1、超静定结构与静定结构相比较,主要有如下方面特点:1)从几何组成看,静定结构为没有多余联系的几何不变体系,而超静定结*第10章超静定结构简介10.1超静定结构的特点构是具有多余联系的几何不变体系。这里所指的“多余联系”是指相对于静定结构的联系而言,这些联系是多余的。在多余联系中产生的力,称为多余未知力或多余约束力。超静定结构的多余联系不是唯一的,如图10-1a所示连续梁中,可以把支座链杆B看作多余联系,也可以把支座链杆C看作多余联系(如图10-1b、c所示)。图10-1综上所述,凡有多余联系存在,其约束力和内力不能完全由静力平衡条件确定的结构,称为超静定结构。超静定杆件结构的分类与一般结构分类相
2、同,也可分为超静定梁、刚架、桁架、拱以及组合结构。10.2求解超静定结构内力的方法简介计算超静定结构的基本方法可分为两大类:一类是力法,另一类是位移法。两类方法的主要区别在于基本未知量的选择不同。所谓基本未知量,指首先确定该未知量后,便可确定整个结构的内力和位移。在力法中,以多余联系的内力或约束力作为基本未知量;在位移法中,常以结构的结点位移(线位移或角位移)作为基本未知量。除力法和位移法外,还有力矩分配法,但它是以位移法为基础的一种渐近法。所必需的联系外,超静定结构存在着多余联系。多余联系是指在保持结构几何不变性的前提下可以除去的联系,必要联系是指为保持结构几何不变性所必需的联系。一个结构所
3、含多余联系的数目,称为超静定结构的超静定次数。确定超静定次数最直接的方法,是在原结构上解除多余联系,使超静定结构变成静定结构,去掉的多余联系的数目,就是原结构的超静定次数。1.超静定次数与力法基本结构10.2.1力法由上节可知,超静定结构与静定结构的基本区别在于,除了形成静定结构1)去掉一根支座链杆或切断一根链杆,相当于去掉一个联系,如图10-2、10-3所示。2)去掉一个铰支座或去掉一个单铰,相当于去掉两个联系,如图10-4、10-5示3)切断一根受弯杆或去掉一个固定端支座,相当于去掉三个联系,如图10-6示4)将固定支座改成不动铰支座,或将联接两根杆件的刚结点改为铰结点,或将受弯杆切断改成
4、铰结,各相当于去掉一个联系,如图10-7所示。为了确定一个结构的超静定次数,应掌握从超静定结构上解除多余联系的方法。去掉多余联系的方法常有如下几种:图10-6图10-7如图10-8a所示为三次超静定梁,图10-8b、c为去掉多余约束的基本结构,一个是悬臂梁,一个是简支梁,它们都是原结构的基本结构,去掉的多余约束都是三个。图10-82.力法基本原理力法是计算超静定结构内力的一种基本方法,现以图10-9a所示一次超静定梁来说明力法的基本原理。图10-9结构。为保持基本结构受力状态和原结构的一致,B支座处的支座约束力用FX1代替,称为基本未知量。同时,基本结构B支座处的几何变形要保持和原结构一致,即
5、竖向位移为零:=0。这样基本结构和原结构的受力状况是完全一致的,如果能够求出基本结构上的基本未知量,再利用静力平衡方程求出其余的支座约束力,则结构的内力也就可以全部求解出来,这就是力法分析的基本思路。将支座B链杆当成多余约束去掉,选取图10-9b所示的静定悬臂梁为基本所得结果为正,说明FX1的实际方向与基本结构中假设的方向相同。求得FX1后,原超静定结构的弯矩图M即可绘出,原结构弯矩图如图10-10所示。图10-10综上所述,力法的基本原理就是以多余约束的约束力作为基本未知量,取去掉多余约束的基本结构为研究对象,根据多余约束处的几何位移条件建立力法方程,求出多余约束力,然后求解出整个超静定结构
6、的内力。结构复杂或多余未知量较多的力法计算可参见其他力学书籍。10.2.2位移法位移法和力法一样,也是分析超静定结构的一种基本方法。19世纪末力法就用来分析各种超静定结构问题,但随着结构的日益增高和体型日益复杂,出现了大量高次超静定刚架结构,若再用力法计算就显得十分烦琐和困难。于是在20世纪初,在力法的基础上又提出了位移法。位移法与力法的主要区别是它们所选取的基本未知量不同。力法是以结构中的多余未知力为基本未知量,求出多余未知力后,再据此算得其他未知力和位移。而位移法是取结点位移为基本未知量,根据求得的结点位移再计算结构的未知内力和其他未知位移。位移法未知量的个数与超静定次数无关,这就使得对一
7、个超静定结构的力学计算,有时候用位移法比用力法计算要简单得多,尤其是对于一些超静定梁和刚架。1.位移法基本假定及杆端内力符号规定我们主要讨论等截面直杆组成的刚架、连续梁等结构。为了简化计算,用位移法讨论多跨超静定梁和刚架时,作如下基本假定:(1)杆件长度不变假定对于受弯杆件,通常忽略轴向变形和剪切变形的影响,认为各杆端之间的连线长度在变形后仍保持不变。这些基本假定是我们用位移法分析梁和刚架,画出结构变形示意图的主要依据。在位移法中,规定杆端弯矩绕杆端顺时针转动为正,逆时针转动为负。与此相应,对结点A(或B)来说,绕结点逆时针转动为正,顺时针转动为负,如图10-11所示。剪力和轴力的正负号规定同
8、前。图10-112.位移法基本思路如图10-12a所示超静定刚架,在荷载作用下,其变形如图中虚线所示。此刚架没有结点线位移,只有刚结点A处的转角位移。根据变形连续条件可知,AB、AC杆端在A点发生相同的转角A,假设A顺时针转动。为了计算每根杆件的内力,在结点A假设加上一个只限制刚结点转动但不限制移动的刚臂约束,如图10-12b所示图10-12根据杆端弯矩,作出弯矩图、剪力图、轴力图,如图10-13所示。图10-13a)M图b)FV图c)FN图通过以上分析可见,位移法的基本思路是:选取结点位移为基本未知量,在结点位移处假设相应的约束,把每段杆件视为独立的单跨超静定梁,然后根据其位移以及荷载写出各
9、杆端弯矩的表达式,再利用静力平衡条件求解出位移未知量,进而求解出各杆端弯矩。该方法正是采用了位移作为未知量,故名为位移法。而力法则以多余未知力为基本未知量,故名为力法。在建立方程的时候,位移法是根据静力平衡条件来建立,而力法则是根据位移几何条件来建立,这是两个方法的相互对应之处。10.2.3力矩分配法前面介绍的力法和位移法,是分析超静定结构的两种基本方法。两种方法都需要建立方程,需要求解方程甚至于要解联立方程。力矩分配法,是工程上广为采用的实用方法。它是一种渐近计算方法,可以不解方程而直接求得杆端弯矩。但它一般只能求解只有结点角位移的结构,因此用力矩分配法分析连续梁和无结点线位移超静定刚架内力
10、十分简便。力矩分配法以位移法为基础。因此,在力矩分配法中杆端弯矩正、负号的规定都与位移法相同,即杆端弯矩以顺时针转向为正,作用于结点的弯矩以逆时针转向为正;结点上的外力偶(荷载)仍以顺时针转向为正等。1.力矩分配法的三个基本概念(1)转动刚度图10-14所示各单跨超静定梁AB,使A端产生单位转角A=1时,所需施加的力矩称为转动刚度,用SAB表示,通常把产生转角的一端(A)称近端,另一端(B)称为远端。图10-14(2)分配系数现以图10-15a刚架为例,来说明分配系数和分配弯矩的概念。图10-15(3)传递系数在图10-15中,力偶矩作用于结点A,使各杆近端产生弯矩的同时,在各杆远端也产生弯矩
11、。各杆远端弯矩与近端弯矩的比值称为传递系数,用C表示。有了传递系数后,便可根据分配系数求得分配弯矩,再用分配弯矩乘以传递系数便得传递弯矩(即远端弯矩),用MjA表示,即传递弯矩=传递系数分配弯矩2.力矩分配法的基本思路图10-16a所示两跨连续梁,只有一个刚性结点B,在AB跨跨中作用有集中荷载F,BC跨作用有均布荷载q,刚结点B处有转角,变形曲线如图中虚线所示。如果在刚结点B处加上控制转动的附加刚臂将结点锁住,如图10-16b所示,则连续梁被附加刚臂分隔为两个单跨的超静定梁AB和BC,在荷载作用下其变形曲线如图10-16b中虚线所示。图10-16下面举例说明力矩分配法的计算步骤。【例】试用力矩
12、分配法作如图10-17a所示连续梁的弯矩图。图10-17 10.3简单超静定结构弯矩图的定性分析由上一节的学习我们知道,超静定结构的内力是可以求出的。上一节仅简单列举了三种常用的解算方法,事实上解算超静定结构的方法很多,这里就不再一一列举了。但我们应对简单超静定结构的弯矩图的大致形状有所了解,以便大致判断结构的危险截面位置,这对今后的工作大有好处。从图10-10可以看出,超静定梁的弯矩图和它的变形曲线(10-9b)有相似之处。在固定端不允许梁截面转动,因此在竖向荷载作用下,该截面上一定存在上部受拉的负弯矩;梁的中部下垂,所以跨中部分的弯矩使梁下部受拉;B支座是铰支,弯矩为零(无外集中力偶作用时
13、)。看来,把超静定结构的变形情况与杆件弯矩图的规律结合起来,就可大体上绘出超静定结构弯矩图的形状。10.3.1两端固定梁两端均为固定支座的梁,在竖直向下的荷载作用下,其变形曲线如图10-19b所示。可以判断:梁在两端产生上部受拉的弯矩;跨中区段产生下部受拉的弯矩。在均布荷载作用下,根据弯矩图形的规律,其弯矩图是一条下凸的二次抛物线(见图10-19c);在集中荷载的作用下,其弯矩图如图10-19e所示。弯矩图形在集中力作用的截面发生转折,而在无荷载作用区的图形为斜直线。0d)。10.3.2连续梁连续梁在竖向荷载作用下的变形曲线如图10-20b所示。可以判断:连续梁在中间支座处均产生上部受拉的负弯
14、矩;而在每跨的跨中区段则产生下部受拉的正弯矩。在均布荷载作用下连续梁的弯矩图,是一条下凸的二次抛物线(见图10-20c);在集中荷载作用下的弯矩图形为折线(见图10-210.3.3超静定刚架在定性画超静定刚架的弯矩图时,可首先判断刚架中横杆的变形情况,再辅以弯矩图的规律,其弯矩图形就可大体确定。例如图10-21a中的超静定刚架,在竖直向下荷载的作用下,横杆BC的变形与一根两端固定的梁相似(变形图见图10-21b),所以横杆的弯矩图与两端固定的梁相似;在刚节点B、C处,横杆与竖杆的弯矩值应相等,且受拉边在同一侧,所以竖杆B、C截面的弯矩值可以确定,且为外侧受拉;在竖杆BA、CD上均无横向荷载作用,它们的弯矩图均为斜直线,两支座A、D是内侧受拉的弯矩(见图10-21c),这一结果与刚架的变形情况及固定端支座的约束性能均相符。同理,可定性画出该刚架在集中荷载作用下的弯矩图(见图10-21d)。图10-21图10-22a中的刚架在水平力F作用下,刚节点C、D都将发生水平侧移。由于A、B两端均为固定支座,不允许截面的移动和转动,就形成了图中的变形曲线。由此可判断出:AC杆的A端产生外侧受拉的弯矩;C端则为内侧受拉的弯矩。再根据弯矩图的规律,可依次画出CD、DB杆的弯矩图(见图10-22b)。同理,图10-23所示刚架的弯矩图也不难画出。
