1、1Pl2PnPABc12,nP PP)(xM2()2lMxUdxEI 01P lABc0P()M x20()2lMxUdxEI 13-7 13-7 单位载荷法单位载荷法-莫尔积分莫尔积分0P0UnPPP21,U0P100UUUP 222()2lMxdxUEI nPPPP210,2()()()MxM xM x12UU 2200()2lMxUUPdxEI22()()2()()2lMxMxM x M xdxEI()()lM x M xdxEI 1P2PnPl0PABc1P2PnPl0PABc()()lM x M xdxEI 二、莫尔积分的应用：二、莫尔积分的应用：1 1、计算梁发生弯曲变形的位移：l
2、dxEIxMxM)()(2 2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移：sdsEIsMsM)()(3 3、计算圆轴发生扭转变形的位移：lPdxGIxTxT)()(4 4、计算杆发生轴向拉压变形的位移：ldxEAxNxN)()(5 5、计算桁桁架节点位移：niiiiAElNN1.6 6、计算结构组合变形的位移：llPldxEAxNxNdxGIxTxTdxEIxMxM)()()()()()(三、莫尔积分的应用范围：三、莫尔积分的应用范围：线弹性结构线弹性结构四、四、的符号的含义：的符号的含义：1 1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同2 2、-：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反注意
3、：在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时，必须保证注意：在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时，必须保证内力方程分段相同内力方程分段相同，并且每段，并且每段自变量的基准点相同自变量的基准点相同PCy01P()()()()()()PlllM x M xT x T xN x N xdxdxdxEIGIEA 1x1x3x3x2x2x)(xM()M x()(),PlT x T xdxGI q2lAB2lCCB()()lM x M xdxEI ()()lN x N xdxEA ,q l EIqB2lA2lC1x2x01P B2lA2lC1x2x2111()22qlqM xxx111()2M xx10,xl1
4、0,2lx10,2lx211102()()lCM x M x dxEI 42211110115()()222384lqlqqlxxx dxEIEI C2ql2ql1212B2lA2lC1x01M 1l1l2111()22qlqM xxx10,xl111()M xxl 10,xl11101()()lBM x M x dxEI 21111011()()22lqlqxxx dxEIl 324qlEI 1xqB2lA2lC2ql2ql:B()(1 cos)MPR()(1 cos)MR01()()AyMMRdEI 320(1cos)PRdEI ()()sM s M sdsEI 332PREI ddsAB
5、ddsAy1niiiiiiNNlE A 1N2N1N4N3N1245NNNN2cos303oPP33PN a12450NNNN31N 3N1N2NiNiNiiiNNlil13524100003P3P3P3P3Paaaaa3Pa0000BD51iiiBDiNNlEA 1()3PaEAiNiNiiiNNlil13524100003P3P3P3P3Paaaaa3Pa00000.577PaEA ()()()()()()PlllM x M xT x T xN x N xdxdxdxEIGIEA 1EI2EIaa1EI2EIaa1x1x2x2x11()M xPx 11()M xx 2()M xPa 2()
6、N xP 2()M xa 2()1N x 11()M xPx 2()M xPa 2()N xP 2()M xa 11()M xx 2()1N x 11121220011()(1)()()()()aaAyPaPxx dxPaa dxEIEIEA 312211()3PaPaEIIEA1212,III AAA12yy 3124,3yyPaPaEIEA222133()44yyIiAaa1EI2EIaa1x2x1EI2EIaa1x2x10ab222133()44yyIiAaa231()416002 3 10bb1EI2EIaa1x2x1EI2EIaa1x2x11()M xPx 2()M xPa 2()1
7、M x1()0M x222201()1aBPaPadxEIEI ()MPRsin ()(1)TPRcos ()MRsin ()(1)TRcos 00()()()()BPMMTTyRdRdEIGIdd33322PPRPREIGI 1x2x111()0,3PM xx xa 1112()0,3M xx xa 3P23P3xBaADaaP1EI1EI2EIC2313BaADaa11EI1EI2EIC2222()0,3PM xx xa 3332()0,33PaPM xx xa 2221()0,3M xx xa 3332()0,33aM xx xa 1x2x3x1112()0,3M xx xa 11122
8、2333112000111()()()()()()aaaDM x M x dxM xM x dxM xM x dxEIEIEI 2111221100333321201212()()3333121813333354aaaxPPxx dxxdxEIEIPPaaPaxxdxEIEII 2221()0,3M xx xa 3331()0,33aM xx xa 111()0,3PM xx xa 2222()0,3PM xx xa 3332()0,33PaPM xx xa 2xaAPBCDEFOP2a1x111()0,M xPx xa111()0,M xx xa22()0,M xPa xa22()0,M x
9、a xa333()0,M xPx xa333()0,M xxxa2xaPDEFO2a1x3xP2xa1DEFO2a1x2xaPDEFO2a1x3x111222333000222()()()()()()aaaAFM x M x dxM xM x dxM xM x dxEIEIEI 111()0,M xPx xa111()0,M xx xa22()0,M xPa xa22()0,M xa xa333()0,M xPx xa333()0,M xxxa322211233000222103aaaAFPaPx dxPa dxPx dxEIEIEIEI 111()0,M xPx xa111()0,M xx
10、xa22()0,M xPa xa22()0,M xa xa333()0,M xPx xa333()0,M xxxa01()()AyMMRdEI 4442003sin23(1cos)242qRqRqRdEIEIEI 计算均布外压小曲率曲梁弯曲变形的A点竖直位移yA：()()sM s M sdsEI ABddsdp=qds=qRd(cos)(1cos)MRRR 220()sin()1 cosMqRdqR 2()sin()sin()dMRdPqRd ABdds1CM()()lM x M xdxEI1()()lM x M x dxEI()M xx tg()()lM x M x dx()lx tgM x
11、 dx()ltgx M x dxctgxtgx d()()ClM x M x dxMCMEI 又cCtgxM()M x()M xdxxcxCl13-813-8 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法l58l38ll34l4lhh23lh13lh为了计算方便，列出了比较常见图形的面积和形心坐标为了计算方便，列出了比较常见图形的面积和形心坐标三、应用图乘法的注意事项：三、应用图乘法的注意事项：CM)(xM()M x为一条折线时，为一条折线时，必须以折点为界必须以折点为界,分段图乘分段图乘)(xM)(xM注：综合来讲，决定图乘分段的因素有三个：注：综合来讲，决定图乘分段的因素有三个：1()Mx3(
12、)Mx1 kkCkiMEIDD12M1()DCMEI1(21 2)aPaEI EIPa24注：当原载荷和单位载荷引起的内力图都是直线时，注：当原载荷和单位载荷引起的内力图都是直线时，是单位载荷引起内力图的面积是单位载荷引起内力图的面积CM是单位载荷引起内力图的形心对应到原载荷引起的内力图的纵坐标是单位载荷引起内力图的形心对应到原载荷引起的内力图的纵坐标11221()DCCMMEI113(021)22PaPaa PaaEI EIPa24CM二、图乘法的应用：二、图乘法的应用：CMEI CPTGI CNEA CCCPMTNEIGIEA CCMEIq2lAB2lC例例1:已知已知,q l EI求求:
13、C点铅垂方向的位移点铅垂方向的位移 和和B点转角点转角CB28ql4l01P l解：解：1、画原载荷引起的内力图：、画原载荷引起的内力图：2、求、求C施加单位载荷施加单位载荷3、画单位载荷引起的内力图、画单位载荷引起的内力图4、图乘：、图乘：24238448qlllqlEIEI 11CCMEI22CMEI2422553828 4384qlllqlEIEI q2lAB2lC28qlB2lA2lC01M CBMEI2121()382qllEI 324qlEI 12,ByAPa2Pa123ByaaaPI2I12223()CBaPaaMyEIEI11223311()()2ByMMMEIEI112()2
14、223aaPa aPa aEI 3512PaEI A1112211()()2AMMEIEIPa2Pa121112Pa aEI 254PaEI 1(2)1)22PaPaaEI aaPI2I例例4：平面结构空间受力，：平面结构空间受力，AB和和BC两杆具有相同两杆具有相同的刚度，的刚度，求：求：1.A 端的铅垂位移；端的铅垂位移；2.A端绕端绕BC 轴线（轴线（X轴）的转角。轴）的转角。X3、画单位载荷引起的内力图、画单位载荷引起的内力图11223311()()ACCCPyMMTEIGI11412(22)2323aaFaaFa aEI 12()PFaaaGI 2、求、求A 端的铅垂位移端的铅垂位移
15、施加单位载荷施加单位载荷 Fa2Fa1C2CMa2aM43a23a解求解求 ：1、画原载荷引起的内力图、画原载荷引起的内力图 Ay4、图乘：、图乘：2、求、求A点绕点绕BC轴转角轴转角施加单位载荷施加单位载荷 3、画单位载荷引起的内力图、画单位载荷引起的内力图4、图乘：、图乘：11223311()()ACCCPyMMTEIGI111(2201)22FaaFa aEI 1(21)PFaaGIFa2Fa1C2CMM111解解 求求 ：1、画原载荷引起的内力图、画原载荷引起的内力图 A1)列原载荷引起的内力方程:)()(PRSinM)1()(CosPRTP1)()(RSinM)1()(CosRT4)积分计算位移00)()()()(RdGITTRdEIMMyPB3P23P图乘法求图乘法求BaADaaP1EI1EI2EIC2313BaADaa11EI1EI2EIC2）求）求D施加单位载荷施加单位载荷11441332221()1()DYMMEIMMEI2212223121422()2 392 3914()322 3 981354PaaPaaEIPa aPaaEIPaEII 14234/9a1/2a2/9a1/3a+1/3*1/3a=4/9a作业作业13-14（图乘图乘）13-15（图乘图乘）13-17（积分）13-25（积分）13-30（积分）38谢谢！谢谢！
