1、应用数学 主编:河南机电学校基础部第六章数列在日常生活中，常常会遇到按某种顺序排成一列的数，如学生的学号是按自然数顺序依次排列的.某班共50人，则其学号可以编排为：1，2，3，50 (1)一些城镇街道的门牌号是一边按单数排列，另一边按双数顺序排列的.某街道共有300个门，一边150个，则它们的门牌号可编排为：1，3，5，299 (2)及 2，4，6，300 (3)第一节数列的概念某杂技团表演叠罗汉时，自下而上各层人数依次是 5，4，3，2，1 (4)上述例子中的数都是按照一定顺序排列而成的一列数，对于这样的数，给出下面定义：定义定义按照一定顺序排成的一列数a1,a2,a3，an,称为数列数列，
2、记作an.第一节数列的概念数列中的每一个数称为数列的一个项.a1称为第一项第一项，也称为首项，a2称为第二项，依次类推，an称为第第n n项项.第n项an中的n称为该项的序号称为该项的序号.例如：2，4，8，16，2n,(5)1/2,2/3,3/4,4/5,，n/n+1,(6)都是数列.第一节数列的概念如果一个数列的第n项an能用一个含n的解析式来表示，则称这个解析式为这个数列的通项公式数列的通项公式.例如，上述数列(5)的通项公式为2n，数列(6)的通项公式为n/n+1.一个数列，如果已知它的通项公式，可以据此求出它的每一项.第一节数列的概念反过来，有些数列的变化遵循比较明显的规律，我们也可
3、以通过观察写出它的通项公式.只有有限多项的数列称为有穷数列有穷数列.如前面例子中的数列(1),(2),(3),(4).有无穷多项的数列称为无穷数列无穷数列.如前面例子中的数列(5),(6).第一节数列的概念第二节等 差 数 列一、等差数列的概念一、等差数列的概念先看下面两个数列：1，3，5，7，9，11，(1)10，7，4，1，-2，-5，(2)这两个数列都有以下特点：从第2项起，每一项与它前面一项的差都等于常数.在数列(1)中，这个常数为2，在数列(2)中，这个常数为-3.对于这样的数列，给出以下定义.定义定义如果数列a1，a2，a3，an，从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数
4、，即a2-a1=a3-a2=an-an-1=则称这个数列为等差数列等差数列，这个常数称为等差数列的公差公差，它通常用字母d表示.因此上述数列(1)和(2)都是等差数列，数列(1)的公差d=2，数列(2)的公差d=-3.特别地，数列2，2，2，2，也是等差数列，它的公差为0.公差为0的数列称为常数列常数列.第二节等 差 数 列二、等差数列的通项公式二、等差数列的通项公式如果一个数列a1,a2,a3,an,是等差数列，它的公差是d，那么由定义可知由此可知，如果已知首项和公差，则等差数列an的通项公通项公式式可表示为从上式可以看出，对于等差数列，只要知道了它的首项和公差，就可以求出它的任意一项.第二
5、节等 差 数 列例如，如果一个等差数列an的首项是1，公差是2，那么将它们代入上面的公式，就得到这个数列的通项公式an=1+(n-1)2即an=2n-1.等差数列an的通项公式表示了首项a1、公差d、项的序号n以及第n项an这四个量之间的关系.因此只要知道了其中任意三个量，就可以求出另外一个量.第二节等 差 数 列第二节等 差 数 列第二节等 差 数 列第二节等 差 数 列第二节等 差 数 列三、等差中项三、等差中项一般地，如果在两个数a与b中间插入一个数D,使a，D，b成等差数列，那么D就称为a与b的等差中项等差中项.比如在10与6中间插入一个数8，那么10,8,6这三个数成等差数列，8就称
6、为10与6的等差中项.由定义可知，如果a，D，b成等差数列，则这就表明，两个数的等差中项就是它们的算术平均数.第二节等 差 数 列第二节等 差 数 列四、等差数列的前四、等差数列的前n n项和项和想一想你能用简便的方法计算前100个正整数的和吗?即1+2+3+4+99+100=?分析仔细观察数列1，2，3，4，96，97，98，99，100.这100个数可以分成50对，先计算每一对数的和：第二节等 差 数 列然后把每一对数的和101乘以50，便得出前100个正整数的和：10150=5050从小到大排成的正整数组成的数列就是一个等差数列.上述问题就是求这个数列的前100项的和.一般地，我们把等差
7、数列an的前n项的和记作Sn,即Sn=a1+a2+a3+an第二节等 差 数 列如何求Sn?从求前100个正整数的和的方法受到启发，我们先计算然后把这n个等式的左、右两边分别相加，得2Sn=n(a1+an)第二节等 差 数 列由此得出即等差数列的前n项和等于首、末两项和的一半与项数的乘积.由于an=a1+(n-1)d，代入上式便得出如果知道首项a1和公差d，可利用此公式计算等差数列的前n项和.在这两个公式中，都涉及四个变量的关系，只要知道其中任意三个，就可以求出第四个.第二节等 差 数 列第二节等 差 数 列第三节等 比 数 列一、等比数列的概念一、等比数列的概念先看下面两个数列：1，2，4，
8、8，16，(1)3，32，33，34，35，(2)这两个数列有这样的特点：从第2项起，每一项与它前面一项的比都等于一个常数.如在数列(1)中，这个常数为2；在数列(2)中，这个常数为3.对于这样的数列，给出下列定义.定义定义一般地，如果一个数列a1，a2，a3，an，从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，即则称这个数列为等比数列等比数列.该常数称为这个等比数列的公比，它常用字母q表示.上述数列(1)的公比为q=2；数列(2)的公比q=3.由于0不能当分母用，因此如果一个数列是等比数列，那么它的任何一项都不等于0，从而公比q0.第三节等 比 数 列二、等比数列的通项公式二、等比数列的
9、通项公式由等比数列的定义可知由此可知，等比数列的通项公式等比数列的通项公式为从等比数列的通项公式看出，只要知道首项a1和公比q，就可以求出等比数列的任何一项.第三节等 比 数 列第三节等 比 数 列第三节等 比 数 列第三节等 比 数 列第三节等 比 数 列三、等比中项三、等比中项一般地，如果在两个数a与b中间插入一个数G,使a，G，b成等比数列，那么G就称为a与b的等比中项等比中项.比如在2与8中间插入一个数4，那么2，4，8这三个数成等比数列.4就称为2与8的等比中项.如果G是a与b的等比中项，则G/a=b/G，即则容易看出，一个等比数列从第2项起，每一项(有穷等比数列的末项除外)是它的前
10、一项与后一项的等比中项.四、等比数列的前四、等比数列的前n n项和项和等比数列an的前n项和Sn为Sn=a1+a2+a3+an.根据等比数列an的通项公式，等比数列an的前n项和Sn也可以写成 Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1 (1)我们知道，把等比数列的任一项乘以公比，就可得到它后面相邻的一项.现将(1)式的两边分别乘以公比q，得到 qSn=a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn (2)第三节等 比 数 列比较(1)、(2)两式，我们看到(1)式的右边从第2项到最后一项，与(2)式的右边的第1项到倒数第2项完全相同.于是将(1)式的两边分别减去(2)式的两边，可以消去相同的项，得到(1-q)Sn=a1-a1qn第三节等 比 数 列当q1时，等比数列an的前n项和的公式为(3)因为a1qn=(a1qn-1)q=anq,所以上面的公式还可写成(4)很显然，当q=1时，则这个等比数列是a1，a1，a1，a1，第三节等 比 数 列从而它的前n项和是Sn=na1.求等比数列前n项之和，当已知a1，q，n时，用公式(3)；当已知a1，q，an时,用公式(4).在这两个公式中，都涉及四个量之间的关系，只要知道其中任意三个，就可求出第四个.第三节等 比 数 列第三节等 比 数 列第三节等 比 数 列
