1、第四章第四章 资金时间价值与等值计算资金时间价值与等值计算 第一节第一节 资金的时间价值资金的时间价值 一、资金的时间价值一、资金的时间价值二、利息与利率二、利息与利率一、一、资金的时间价值概念资金的时间价值概念l在日常生活中，将一笔资金存入银行，经过一段在日常生活中，将一笔资金存入银行，经过一段时间后，银行会额外支付一定数额的利息，我们向银时间后，银行会额外支付一定数额的利息，我们向银行借贷一笔资金，偿还时，我们还需支付给银行额外行借贷一笔资金，偿还时，我们还需支付给银行额外的利息；又如用一笔资金参股投资，当投资项目产品的利息；又如用一笔资金参股投资，当投资项目产品销售出动后，我们会获得本金
2、，同时也可能获得红销售出动后，我们会获得本金，同时也可能获得红利利。这些现象都说明，运动资金的价值会随时间。这些现象都说明，运动资金的价值会随时间的推移而增值。的推移而增值。l对于资金的时间价值，可以从两个方面理解对于资金的时间价值，可以从两个方面理解:l首先，资金随着时间的推移，其价值会增加。增首先，资金随着时间的推移，其价值会增加。增值的原因是由于资金的投资和再投资，先到手的资金值的原因是由于资金的投资和再投资，先到手的资金可以用来投资而产生新的价值，因此今年的可以用来投资而产生新的价值，因此今年的1 1元钱比明元钱比明年的年的1 1元钱更值钱。从投资者的角度来看，资金的增值元钱更值钱。从
3、投资者的角度来看，资金的增值特性使资金具有时间价值。特性使资金具有时间价值。l 其次，资金一旦用于投资，就不能用于现期消费。其次，资金一旦用于投资，就不能用于现期消费。牺牲现期消费是为了能在将来得到更多的收益，个人牺牲现期消费是为了能在将来得到更多的收益，个人储蓄的动机和国家积累的目的都是如此。从消费者的储蓄的动机和国家积累的目的都是如此。从消费者的角度来看，资金的时间价值体现为对放弃现期消费的角度来看，资金的时间价值体现为对放弃现期消费的损失所做的必要补偿。损失所做的必要补偿。l它明确了运动的资金存在时间价值，树立起使它明确了运动的资金存在时间价值，树立起使用资金是有偿的观念。运动的资金具有
4、时间价值有用资金是有偿的观念。运动的资金具有时间价值有助于资源的合理配置，每个企业在投资时应至少能助于资源的合理配置，每个企业在投资时应至少能取得社会平均利润率，否则不如投资于其他项目。取得社会平均利润率，否则不如投资于其他项目。l 在工程经济学中，由于工程项目的建设、方案的在工程经济学中，由于工程项目的建设、方案的实施等都有一个时间上的持续过程，期间投入的成实施等都有一个时间上的持续过程，期间投入的成本资金或者获得的收益资金同样也具有时间价值，本资金或者获得的收益资金同样也具有时间价值，因此我们在对工程项目进行经济评价时，必须考虑因此我们在对工程项目进行经济评价时，必须考虑资金的时间价值，这
5、样才能真实、客观地评价工程资金的时间价值，这样才能真实、客观地评价工程项目的经济效果，这也是工程经济分析的方法基础。项目的经济效果，这也是工程经济分析的方法基础。二、二、利息与利率利息与利率l利息作为占用资金所出的代价或放弃使用资金所利息作为占用资金所出的代价或放弃使用资金所获得的报酬，其实是资金时间价值的一种表现形式。获得的报酬，其实是资金时间价值的一种表现形式。利息的计算实际上就是对借贷资金时间价值的计算。利息的计算实际上就是对借贷资金时间价值的计算。l 1 1利率及利息的计算利率及利息的计算l （1 1）利率）利率l利息率简称利息率简称利率利率，是指一个计算周期内利息额同，是指一个计算周
6、期内利息额同借贷资本额（本金）的比率。它体现了借贷资本增值借贷资本额（本金）的比率。它体现了借贷资本增值的程度，是计算利息额的依据。利率通常用的程度，是计算利息额的依据。利率通常用i i（interest rateinterest rate）来表示）来表示l其表达式为：其表达式为：l l （4-1）l式中：式中：一个计息周期的利息额一个计息周期的利息额；l 本金。本金。l 式（式（4-1）表明利率是单位本金经过一个计息周期）表明利率是单位本金经过一个计息周期后的增值额，它反映了本金增值的程度，是衡量资金后的增值额，它反映了本金增值的程度，是衡量资金时间价值的尺度。时间价值的尺度。1IiP1IP
7、l（2 2）利息）利息l如果一个人到银行存款或借款，到期会收到或支如果一个人到银行存款或借款，到期会收到或支付利息。人们在生活当中所接触到的利息概念指通过付利息。人们在生活当中所接触到的利息概念指通过银行借贷资金所支付或得到的比本金多的那部分增值银行借贷资金所支付或得到的比本金多的那部分增值额；工程经济中借用利息概念来代表资金时间价值，额；工程经济中借用利息概念来代表资金时间价值，指投资的增值部分。指投资的增值部分。l利息的计算取决于本金、计息期数和利率：利息的计算取决于本金、计息期数和利率：ll式中：式中：l总利息总利息(interest)(interest)；l本金；本金；l计息期数；计息
8、期数；l利率。利率。l利息的计算方法有单利和复利两种。利息的计算方法有单利和复利两种。(,)If P n iIPnil 单利单利l单利单利计算是指仅对本金计算利息，对所获得的计算是指仅对本金计算利息，对所获得的利息不纳入本金计算下期利息的计算方法。在以单利息不纳入本金计算下期利息的计算方法。在以单利计息的情况下，不论计息期数为多大，每期均只利计息的情况下，不论计息期数为多大，每期均只有本金计息，而利息不计利息，每期计算的利息都有本金计息，而利息不计利息，每期计算的利息都相等。整个计息期内总利息的计算公式如式（相等。整个计息期内总利息的计算公式如式（4-24-2）所示。所示。l （4-24-2）
9、l 计息期末获得的本金和利息之和（简称本利和）计息期末获得的本金和利息之和（简称本利和）为：为：l （4-34-3）l式中：式中：将来值，指年末的本利和。将来值，指年末的本利和。InPi (1)FPIPnPiPni Fnl 复利复利l复利计息复利计息指不仅对本金计算利息指不仅对本金计算利息,而且将所获得而且将所获得的利息也纳入本金来计算下期利息的计算方法。若的利息也纳入本金来计算下期利息的计算方法。若一笔借款，按复利计息，各期计算的利息及期一笔借款，按复利计息，各期计算的利息及期末的本利和如表末的本利和如表4-24-2所示。所示。l表表4-2 4-2 按复利计息的各期利息及期末的本利和按复利计
10、息的各期利息及期末的本利和 P 根据上表可得如下计算公式根据上表可得如下计算公式:l同一笔借款，在利率相同的情况下，用复利计算同一笔借款，在利率相同的情况下，用复利计算出的利息金额数比用单利计算出的利息金额数大，当出的利息金额数比用单利计算出的利息金额数大，当所借本金越大、利率越高、年数越多时，两者差距就所借本金越大、利率越高、年数越多时，两者差距就越大。越大。l按复利计息比较符合资金运作的实际情况，因为按复利计息比较符合资金运作的实际情况，因为资金时时刻刻在运动，利息也在投资再投资当中增值，资金时时刻刻在运动，利息也在投资再投资当中增值，所以如果没有特别说明，均按复利计息。所以如果没有特别说
11、明，均按复利计息。l 2 2名义利率和实际利率名义利率和实际利率l在工程经济分析中，复利计算通常是以年为计息在工程经济分析中，复利计算通常是以年为计息周期的，但在实际的经济生活中，计息周期也有按月、周期的，但在实际的经济生活中，计息周期也有按月、按季或按半年等多种情况。当计息期少于按季或按半年等多种情况。当计息期少于1 1年时，计算年时，计算周期的实际发生的利率称为周期的实际发生的利率称为计息周期利率计息周期利率，计息周期，计息周期利率乘以每年计息周期数称为利率乘以每年计息周期数称为年名义利率年名义利率，而实际计，而实际计算产生的利息占本金的比率称算产生的利息占本金的比率称实际利率实际利率。如
12、果不对计。如果不对计息期加以说明，则表示息期加以说明，则表示1 1年计息一次，此时的年利率就年计息一次，此时的年利率就是实际利率。如按月计息情况下，每年计息是实际利率。如按月计息情况下，每年计息1212次，则次，则年名义利率为月利率的年名义利率为月利率的1212倍，而年实际利率应为年利倍，而年实际利率应为年利息与本金之比。息与本金之比。实际计算利息时不用名义利率，而用实际利率。实际计算利息时不用名义利率，而用实际利率。名义利率只是习惯上的表示方法。如名义利率只是习惯上的表示方法。如“月利率月利率1%1%，每，每月计息一次月计息一次”，也可表示为，也可表示为“年利率年利率12%12%，每月计息，
13、每月计息一次。一次。若年名义利率为若年名义利率为 、年计息次数为、年计息次数为 ,则每次则每次计息的实际利率计息的实际利率 ，那么，那么:rmmrim一年未的利率为：一年未的利率为：(1)1mIFPriPPm26%(1)16.09%2(1)(1)mmmrFPiPm一年未的本利和为：一年未的本利和为：例如，每半年计息一次，一年需计息例如，每半年计息一次，一年需计息2 2次，若每次，若每半年计息利率为半年计息利率为3%3%，则年名义利率是，则年名义利率是6%6%，而年实际利，而年实际利率为率为:l3 3离散复利与连续复利离散复利与连续复利l若一年中计息次数是有限的，称为若一年中计息次数是有限的，称
14、为离散复利离散复利。例如，按季度、月、日等计息的方法都是离散复利。例如，按季度、月、日等计息的方法都是离散复利。若一年中计息次数是无限的，称为连续复利。若一年中计息次数是无限的，称为连续复利。l一般情况下，现金交易活动总是倾向于平均分一般情况下，现金交易活动总是倾向于平均分布，用连续复利计算更接近于实际情况。但在目前布，用连续复利计算更接近于实际情况。但在目前的会计制度下，通常都是在年底结算一年的进出款，的会计制度下，通常都是在年底结算一年的进出款，财务上也是按年支付税金、保险金和抵押费用等。财务上也是按年支付税金、保险金和抵押费用等。因此，在一般的工程经济计算中，通常采用离散复因此，在一般的
15、工程经济计算中，通常采用离散复利计算，而且以年作为计算周期。利计算，而且以年作为计算周期。一、一、资金等值的概念资金等值的概念二、现金流量与现金流量图二、现金流量与现金流量图 三、资金等值的计算公式三、资金等值的计算公式 第二节第二节 资金等值计算资金等值计算由于运动的资金具有时间价值，因而发生在不同时由于运动的资金具有时间价值，因而发生在不同时点上的资金不能直接比较。即使金额相等，由于发生点上的资金不能直接比较。即使金额相等，由于发生的时间不同，其价值并不一定相等；反之，不同时间的时间不同，其价值并不一定相等；反之，不同时间上发生的金额不等的资金，其价值却可能相等。例如，上发生的金额不等的资
16、金，其价值却可能相等。例如，现在的现在的100100元与一年后的元与一年后的110110元其数额并不相等，但若元其数额并不相等，但若在年利率为在年利率为10%10%的情况下，现在的的情况下，现在的100100元在一年后的本元在一年后的本利和恰好是利和恰好是110110元，则二者是等值的。元，则二者是等值的。一、一、资金等值的概念资金等值的概念 在同一系统中，处于不同时刻数额不同的两笔在同一系统中，处于不同时刻数额不同的两笔（或两笔以上）相关的资金按照一定的利率和计息（或两笔以上）相关的资金按照一定的利率和计息方式折算到相同时刻，所得到的资金数额若相等，方式折算到相同时刻，所得到的资金数额若相等
17、，则称这两笔或多笔资金是则称这两笔或多笔资金是“等值等值”的。的。由此可以得出：不同时点上数额不等的资金如由此可以得出：不同时点上数额不等的资金如果等值，则它们在任何同一时点上的数额必然相等。果等值，则它们在任何同一时点上的数额必然相等。影响资金等值计算的因素有三个：影响资金等值计算的因素有三个：在资金金额、发生的时间已知的情况下，利率是在资金金额、发生的时间已知的情况下，利率是资金等值计算的决定性因素。资金等值计算的决定性因素。资金金额的大小资金金额的大小资金发生的时间资金发生的时间计算的利率计算的利率l 1 1现金流量现金流量l在工程经济学中，把各个时间点上实际发生的在工程经济学中，把各个
18、时间点上实际发生的各种资金流出或流入统称为现金流或现金流量各种资金流出或流入统称为现金流或现金流量（Cash Flow）。）。二、二、现金流量与现金流量图现金流量与现金流量图 在某一时间点上，流出项目系统的资金称为在某一时间点上，流出项目系统的资金称为现金流出（或负现金流）；流入项目系统的资金现金流出（或负现金流）；流入项目系统的资金称为现金流入（或正现金流）；现金流入和现金称为现金流入（或正现金流）；现金流入和现金流出的代数和称为净现金流量。流出的代数和称为净现金流量。在实际的工程项目中，现金流出通常包括投资在实际的工程项目中，现金流出通常包括投资支出、经营成本、交纳的税金等，现金流入通常包
19、支出、经营成本、交纳的税金等，现金流入通常包括销售收入、回收的固定资产残值等。括销售收入、回收的固定资产残值等。为了分析方便，通常以为了分析方便，通常以1年为一个投入或收益期，年为一个投入或收益期，并将一年中的现金流入或流出的一律视其为发生在并将一年中的现金流入或流出的一律视其为发生在该年的年未，称为该年的年未，称为“年未习惯法年未习惯法”，便于计算机的，便于计算机的应用，也符合国家的规范要求。应用，也符合国家的规范要求。l2现金流量图现金流量图l由于资金时间价值的存在，使不同时间上发生的由于资金时间价值的存在，使不同时间上发生的资金无法直接比较，一定量的资金必须赋予相应的时资金无法直接比较，
20、一定量的资金必须赋予相应的时间才能表达其确切的量的概念。现金流量图可直观地间才能表达其确切的量的概念。现金流量图可直观地反映出现金流量的三个要素：现金流发生的时间、大反映出现金流量的三个要素：现金流发生的时间、大小及方向（如图小及方向（如图4-1所示）。所示）。l 图中的横轴是时间轴，轴上每一间隔代表一个时图中的横轴是时间轴，轴上每一间隔代表一个时间单位，通常是间单位，通常是“年年”（在特殊情况下也可以是季（在特殊情况下也可以是季或半年等）。时间轴上的点称为时点，表示该年的或半年等）。时间轴上的点称为时点，表示该年的年末，同时也是下一年的年初，通常把工程开工第年末，同时也是下一年的年初，通常把
21、工程开工第一年年初作为折算的基准起点。整个横轴表示我们一年年初作为折算的基准起点。整个横轴表示我们所研究的所研究的“系统系统”。与横轴垂直的有向线段代表流入或流出与横轴垂直的有向线段代表流入或流出“系统系统”的现金流量。其长度表示现金流量的值，根据现金的现金流量。其长度表示现金流量的值，根据现金流量的大小按比例画出。用向下的有向线段表示现流量的大小按比例画出。用向下的有向线段表示现金流出，向上的有向线段表示现金流入。有向线段金流出，向上的有向线段表示现金流入。有向线段在横轴上的位置表示该现金流量发生的时间。在横轴上的位置表示该现金流量发生的时间。当实际问题的现金流量发生的时间未明确时，我当实际
22、问题的现金流量发生的时间未明确时，我们规定：投资画在期初，经营费用和收益画在期未。们规定：投资画在期初，经营费用和收益画在期未。为使现金流量图能够提供更多的信息，在图上要标为使现金流量图能够提供更多的信息，在图上要标出注明每一笔现金流量的金额，在横轴的上方或下出注明每一笔现金流量的金额，在横轴的上方或下方标出系统的利率。方标出系统的利率。三、三、资金等值的计算公式资金等值的计算公式l 1 1公式的符号说明公式的符号说明l （1 1）现值（）现值（Present ValuePresent Value）l 现值是指资金在某一基准起始点的现金流量，通现值是指资金在某一基准起始点的现金流量，通常把将来
23、某一时点（或某些时点）的现金流量换算成常把将来某一时点（或某些时点）的现金流量换算成某一基准起始点的等值金额为某一基准起始点的等值金额为“折现折现”或或“贴现贴现”。折现后的资金金额便是现值。折现后的资金金额便是现值。值得注意的是值得注意的是“现值现值”并非专指一笔资金并非专指一笔资金“现在现在”的价值，它是一个相对的概念。如以第个时点作的价值，它是一个相对的概念。如以第个时点作为计算的基准起始点，则第为计算的基准起始点，则第 个时点上发生的个时点上发生的资金折现到第个时点时，所得的等值金额就是第资金折现到第个时点时，所得的等值金额就是第 个时点上的资金金额的现值。在工程经济分析个时点上的资金
24、金额的现值。在工程经济分析中，通常以工程开工的第一年年初作为折现的基准中，通常以工程开工的第一年年初作为折现的基准起点，但有时也把投产年初作为基准起始点。起点，但有时也把投产年初作为基准起始点。tt()tk()tkl （2 2）将来值）将来值F F（Future ValueFuture Value）将来值是相对于现值而言的，它发生在现值之后将来值是相对于现值而言的，它发生在现值之后将来某一个时点上的资金金额。将来某一个时点上的资金金额。l （3 3）年值）年值A A（Annual ValueAnnual Value）年值也称年均值或年等值，指每年均发生的等额年值也称年均值或年等值，指每年均发生
25、的等额现金金额序列。现金金额序列。l （4 4）折现率或利率）折现率或利率i i（Discount Rate/Interest RateDiscount Rate/Interest Rate）是反映资金时间价值的参数。工程经济学中利率是反映资金时间价值的参数。工程经济学中利率不是专指银行货款利率，主要指项目的收益率。不是专指银行货款利率，主要指项目的收益率。l （5 5）计息期）计息期n n（NumberNumber）计算利息的周期数。一般计算周期都以年为单位。计算利息的周期数。一般计算周期都以年为单位。l 2 2资金等值计算的公式资金等值计算的公式l利用等值的概念，可以把在一个时点发生的资金
26、金利用等值的概念，可以把在一个时点发生的资金金额换算成另一时点的等值金额。一般是计算一系列现金额换算成另一时点的等值金额。一般是计算一系列现金流量的现值、将来值或等额年值。流量的现值、将来值或等额年值。l （1 1）一次支付终值公式）一次支付终值公式l一次支付终值公式是计算现在时点发生的一笔一次支付终值公式是计算现在时点发生的一笔资金的将来值。例如，如果有一笔资金资金的将来值。例如，如果有一笔资金p p按年利率按年利率i i进行投资，进行投资，n n年后本利和应为多少？这项活动可用年后本利和应为多少？这项活动可用现金流量图（见图现金流量图（见图4-34-3）表示，）表示，n n年末的将来值计算
27、年末的将来值计算公式为：公式为：(1)nFPi（4-84-8）l 式中，式中，称为一次支付终值系数，记称为一次支付终值系数，记为为 ，这样式（，这样式（4-84-8）可以写成）可以写成:(1)ni(/,)F P i n(1)nFPi（4-84-8）(/,)FP FP i n 【例例4-34-3】某企业投资某企业投资10001000万元，年利率为万元，年利率为10%10%，4 4年后年后可得本利共多少？可得本利共多少？解：在上述问题中解：在上述问题中10001000万元，万元，10%10%，通过终值公，通过终值公式求解。式求解。（万元）（万元）一次一次支付终值公式是等值计算中的最基本公式，支付终
28、值公式是等值计算中的最基本公式，由式（由式（4-84-8）可以推导出其他的等值计算公式。）可以推导出其他的等值计算公式。41000(1 10%)1464.1F （2 2）一次支付现值公式）一次支付现值公式 一次支付现值公式是计算将来某一时点发生的一次支付现值公式是计算将来某一时点发生的资金的现值，是一次支付终值系数的逆运算。即已资金的现值，是一次支付终值系数的逆运算。即已知利率，在计息年后收益达到，求现值。知利率，在计息年后收益达到，求现值。其现金流量图如图其现金流量图如图4-44-4所示。所示。inFP 将式将式(4-8)(4-8)变换成由将来值求现值的公式，得到变换成由将来值求现值的公式，
29、得到一次支付现值公式。一次支付现值公式。（4-94-9）1(1)nPFi 式中式中 称为一次支付现值系数，记称为一次支付现值系数，记为为 ，这样式（，这样式（4-94-9）可表示为）可表示为:1(1)ni(/,)P F i n(/,)PF P F i nl【例例4-44-4】某企业欲在某企业欲在5 5年后得到年后得到200200万元的收益，万元的收益，若投资收益率为若投资收益率为10%10%，现在应投资多少？，现在应投资多少？l解：由题可知，将来值为解：由题可知，将来值为200200万元，计息期数为万元，计息期数为5 5年，利率为年，利率为10%10%，求现值，将上述已知条件代入，求现值，将上
30、述已知条件代入式（式（4-94-9）得：）得：P 即若收益率达到即若收益率达到10%10%，欲保证，欲保证5 5年后获利年后获利200200万万元，现在需投资元，现在需投资124.18124.18万元。万元。51200200 0.6209124.18()(1 10%)P 万元n （3 3）等额分付终值公式）等额分付终值公式 等额分付终值公式也称年金终值公式，是计算等额分付终值公式也称年金终值公式，是计算每年未等额发生的系列年金在期未的本利和。即每年未等额发生的系列年金在期未的本利和。即已知、，求。其现金流量图如图已知、，求。其现金流量图如图4-54-5所所示。示。把每期未的等额分付分别看成是一
31、次支付的现把每期未的等额分付分别看成是一次支付的现值，利用一次支付终值公式可以得到求次等额分值，利用一次支付终值公式可以得到求次等额分付的终值之和的计算式。付的终值之和的计算式。AinFn （4-104-10）将式（将式（4-94-9）两边同时乘以）两边同时乘以 ，得：，得：（4-114-11）用式（用式（4-114-11）减去式（）减去式（4-104-10），并整理，得：），并整理，得：（4-124-12）式中式中 ，称为等额分付终值系数，记，称为等额分付终值系数，记为为 ，这样式（，这样式（4-124-12）可表示为）可表示为:1210(1)(1)(1)(1)nnFAiAiAiAi(1)i
32、12(1)(1)(1)(1)(1)nnFiAiAiAiAi(1)1niFAi(1)1nii(/,)FA i n(/,)FA FA i n式式（4-10）的右端是求等比数列项的和，也可以用等比数列求和公式来推导式（4-12）。l【例例4-54-5】某人每年将某人每年将10001000元存入银行，若年利元存入银行，若年利率为率为10%10%，5 5年后可获得多少资金？年后可获得多少资金？l解：将题中相应已知条件代入公式（解：将题中相应已知条件代入公式（4-124-12），可），可得：得：lll即该人五年后可获得即该人五年后可获得6105.16105.1元。元。5(1 10%)110001000 6
33、.10516105.110%F（元）1(1)nPFi(/,)PF P F i n(/,)FP F P i n(1)nFPi(1)1niFAi(/,)FA FA i n （4 4）等额分付偿债基金公式）等额分付偿债基金公式 等额分付偿债基金公式又称等额分付资金积累公等额分付偿债基金公式又称等额分付资金积累公式。是在利率为式。是在利率为 的前提下，实现在未来偿还一笔债的前提下，实现在未来偿还一笔债务或积累一笔资金，确定每年应等额存储资金数额。务或积累一笔资金，确定每年应等额存储资金数额。即已知即已知 、，求，求？其现金流量图如图（？其现金流量图如图（4-64-6）所示。所示。将式（将式（4-124
34、-12）变换可得：）变换可得：（4-134-13）iFinA(1)1niAFi 式中，式中，为等额支付系列积累基金系为等额支付系列积累基金系数，记为数，记为 ，这样式（，这样式（4-134-13）可表示为）可表示为:(1)1nii(/,)A F i n(/,)AF A F i nl【例例4-64-6】某企业某企业5 5年后需一次性支付年后需一次性支付200200万元的借款，万元的借款，存款利率为存款利率为10%10%，从现在起企业每年等额存入银行多，从现在起企业每年等额存入银行多少钱？少钱？l解：将相应的已知数值代入公式（解：将相应的已知数值代入公式（4-134-13），得：），得：510%2
35、00200 0.163832.76()(1 10%)1A 万元 （5 5）等额分付现值公式）等额分付现值公式 等额分付系列现值公式是在利率为等额分付系列现值公式是在利率为 的情况下，的情况下，为了能在未来为了能在未来 年中每年年末提取相等金额年中每年年末提取相等金额 ，计算现在必须投资多少？这项活动可用图计算现在必须投资多少？这项活动可用图4-74-7表示。表示。inAl 把等式（把等式（4-84-8）代入等式（）代入等式（4-124-12）并整理，可得到：）并整理，可得到：l （4-144-14）l式中，称为等额分付现值系数，记式中，称为等额分付现值系数，记l为为 。l 式（式（4-144-
36、14）可表示为）可表示为:(1)1(1)nniPAii(1)1(1)nniii(/,)P A i n(/,)PA P A i nl【例例4-74-7】某工程项目每年获净收益某工程项目每年获净收益8080万元，利率为万元，利率为12%12%，项目可用每年所获的净收益在，项目可用每年所获的净收益在6 6年内回收初始投年内回收初始投资，问初始投资为多少？资，问初始投资为多少？l解：将相应的已知数值代入公式（解：将相应的已知数值代入公式（4-144-14）得：）得：l即该问题初始投资为即该问题初始投资为328.912328.912万元。万元。66(1 12%)18080 4.1114328.912()
37、12%(1 12%)P万元l （6 6）等额分付资本回收公式）等额分付资本回收公式l 等额分付资本回收公式是已知现值等额分付资本回收公式是已知现值 ，在利率为，在利率为 的情况下，计算期的情况下，计算期 年中每年未等回收的等额资金值。年中每年未等回收的等额资金值。现金流量图如图现金流量图如图4-84-8所示。所示。l图图4-8 4-8 等额分付资本回收计算现金流量图等额分付资本回收计算现金流量图Pinl 求式（求式（4-144-14）的逆运算，可得：）的逆运算，可得：l （4-154-15）l l 式中式中 为等额分付资本回收系数，记为等额分付资本回收系数，记为为 。所以，式（。所以，式（4-
38、154-15）可表示为）可表示为:(1)(1)1nniiAPi(1)(1)1nniii(/,)A P i n(/,)AP A P i nl【例例4-84-8】某工程项目期初总投资为某工程项目期初总投资为10001000万元，利率万元，利率为为5%5%，问在，问在1010年内要将总投资连本带息收回，每年年内要将总投资连本带息收回，每年等额净收益应为多少？等额净收益应为多少？l解：此题是已知现值，求以后解：此题是已知现值，求以后1010中的每年等额年中的每年等额年值，将已知数值代入公式（值，将已知数值代入公式（4-154-15），可得：），可得：10105%(1 5%)10001000 0.129
39、5129.5()(1 5%)1A万元l 2 2等值计算各公式等值计算各公式系数间系数间的的关系关系l 以上各个公式是相互联系的，为便记忆，整理公以上各个公式是相互联系的，为便记忆，整理公式中系数关系如下。式中系数关系如下。l （1 1）倒数关系倒数关系1(/,)(/,)P F i nF P i n1(/,)(/,)P A i nA P i n1(/,)(/,)FA i nA F i nl （2 2）乘积关系乘积关系(/,)(/,)(/,)F P i n A P i nFA i n(/,)(/,)(/,)FA i n A P i nF P i n(/,)(/,)(/,)A F i n F P i
40、 nA P i n(/,)(/,)A F i niA P i n （3 3）特殊关系特殊关系l 4 4运用上述公式要注意的问题运用上述公式要注意的问题l （1 1）方案的初始投资方案的初始投资，假设发生在寿命期初假设发生在寿命期初；l （2 2）寿命期内各项收入或支出寿命期内各项收入或支出，均假设发生在均假设发生在相相应应期的期末期的期末；l （3 3）上）上期的期未即是下一期的期初期的期未即是下一期的期初；l （4 4）是在计算期的期初发生是在计算期的期初发生，在计算期未发，在计算期未发生；生；等额支付系列等额支付系列，发生在每一期的期发生在每一期的期末；末；l （5 5）均匀梯度系列中均匀
41、梯度系列中，第一个发生在第二期期第一个发生在第二期期末。末。PFAG第三节第三节 资金的时间价值与等值计算资金的时间价值与等值计算一、一、计息期与支付期一致的计算计息期与支付期一致的计算二、二、计息期短于支付期的计算计息期短于支付期的计算 三、三、计息期长于支付期的计算计息期长于支付期的计算四、四、计算期利率不等的计算计算期利率不等的计算 五、五、还本付息方式的选择还本付息方式的选择 进行资金等值计算需要应用上述各计算公式进行资金等值计算需要应用上述各计算公式，要严要严格按照公式中格按照公式中F，P，A，i，n的含义、相互关系的含义、相互关系以及以及公式的公式的应用应用条件条件，注意，注意灵活
42、应用公式灵活应用公式。同时，还。同时，还应应注注意意现值、将来值现值、将来值是是相对的概念相对的概念，同一笔资金，在不同，同一笔资金，在不同的计算目标下可能具有不同的特点。另外，在实际工的计算目标下可能具有不同的特点。另外，在实际工程经济分析工作中，还会出现计息期与支付期不同的程经济分析工作中，还会出现计息期与支付期不同的情况，此时要利用名义利率和实际利率相关计算公式情况，此时要利用名义利率和实际利率相关计算公式进行灵活计算。进行灵活计算。一、一、计息期与支付期一致的计算计息期与支付期一致的计算【例例4-4-1 10 0】要使目前的要使目前的10001000元与元与1010年后的年后的2000
43、2000元等值元等值，年利率应为多少年利率应为多少？解解：由题可列出等式：由题可列出等式 ，即即 。查查教材教材后的附表后的附表可知可知 ，。用直线内插法可得用直线内插法可得：20001000/,10FP i/,102FP i/,7%,101.9672F P/,8%,102.1589F P2.0000 1.96720.070.010.070.00177.17%2.1589 1.96972i 【例例4-114-11】某人要购买一处新居某人要购买一处新居，一家银行提供一家银行提供2020年年期年利率为期年利率为6%6%的贷款的贷款3030万元万元，该人每年要支付多少该人每年要支付多少？解解：/,3
44、0/,6%,2030 0.08722.46APA P i nA P（万元）【例例4-124-12】分期付款购车分期付款购车，每年初付每年初付2 2万元万元，5 5年付清年付清。设年利率为。设年利率为10%10%，相当于一次现金支付的购价为多相当于一次现金支付的购价为多少少？解解：由题知，此题为已知年值求现值计算，但每年的：由题知，此题为已知年值求现值计算，但每年的年值发生在该年年初，与以前所讲公式应用条件不年值发生在该年年初，与以前所讲公式应用条件不一致。可以先应用等额分付现值公式计算第一致。可以先应用等额分付现值公式计算第2 2年至第年至第5 5年初（第年初（第1 1年至第年至第4 4年未）
45、的四笔年等值的现值，然年未）的四笔年等值的现值，然后再加上第一年初（现值点）的年等值，即为期初后再加上第一年初（现值点）的年等值，即为期初的一次性支付购价。现金流量图如图的一次性支付购价。现金流量图如图4-114-11所示。所示。图图4-11 4-11 例例4-124-12现金流量图现金流量图 /,22/,10%,522 3.7919.582PAAP A i nP A （万元）【例例4-134-13】拟建立一项永久性的奖学金拟建立一项永久性的奖学金，每年计划颁发每年计划颁发1000010000元元，若年利率为若年利率为10%10%，现在应存入多少钱现在应存入多少钱？解解：此题是已知年值，求现值
46、，可用下式计算：此题是已知年值，求现值，可用下式计算：而此题建立永久奖学金，即而此题建立永久奖学金，即 ,这时这时 ，所所以上式可变为以上式可变为：（4-19）11111nnniiPAAiiin10ni1PAi 将数据代将数据代入入上式得上式得：即现在需存入即现在需存入100000100000元建立永久奖学金，可以实现每元建立永久奖学金，可以实现每年颁发年颁发1000010000元的目标。元的目标。10000100000()10%P 元 【例例4-144-14】第第4 4年到第年到第7 7年每年年末有年每年年末有100100元的支付元的支付，利利率为率为10%10%，现金流量如图现金流量如图4
47、-4-1212所示所示，求与其等值的第求与其等值的第0 0年的现值为多大年的现值为多大？解解：此题现金流量集中在：此题现金流量集中在4 47 7年，不能直接应用已知年年，不能直接应用已知年值求现值公式，需将值求现值公式，需将4 47 7年的年值折算到第三年未（年的年值折算到第三年未（第四年年初）求，再将折算到期初求现值。第四年年初）求，再将折算到期初求现值。即即4 47 7年的年等值年的年等值100100元折到第元折到第0 0年初的等值资金为年初的等值资金为238.16238.16万元。万元。31/,100/,10%,4100 3.17317PAP A i nP A（万元）032(/,)317
48、/,10%,3317 0.7513238.16PPP F i nP F（万元）二、二、计息期短于支付期的计算计息期短于支付期的计算【例例4-154-15】年利率为年利率为12%12%，每季度计息一次每季度计息一次，每年年末支每年年末支付付500500元元，连续支付连续支付6 6年年，求求期初期初的现值为多少的现值为多少？解解：其现金流量如图其现金流量如图4-4-1313所示。所示。图图4-4-1313 例例4-154-15现金流量图现金流量图 正确区分名义利率和实际利率：正确区分名义利率和实际利率：“月月利率利率1%1%，每月计息一次，每月计息一次”，也可表示，也可表示为为“年利率年利率12%
49、12%，每月计息一次。，每月计息一次。计息期为季度计息期为季度，支付期为支付期为1 1年年，计息期短于支付期计息期短于支付期，该题不能直接套用利息公式该题不能直接套用利息公式，需使计息期与支付期需使计息期与支付期一致起来一致起来，计算方法有三种计算方法有三种：方法一方法一：计息期向支付期靠拢计息期向支付期靠拢，求出支付期的求出支付期的实际实际利利率率，其年其年实际实际利率利率为：为：40.121112.55%4i 500/,12.55%,62024PP A（元）方法二方法二：支付期向计息期靠拢支付期向计息期靠拢，求出计息期末的等额求出计息期末的等额支付支付：年利率为年利率为12%12%，每季度
50、计息一次，则季度利率为，每季度计息一次，则季度利率为 ，按此利率将每年未的支出计算成每季度按此利率将每年未的支出计算成每季度的等额支出，然后再计算每月等额支付的现值和。的等额支出，然后再计算每月等额支付的现值和。12%3%4500/,3%,4500 0.2390119.5AA F（元）/,3%,24119.5 16.93552024PA P A（元）方法三方法三：把把每年未的每年未的等额支付看等额支付看成该年最后一季度的成该年最后一季度的一次支付一次支付，按季度计息，按季度计息，求出每个支付的现值求出每个支付的现值和。和。500 0.5537500 0.4919500/,3%,4500/,3%
