1、工程振动测试技术工程振动测试技术刘习军刘习军 教授教授天津大学天津大学机械工程学院力学系机械工程学院力学系Theoretical Mechanics第第8章章 数字信号分析数字信号分析(II)-小波分析小波分析 小波分析是在小波分析是在Fourier分析的基础上发展起来的分析的基础上发展起来的，小波分析比，小波分析比Fourier分析有着许多本质性的进步。分析有着许多本质性的进步。Fourier分析进行的是频谱分析，小波分析提供了一分析进行的是频谱分析，小波分析提供了一种自适应的时域和频域同时局部化的分析方法。它种自适应的时域和频域同时局部化的分析方法。它在局部时在局部时-频分析中具有很强的灵
2、活性，被喻为时频分析中具有很强的灵活性，被喻为时-频分析的显微镜。频分析的显微镜。小波分析方法已广泛应用于信号处理、图像处小波分析方法已广泛应用于信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、地震勘探、理、模式识别、语音识别、地震勘探、CT成像、故成像、故障监控等众多的学科和相关技术的研究中。障监控等众多的学科和相关技术的研究中。小波分析是泛函分析、数值分析和广义函数论等小波分析是泛函分析、数值分析和广义函数论等众多学科知识结合结果。众多学科知识结合结果。傅里叶变换是把一个周期信号（时间变量为傅里叶变换是把一个周期信号（时间变量为t的函数）的函数）分解为不同的频率分量，这些基本的构造是正弦函数分解为
3、不同的频率分量，这些基本的构造是正弦函数和余弦函数，例如：和余弦函数，例如：傅里叶级数为傅里叶级数为Theoretical Mechanics1110)2sin()2cos(2)(nnntnfbtnfaatx 小波变换是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展小波变换是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的，从信号处理的角度认识小波，需要傅立叶变而来的，从信号处理的角度认识小波，需要傅立叶变换、傅立叶级数等基础知识。换、傅立叶级数等基础知识。21022210220101,sin)(,cos)(ntdtnftxTbntdtnftxTaTnTn，其中其中8.1 傅里叶变换的特点傅里叶变换的特点Theore
4、tical Mechanics其基函数分别为其基函数分别为ftnfnf-211e 2cos 2sin则对于非周期信号的傅里叶积分为则对于非周期信号的傅里叶积分为tetxfXftjd)()(2fefXtxftjd)()(2 于是，周期函数于是，周期函数x(t)就与下面的傅立叶序列产生就与下面的傅立叶序列产生了一一对应，即了一一对应，即 从数学上已经证明了，傅立叶级数的前从数学上已经证明了，傅立叶级数的前N项和项和是原函数是原函数x(t)在给定能量下的最佳逼近。在给定能量下的最佳逼近。),(),(,)(22110babaatf tx0d2sin2cos2)(lim201110ttnfbtnfaat
5、xTNkkkN 把信号把信号 用正弦和余弦信号展开用正弦和余弦信号展开Theoretical Mechanics然后忽略掉与滤除频率相应的系数。然后忽略掉与滤除频率相应的系数。2、信号滤波：、信号滤波：信号分析的作用信号分析的作用11()cos(2)sin(2)nnx tanf tbnf t1、信号压缩：、信号压缩：将信号表示成傅里叶级数，只需利用有关系数即将信号表示成傅里叶级数，只需利用有关系数即可重构。可压缩数据量。可重构。可压缩数据量。Theoretical Mechanics例如：例如：()sin(2)2cos(23)0.3sin(250)x tttt则得则得若若0.3sin(250)
6、t为噪音，则令为噪音，则令0.3为为0，重构即可，重构即可()sin(2)2cos(23)x ttt滤波前的图形滤波前的图形 滤波后的图形滤波后的图形Theoretical Mechanics傅里叶变换的几个重要性质：傅里叶变换的几个重要性质：性质性质1、正交性、正交性211001sin(2)sin(2)d=1nmnf tmf ttnm若若性质性质2、系数收敛原理、系数收敛原理11lim()cos(2)dlim()sin(2)d=0bbaannx tnf ttx tnf tt即随着即随着n 变大，傅里叶系数变大，傅里叶系数an 和和bn 收敛于零。收敛于零。推论：压缩原理推论：压缩原理 保留比
7、较大的有限个傅里叶系数，舍保留比较大的有限个傅里叶系数，舍去所有较小的傅里叶系数。（在反变换时只应用较大去所有较小的傅里叶系数。（在反变换时只应用较大的数）的数）性质性质3、对称性对称性()()F xtX设设 ，常数，常数 ，则，则()()F x tX0a 1()()F x atXaa物理意义：对物理意义：对a1，信号，信号x(t)被横向压缩为被横向压缩为x(at)，此时此时 X()却被拉伸为却被拉伸为 ，同理，对于，同理，对于a 1，信号信号x(t)被横向拉伸了，被横向拉伸了，X()被压缩了。被压缩了。例如：若例如：若a1，认为，认为x(t)、x(at)中中t与与a在同一在同一时间轴上标注，
8、则时间轴上标注，则t变小。变小。如如t=10，则，则at=10,t=10/a 则则t 变小。变小。1()Xaa性质性质4、伸缩性质伸缩性质注：傅里叶级数只适合于滤除或压缩具有近似注：傅里叶级数只适合于滤除或压缩具有近似周期性的信号。而对于局部信号就无能为力了。周期性的信号。而对于局部信号就无能为力了。这种分析方法是信号的一种全局的变换手段，这种分析方法是信号的一种全局的变换手段，要么完全在时域，要么完全在频域。要么完全在时域，要么完全在频域。利用傅里叶变换，可将一个时域信号利用傅里叶变换，可将一个时域信号 转化到频转化到频域域 上，使得信号的频域特性一目了然。上，使得信号的频域特性一目了然。因
9、此，傅里叶变换在近、现代的工程领域中得因此，傅里叶变换在近、现代的工程领域中得到了非常广泛的应用。到了非常广泛的应用。存在两点不足：存在两点不足：(1)(1)不能分析信号时域的局部特性；不能分析信号时域的局部特性；(2)(2)对非平稳信号的处理效果不好。对非平稳信号的处理效果不好。Theoretical Mechanics傅氏变换的缺点：傅氏变换的缺点：只适用于分析平稳信号，对于非平稳信号无只适用于分析平稳信号，对于非平稳信号无能为力；能为力；为了得到一个时域信号的频域特征，必须使为了得到一个时域信号的频域特征，必须使用信号在时域中的全部信息，甚至将来信息；用信号在时域中的全部信息，甚至将来信
10、息；如果信号在某一时刻的小领域内发生变化，如果信号在某一时刻的小领域内发生变化，而频谱无法标定变化的时间位置和发生变化的强度；而频谱无法标定变化的时间位置和发生变化的强度；对于包含高频信息和低频信息的信号来说，对于包含高频信息和低频信息的信号来说，时域精度和频域精度不容易调整。时域精度和频域精度不容易调整。即傅里叶变换不能分析局部时域信号的局部频谱即傅里叶变换不能分析局部时域信号的局部频谱特性。特性。Theoretical Mechanics非平稳信号如：音乐信号、语音信号等。非平稳信号如：音乐信号、语音信号等。WFT的数学表达式为：的数学表达式为：()(,)()()di tRGxbx t w
11、 tb et正变换正变换1()()(,)()d d2i tRRx teGxbw tbb 反变换反变换傅里叶变换对傅里叶变换对8.2 短时傅里叶变换短时傅里叶变换短时傅里叶变换是对傅里叶变换的改进，增强短时傅里叶变换是对傅里叶变换的改进，增强了处理非平稳信号的能力，又称为信号短时的时了处理非平稳信号的能力，又称为信号短时的时-频分析或窗口傅里叶变换（频分析或窗口傅里叶变换（WFT）Theoretical Mechanics时窗函数时窗函数w(t-b)的时域局部化表现的时域局部化表现组成窗函数的条件组成窗函数的条件 时窗函数，时窗函数，23/1 tbtw 23/1wt它与傅里叶分析的区别是在变换时
12、引入了它与傅里叶分析的区别是在变换时引入了时窗函时窗函数数w(t-b)。并通过参数。并通过参数b的变化，来实现信号的局部的变化，来实现信号的局部化，化，b 表示平移的时间。表示平移的时间。在短时傅里叶变换中被用作窗函数的是在短时傅里叶变换中被用作窗函数的是Gaussian函数，它的表达式为，函数，它的表达式为，241()2taagtea0a 参数参数 决定着窗函数的大小，如图所示。决定着窗函数的大小，如图所示。-5-4-3-2-101234500.20.40.60.811.2a取取1，0.25，0.625时的时的Gaussian函数函数窗函数窗函数 在时域内能够分析的信号长度为其在时域内能够分
13、析的信号长度为其时窗半径时窗半径12222()/()taaRRtg tdtg tdt 在频域内能够分析在频域内能够分析的信号的频率的信号的频率范围称为范围称为频窗半径频窗半径 为为12222()/()aaRRgdgd 经数学推导，经数学推导，t、的大小为的大小为ta 12 a 当参数当参数 a值的大小确定后，处于窗函数内的信号值的大小确定后，处于窗函数内的信号长度和可分析的频率范围也就随之确定下来。长度和可分析的频率范围也就随之确定下来。当窗函数的中心移动到当窗函数的中心移动到t=b位置时，时位置时，时-频窗的范围为频窗的范围为STFT 时时-频窗频窗参数参数a的大小决定窗口的形状，当窗函数为
14、的大小决定窗口的形状，当窗函数为Gaussian函数时，窗口的面积为定值函数时，窗口的面积为定值12t 11+22babaaa，对于其它窗函数，由对于其它窗函数，由Heisenberg不确定性定理不确定性定理12t 说明短时傅里叶变换的时间和频率分辨率不可说明短时傅里叶变换的时间和频率分辨率不可能同时达到最高。能同时达到最高。短时傅里叶变换的反演公式为短时傅里叶变换的反演公式为1()()(,)()2i tR Rx teGfb w tb d dt局限性：时频窗的形状和大小是固定的，它无局限性：时频窗的形状和大小是固定的，它无法自适应的调整分析窗口的大小，以较好的分析不法自适应的调整分析窗口的大小
15、，以较好的分析不同频段的信号。同频段的信号。如何在信号分析时，找到一个自适应的时如何在信号分析时，找到一个自适应的时-频频局部化方法是关键所在。局部化方法是关键所在。8.3 小波变换小波变换短时傅里叶变换中的窗函数如果选择为短时傅里叶变换中的窗函数如果选择为Gaussian函数，则这种变换被称为函数，则这种变换被称为Gabor变换。小波变换是在变换。小波变换是在Gabor变换的基础上发展而来的，它在窗函数中引入变换的基础上发展而来的，它在窗函数中引入尺度参数来实现窗口函数的伸缩，从而达到在分析信尺度参数来实现窗口函数的伸缩，从而达到在分析信号时自动调节时号时自动调节时-频窗的目的，这适应了实际
16、分析的频窗的目的，这适应了实际分析的需要。需要。小波变换很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反小波变换很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，可以区分突发信号和稳定信常现象并展示其成分，可以区分突发信号和稳定信号并确定其能量分布状态，被誉为信号分析的号并确定其能量分布状态，被誉为信号分析的“数数学显微镜学显微镜”。Theoretical Mechanics自适应窗函数的设计自适应窗函数的设计窗口窗口Fourier变换（变换（WFT）的变换公式为：）的变换公式为：()(,)()()di tRGxbx t w tb et 其思想是先将时域局部化为其思想是先将时域局部化为f(t)w(t-b
17、)，再对其进，再对其进行傅里叶变换。行傅里叶变换。换一个思维方式，若把换一个思维方式，若把w(tb)e+it看成为变换看成为变换函数，即函数，即()=()i twtbw tb e，则则()(,)()()dRGxbx t wtbt，其中，其中，“-”表示共轭。表示共轭。一、一、连续小波变换连续小波变换将其抽象为将其抽象为Theoretical Mechanics 这样也可把这样也可把 看作对看作对x(t)在时域和频域都能起限在时域和频域都能起限制作用的窗函数。制作用的窗函数。w,1()()a btbtaa其中其中 b平移量平移量(时间参数时间参数)a伸伸缩量缩量(频率参数频率参数)小波，顾名思义
18、指小区域的波，是一种特殊的长小波，顾名思义指小区域的波，是一种特殊的长度有限（紧支集）、快速衰减、均值为度有限（紧支集）、快速衰减、均值为0的波形。的波形。定义如下：定义如下：12,()(),0a btbtaa bRaa且21LL(0)0设设，且,a b则按照如下方式生成的函数族则按照如下方式生成的函数族称为小波函数，其中称为小波函数，其中 为基本小波或母小波。为基本小波或母小波。-12RC=()0d 基本小波基本小波 需满足以下的允许性条件需满足以下的允许性条件Theoretical Mechanics,(,)()()dxa bRW a bx ttt其中其中,1()()a btbtaa小波特
19、点小波特点2()d+Rtt()d0Rtt1、具有快速衰减性、具有快速衰减性 2、具有波动性、具有波动性连续连续小波变换表达式小波变换表达式为为(,)xW a b称为小波系数称为小波系数小波反变换公式小波反变换公式傅氏变换傅氏变换 其中其中Theoretical Mechanics,211()(,)()ddxa bRRx tW a btbaCa 2()dRC ,()()a ba bFt“”为傅氏变换记号。为傅氏变换记号。由此可知，小波变换是通过伸缩因子和平移因由此可知，小波变换是通过伸缩因子和平移因子的变化，小波窗沿时间轴移动在不同尺度上对整子的变化，小波窗沿时间轴移动在不同尺度上对整个时间域上
20、的函数变化进行分析。个时间域上的函数变化进行分析。小波变换是把信号分解成母小波按不同尺度伸小波变换是把信号分解成母小波按不同尺度伸缩和平移的小波函数上。缩和平移的小波函数上。Theoretical Mechanics a）正弦波傅里叶变换傅里叶变换 b）小波小波变换小波变换sin t()t傅里叶变换与小波变换元素示意图傅里叶变换与小波变换元素示意图 物理意义：小波函数物理意义：小波函数(t)相当于傅里叶变换中相当于傅里叶变换中的的e-jt，不同的是，不同的是e-jt在（在（-，+）无衰减，）无衰减，(t)在在很短时间内衰减。很短时间内衰减。Theoretical MechanicsTheore
21、tical Mechanics1a21a2a3t 2621t322t tab是是 经平移和伸缩的结果经平移和伸缩的结果 t其中其中b=1二、连续小波变换的时间二、连续小波变换的时间-尺度特性尺度特性()(,)()()RtbW x a bx tdta当尺度参数当尺度参数a 增大时，增大时，小波的时域宽度变窄，相当于镜小波的时域宽度变窄，相当于镜头向目标推进，在近距离下观测目标（信号）的细节。当尺头向目标推进，在近距离下观测目标（信号）的细节。当尺度参数度参数a 固定时，时间参数固定时，时间参数b 的变化相当于目标（信号）做平的变化相当于目标（信号）做平行移动，但和目标的距离保持不变。行移动，但和
22、目标的距离保持不变。其中其中 b平移量平移量 a伸伸缩量缩量小波系数小波系数Wx(a,b)是时间参数（平移因子是时间参数（平移因子 b）和尺）和尺度因子度因子a 的函数，它是双窗的，所以说小波变换是一的函数，它是双窗的，所以说小波变换是一种信号的时间种信号的时间-尺度分析。可以自动调整时频分辨率。尺度分析。可以自动调整时频分辨率。用镜头观测目标的例子可以形象说明用镜头观测目标的例子可以形象说明：在尺度上：在尺度上的伸缩变化和时域上的平移变换与镜头相对于目标的的伸缩变化和时域上的平移变换与镜头相对于目标的推进推进(远离远离)和平行移动是非常类似的。和平行移动是非常类似的。三、连续小波变换的时间频
23、率特性三、连续小波变换的时间频率特性 在容许条件的基础上，小波函数在容许条件的基础上，小波函数 在时域上是振在时域上是振荡的，其傅里叶变换荡的，其傅里叶变换 在频域上是一个带通函数，而在频域上是一个带通函数，而且在时域和频域上均具有良好的局部性。且在时域和频域上均具有良好的局部性。根据带通函数的定义，其时根据带通函数的定义，其时-频窗函数的主要参频窗函数的主要参数为：数为：时窗中心时窗中心时窗半径时窗半径 频窗中心频窗中心 频窗半径频窗半径 这些参数决定了时这些参数决定了时-频窗函数的特性。频窗函数的特性。Theoretical Mechanics时窗中心时窗中心 2*,2,01()d()a
24、bRa bttttt时窗半径时窗半径 1 22*2,01()()d()ta bRa bttttt 频窗中心频窗中心 2*,2,01()d()a bRa b频窗半径频窗半径 1 22*2,01()()d()a bRa b 有关计算公式有关计算公式时时-频窗面积为频窗面积为Theoretical Mechanics若取若取a=1,b=0，则标记为，则标记为 ，*t*说明了时说明了时-频窗的中心与半径与频窗的中心与半径与a、b的关系的关系224t 小波变换时小波变换时-频窗频窗(a1a2)*()11ttbta taaaa 信号经小波变换后，得到的结果用小波系数来信号经小波变换后，得到的结果用小波系数
25、来表示为表示为Wx(a,b)，小波系数，小波系数Wx(a,b)是尺度参数是尺度参数a、平、平移参数移参数b的函数。的函数。Theoretical Mechanics综合以上分析，傅立叶变换、短时傅立叶变换综合以上分析，傅立叶变换、短时傅立叶变换和小波变换三者的基函数实际上都是一组具有不同和小波变换三者的基函数实际上都是一组具有不同频率不同时宽的函数簇。频率不同时宽的函数簇。其区别在于，傅立叶变换的基函数是没有衰减其区别在于，傅立叶变换的基函数是没有衰减的，短时傅立叶变换和小波变换的基函数的两端是的，短时傅立叶变换和小波变换的基函数的两端是很快衰减到零的，所以它们具有时间局部性。很快衰减到零的，
26、所以它们具有时间局部性。而小波变换的时宽又是变化的，因此小波变换而小波变换的时宽又是变化的，因此小波变换的时频分辨率也是变化的，具有多分辨率的分析特的时频分辨率也是变化的，具有多分辨率的分析特性。性。进行连续小波变换的思路进行连续小波变换的思路（1）选择小波函数及其尺度）选择小波函数及其尺度a值；值；（2）从信号起始位置开始，将小波函数和信号代入）从信号起始位置开始，将小波函数和信号代入公式计算小波系数；公式计算小波系数；（3）改变参数）改变参数b，沿时间轴移动小波函数，在新的，沿时间轴移动小波函数，在新的位置计算小波系数，直到信号终点；位置计算小波系数，直到信号终点；（4）改变尺度）改变尺度
27、a值，重复值，重复(2)、(3)步。步。四、小波变换的基本步骤四、小波变换的基本步骤Theoretical Mechanics小波运算的基本步骤：小波运算的基本步骤：(1)选择一个小波函数，并将这个小波与要分析选择一个小波函数，并将这个小波与要分析的信号起始点对齐；的信号起始点对齐；(2)计算在这一时刻要分析的信号与小波函数的计算在这一时刻要分析的信号与小波函数的逼近程度，即计算小波变换系数逼近程度，即计算小波变换系数C，C越大，就意味越大，就意味着此刻信号与所选择的小波函数波形越相近，如图着此刻信号与所选择的小波函数波形越相近，如图所示。所示。Theoretical Mechanics (3
28、)将小波函数沿时间轴向右移动一个单位时间，将小波函数沿时间轴向右移动一个单位时间，然后重复步骤然后重复步骤(1)、(2)求出此时的小波变换系数求出此时的小波变换系数C，直，直到覆盖完整个信号长度，如图所示：到覆盖完整个信号长度，如图所示：Theoretical Mechanics (4)将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后重复步骤重复步骤(1)、(2)、(3)，如图所示，如图所示 (5)对所有的尺度伸缩重复步骤对所有的尺度伸缩重复步骤(1)、(2)、(3)、(4)。Theoretical Mechanics傅里叶变换与小波变换的过程示意图傅里叶变换与
29、小波变换的过程示意图Theoretical Mechanics 小波系数表示小波与信号相似的程度，小波系小波系数表示小波与信号相似的程度，小波系数越大，两者越相似。数越大，两者越相似。小波系数的大小还反映了信号在这一频率中心小波系数的大小还反映了信号在这一频率中心周围的频率成分的多少，小波系数越大，信号在这周围的频率成分的多少，小波系数越大，信号在这一频率中心周围的频率成分就越多。一频率中心周围的频率成分就越多。四、小波函数图形及选取四、小波函数图形及选取不同的小波具有不同的时频特征不同的小波具有不同的时频特征,选用不同的小选用不同的小波进行信号处理会产生不同的分析结果，即小波函数波进行信号处
30、理会产生不同的分析结果，即小波函数的选择十分重要，因此，选择合适的小波是小波变换的选择十分重要，因此，选择合适的小波是小波变换成败的关键。成败的关键。因为小波函数直接影响着小波分析的结果。一因为小波函数直接影响着小波分析的结果。一般来说，可根据应用需要般来说，可根据应用需要,选择合适的小波，通常往选择合适的小波，通常往往也通过经验或不断的试验来选择小波。往也通过经验或不断的试验来选择小波。从数学角度选择小波函数，要依据正交、线性从数学角度选择小波函数，要依据正交、线性相位、连续、紧支撑相位、连续、紧支撑“四项原则四项原则”来进行选择。来进行选择。由于小波函数表达式不像傅里叶变换中的函数由于小波
31、函数表达式不像傅里叶变换中的函数那么简单，为了对小波函数有一个初步的了解，下那么简单，为了对小波函数有一个初步的了解，下面给出几种常用小波的图形。面给出几种常用小波的图形。Theoretical Mechanics1、Daubechies小波一些常用的小波：一些常用的小波：Theoretical Mechanics2、Coiflets小波3、Symlets小波Theoretical Mechanics4、Morlet小波 5、Mexican Hat小波6、Meyer小波 由于小波选择的灵活性由于小波选择的灵活性，许多工作者定义了许多小，许多工作者定义了许多小波，在使用中可以根据解决波，在使用中
32、可以根据解决的问题进行选择。也可以自的问题进行选择。也可以自己定义小波，但要满足小波己定义小波，但要满足小波的条件。的条件。例例8-2、一个不同时段、不同频率的信号组成、一个不同时段、不同频率的信号组成了分时段信号，在了分时段信号，在t=00.25s时段，频率为时段，频率为100Hz，t=0.250.5s时段，频率为时段，频率为200Hz，振幅均为，振幅均为1cm，其时间的交接点为，其时间的交接点为0.25s，数学表达式为，数学表达式为sin(200)00.25()sin(400)0.250.5ttx ttt 分别对其进行傅里叶变换和小波变换，分析分别对其进行傅里叶变换和小波变换，分析其结果有
33、何不同。其结果有何不同。解：选用采样频率解：选用采样频率 fs=4000Hz，采样点数为，采样点数为N2000，则，则t=1/fs，采样时长，采样时长T=0.5s，生成的时间，生成的时间历程曲线如图所示，分别对其进行傅里叶变换和历程曲线如图所示，分别对其进行傅里叶变换和小波变换，求得结果如图所示。小波变换，求得结果如图所示。原时间历程曲线原时间历程曲线局部放大图局部放大图傅里叶变换结果傅里叶变换结果小波变换结果小波变换结果在实际信号处理中，信号多是以离散形式存在在实际信号处理中，信号多是以离散形式存在的，因此用离散小波变换更方便。的，因此用离散小波变换更方便。离散小波变换就是将尺度参数和位移参
34、数进行离散小波变换就是将尺度参数和位移参数进行离散取值。离散取值。通常将通常将 a,b(t)中的连续变量中的连续变量a和和b取作整取作整数离散形式：数离散形式：8.4 离散小波变换离散小波变换0jaa00jbka b对应的离散小波变为对应的离散小波变为12,000()jj kaatkb00b0a 1,j kZ信号信号 的离散小波变换系数为的离散小波变换系数为,()(,)()()j kW xj kx tt dt离散小波变换的重构公式为离散小波变换的重构公式为,()()(,)()j kj Z k Zx tW xj kt离散小波变换仅仅是对参数离散小波变换仅仅是对参数a、b进行离散化处进行离散化处理
35、，而并没有对信号理，而并没有对信号 以及离散小波以及离散小波 中的时间中的时间 t 变量变量 进行离散化，因此，被称为离散栅格进行离散化，因此，被称为离散栅格 a、b 下的小下的小波变换。波变换。2ja 2jbk,j kZ目前，常用的方法是取目前，常用的方法是取 a0=2，b0=1，即按下面，即按下面的式子对尺度因子和平移因子进行二进离散化的式子对尺度因子和平移因子进行二进离散化2,()2(2)jjj kttk二进离散小波二进离散小波二进离散小波可以看做一组倍频程带通滤波器，二进离散小波可以看做一组倍频程带通滤波器，二进离散小波变换也因此可以看做是一组具有倍频二进离散小波变换也因此可以看做是一
36、组具有倍频程带通滤波功能的恒带宽滤波过程。程带通滤波功能的恒带宽滤波过程。相应的小波变换为：相应的小波变换为：,()(,)(),()()()dj kj kRW xj kx ttx tttTheoretical Mechanics8.5 正交小波的快速算法正交小波的快速算法(Mallat算法算法)多分辨率分析是一种对信号的空间分解方法，多分辨率分析是一种对信号的空间分解方法，分解的最终目的是力求构造一个正交小波基，这些分解的最终目的是力求构造一个正交小波基，这些频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各异的带频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。通滤波器。Mallat算法是一种用于实
37、现小波多分辨率分析算法是一种用于实现小波多分辨率分析的快速算法，它是由的快速算法，它是由S.Mallat于于1988年提出的一个年提出的一个突破性成果，它在小波分析中的作用就相当于快速突破性成果，它在小波分析中的作用就相当于快速傅里叶变换（傅里叶变换（FFT）在傅里叶变换中的作用。）在傅里叶变换中的作用。Mallat算法的核心思想是由小波滤波器算法的核心思想是由小波滤波器H、G和和h、g对信号进行快速分解和重构。对信号进行快速分解和重构。在在Mallat算法中，算法中，H、G为分解滤波器，为分解滤波器，h、g为为重构滤波器，四者之间的具体关系如下：重构滤波器，四者之间的具体关系如下：1()()
38、()()()(1)nH nhnG ngng n(1)hn在分解算法中，每一次分解信号都被分解为低在分解算法中，每一次分解信号都被分解为低频和高频两个分量。分解算法如下：频和高频两个分量。分解算法如下：011()()()(2)()()(2)()jjkjjkA tf tA tHtk AtD tGtk At其中其中Aj 为信号为信号x(t)在第在第j层的低频部分的小波系层的低频部分的小波系数，数，Dj 为信号为信号x(t)在第在第j层的高频部分的小波系数层的高频部分的小波系数。由此可知，。由此可知，Mallat算法每次只对信号的低频部分算法每次只对信号的低频部分进行分解，而再不分解高频部分。进行分解
39、，而再不分解高频部分。Mallat分解算法图示分解算法图示重构算法可表示为重构算法可表示为11()2(2)(2)jjjkkA th tk Ag tk DMallat重构算法图示重构算法图示反映了信号在反映了信号在Mallat算法中的重构过程算法中的重构过程子带信号与原始信号具有如下关系子带信号与原始信号具有如下关系121()()()().()()nnnx ta td tdtd td t信号的信号的3层小波分解及频带划分规律层小波分解及频带划分规律x(t)为原信号，为原信号，a为低频部分为低频部分，d为高频部分，为高频部分，n为分解层次。为分解层次。它们它们包含了信号包含了信号从高频到低频多个从
40、高频到低频多个频带的信息，因此频带的信息，因此称为多分辨率分析称为多分辨率分析。同时还包含了原。同时还包含了原信号的时间信息信号的时间信息。d1(fs/22-fs/2)a1(0-fs/22)a2(0-fs/23)d2(fs/23-fs/22)d3(fs/24-fs/23)x(t)(0-fs/2)a3(0-fs/24)Theoretical Mechanics 信号经小波变换表现为不同子频带分量之和，反信号经小波变换表现为不同子频带分量之和，反映低频的局部分析在低频子频带中，反映高频的局部映低频的局部分析在低频子频带中，反映高频的局部分析在高频子频带中。分析在高频子频带中。小波变换并不像傅里叶变
41、换那样把时域信号表示小波变换并不像傅里叶变换那样把时域信号表示为若干精确的频率分量之和，而是表示为若干描述子为若干精确的频率分量之和，而是表示为若干描述子频带的时域分量之和。这是小波分析的特点。频带的时域分量之和。这是小波分析的特点。例例8-4 设一个由四个不同频率的正弦信号组设一个由四个不同频率的正弦信号组合而成的振动信号中夹杂瞬态衰减信号，数学表达合而成的振动信号中夹杂瞬态衰减信号，数学表达式为式为试用小波变换中的试用小波变换中的Mallat计算法将其分解。计算法将其分解。130(1.0)30(2.0)230(3.0)30()sin(30)sin(60)sin(90)sin(120)05.
42、120.9sin(260)1.01.24750.9sin(260)2.02.2475()0.9sin(260)3.03.24750.9ttttx ttttttettettx tette 4.0)12sin(260)4.04.2475()()()ttx tx tx t 解：选取采样频率为解：选取采样频率为400Hz，采样点数为，采样点数为2048，选，选择择Daubechies小波小波db40，利用，利用Mallat算法来分析信算法来分析信号，分解层数为号，分解层数为3层，信号可被分解为层，信号可被分解为4个分量，如个分量，如图所示。图所示。原信号时间历程曲线原信号时间历程曲线原信号的幅频曲线原
43、信号的幅频曲线小波变换系数的时频图小波变换系数的时频图二进离散小波分解，分解三层二进离散小波分解，分解三层各层信号频率范围：各层信号频率范围：重构一层的信号重构一层的信号a1:d1:100重构二层的信号重构二层的信号a2:d2:50重构三层的信号重构三层的信号a3:d3:25由于由于30Hz、45Hz的信号都在重构三层部的信号都在重构三层部分，小波变换不能再继续将高层两个频率信号分，小波变换不能再继续将高层两个频率信号分开。分开。若要必须将其分开时，在工程实际中可以若要必须将其分开时，在工程实际中可以根据工作需要，通过控制采样频率和选择合适根据工作需要，通过控制采样频率和选择合适的小波分量来获
44、取特定频率成分的信号。的小波分量来获取特定频率成分的信号。也可选用小波包变换将其分解。也可选用小波包变换将其分解。8.6 小波包变换小波包变换 Mallat算法每次仅仅是对信号的低频分量（算法每次仅仅是对信号的低频分量（近似部分）进行分解，而没有分解高频分量（细近似部分）进行分解，而没有分解高频分量（细节部分）。当我们需要把信号分解的很细时，仅节部分）。当我们需要把信号分解的很细时，仅仅靠仅靠Mallat算法可能不足以满足分析的需要。算法可能不足以满足分析的需要。小波包变换是在小波多分辨率分析的基础上小波包变换是在小波多分辨率分析的基础上建立起来的，它可以对信号任意子带的分量进行建立起来的，它
45、可以对信号任意子带的分量进行再次降半划分。这就解决了多分辨率分析（再次降半划分。这就解决了多分辨率分析（Mallat算法）在信号的高频区域内分辨率较低的算法）在信号的高频区域内分辨率较低的缺点。缺点。小波包变换思路小波包变换思路类似与类似与Mallat算法，小波包分解也是按照分算法，小波包分解也是按照分解尺度由低到高逐层向下分解，每层分解信号的解尺度由低到高逐层向下分解，每层分解信号的所有子带均被一分为二，并传至下一层。所有子带均被一分为二，并传至下一层。每层子带都将覆盖原信号所占的频率，而第每层子带都将覆盖原信号所占的频率，而第 j层共有层共有2j 个子带，它们均分了信号的整个可分析个子带，
46、它们均分了信号的整个可分析的频域。的频域。一般情况下子带的频域将按照由低到高的顺一般情况下子带的频域将按照由低到高的顺序排列。因为分解时每一层的小波基个数较多（序排列。因为分解时每一层的小波基个数较多（第第j 层共有层共有2j 个小波基），所以此算法称为小波包个小波基），所以此算法称为小波包变换。变换。小波包变换的快速算法小波包变换的快速算法设设 x(t)为一时间信号，为一时间信号，pij 表示第表示第 j层上的第层上的第 i个小波包，称为小波包系数，个小波包，称为小波包系数，G、H为小波分解滤为小波分解滤波器，波器，H与尺度函数有关，与尺度函数有关，G与小波函数有关。二与小波函数有关。二进小
47、波包分解的快速算法为：进小波包分解的快速算法为：1021121()()()(2)()()(2)()iijjkiijjkp tx tptH kt ptptG kt pt其中其中21,2,.,2;1,2,.,2;logJjjtiJN。小波包分解快速算法小波包分解快速算法应注意：分解得到的应注意：分解得到的p是小波包系数，不是原是小波包系数，不是原信号在某个频段的分量，根据小波变换理论，可将信号在某个频段的分量，根据小波变换理论，可将信号的原始数据作为处于最低层的小波包系数信号的原始数据作为处于最低层的小波包系数。由此可知，原始信号经过以分析频率由此可知，原始信号经过以分析频率fs的的n层小层小波包
48、分解后，频域将被分成波包分解后，频域将被分成2n 段，各小波包分量对段，各小波包分量对应的频段分别为应的频段分别为若频率信号较多，从理论上来说，只要取得若频率信号较多，从理论上来说，只要取得n值足够大，总是可将各频段信号进行分解的。值足够大，总是可将各频段信号进行分解的。2(1)(22)(21)(21)0,.,.,22222222nnnsssssssssnnnnnnnnfffkfkfffff二进小波包重构的快速算法为二进小波包重构的快速算法为21211()2(2)()(2)()iiijjjkkp th tk ptg tk pt式中式中h、g为小波重构滤波器，为小波重构滤波器，h与尺度函数有关，
49、与尺度函数有关，g与小波函数有关。与小波函数有关。1,2,.,1,0jJJ12,2,.,2,1jji2logJN小波包重构快速算法小波包重构快速算法分析频率为分析频率为fs信号经过信号经过n层的小波包分解后，层的小波包分解后，频域共被分成频域共被分成2n 段。段。小波包快速算法的三个关键的运算构成是：小波包快速算法的三个关键的运算构成是：1、与小波滤波器卷积；、与小波滤波器卷积；2、隔点采样；、隔点采样；3、隔点插零。、隔点插零。小波包快速算法与小波包快速算法与Mallat算法的区别只是对每算法的区别只是对每个尺度上高频部分的处理不同，在个尺度上高频部分的处理不同，在Mallat算法中，算法中
50、，对各尺度上高频部分不再予以进一步分解，而在小对各尺度上高频部分不再予以进一步分解，而在小波包快速算法中，对各尺度上的高频部分要再予以波包快速算法中，对各尺度上的高频部分要再予以进一步分解。进一步分解。因此。和小波变换相比，小波包具有更精细的因此。和小波变换相比，小波包具有更精细的信号分析能力，实际上无论是信号分析能力，实际上无论是Mallat算法，还是小算法，还是小波包快速算法，都是基于多分辨率分析的，所以两波包快速算法，都是基于多分辨率分析的，所以两者具有很强的共性就不足为怪了。者具有很强的共性就不足为怪了。例例8-5、一个分段的由频率为、一个分段的由频率为12Hz、37.2Hz、62Hz
