1、4.1轴向拉压杆的内力及轴力图第4章杆件的内力4.1.1轴向拉伸和压缩的概念在一对大小相等、方向相反、作用线与杆轴线重合的外力作用下,杆件将产生轴向伸长或缩短变形,这种变形称为轴向拉伸(见图4-1a)或轴向压缩(见图4-1b)。产生轴向拉伸或压缩的杆件称为拉杆或压杆。图4-1a)轴向拉伸b)轴向压缩杆,图4-2b所示房屋的砖柱,图4-2c所示起重架的杆AC、BC等,它们在工程中都是承受拉力或压力的。图4-2在房屋建筑工程中,经常遇到拉杆或压杆。例如图4-2a所示屋架的弦、腹进行杆件的强度计算,先要分析杆件的内力。现以图4-3a所示拉杆为例确定杆件任意横截面m-m上的内力。运用截面法,将杆沿截面
2、m-m截开,取左段为研究对象(如图4-3b所示)。考虑左段的平衡,可知截面m-m上的内力必是与杆轴相重合的一个力FN,且由平衡条件Fx=0可得FN=F,其指向背离截面。若取右段为研究对象,如图4-3c所示,同样可得出相同的结果。4.1.2轴力图4-3作用线与杆轴线相重合的内力,称为轴力,用符号FN表示。当杆件受拉时,轴力为拉力,其方向背离截面;当杆件受压时,轴力为压力,其方向指向截面。通常规定:拉力为正,压力为负。轴力的单位为牛顿(N)或千牛顿(kN)。【例4-1】杆件受力如图4-4a所示,在力F1、F2、F3作用下处于平衡。已知F1=6kN,F2=5kN,F3=1kN,求杆件AB和BC段的轴
3、力。图4-4图4-5必须指出:在计算杆件内力时,不能随意使用力的可传性和力偶的可移性原理,这些原理只有在研究力和力偶对物体的运动效果时才适用,而在研究物体的变形时不适用。例如图4-54.1.3轴力图表明各横截面轴力沿杆轴线变化规律的图形称为轴力图。以平行于杆轴线的坐标x表示杆件横截面的位置,以垂直于杆轴线的坐标FN表示轴力的数值,将各横截面的轴力按一定比例画在坐标图上,并连以直线,就得到轴力图。轴力图可以形象地表示轴力沿杆轴线变化的情况,明显地找到最大轴力所在的位置和数值。图4-6【例4-2】杆件受力如图4-6a所示,已知F1=20kN,F2=30kN,F3=10kN,试画出杆的轴力图。4.2
4、.1扭转的概念在垂直于杆件轴线的两个平面内,作用一对大小相等、转向相反*4.2圆轴扭转时的内力的力偶时,杆件就会产生扭转变形。扭转变形是杆件的基本变形之一,它的特点是各横截面绕杆轴线发生相对转动。杆件任意两横截面之间相对转过的角度称为扭转角(如图4-7所示)。工程中受扭的杆件很多,例如汽车转向盘的操纵杆(如图4-8a所示)、拧螺钉的螺钉旋具(如图4-8b所示)、建筑工地上的卷扬机轴。房屋的雨篷梁、现浇框架的边梁、平面曲梁或折梁、吊车梁也有扭转变形。工程中将受扭的圆截面杆称为圆轴。1.扭矩如图4-9a所示圆轴,在垂直于轴线的两个平面内,受一对外力偶矩Me作用,现求任意截面m-m的内力。求内力的基
5、本方法仍是截面法,用一个假想横截面在轴的任意位置m-m将轴截开,取左段为研究对象(见图4-9b)。4.2.2圆轴扭转时的内力扭矩在对圆轴进行强度计算之前先要计算出圆轴横截面上的内力扭矩。扭矩的单位与力矩相同,常用牛顿米(Nm)或千牛米(kNm)。图4-92.扭矩正负号规定为了使由截面的左、右两段轴求得的扭矩具有相同的正负号,对扭矩的正、负作如下规定:采用右手螺旋法则,以右手四指表示扭矩的转向,当大拇指的指向背离截面时,扭矩为正号;反之,当大拇指指向截面时为负号,如图4-10所示。图4-104.2.3扭矩图反映扭矩沿杆轴线变化规律的图形,称为扭矩图。扭矩图的绘制方法与轴力图相似,即以平行于杆轴线
6、的横坐标表示截面位置,以垂直于杆轴线的纵坐标表示扭矩的大小。正扭矩画在横坐标轴的上方,负扭矩画在横坐标轴的下方,就得到扭矩图。图4-11【例4-3】如图4-11a所示圆轴,A、B、C处各作用着外力偶,试画出该轴的扭矩图。4.3.1平面弯曲1.弯曲变形和平面弯曲概念4.3梁的内力杆件受到垂直于杆轴线的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用(见图4-12),杆件的轴线由直线变成曲线,这种变形称为弯曲。工程上将以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。图4-12弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形,例如房屋建筑中的楼(屋)面梁(见图4-13a、b)和阳台挑梁(见图4-13c、d)受到楼面荷载和自重的作用,将发生
7、弯曲变形。其他如楼(屋)面板、门窗过梁、吊车梁、楼梯踏步板、楼梯斜梁等,都是以弯曲变形为主的构件。图4-13工程中常见的梁,其横截面往往有一根对称轴(见图4-14)。对称轴与梁轴线所组成的平面,称为纵向对称平面(见图4-15)。外力偶都位于纵向对称平面内,梁变形后,轴线将在此纵向对称平面内弯曲。这种梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的弯曲,称为平面弯曲。平面弯曲是一种最简单,也是最常见的弯曲变形,本节将主要讨论等截面直梁的平面弯曲问题。工程中对于单跨静定梁按其支座情况分为下列三种形式:(1)悬臂梁梁的一端为固定端,另一端为自由端(见图4-16a)。(2)简支梁 梁的一端为固定铰支座,另一端为可动
8、铰支座(见图4-16b)。(3)外伸梁 其约束情况与简支梁相同,但梁的一端或两端伸出支座(见图4-16c)。根据梁的支座约束力能否用静力平衡条件完全确定,可将梁分为静定梁和超静定梁两类。2.单跨静定梁的几种形式图4-164.3.2梁弯曲时的内力剪力和弯矩1.剪力和弯矩的概念现以图4-17所示简支梁为例,其支座约束力FRA、FRB均可由平衡方程求得。假想将梁沿m-m截面截开。由于梁本身平衡,所以它每部分也平衡。取左段为研究对象,在FRA作用下为维持竖直方向平衡,须有一个与FRA大小相等、方向相反的力FV与之平衡;为保持该段不转动,须有一个与力矩MO(F)=FRAx大小相等、方向相反的力偶矩M与之
9、平衡,FV与M即为梁m-m截面上的内力,其中FV称为剪力,M称为弯矩。图4-17剪力的常用单位为牛顿(N)或千牛顿(kN),弯矩的常用单位为牛顿米(Nm)或千牛顿米(kNm)。由此可见,梁发生弯曲时,横截面上产生两种内力剪力和弯矩。剪力:与横截面相切的内力,用字母“FV”表示。弯矩:作用面与横截面相垂直的内力偶矩,用字母“M”表示。图4-182.剪力FV和弯矩M的正负号规定(1)剪力的正负号截面上的剪力FV使所考虑的脱离体有顺时针方向转动趋势时规定为正(如图4-18a所示),反之为负(如图4-18b所示)。图4-19(2)弯矩的正负号 截面上的弯矩使所考虑的脱离体产生向下凸的变形时规定为正(见
10、图4-19a),反之向上凸时规定为负(见图4-19b)。3.用截面法计算指定截面上的剪力和弯矩用截面法计算指定截面上的剪力和弯矩的步骤如下:2)用假想的截面在需求内力处将梁截成两段,取其中一段为研究对象。3)画出研究对象的受力图(注意:截面上的剪力和弯矩计算时均按正方向假设)。4)建立平衡方程,计算内力。1)计算支座约束力。【例4-4】简支梁如图4-20a所示。已知F1=30kN,F2=30kN,试求截面1-1上的剪力和弯矩。图4-20【例4-5】一个悬臂梁,其尺寸及梁上荷载如图4-21a所示,求1-1截面上的剪力和弯矩。图4-214.直接用外力计算截面上的剪力和弯矩通过上述例题,可以总结出直
11、接根据外力计算梁内力的规律。1)求剪力的规律梁内任意横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧所有外力在垂直于轴线方向投影的代数和。若外力对所求截面产生顺时针方向转动趋势时,等式右方取正号;反之,取负号。此规律可记为“顺转剪力正”。2)求弯矩的规律:梁内任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧所有外力(包括力偶)对该截面形心力矩的代数和。将所求截面固定,若外力矩使所考虑的梁段产生下凸弯曲变形时(即上部受压,下部受拉),等式右方取正号;反之,取负号。此规律可记为“下凸弯矩正”。利用上述规律直接由外力求梁内力的方法称为简便法。用简便法求内力可以省去画受力图和列平衡方程,从而简化计算过程。现举例说明。图4
12、-22【例4-6】用简便法求图4-22所示简支梁1-1截面上的剪力和弯矩。4.3.3梁的内力图为了计算梁的强度和刚度,除了要计算指定截面的剪力和弯矩外,还必须知道剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律,从而找到梁内剪力和弯矩的最大值以及它们所在的截面位置。1.用内力方程法绘制梁的内力图(1)剪力方程和弯矩方程从剪力和弯矩的计算过程可以看出,梁内各截面上的剪力和弯矩一般是随截面的位置而变化的。图4-23(2)剪力图和弯矩图【例4-7】简支梁受均布荷载作用如图4-24a所示,试画出梁的剪力图和弯矩图。图4-24剪力等于零的截面上弯矩有极值。结论:在均布荷载作用的梁段,剪力图为斜直线,弯矩图为二次抛物线。在图
13、4-25【例4-8】简支梁受集中力作用如图4-25a所示,试画出梁的剪力图和弯矩图。结论:在无荷载梁段剪力图为平行线,弯矩图为斜直线。在集中力作用处,左右截面上的剪力图发生突变,其突变值等于该集中力的大小,突变方向与该集中力的方向一致;而弯矩图出现转折,即出现尖点,尖点方向与该集中力方向一致。【例4-9】如图4-26所示简支梁受集中力偶作用,试画出梁的剪力图和弯矩图。图4-26结论:梁在集中力偶作用处,左右截面上的剪力无变化,而弯矩出现突变,其突变值等于该集中力偶矩。2.利用荷载、剪力和弯矩之间的关系绘制梁的内力图(1)荷载、剪力和弯矩之间的关系利用上述荷载、剪力和弯矩之间的微分关系及规律,可
14、更简捷地绘制梁的剪力图和弯矩图,其步骤如下:1)求支座约束力。(2)绘制剪力图和弯矩图的步骤2)分段,即根据梁上集中荷载和力偶作用点、均布荷载的起止点、梁的支承点将梁分段。3)根据各段梁上的荷载情况,判断其剪力图和弯矩图的大致形状。4)利用计算内力的简便方法,直接求出若干控制截面上的FV值和M值。面是指对内力图形能起控制作用的截面。一般情况下,选梁段的界线截面、剪力等于零的截面、跨中截面为控制截面。5)逐段直接绘出梁的FV图和M图。图4-27【例4-10】一外伸梁,梁上荷载如图4-27a所示,已知l=4m,利用荷载、剪力和弯矩之间的关系绘出此梁的剪力图和弯矩图。3.按叠加原理绘弯矩图(1)叠加
15、原理由于在小变形条件下,梁的内力、支座约束力、应力和变形等参数均与荷载呈线性关系,每一个荷载单独作用时引起某一参数变化不受其他荷载的影响。梁在几个荷载共同作用时所引起的某一参数(内力、支座约束力、应力和变形等),等于梁在各个荷载单独作用时所引起同一参数的代数和,这种关系称为叠加原理,如图4-29所示。图4-29用叠加法绘弯矩图的步骤:1)作出梁在每一个荷载单独作用下的弯矩图。2)将各弯矩图中同一截面上的弯矩代数相加(注意:不是图形的简单拼合)。【例4-12】试用叠加法画出图4-30a所示简支梁的弯矩图。图4-30解:(1)先将梁上荷载分为集中力偶M和均布荷载q两组。(2)分别画出M和q单独作用
16、时的弯矩图(如图4-30b、c所示),然后将这两个弯矩图相叠加。注:用叠加法作图,一般不能直接找出最大弯矩的精确值,若需要确定最大弯矩的精确值,应找出剪力FV=0的截面位置,求出该截面的弯矩,即得到最大弯矩的精确值。上面介绍了利用叠加法画全梁的弯矩图。现在进一步把叠加法推广到画某一段梁的弯矩图,这对画复杂荷载作用下梁的弯矩图和今后画刚架、超静定梁的弯矩图是十分有用的。图4-32a为一个梁承受荷载F、q作用,如果已求出该梁截面A的弯矩MA和截面B的弯矩MB,则可取出AB段为脱离体(见图4-32b)(3)用区段叠加法画弯矩图由此得出结论:任意段梁都可以当作简支梁,并可以利用叠加法来作该段梁的弯矩图。这种利用叠加法作某一段梁弯矩图的方法称为“区段叠加法”。图4-32
