1、数量关系数量关系 第八章第一部分第一部分 向量代数向量代数 第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中:空间形式空间形式 点点,线线,面面基本方法基本方法 坐标法坐标法;向量法向量法坐标坐标,方程（组）方程（组）空间解析几何与向量代数 四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 第一节一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其线性运算.a或表示法:向量的模:向量的大小,21MM记作一、向量的概念一、向量的概念向量:(又称矢量).1M2M既有大小,
2、又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为 1 的向量,.a或记作 a零向量:模为 0 的向量,.00或，记作有向线段 M1 M2,或 a,a或.a或规定:零向量与任何向量平行;若向量 a 与 b大小相等,方向相同,则称 a 与 b 相等,记作 ab;若向量 a 与 b 方向相同或相反,则称 a 与 b 平行,ab;与 a 的模相同,但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称 两向量共线.若 k(3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此 k 个向量共面.记作a;二、向量的线性运算二、向量的线性运算1
3、.向量的加法向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.bbabbacba)()(cbacbaabcba cb)(cbacba)(aaba ba s3a4a5a2a1a54321aaaaas2.向量的减法向量的减法三角不等式ab)(ab有时特别当,ab aa)(aababaabababa0babaaa3.向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数,.a规定:时，0，同向与aa,0时,0时.0a;aa;1aa可见;1aa;aa 与 a 的乘积是一个新向量,记作，反向与aa总之:运算律:结合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba,0a若a则有单位向
4、量.1aa因此aaa 定理定理1.设 a 为非零向量,则(为唯一实数)证证:“”.,取 且再证数 的唯一性.则,0故.即abab设 abba取正号,反向时取负号,a,b 同向时则 b 与 a 同向,设又有 b a,0)(aaa baab.ab故,0a而“”则,0 时当例例1.设 M 为MBACD解解:ABCD 对角线的交点,0 时当ba,0 时当,aAB,bDAACMC2MA2BDMD2MB2已知 b a,b0a,b 同向a,b 反向ab.,MDMCMBMAba表示与试用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMDxyz三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系由三条互相
5、垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o,o 坐标面 卦限(八个)面xoy面yozzox面1.空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念xyzo向径在直角坐标系下 11坐标轴上的点 P,Q,R;坐标面上的点 A,B,C点点 M特殊点的坐标:有序数组),(zyx 11)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR)0,(yxA),0(zyB),(zoxC(称为点 M 的坐标坐标)原点 O(0,0,0);rrM坐标轴:轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面:面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo2.向
6、量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点 M,),(zyxM则沿三个坐标轴方向的分向量分向量.kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式,rkzjyix称为向量,r任意向量 r 可用向径 OM 表示.NMONOMOCOBOA,ixOA,jyOBkzOC四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算设),(zyxaaaa,),(zyxbbbb 则ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,0 时当aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成
7、比例:，为实数例例2.求解以向量为未知元的线性方程组ayx35byx23.211,212），（），（其中ba解解:2 3,得bax32)10,1,7(代入得)3(21bxy)16,2,11(例例3.已知两点在AB直线上求一点 M,使解解:设 M 的坐标为,),(zyx如图所示ABMo11MAB,),(111zyxA),(222zyxB及实数,1得),(zyx11),(212121zzyyxx即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOB AOOM)(OMOB OMOBOA(说明说明:由得定比分点公式定比分点公式:,121xx,121yy121zz,1时当点 M 为 AB 的中点,于是得x,22
8、1xx y,221yy z221zz ABMoMAB),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中点公式中点公式:五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222zyx),(zyxr 设则有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得),(111zyxA因AB得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx对两点与,),(222zyxB,rOM作OMr OROQOPBABAOAOBBA例例4.求证以)3,2,5(,)2,1,7(,)1,3,4(321MMM证证:1
9、M2M3M21MM 2)47(2)31(2)12(1432MM 2)75(2)12(2)23(631MM 2)45(2)32(2)13(63132MMMM即321MMM为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点例例5.在 z 轴上求与两点)7,1,4(A等距解解:设该点为,),0,0(zM,BMAM因为 2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求点为及)2,5,3(B.),0,0(914M思考思考:(1)如何求在 xoy 面上与A,B 等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B 等距离之点的轨迹方程?离的点.提示提示:(1)设动点为,)0,(yxM利用,BMAM得,0
10、28814 yx(2)设动点为,),(zyxM利用,BMAM得014947zyx且0z例例6.已知两点)5,0,4(A和,)3,1,7(B解解:求141)2,1,3(142,141,143.BABABABAoyzx2.方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量,ba任取空间一点 O,aOA作,bOBOAB称 =AOB(0 )为向量 ba,的夹角.),(ab或类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.,0),(zyxr给定与三坐标轴的夹角,rr称为其方向角方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦.记作),(baoyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycos
11、rz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性质:的单位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos例例7.已知两点)2,2,2(1M和,)0,3,1(2M的模、方向余弦和方向角.解解:,21,23)20计算向量)2,1,1(222)2(1)1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM例例8.设点 A 位于第一卦限,解解:已知角依次为,43求点 A 的坐标.,43则222coscos1cos41因点 A 在第一卦限,故,cos21于是(6,21,22)21)3,23,3(故点 A 的坐标为.)3,23,3(向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹,6AO且OAOAAOEx:解解:因pnma34)853(4kji)742(3kji)45(kjikji157131.设,853kjim,742kjin求向量pnma34在 x 轴上的投影及在 y轴上的分向量.13xa在 y 轴上的分向量为jjay7故在 x 轴上的投影为jip 5,4k2.设求以向量行四边形的对角线的长度.该平行四边形的对角线的长度各为11,3 对角线的长为解：解：为边的平mnnm,|,|nm|nm)1,1,1(nm)1,3,1(nm3|nm11|nm,2kjn,jim
