,3),过点A、B作直线,就得直线l,如图9-16所示。图9-16第三节直线与直线的位置关系一、两直线的夹角同一平面内(不重合)的两条直线,要么相交,要么平行,两直线相交又可分为斜交和垂直两种情形,这里先研究两直线斜交时夹角的计算,后面再讨论两直线垂直和平行的充要条件。图9-17如图9-17所示,两条直线l1、l2相交,构成四个角(两对对顶角),其中不大于直角的角称为两直线的夹角。此外规定:两条直线平行或重合时=0,因此两直线夹角的取值范围是090。下面讨论如何求两条直线斜交时的夹角。设两条直线的方程
17、是l1:y=k1x+b1 l2:y=k2x+b2 它们的倾斜角分别是1、2(不妨设12),那么k1=tan1,k2=tan2 如图9-18a)所示,当02-1时,tan(2-1)0图9-18因此,不管2-1是锐角还是钝角,都有tan=由此得到两直线的夹角公式tan=例1求直线l1:x-2y-10=0与l2:3x-y+2=0的夹角。解 根据已知条件,两条直线的斜率分别为k1=,k2=3代入两直线的夹角公式得tan=1所以=45例2已知A(5,3)、B(7,-1)、C(-1,5)是三角形的三个顶点,求内角A(如图9-19)。图9-19解根据已知条件,直线AB、AC的斜率分别为kAB=-2,kAC=
18、-由图9-19可知,所求的内角A是钝角,而180-A才是锐角,由两直线的夹角公式得tan(180-A)=1所以180-A=45,A=135由例2可知,在利用两直线的夹角公式求三角形的内角时,应结合图形先观察所求角的取值范围,从而得出正确结果,否则例2就会得出错误结论=45。二、两条直线的平行和垂直在初中几何里,我们学习过平面内两条直线互相平行和垂直的位置关系,现在我们研究怎样通过直线的方程来判断平面内两条直线平行或垂直的关系。1.两条直线平行的充要条件设两条直线的方程分别是l1:y=k1x+b1 l2:y=k2x+b2 它们的倾斜角分别是1、2,(如图9-20),图9-20例3已知直线l1:2
19、x-4y+7=0l2:x-2y+5=0求证l1l2。证明 把l1,l2的方程写成斜截式有l1:y=x+l2:y=x+因为k1=k2,b1b2 所以l1l2 解 因为已知直线l的斜率是,所求直线与直线l平行,因此它的斜率也是,代入点斜式方程,所求直线的方程是y+3=(x-2)即3x-2y-12=02.两直线垂直的充要条件根据定义,两条直线垂直的充要条件是它们的夹角=设直线l1:y=k1x+b1与l2:y=k2x+b2相交(k1k2),其夹角为,则cot=因此,如果l1l2,那么=,cot=0,1+k1k2=0,即k1 k2=-1这就是说,两直线垂直,斜率互为负倒数。反之,如果k1k2=-1,即1
20、+k1k2=0,那么cot=0,又因为0 所以=,l1l2 这就是说,斜率互为负倒数,两直线垂直。综上所述l1l2k1k2=-1因此可以说:有斜率的两条直线互相垂直的充要条件是它们的斜率互为负倒数。例5已知两条直线l1:2x-4y+7=0l2:2x+y-5=0求证 l1l2 证明l1斜率k1=,l2的斜率k2=-2,k1k2=(-2)=-1所以l1l2 三、两条直线的交点设两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0l2:A2x+B2y+C2=0如果这两条直线交于一点,那么这个交点必同时在这两条直线上,所以交点坐标一定是方程组的解。反过来,如果此方程组有唯一一组解,则以这个解为坐标的点必是两条直线的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看以上方程组是否有唯一解。四、点到直线的距离在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为(x0,y0),直线l的方程是Ax+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离?下面通过实例来说明。例10求点P0(2,1)到直线l:3x-y+7=0的距离。图9-25解如图9-25所示,作P0P1l,垂足为P1,则点P0(2,1)到直线l的距离为d=P0P1 因为直线l的斜率是3,所以直线P0P1的斜率k=-,则直线P0P1的方程为y-1=-(x-2)即x+3y-5=0
