1、ThemeGallery PowerTemplate国家国家“十二五十二五”规划教材规划教材信号与系统信号与系统 重点重点难点难点零状态响应、零输入响应零状态响应、零输入响应 冲击响应冲击响应 2-12 微分方程系统的特性微分方程系统的特性 如果需要获得关于如果需要获得关于LTI系统的更多信息，可以进一步将描系统的更多信息，可以进一步将描述系统的微分方程的响应分解成两个响应分量的叠加：其述系统的微分方程的响应分解成两个响应分量的叠加：其中一个响应分量只由系统的初始状态（或条件）决定，称中一个响应分量只由系统的初始状态（或条件）决定，称为系统的自然响应（记为为系统的自然响应（记为 ），由于此时系
2、统的输入被），由于此时系统的输入被置为零，故又称为零输入响应（记为置为零，故又称为零输入响应（记为 ）；另一个响应）；另一个响应分量则由系统的外部输入信号产生，称为系统的受迫响应分量则由系统的外部输入信号产生，称为系统的受迫响应（记为（记为 ），由于此时系统的初始状态被置为零，故又），由于此时系统的初始状态被置为零，故又称为零状态响应（记为称为零状态响应（记为 ）。因此，对于连续时间）。因此，对于连续时间LTI系系统，其微分方程的完全响应（解）就可以有以下统，其微分方程的完全响应（解）就可以有以下3种描述形种描述形式式()ny t()ziyt()fyt()zsyt2-12 微分方程系统的特性微
3、分方程系统的特性齐次解齐次解-特解描述形式：特解描述形式：（2-12-1）自然响应自然响应-受迫响应描述形式：受迫响应描述形式：（2-12-2）零输入响应零输入响应-零状态响应描述形式：零状态响应描述形式：（2-12-3）()()()hpy ty tyt()()()nfy ty tyt()()()zizsy tytyt2-12-1 自然响应自然响应 前面已经强调，微分方程系统的初始状态决定方程前面已经强调，微分方程系统的初始状态决定方程的齐次解的齐次解 ，而齐次解在完全解中的成份又被称为系，而齐次解在完全解中的成份又被称为系统的自然响应统的自然响应 。注意到自然响应假定了零输入条件。注意到自然
4、响应假定了零输入条件（如果输入不为零则强迫置零），描述的是由非零初始（如果输入不为零则强迫置零），描述的是由非零初始状态所体现的系统储能的方式，故又称为零输入响应状态所体现的系统储能的方式，故又称为零输入响应 显然这显然这3个术语彼此是等价的。个术语彼此是等价的。()hy t()ny t()ziyt 由于自然响应有零输入条件约束，故其响应形式由于自然响应有零输入条件约束，故其响应形式应如齐次解形式，并且与特解无关。而齐次解中的待应如齐次解形式，并且与特解无关。而齐次解中的待定系数定系数 ，可根据系统的初始状态确定。除此之外，可根据系统的初始状态确定。除此之外，因为齐次解满足整个时间区间，不需要
5、进行初始条件因为齐次解满足整个时间区间，不需要进行初始条件的变换就可求出系统的自然响应。的变换就可求出系统的自然响应。ic2-12-2 受迫响应受迫响应 受迫响应受迫响应 是系统的初始状态为零，仅由系统是系统的初始状态为零，仅由系统外部输入信号产生的响应。这里，初始状态为零称为外部输入信号产生的响应。这里，初始状态为零称为系统处于零状态，而零状态意味着系统中没有储能，系统处于零状态，而零状态意味着系统中没有储能，因此因此 描述了当系统处于零状态时系统受输入信号描述了当系统处于零状态时系统受输入信号驱动的结果。显然，受迫响应在形式上与系统的完全驱动的结果。显然，受迫响应在形式上与系统的完全解是相
6、同的。解是相同的。受迫响应受迫响应 依赖于系统的特解，仅仅在时成立。依赖于系统的特解，仅仅在时成立。()fyt()fyt()fyt2-12-3 冲激响应冲激响应 如果在零初始状态条件下考虑构建连续时间如果在零初始状态条件下考虑构建连续时间LTI系统系统的数学模型，则获得系统的另一种描述形式，即卷积的数学模型，则获得系统的另一种描述形式，即卷积积分（或叠加积分）模型。在卷积积分模型中，系统积分（或叠加积分）模型。在卷积积分模型中，系统的特性是用单位冲激响应描述的，故需首先定义连续的特性是用单位冲激响应描述的，故需首先定义连续时间时间LTI系统的单位冲激响应。系统的单位冲激响应。定义定义连续时间连
7、续时间LTI系统的单位冲激响应是以单位冲激系统的单位冲激响应是以单位冲激函数函数 作为系统的输入信号，并且假设系统的初始状作为系统的输入信号，并且假设系统的初始状态为零时的系统输出，记为态为零时的系统输出，记为 。需要强调的是，单位。需要强调的是，单位冲激函数冲激函数 仅仅在系统的初始时刻仅仅在系统的初始时刻 时驱动系统。时驱动系统。()t()h t()t0t 2-12-3 冲激响应冲激响应 如前所述，连续时间如前所述，连续时间LTI系统的动态特性可用阶常系系统的动态特性可用阶常系数微分方程来建模，其一般形式由式（数微分方程来建模，其一般形式由式（2-11-1）描述。）描述。如果令系统的输入信
8、号如果令系统的输入信号 ，则系统的单位冲激，则系统的单位冲激响应根据定义应为响应根据定义应为()()x tt00()()kknmkkkkkkd h tdtabdtdt（2-12-1）式中式中 是系统的单位冲激响应，且根据定义有：是系统的单位冲激响应，且根据定义有：()h t(1)(1)(0)0,(0)0,(0)0nhhh2-12-3 冲激响应冲激响应 对于对于 ，因为有，因为有 故故式（式（2-12-1）在形式上就等同于齐次方程，即）在形式上就等同于齐次方程，即0t(1)()(0)0,(0)0,(0)0m（2-12-2）0()0knkkkd h tadt但系统在但系统在 时的初始条件时的初始条
9、件 ，必，必须另行确定。须另行确定。0t()(0),0,1,1ihin一般情况下，系统在一般情况下，系统在 时的初始条件时的初始条件 可以通过奇异函数匹配法（直接法）或者系统的线性及可以通过奇异函数匹配法（直接法）或者系统的线性及时不变性得到。但在时域中奇异函数匹配法较为繁琐，时不变性得到。但在时域中奇异函数匹配法较为繁琐，所以下面的内容将局限在基于线性及时不变性的方法上。所以下面的内容将局限在基于线性及时不变性的方法上。0t()(0),0,1,1ihin2-12-3 冲激响应冲激响应 对于式（对于式（2-12-2），可将系统的单位沖激响应），可将系统的单位沖激响应 分解为两部分，再用线性性质
10、和叠加原理求解，步骤如分解为两部分，再用线性性质和叠加原理求解，步骤如下：下：()h t第一步：第一步：定义一个基本单位沖激响应定义一个基本单位沖激响应 为为0()h t（2-12-3）100010010()()()()()knnnknnknnkd h td h tdh taaaa h ttdtdtdt(1)(1)000(0)0,(0)0,(0)0nhhh对于对于 ，因为有，因为有 ，故式（，故式（2-12-3）在形式上）在形式上就等同于齐次方程，即就等同于齐次方程，即0t(0)01001001()()()0nnnnnnd h tdh taaa h tdtdt（2-12-4）该系统的初始条件是
11、该系统的初始条件是 ，为方便计，不妨令式，为方便计，不妨令式中系数中系数 。()(0),0,1,1ihin1na 2-12-3 冲激响应冲激响应 通过推理可知，在通过推理可知，在 时刻式（时刻式（2-12-3）等式右端是一个单位沖激函数等式右端是一个单位沖激函数 ，因此式，因此式（2-12-3）在等式左端必存在一个）在等式左端必存在一个 函数以函数以 便匹配方程两端。显然便匹配方程两端。显然,方程左端只有方程左端只有 项项能够包含能够包含 函数项，相应地，函数项，相应地，的积分项的积分项 中只能包含单位阶跃函数项中只能包含单位阶跃函数项 （若包含（若包含 ，则则 将包含将包含 ，而不是，而不是
12、 ），因此初始条），因此初始条件必有件必有 。这就说明。这就说明 在在 处存在一个跳跃间断点，且这个跳跃必须等于处存在一个跳跃间断点，且这个跳跃必须等于1，而其它各项，而其它各项 在在 处均不存在处均不存在跳跃间断点，这也就意味着跳跃间断点，这也就意味着 0t()t()t0()nnd h tdt()t0()nnd h tdt101()nndh tdt()u t()t0()nnd h tdt()dtdt()t(1)(1)(0)(0)nnhh101()nndh tdt0t 20002()(),()nndh tdh th tdtdt0t(2)(2)(1)(1)(0)(0)0,(0)(0)0,(0)(
13、0)0nnhhhhhh2-12-3 冲激响应冲激响应 综上所述，可以得到结论：在综上所述，可以得到结论：在 时刻，基本单时刻，基本单位冲激响应位冲激响应 的初始条件为的初始条件为0t0()h t()(1)(0)00,1,2(0)1inhinh（2-12-5）第二步：第二步：根据根据LTI系统的线性性质和微分特性，可得到系统的线性性质和微分特性，可得到由式（由式（2-12-1）定义的）定义的LTI系统的单位冲激响应为系统的单位冲激响应为00()(),0kmkkkd h th tbtdt（2-12-6）2-12-3 冲激响应冲激响应例例2-12-1 系统微分方程如下系统微分方程如下22()()()
14、32()3()d y tdy tdx ty tx tdtdtdt试求其单位冲激响应。试求其单位冲激响应。解：解：系统的单位冲激响应将满足系统的单位冲激响应将满足22()()()32()3()(0)0(0)0d h tdh tdth ttdtdtdtdhhdt2-12-3 冲激响应冲激响应由式（由式（2-12-6）可知上述微分方程的单位冲激响应为）可知上述微分方程的单位冲激响应为其中，基本单位冲激响应其中，基本单位冲激响应 求解如下求解如下10000()()()3()kkkkd h tdh th tbh tdtdt0()h t20002()()32()0(0)0(0)1d h tdh th td
15、tdtdhhdt针对上式可解出针对上式可解出2012(),0tth tC eC et2-12-3 冲激响应冲激响应为求导方便，上式改写成由单位阶跃函数为求导方便，上式改写成由单位阶跃函数 的单的单边约束形式边约束形式它的一阶导数为它的一阶导数为代入代入 时刻由时刻由 函数引入的初始条件，可得函数引入的初始条件，可得到到 。因此，基本单位冲激响应。因此，基本单位冲激响应 为为0t121,1CC()t0()h t22012()(),0tttth tC eC eeet()u t22012()()()()()tttth tC eC eu teeu t2220()()()(2)()(2)()tttttt
16、dh teeteeu teeu tdt 因此，系统的单位冲激响应为因此，系统的单位冲激响应为22002()()3()(2)()3()()(2)()ttttttdh th th teeu teeu tdteeu t 2-12-3 冲激响应冲激响应例例2-12-2 描述系统的微分方程设为描述系统的微分方程设为2222()()()()56()23()d y tdy td x tdx ty tx tdtdtdtdt试求其单位冲激响应。试求其单位冲激响应。解：解：系统的单位冲激响应将满足系统的单位冲激响应将满足2222()()()()56()23()(0)0(0)0d h tdh tdtdth ttdt
17、dtdtdtdhhdt由式（由式（2-12-6）可知上述微分方程的单位冲激响应为）可知上述微分方程的单位冲激响应为22000020()()()()23()kkkkd h td h tdh th tbh tdtdtdt2-12-3 冲激响应冲激响应其中，基本单位冲激响应求解如下其中，基本单位冲激响应求解如下针对上式可解出针对上式可解出20002()()23()0(0)0(0)1d h tdh th tdtdtdhhdt23012(),0tth tC eC et代入代入 时刻由时刻由 函数引入的初始条件，可得到函数引入的初始条件，可得到 因此，基本单位冲激响应因此，基本单位冲激响应 为为0t()t
18、121,1CC 0()h t2323012()(),0tttth tC eC eeet2-12-3 冲激响应冲激响应 为求导方便，上式改写成由单位阶跃函数为求导方便，上式改写成由单位阶跃函数 的的单边约束形式单边约束形式因此，系统的单位冲激响应为因此，系统的单位冲激响应为()u t2323012()()()()()tttth tC eC eu teeu t它的一阶和二阶导数分别为它的一阶和二阶导数分别为2323230()()()(23)()(23)()ttttttdh teeteeu teeu tdt 223232302()(23)()(49)()()(49)()ttttttdh teetee
19、u tteeu tdt 2230002()()()23()()(36)()ttd h tdh th th tteeu tdtdt2-12-4 零状态响应、零输入响应和阶跃响应零状态响应、零输入响应和阶跃响应 1、零状态响应、零状态响应 在章第在章第8讲中我们曾经指出，松弛系统的响应讲中我们曾经指出，松弛系统的响应 是是任意输入信号任意输入信号 与系统单位冲激响应与系统单位冲激响应 的卷积积分。的卷积积分。这个结论给出了一个重要的概念，即根据系统的单位冲这个结论给出了一个重要的概念，即根据系统的单位冲激响应、输入信号和卷积积分模型，可以完全确定连续激响应、输入信号和卷积积分模型，可以完全确定连续
20、时间时间LTI系统的零状态响应系统的零状态响应 ，即，即()y t()x t()h t()zsyt()()()()()zsytxh tdx thd（2-12-7）因此，系统的单位冲激响应模型描述了因此，系统的单位冲激响应模型描述了LTI系统在零初系统在零初始条件下的特性。始条件下的特性。2-12-4 零状态响应、零输入响应和阶跃响应零状态响应、零输入响应和阶跃响应 卷积积分还可以说明系统在卷积积分还可以说明系统在 时，时，是线性是线性时不变系统因果性的充分条件。因为若给出系统在时不变系统因果性的充分条件。因为若给出系统在 时的零状态响应时的零状态响应（2-12-8）则当则当 时时 就意味着在就
21、意味着在 时，时，不依赖于不依赖于系统输入系统输入 ，即系统是因果的。用变量代换，即系统是因果的。用变量代换 ，如果如果 时，时，可见系统是因果的。事实上这个，可见系统是因果的。事实上这个条件是系统因果性的充分必要条件，即一个连续时间条件是系统因果性的充分必要条件，即一个连续时间LTI系统是因果的，当且仅当在系统是因果的，当且仅当在 时，时，。对于因。对于因果系统而言，式（果系统而言，式（2-12-7）等价于）等价于0t()0h t 1tt11()()()zsytxh td1t1()0h t1tt1()zsyt()x t1tt0t()0h t 0t()0h t()()()()()ttzsytx
22、h tdx thd（2-12-9）2-12-4 零状态响应、零输入响应和阶跃响应零状态响应、零输入响应和阶跃响应 2、零输入响应、零输入响应 系统的零输入响应系统的零输入响应 因为与系统微分方程的齐次因为与系统微分方程的齐次方程完全相同，故求解与齐次解方法没有差别。方程完全相同，故求解与齐次解方法没有差别。()ziyt 3、阶跃响应、阶跃响应 连续时间连续时间LTI系统的单位阶跃响应与系统的沖激响应系统的单位阶跃响应与系统的沖激响应有密切的关系，应用中经常用阶跃输入信号分析有密切的关系，应用中经常用阶跃输入信号分析LTI系统系统对突变信号的响应特性。对突变信号的响应特性。定义定义连续时间连续时
23、间LTI系统的单位阶跃响应是以单位阶跃函系统的单位阶跃响应是以单位阶跃函数数 作为系统的输入信号，并且假设系统的初始状态作为系统的输入信号，并且假设系统的初始状态为零时的系统输出，记为为零时的系统输出，记为 。需要指出的是，单位阶。需要指出的是，单位阶跃函数跃函数 是在是在 时对系统的跳跃（由时对系统的跳跃（由0跳跃到跳跃到1）驱）驱动。动。()u t()s t()u t0t 2-12-4 零状态响应、零输入响应和阶跃响应零状态响应、零输入响应和阶跃响应上式说明，连续时间上式说明，连续时间LTI系统的单位阶跃响应是其单位系统的单位阶跃响应是其单位沖激响应的积分。对上式等式两边求导数，有沖激响应
24、的积分。对上式等式两边求导数，有 根据卷积积分的概念，当系统的输入信号根据卷积积分的概念，当系统的输入信号 时，时，连续时间连续时间LTI系统的零状态响应系统的零状态响应 就等于系统的单位阶就等于系统的单位阶跃响应跃响应 。因此，。因此，就是就是 与与 的卷积，即的卷积，即()()x tu t()zsyt()s t()s t()u t()h t()()()()()()tts th tu tu thdhd（2-12-10）()()()dh ts ts tdt（2-12-11）可见连续时间可见连续时间LTI系统的单位沖激响应是其单位阶系统的单位沖激响应是其单位阶跃响应的一阶导数。跃响应的一阶导数。
25、2-12-5 线性和时不变性线性和时不变性 1、强迫响应对输入呈线性、强迫响应对输入呈线性 由微分方程描述的连续时间由微分方程描述的连续时间LTI系统的强迫响应对系统的强迫响应对系统的输入信号呈现线性性质。也就是说，假如系统的输入信号呈现线性性质。也就是说，假如 是系统针对输入序列是系统针对输入序列 产生的强迫响应，产生的强迫响应，是系统是系统针对输入序列针对输入序列 产生的强迫响应，则线性加权组合输产生的强迫响应，则线性加权组合输入序列入序列 作用于系统时将产生线性加权组合作用于系统时将产生线性加权组合的强迫响应的强迫响应 。(1)()fyt1()x t(2)()fyt2()x t12()(
26、)x tx t(1)(2)()()ffytyt2-12-5 线性和时不变性线性和时不变性 2、自然响应对初始条件呈线性、自然响应对初始条件呈线性 由微分方程描述的连续时间由微分方程描述的连续时间LTI系统的自然响应对系统的自然响应对系统的初始条件呈现线性性质。也就是说，假如系统的初始条件呈现线性性质。也就是说，假如 是系统针对初始条件是系统针对初始条件 产生的自然响应，产生的自然响应，是系统针是系统针对输入序列对输入序列 产生的自然响应，则线性加权组合初始条产生的自然响应，则线性加权组合初始条件件 作用于系统作用于系统 时将产生线性加权组合时将产生线性加权组合的自然响应的自然响应 。(1)()
27、nyt1I(2)()nyt2I12II(1)(2)()()nnytyt2-12-5 线性和时不变性线性和时不变性 3、强迫响应的时不变性和因果性、强迫响应的时不变性和因果性 系统的强迫响应具有时不变特性。这是因为强迫响系统的强迫响应具有时不变特性。这是因为强迫响应要求系统是零状态（初始条件）的，当系统输入信号应要求系统是零状态（初始条件）的，当系统输入信号延迟一个时间，则强迫响应相应地也将延迟同样的时间。延迟一个时间，则强迫响应相应地也将延迟同样的时间。可以证明，强迫响应还满足因果性，因为系统处于零状可以证明，强迫响应还满足因果性，因为系统处于零状态时，系统的输出不可能超前于系统的输入序列。态
28、时，系统的输出不可能超前于系统的输入序列。另一方面，由微分方程描述的连续时间另一方面，由微分方程描述的连续时间LTI系统的系统的完全响应却不是时不变的，因为系统的初始条件将产生完全响应却不是时不变的，因为系统的初始条件将产生一个不随输入延迟而延迟的输出项。一个不随输入延迟而延迟的输出项。2-12-6 特征值特征值 连续时间连续时间LTI系统的系统的受迫响应受迫响应即取决于系统的即取决于系统的输入，也取决于系统特征方程的特征值，因为输入，也取决于系统特征方程的特征值，因为它既包含微分方程的特解，亦包含方程的齐次它既包含微分方程的特解，亦包含方程的齐次解。解。而系统的而系统的自然响应自然响应则完全
29、取决于系统特征方则完全取决于系统特征方程的特征值。程的特征值。除此之外，系统的除此之外，系统的单位冲击响应单位冲击响应也取决于系也取决于系统特征方程的特征值，因为它也包含有与自然统特征方程的特征值，因为它也包含有与自然响应的函数形式相同的项。响应的函数形式相同的项。因此，系统特征方程的特征值能够提供许多因此，系统特征方程的特征值能够提供许多关于关于LTI系统特性的信息。系统特性的信息。2-12-6 特征值特征值 连续时间连续时间LTI系统特征方程的特征值对系统的稳定性系统特征方程的特征值对系统的稳定性有重要影响。因为系统的有重要影响。因为系统的BIBO稳定性定义要求一个稳稳定性定义要求一个稳定
30、系统对零输入的响应必须在任意初始条件下都是有界定系统对零输入的响应必须在任意初始条件下都是有界的，这就意味着系统的自然响应也必须有界。而要求自的，这就意味着系统的自然响应也必须有界。而要求自然响应有界，对于由微分方程描述的连续时间然响应有界，对于由微分方程描述的连续时间LTI系统，系统，其系统特征方程的特征值其系统特征方程的特征值 必须满足下述条件：必须满足下述条件：irirte（2-12-12）或或 Re0ir（2-12-13）综上所述，对于连续时间综上所述，对于连续时间LTI系统，只有任意一个系统，只有任意一个特征值的实部大于零，则系统就不稳定。特征值的实部大于零，则系统就不稳定。2-12
31、-6 特征值特征值 连续时间连续时间LTI系统的响应时间也取决于系统的特征值系统的响应时间也取决于系统的特征值。因此，自然响应描述系统的暂态特性，即描述系统由初因此，自然响应描述系统的暂态特性，即描述系统由初始状态过渡到只由输入决定的平衡态的暂态过程。由此可始状态过渡到只由输入决定的平衡态的暂态过程。由此可见，连续时间见，连续时间LTI系统对突变的响应时间就由系统自然响应系统对突变的响应时间就由系统自然响应衰减到零时所需要的时间决定，由于连续时间系统的自然衰减到零时所需要的时间决定，由于连续时间系统的自然响应包含有形如响应包含有形如 的项，则连续时间的项，则连续时间LTI系统对突变的响系统对突变的响应时间就由实部最大的系统特征值应时间就由实部最大的系统特征值 决定。如果需要决定。如果需要连续时间连续时间LTI系统具有快速的响应时间，则系统全部特征值系统具有快速的响应时间，则系统全部特征值的实部必须小于零且特征值的模应尽可能大。的实部必须小于零且特征值的模应尽可能大。irtemaxirte
