1、1.定义定义kkknkksf),(lim10szyxfd),(2.性质性质kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),()1(21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21组成由ls d)3(l 曲线弧 的长度)Lszyxfd),(),(为常数szyxgLd),(3.计算计算 对光滑曲线弧,)(,)(,)(:ttytxLLsyxfd),(对光滑曲线弧,)()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf)(,(),()(:rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧tttd)()(22xx d)(12d)()(
2、22rr)(),(ttf1.定义kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧),1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2)L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!3.计算,)()(:tytxL:tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),()(),()(t)(t 对有向光滑弧 对有向光滑弧baxxyL:,)(:xxxQxxPbad )(,)(,
3、)(xLyyxQxyxPd),(d),(4.两类曲线积分的联系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应用 LD区域 D 分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(有“洞”区域)域 D 边界L 的正向正向:域的内部靠左域的内部靠左定理定理1.设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd(格林公式格林公式)函数在 D 上具有连续一阶偏导数,一、一、格林公式格林公式next证
4、明证明:1)若D 既是 X-型区域,又是 Y-型区域,且bxaxyxD)()(:21dycyxyD)()(:21则yxxQDdddcyyyQd),(2)()(21dyyxxQCBEyyxQd),(CAEyyxQd),(CBEyyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyQd),(1dcyddcyxoECBAbaD即yxxQDddLyyxQd),(同理可证yxyPDddLxyxPd),(、两式相加得:LDyQxPyxyPxQddddyxoL2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割1DnD2DnkDyxyPxQk1ddyxyPxQDddnkDkyQxP1ddLyQxPdd为有限个上述形式
5、的区域,如图)(的正向边界表示kkDD证毕推论推论:正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积LxyyxAdd21格林公式格林公式LDyQxPyxyPxQdddd例如例如,椭圆20,sincos:byaxL所围面积LxyyxAdd212022d)sincos(21ababab例例1.设 L 是一条分段光滑的闭曲线,证明0dd22yxxyxL证证:令,22xQyxP则yPxQ利用格林公式,得yxxyxLdd22022xxDyxdd00next例例2.计算,dd2Dyyxe其中D 是以 O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.解解:令,则2,0yexQPyPxQ利用格林公式,有Dyy
6、xedd2Dyyexd2yexOAyd2yeyyd102)1(211exy oyx)1,1(A)1,0(BD2ye例例3.计算,dd22Lyxxyyx其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解解:令,022时则当 yx22222)(yxxyxQ设 L 所围区域为D,)0,0(时当D由格林公式知0dd22Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPyxoLdsincos2022222rrr2,)0,0(时当D在D 内作圆周,:222ryxl取逆时针方向,1D,对区域1D应用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx2
7、222ddddL1Dloyx记 L 和 l 所围的区域为林公式,得二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2.设D 是单连通域,),(),(yxQyxP在D 内具有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有.0ddLyQxP(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分(3)yQxPdd),(yxuyQxPyxudd),(d(4)在 D 内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 next说明说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为 证明证明(1)(2)设21,LL2
8、1ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLyQxP21ddLLyQxP0AB1L2L2ddLyQxP1ddLyQxP为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1)BAyQxPddAByQxPdd证明证明(2)(3)在D内取定点),(00yxA因曲线积分),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux则),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可证yu),(yxQ因此有yQxPuddd和任一点B(x,y),与路径无关,),(yxxC),(y
9、xB),(00yxA有函数 证明证明(3)(4)设存在函数 u(x,y)使得yQxPuddd则),(),(yxQyuyxPxuP,Q 在 D 内具有连续的偏导数,xyuyxu22所以从而在D内每一点都有xQyPxyuxQyxuyP22,证明证明(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,DD(如图),上因此在DxQyP利用格林公式格林公式,得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所围区域为证毕yx说明说明:根据定理2,若在某区域内,xQyP则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求d u=P dx+Q dy在域 D 内的原函数:Dyx),(00及动点,),(DyxyyxQ
10、xyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;yA xoL例例4.计算,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 为上半24xxy从 O(0,0)到 A(4,0).解解:为了使用格林公式,添加辅助线段,AOD它与L 所围原式yxyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx3648 圆周区域为D,则例例5.验证yyxxyxdd22
11、是某个函数的全微分,并求出这个函数.证证:设,22yxQyxP则xQyxyP2由定理2 可知,存在函数 u(x,y)使yyxxyxuddd22),()0,0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0,0(。),(yx)0,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd022221yx例例6.验证22ddyxxyyx在右半平面(x 0)内存在原函数,并求出它.证证:令2222,yxxQyxyP则)0()(22222xyQyxxyxP由定理定理 2 可知存在原函数),()0,1(22dd),(yxyxxyyxyxuxx1d0)0(arctanxxyoxyyyxyx022d)0,(x)0,1(),(yx
12、oxy)0,(x)0,1(),(yx),()0,1(22dd),(yxyxxyyxyxu或),1(y内容小结内容小结1.格林公式LyQxPdd2.等价条件在 D 内与路径无关.yPxQ在 D 内有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd对 D 内任意闭曲线 L 有0ddLyQxP在 D 内有设 P,Q 在 D 内具有一阶连续偏导数,则有思考与练习思考与练习1.设,4:,1:222412yxlyxL且都取正向,问下列计算是否正确?Lyxxyyx22d4d)1(lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41Do2y1x2LlDd5415Lyxxyyx22dd)2(lyxxyyx22ddlxy
13、yxdd41Dd2412提示提示:时022 yxyPxQ)1(yPxQ)2(2.设,)56,4(),(grad42234yyxxyxyxu).,(yxu求提示提示:),(dyxuxxyxd)4(34yyyxd)56(422),(yxuyox),(yx)0,(xxxxd04yyyxyd)56(0422C551x322yxCy 5xxyxd)4(34yyyxd)56(422),()0,0(yxCCCCDyxoaaC ex 1.设 C 为沿yxaxyxaxxayCd)ln(2d22222222ayx从点),0(a依逆时针),0(a的半圆,计算解解:添加辅助线如图,利用格林公式.原式=321aaayayd)ln2(D222xaya222xayyxddC到点
