1、关键词：随机过程 状态和状态空间 样本函数 有限维分布函数 均值函数 方差函数 自相关函数 自协方差函数 互相关函数 互协方差函数 独立 不相关 正态过程 第十章 随机过程基本概念1 随机过程的定义和例子,(),TtT X tX t tT设 是一参数集，对任意是一个定义：随机变量,则称是随机过程.(,e)X t所有可能取值的全体称为状态空间(2)(,e)tX 是 的函数,称为样本函数:(,)(1)(,)X TSRX t eX t 是随机变量具体观察结果对随机过程的一次就是一条样本函数浙江大学随机过程4随机过程的分类：随机过程的分类：按照参数集T可分为离散时间和连续时间两种情况，状态空间为离散状
2、态和连续状态两种。离散时间离散状态 离散时间连续状态 连续时间离散状态1.连续时间连续状态,1nnpS并且各次的结果相互独例：（）某人在打靶，每次的命中率为表示前 次命中的次数立。用。二项过程 ;1,2,0,1,2,.nS nI是一个离散时间离散状态的随机过程。状态空间 则 123,1111,.)011iiiis s sssssss样本函数为：（：或，或 所有 n87654321ns321654浙江大学随机过程6 例2：考虑抛掷一颗骰子的试验：(1),1)1(nnXnnXn设是第 次抛掷的点数，的状态空间为 1,2,3,4,5,6。,11,2,3,4,5,(2)6nnYnY n设 是前 次出现
3、的最大点数,的状态空间仍是。n87654321nx321654nx(1)(2)n87654321ny321654ny,(0,2),()(),x tcost 状态空间是-,在内任取一数相应的就得到一个样本函数 这族样本函数的差异在于它们相位 的不同.()(),(0,2)();,X tcosttUX t t 随机相位正例3：(,和 是正常数,。是连续时间连续状态的弦波)随机过程。():x tvcos t 状态空间是-1,1.所有样本函数是:v 0,1(),0,1()X tVcos ttVUX t 例4：设是正常数，。则是连续时间连续状态随机过程。()0,N(),00,1,2,.N ttt t 例5
4、：以表示内到某保险公司理赔的人数。则是连续时间离散状态的随机过程,状态空间是i1230.,itttt假设不会有两人或两人以上同时理赔,设第 人理赔的时间为，则对应的样本函数为：1t2t3t4t1423()N tt2 随机过程的有限维分布分布函数两种描述特征数(),()(,)()(),(,),XXX t tTtTX ttFx tP X txxRX t tTFx t tT设随机过程对每一固定的随机变量的分布函数与 有关，记为，一维分布函数一维，分称为的称为布函数族1212121211221212(2,3,),(),(),(),(,)(),(),(),1,2,(),(,;,)nnXnnnniXnni
5、n nt ttTnX tX tX tFx xxt ttP X tx X txX txxR inX t tTFx xx tttTntn 对任意个不同的时刻，维随机变量它的分布函数记为：；，称为的称维分布函数维为分布函数族1212(,;,),1,2,(),XnniFx xx t ttntTX t tT称为随机过程的它完全确定了随机有限维分布函数族过程的统计特性浙江大学随机过程13随机过程在不同的时间点的随机变量，它们的联合分布要根据具体过程的性质加以计算，而不能直接把它们注：当成不一定独 立独立处理。浙江大学随机过程1412121210;,1nn0n110nnnmnnnnmppppXXnmXXSn
6、SppSnmXX例1：有把步枪，其中两把已校正，命中率为其余 未校正,命中率为这里.某人任取一把开始打靶，第 次命中 令为第 次命中的次数,即第 次未命中（）对，求（，）的联合分布律和边缘分布律。（2）以表示前 次命中的次数，求 的分布律。（3）若，写出所有样本函数，写出 的分布律.此时对，和独立吗？为什么？浙江大学随机过程15:,AA过程与此人拿到的枪是还是有关。若令取到已校正的枪则在计算过程的 有限维分布时要按照利用好枪坏枪是否发生全概 率式分析公 计算。浙江大学随机过程16112212011011222200121212(1)(1,1)(1,1|)()(1,1|)()0.20.8;0.2
7、(1)0.8(1);0.2(1)0.8(1)(0)0.2(1)0.8(1)(1)0.20.8nmnmnmnnpP XXP XXA P AP XXA P ApppppppppppP XppP Xpp同理:,A 解 令取到已校正的枪:由全概率公式得浙江大学随机过程171122(2)()(|)()(|)()0.2(1)0.8(1)0,1,2,.,nnnkkn kkkn knnP SkP Sk A P AP Sk A P AC ppC ppkn同样利用全概率公式浙江大学随机过程18(3)AA若 发生，则百发百中；若 不发生，则永不命中。nnSX只有两条样本函数1,2,3,4,.和0,0,0,.只有两条
8、样本函数1,1,1,.和0,0,0,.(0)()=0.8()0.2nnP SP AP Sn，(1|1)10.2(1)nmnmnXXP XXP X，因立为不独与110nmnmXAXXAX事实上若，则可判断 发生，从而所有的为；若，则可判断 不发生，从而所有的为0.打一枪的结果决定了所有枪的结果，所以各枪命中结果不独立。浙江大学随机过程19122.,(1)0.5(),(,)A BP AX tAtB tXX 例 设独立同分布，,写出并画出 随机过程的所有样本函数,计算的联合分布律和边缘分布律.浙江大学随机过程20:,)4()1;()1;()1;()1.A Bx ttx ttx ttx tt 解 过程
9、由（的取值完全决定。共有 条样本函数(A,B)X(1)X(2)(1,1)23(1,-1)01(-1,1)0-1(-1,-1)-2-3浙江大学随机过程2131-1-321/40001/4001/41/401/2-20001/41/41/41/41/41/411X2X)(2jXP)(1iXP浙江大学随机过程22(),0,12,()43(0)0.5,()0.5.4X tVcost tVtX tP XX 例3：设随机过程，在上均匀分布。(1)求在时的概率密度;(2)求 0,Vcos tacos t解：此过程由 的取值决定。若记，()X taV则的密度函数为：()1 011 0 X tVxxaafxfa
10、a其他cos0()0,cos;cos0()cos,0;cos0()0)1.tX tUttX tUttP X t即若,则若,则若,则()422,020,Xxfx其他 2()312,-020,Xxfx其他浙江大学随机过程25(0)0.5,()0.5420.5,0.5220.52212P XXP VVPV(2)浙江大学随机过程26 1138.(),.,(1)(1)1,(1);(2)1,1,430.3650100iniinniXXXP XpP XqpnSSP SSSp 例5甲乙两人游戏 第 次甲赢的钱数为元设独立同分布，。设前 次甲赢的总简单随机游钱数为求的分布律；（）若，游戏一直到甲恰好赢次动,醉汉
11、行走为止，问游戏需进行次以上的概率约为多少？浙江大学随机过程27.:浙江大学随机过程28(1)nSn的取值由前 次甲赢解：的次数决定(,),2.nnnnnnVnVb n pSVn VVn用表示前 次甲赢的总次数，则且（）22()(,22,-k nn knnnknP SkP Vpqknknnkn）=与 奇偶性相同 且浙江大学随机过程29138(2)P1,1,4SSS131831,0,3P SSSSS6210p q131831 0 3P SP SSP SS浙江大学随机过程305050100(3)5010050.WWV用表示甲恰好赢次时游戏进行的次数.则100100 100).VNppq由中心极限定
12、理，近似服从（，50100100(100)(50)(49)P WP VP V49 100()(2.71)0.9966.10ppq (,)(,(1)b n pN np npp近似22222(),()()()()()()()()()()XXXXXXXX t tTtE X ttE XttDtEX tttt均值函数均方值函给定随机过数方差函程记-数标-准差函数3 均值函数和协方差函数各数字特征之间的关系如下：12121212121122,(,)()()()(,)(),()()()()()()XXXXXXt tTRt tE X t X tCt tCov X tX tEX ttX tt又设任意自相关函数自
13、协方差函数 2,XXtRt t 121212,XXXXCt tRt ttt 2212,XXXXtCt tRt tt2(),()()X t tTtTE XtX t随机过程，如果对每一都存在，则称是二阶矩过程的均值函数和相定义：关函数二总阶矩过程.是存在的。浙江大学随机过程34()(),U(0,2)X tacostt 例2：求随机相位正弦波的均值函数、方差函数和自相关函数。解：1212(,)()()XRt tE X t X t()()XtE X t20102acostd212()()E a costcost221()2acostt221201()()2acostcostd22()(,)()XXXt
14、Rt tt22a浙江大学随机过程361()0,(0,1)()0tX ttUUUX tt例3：设，这里。问：；是否是二阶矩过程？122010()11t1 2t21,2ttE Xtdtut对，=：（），解()0X tt不；是二阶矩过程.浙江大学随机过程371212(),1,(),(),()(),nnX t tTnt ttTX tX tX tnX t tT 是一随机过程，对任意整数及任意服从维正态定分布，则称义：是正态过程.均值函正态过数和 程的全部统计 自协方差特性函数完全由它的所确定。浙江大学随机过程38();0(),(,)1,(1),(2),(1)(2)XXX t ttt Ct stsXXXX
15、例4.设是正态过程，求的分布。22)(,)1,()(,1)XXDtCt ttX tN t t解（：(1)(1,2),(2)(2,5).XNXN特别地，();0(1),(2)(1)(2)X t tXXXX是正态过程，服从正态分布，服从正态分布。(1)(2)123(1)(2)(1)(2)21213(1)(2)(3,13).XE XXD XXDXDXCXXN 又（），（，），225()cossin,0,.(1)()()()0.5,0,4(3),(0,)0,(0)()44X tAtBt tA BEAEBDADBP AP BXXA BNXXXX 例：设 独立,计算均值函数和自相关函数.2 如求（）（）的
16、分布律。如都服从，求（）（）的分布。()()()()0,E AE BE AB为解 1 因：222()()E AE B()cossinXtE AtBt故()cos()sin0E AtE Bt12(,)XRt t1122(cossin)(cossin)E AtBtAtBt21212(coscossinsin)tttt221cos()tt浙江大学随机过程412(2)0(42XA XAB（），）（），00.512(4412(4410(.42P XP XP ABP XP ABP XP ABP AB （）；（），），（），），（）=，）+，）=浙江大学随机过程42(3),(,)A BA B因为是相互独立的
17、正态变量，故是二维正态变量，()X t所以是正态过程12,nt ttT对任意一组实数12cossin(,),(),(),()itiinXAtBtA BX tX tX tn是的线性组合由正态分布的线性变换不变性,服从 维正态分布22(0)(0,),()(0,),4XNXN2222(0)()22cos(22),44(0)()(0,(22).4D XXXXN222(0)()1(0,(22).422XXABN或（）(),()(),()X t Y ttTX t Y ttT设是依赖于同一参数的随机过程二维，称为随机过程1211121212121212,;,(),(),();(),(),()(,;,;,;,
18、)nmnmnnmmt tt t ttTnmX tX tX tY tY tY tF x xx t tty yyt ttnm是 中任意两组实数，则维随机变量的分布函数：称为二维维随机过程的分布函数两个随机过程之间的关系：浙江大学随机过程4412111212,;,(),(),()(),(),()()()nmnmn mt ttT t ttTnX tX tX tmY tY tY tX tY t 对任意的正整数，任意的数组 维随机变量与维随机变量相互独立，称随机过相程和互独立的互相关函数:121212121212(,)()(),(,)()(),XYYXRt tE X t Y tt tTRt tE Y t
19、X tt tT1212112212121212121212(,)Cov(,)()()()()(,)()(),(,)(,)()(),XYttXYXYXYYXYXYXCt tXXEX ttY ttRt tttt tTCt tRt tttt tT互协方差函数:浙江大学随机过程461212,(,)0,()()XYt tTCt tX tY t如果对任意的恒有称随机过程不和是相关的。浙江大学随机过程47121212(),(),()(),(),(,),(,),()()(),(,).XYXYZZtX tY tZ tttCt tCt tX tY tt Ct t例6：某保险公司的收入由老人寿险收入和儿童平安保险收入组成。设到时刻 为止，老人寿险收入为儿童平安保险收入为总收入为。已知并知过程与不相关。求()()()Z tX tY t解：()()()ZXYttt1211221212(,)()(),()()(,)(,)ZXYCt tCov X tY tX tY tCt tCt t
