1、信号与系统基础及应用 第1章 信号与系统基础知识 第2章 连续时间信号分析 第3章 连续时间系统分析 第4章 离散时间信号分析 第5章 离散时间系统分析 第6章 离散傅里叶变换及应用 第7章 数字滤波器设计第6章 离散傅里叶变换及应用6.1 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）6.2 离散傅里叶变换的应用离散傅里叶变换的应用（Discrete Fourier Transform）6.1 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）6.1.1 DFT的定义的定义6.1.3 快速傅里叶变换（快速傅里叶变换（FFT）6.1.2 DFT的性质的性质（Fast Fourier Transform）X(k
2、)的的离散傅里离散傅里叶反叶反变换变换(IDFT)为：为：10()()(),0,1,-1NnkNnX kx nx n WkN D FT 2jenknkNNW101()()(),0,1,-1NnkNkx nX kX k WnNN ID F T 设设x(n)是一个长度为是一个长度为N的有限长序列，则定义的有限长序列，则定义x(n)的的N点点离散离散傅里叶变换傅里叶变换为为:6.1.1 DFT的定义的定义1.DFT变换对定义式变换对定义式（Inverse Discrete Fourier Transform）【例例6.1】已知序列已知序列x(n)=(n)，求它的，求它的N点点DFT。100()()1
3、,NnkNNnX kn WW k=0,1,N-1 解：解：【例例6.2】已知已知x(n)=cos(n/6)是一个长度是一个长度N=12的有限长的有限长序列，求它的序列，求它的N点点DFT。11120cos(6)nknnX kW6,1,11()0,0,11kX kk k其他 解：解：jj66211j120e1ee2nknnn221111j(1)j(1)1212001ee2n kn knn【例例6.3】求求序列序列x(n)的的DFT，并作图表示，并作图表示X(k)。1,03()8,470,nnx nnnn其它解：解：780()()nknX kx n W2388845678888()1 234432
4、kkkkkkkX kWWWWWWW-5.8284-2.4142j-0.1716-0.4142j-0.1716+0.4142()20,0,0,j-5.8284+2.40,142jX k 6.30860.4|()|20,0,04830.448,0,36.3086X k-2.7489-1.9()0,0,0,6351.9635,0,2.7489X k273j88003j8()()sin()2esie,0,1)8,(7n,knknnNkX kx n Wkkk(2)设变换区间设变换区间N=16，则则2j4j215388j1616jj30011j686sin()1 ee4()()esin()1 ee16,0
5、,1,.15sin()4esin()16 kkknknkkknnkX kx n Wkkkk结论：离散傅立叶变换结论：离散傅立叶变换(DFT)结果与变换区间长结果与变换区间长度度N有关。有关。解解:(1)设变换区间设变换区间N=8，则：则：【例例6.4】序列序列x(n)=R4(n),求求x(n)的的8点和点和16点点DFT(补补0)。(2)X(k)隐含的周期性隐含的周期性(周期为周期为N)(),kk mNNNWWk m Nk,m,N均为整数均为整数 (1)旋转因子的周期性旋转因子的周期性(周期为周期为N)在在DFT变换的定义对中，变换的定义对中，x(n)与与X(k)均为有限长序列。均为有限长序列
6、。(3)序列序列x(n)隐含的周期性隐含的周期性(周期为周期为N)()()x nmNx n2.DFT的隐含周期性的隐含周期性11()00()()()()NNk mN nknNNnnX kmNx n Wx n WX k任何周期为任何周期为N的的周期序列周期序列 都可以看作长度为都可以看作长度为N的的有限长序有限长序列列x(n)的的周期延拓序列周期延拓序列，而而x(n)则是则是 的一个周期，的一个周期，即即:一般定义一般定义周期序列周期序列 中从中从n=0到到N-1的的第一个周期第一个周期为主值为主值区间区间，而主值区间上的序列称为而主值区间上的序列称为 的的主值序列主值序列。()x n()()m
7、x nx nmN 0 0)(nxnN-1-1 0 0n)(nxN-1-1()x n()x n()x n()()()Nx nx nRn(n)N表示表示n对对N求余，即如果求余，即如果n=mN+n1，0n1N-1，m为为整数，则：整数，则：(n)N=(n1)()()Nx nx n表示：表示：x(n)以以N为周期的周期延拓序列。为周期的周期延拓序列。5()(),x nx n设那么那么，5(5)(5)(0),xxx5(6)(6)(1)xxx设设N5，【例例6.5】若若N=5，x(n)=R4(n)，画出，画出x(n)N图形。图形。解：解：nx(n)10 1 2 3 4nx(n)510123456789-
8、3-2-4-5-1说明说明：有限长序列：有限长序列x(n)的离散傅立叶变换的离散傅立叶变换X(k)，正好是，正好是x(n)的周期的周期延拓延拓序列序列 的离散傅立叶级数系数的离散傅立叶级数系数 的的主值序列。主值序列。上式中上式中：设设x(n)的长度为的长度为N，且且 ，则周期序列，则周期序列 的离散傅立叶级数表示式：的离散傅立叶级数表示式：Nnxnx)()()(nx111000()()()(),NNNnknknkNNNNnnnX kx n Wx nWx n W110011()()(),NNknknNNkkx nX k WX k WNN注意：注意：是周期是周期序列序列 )(kX kenxkXN
9、nknNj,)()(102()()()NX kN X k R kNnx)()(kXn 3.DFT和周期序列的和周期序列的DTFS的关系的关系设序列设序列x(n)的长度为的长度为N，其其z变换变换和和DFT分别为：分别为：2jej2()(),0-1()(e),0-1kNzkNX kX zkNX kXkN4.DFT和和z变换变换的关系的关系比较上面二式可得关系式比较上面二式可得关系式10()()()NnnX zx nx n zZ10()()()0-1,NknNnX kx nx n WkND F T(1)x(n)的的N点点DFT 是是x(n)的的z变换变换在单位在单位圆上圆上N点等间隔采样点等间隔采
10、样。5.DFT的物理意义：的物理意义：(2)X(k)是是x(n)的傅里叶变换的傅里叶变换X(ej)在区间在区间0,2 上的上的N点等间隔采样点等间隔采样,采样间隔采样间隔为为2 /N。(3)变换区间长度变换区间长度N不同，变换结果不同，不同，变换结果不同，N确定后，确定后，X(k)与与x(n)是一一对应的是一一对应的。(4)当当N足够大时，足够大时，|X(k)|的包络可逼近的包络可逼近|X(ej)|曲线曲线。(5)|X(k)|表示表示k=2 k/N 频点的幅度谱线。频点的幅度谱线。总结总结DFTDFTFTFTZTZT单位圆上的单位圆上的N点等间隔采样点等间隔采样0,2 上的上的N点点等间隔采样
11、等间隔采样单位圆上单位圆上的的z变换变换,z=ej()()()NX kx nx nD TFSD TFS()X zj(e)X()x n()X k()()NX kXk()()()NX kNX k Rk6.1.2 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质1.线性线性2.循环移位循环移位4.共轭对称性共轭对称性3.循环卷积循环卷积取：取：N=maxN1,N2，则则y(n)的的N点点DFT为为1.线性线性如果如果x1(n)和和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为是两个有限长序列，长度分别为N1和和N2，1122()(),()()x nX k x nXk D FTD FT设设12()()()y nax
12、nbx n式中式中a、b为常数为常数1212()()()()()()Y ky nax nbx naX kbX kD FTD FT0,1,2.,1;0,1,2.,1kNnN2.循环移位循环移位()()()mNNxnx nmRn 定义式为：定义式为：()()()x nx nx nm()mxn周期延拓移位取主值序列()Nx nm设设x(n)为有限长序列，长度为为有限长序列，长度为N，(1)循环移位循环移位定义定义)()2()2()()(nRnxnxnxnxN N=15)(2nx右移右移)()13()13()()(15nRnxnxnxnx N=15左移左移如果如果()()()()()D F TNNkm
13、kmNNNx nmRnWX k RkWX k(2)时域循环移位时域循环移位定理定理()()()NNy nx nmRn()()X kx n D F T则有则有0,1,2,.,10,1,2,.,1kNnN；已知已知(3)频域循环移位频域循环移位定理定理()()()NNY kXklRk如果如果()()X kx n D F T则有则有()()()nlNNNXklRkW x nID F T已知已知0,1,2,.,1;0,1,2,.,1kNnN(a)上式中求和变量为上式中求和变量为m；1210()()()(NNmNxnmxxnnmR(1)两个有限长序列两个有限长序列的循环卷积的循环卷积：4.循环卷积循环卷
14、积(b)将将x2(m)以以N为周期作周期延拓得到为周期作周期延拓得到x2(m)N；(c)翻转翻转x2(m)N 形成形成x2(-m)N；(d)对对x2(-m)N进行循环移位进行循环移位x2(n-m)N，取主值序列，形成，取主值序列，形成x2(n-m)N RN(m);(e)n=0,1,N-1时，时，x1(m)和和x2(n-m)N R N(m)对应相乘，并对对应相乘，并对m在在0N-1区区间求和。间求和。有限长序列有限长序列x1(n)和和x2(n)，长度分别为，长度分别为N1和和N2，N=max N1,N2。即两个序列在时域的即两个序列在时域的循环卷积的循环卷积的DFT等于两等于两个个序列在频域的的
15、序列在频域的的DFT的的乘积。乘积。则：则：X(k)=X1(k)X2(k)(2)时域循环卷积定理时域循环卷积定理x1(n)和和x2(n)的的N点点DFT分别为：分别为：X1(k)=DFTDFTx1(n)，X2(k)=DFTDFTx2(n)如果：如果：如果：如果：x(n)=x1(n)x2(n)1122112112001()()()()1()()()1()()(1()()()NNNlNNNlX l XklRX kDFT x nX kX kNX kX kX kNX l XklR kNkN1211202112101()(1()()()()1()()()1()()()(NNNNNNllX kDFT x
16、nX kXkNX l XklRkNX kXkX kXl XklRkNN已知：已知：X1(k)=DFTDFTx1(n)，X2(k)=DFTDFTx2(n)，0kN-1，0nN-1(3)(3)频域循环卷积定理频域循环卷积定理则：则：122111()()()()()()D F TX kx nX kXkXkX kNNNN即两个序列在时域即两个序列在时域的乘积的的乘积的DFT等于两等于两个个序序列在频域的列在频域的DFT的循环卷积。的循环卷积。证明证明：1()1100()0()()()()(D F TNN k nNN k nNNNnNnnnkx n Wx n Wx nx n WXNk设设X(k)=DFT
17、DFTx(n)，x*(n)是是x(n)的复共轭序列，长度为的复共轭序列，长度为N。则则:DFTDFTx*(n)=X*(N-k),0kN-1,0nN-1，且，且 X(N)=X(0)。又由又由X(k)的的隐含周期性隐含周期性有：有：X(N)=X(0)用同样的方法可以证明：用同样的方法可以证明：DFTDFTx*(N-n)=X*(k)4.共轭对称性共轭对称性(1)复共轭序列的复共轭序列的DFT(2)圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量eo1()()(),(1)(1)21()()(),(1)(1)2x nx nxnNnNx nx nxnNnNeo1()()(),21(
18、)()(),2x nx nxnnx nx nxnn epeopo1()()()()()()21()()()()()()2NNNNxnx n Rnx nxn Rnxnx n Rnx nxn Rneoeeopop()()(,()()()()()x nxx nx nxnx nxnnxnx(n)的偶对称分量的偶对称分量x(n)的的奇对称分量奇对称分量x(n)的圆周的圆周共轭对称共轭对称分量分量x(n)的圆周的圆周共轭反对共轭反对称分量称分量()x n的共轭对称分量的共轭对称分量()x n的共轭反对称分量的共轭反对称分量N点有限长点有限长0()4,6,4,2,4x nNeo1()()()21()()()
19、2x nx nxnx nx nxn【例例6.6】求序列求序列关于关于n=0对称对称的各种对称序列。的各种对称序列。解：解：eo1()()()21()()()2x nx nxnx nx nxnepeopo()()(),()()()NNxnx n Rnxnx n Rn关于关于n=N/2对称对称【例例6.7】求求0()1,1+2j,3j,1j,4x nN3()1+j,3j,1 2j,1xne31()1j,3j,1 2j,2,12j,3j,1j2x no31()(1j),3j,(1 2j),2,12j,3j,1j2x n解：解：的各种对称序列。的各种对称序列。0().,1,1+j,3j,1 2j,.n
20、xn0().,1,1+2j,3j,1j,.nx ne0().,1,1 1.5j,0,1 1.5j,.nx no0().,0,j,6j,j,.nx nep0()1,1 1.5j,0,1 1.5jxn op0()0,j,6j,jxn DTFTDTFT的对称性是的对称性是关于坐标原点的纵坐标的对称性关于坐标原点的纵坐标的对称性，DFTDFT的对称性是的对称性是关于关于N N/2/2点的对称性点的对称性，无论，无论N N为奇偶。为奇偶。若若N N=7=7，则对称中心在，则对称中心在3.53.5。圆周共轭反对称序列圆周共轭反对称序列示意图示意图圆周共轭对称序列圆周共轭对称序列示意图示意图如果x(n)=x
21、r(n)+jxi(n)，其中：xr(n)=Rex(n)=1/2x(n)+x*(n)jxi(n)=jImx(n)=1/2x(n)-x*(n)ri()()j()x nx nx nepop()()()X kXkXk圆周共轭对称分量圆周共轭反对称分量(3)DFT的共轭对称性的共轭对称性则：DFTxr(n)=1/2DFTx(n)+x*(n)=1/2X(k)+X*(N-k)=Xep(k)DFTjxi(n)=1/2DFTx(n)-x*(n)=1/2X(k)-X*(N-k)=Xop(k)那么那么：DFTxep(n)=ReX(k)DFTxop(n)=jImX(k)epop()()()x nxnxn()Re()j
22、Im()X kX kX k虚部实部反过来，如果反过来，如果x(n)=xep(n)+xop(n)，0nN-1，圆周共轭对称分量圆周共轭反对称分量设设x(n)是长度为是长度为N的实序列，且的实序列，且X(k)=DFTDFTx(n)，则则 X(k)共轭对称，即：共轭对称，即：X(k)=X*(N-k)。(4)有限长实序列有限长实序列DFT的共轭对称性的共轭对称性有限长实序列有限长实序列DFT共轭对称性的应用共轭对称性的应用 当当N=偶数时，只需计算前偶数时，只需计算前N/2+1点的点的DFT;当当N=奇数时，只需计算前奇数时，只需计算前(N+1)/2点的点的DFT。可减少运算可减少运算量，提高运量，提
23、高运算效率算效率Re()Re()X kX NkIm()Im()X kX Nk|()|()|X kX Nkarg()arg()X kX Nk 圆周偶对称圆周奇对称圆周偶对称圆周奇对称所以所以:X1(k)=DFTDFTx1(n)=X(k)+X*(N-k)/2【例例6.8】设设x1(n)和和x2(n)为两个实序列，为两个实序列，通过通过计算一个计算一个N点点DFT,可得到两个不同实序列的可得到两个不同实序列的N点点DFT。构成构成新序列新序列x(n)如下如下：x(n)=x1(n)+jx2(n)对对x(n)进行进行DFT，得到：，得到：Xep(k)=DFTDFTx1(n)=X(k)+X*(N-k)/2
24、 Xop(k)=DFTDFTjx2(n)=X(k)-X*(N-k)/2X2(k)=DFTDFTx2(n)=-jX(k)-X*(N-k)/2解：解：X(k)=DFTDFTx(n)=Xep(k)+Xop(k)6.1.3 快速傅里叶变换（快速傅里叶变换（FFT）1.直接计算直接计算DFT的问题：运算量大的问题：运算量大设 x(n)为N点有限长序列，其DFT为:10()()0,1,2,.,1NnkNnX kx n WkN，10()Re()ReIm()Imj Re()ImIm()ReNnknkNNnnknkNNX kx nWx nWx nWx nW()x nnkNW复数所以，完成DFT共需N2次复乘，N
25、(N-1)次复加。或者说，完成DFT共需4N2次实乘，2N(2N-1)次实加。令令N=8，则，则:实实乘次数乘次数=4 8 8=256 实实加次数加次数=2 8(16-1)=240反变换反变换IDFT与正变换与正变换DFT的运算量基本相同。的运算量基本相同。区别在于反变换结果还需乘以一个实数因子区别在于反变换结果还需乘以一个实数因子1/N，即多即多N次实乘。次实乘。令令N=100，则：，则：实乘实乘40000次次 实加实加39800次次2.解决办法解决办法:*()nknkNNWW()()nknN kn kNNNNWWW/nkm nkNm NnknkmNNmWWWW（3）可约性）可约性（1）对称
26、性）对称性（2）周期性）周期性 利用系数即旋转因子的特性来减小运算量。利用系数即旋转因子的特性来减小运算量。()()n N kN n knkNNNWWW/21NNW(/2)kNkNNWW 可画单位圆证可画单位圆证明这些性质明这些性质3.FFT算法的基本思想：算法的基本思想：FFT不是一种新的变换，而是不是一种新的变换，而是DFT的快速算法。的快速算法。利用利用 的周期性和对称性，把长度为的周期性和对称性，把长度为N点的大点数的点的大点数的DFT运算依次分解为若干个小点数的运算依次分解为若干个小点数的DFT。因为。因为DFT的计的计算量正比于算量正比于N2，N小，计算量也就小。小，计算量也就小。
27、nkNW16点DFT8点DFT8点DFT4点DFT4点DFT4点DFT4点DFT2点DFT2点DFT2点DFT2点DFT2点DFT2点DFT2点DFT2点DFTMATLAB中的中的fft和和ifft函数函数10()()(),01D FTNknNnX kx nx n WkNfftifft101()()(),01ID FTNknNkx nX kX k WnNN6.2 离散傅里叶变换的应用离散傅里叶变换的应用6.2.2基于离散傅里叶变换的基于离散傅里叶变换的LTI系统实现系统实现6.2.1基于离散傅里叶变换的信号频谱基于离散傅里叶变换的信号频谱分析分析连续时间连续时间周期信号周期信号连续时间连续时间
28、非周期信号非周期信号离散时间离散时间周期信号周期信号离散时间离散时间非周期信号非周期信号信号信号频谱分析频谱分析CTFSCTFTDTFSDTFT用用DFT如何如何实现？实现？变换前，变换前，时域信号怎样处理？时域信号怎样处理？变换后，变换后，频域信号怎样处理？频域信号怎样处理？6.2.1基于离散傅里叶变换的信号频谱基于离散傅里叶变换的信号频谱分析分析1.用用DFT对有限长序列进行频谱分析对有限长序列进行频谱分析 单位圆上单位圆上的的z变换变换就是就是序列的离散时间傅里叶变换序列的离散时间傅里叶变换。jje(e)()zXX z1j0()1(e)2()NkkNX kXNF j(1)/2sin()2
29、esin()2)NNF X(ej)是是的连续周期函数，对序列的连续周期函数，对序列x(n)进行进行N点点DFT，得到，得到X(k)，X(k)是是X(ej)在在区间区间0,2 上的上的N点等间隔采样。点等间隔采样。)()(4nRnx()cos4nx n8点16点|()|X k2.用用DFT对连续信号进行频谱分析对连续信号进行频谱分析根据傅里叶变换理论：根据傅里叶变换理论：用用DFT对连续信号进行频谱分析是一种对连续信号进行频谱分析是一种近似分析近似分析，近似程度，近似程度与与信号带宽信号带宽、抽样频率和信号截取、抽样频率和信号截取长度长度有关。有关。信号持续时间有限长，其频谱是无限宽；信号持续时
30、间有限长，其频谱是无限宽；信号的频谱信号的频谱有限有限宽宽，该，该信号在时域信号在时域中的中的持续时间无限长。持续时间无限长。上述两种情况，在时域或频域中上述两种情况，在时域或频域中进行抽样，进行抽样，得到的序列得到的序列都有无限都有无限长序列，不满足长序列，不满足DFT的变换条件。的变换条件。采用的处理方法：在频域中用滤波器滤除高于折叠频率的高频分采用的处理方法：在频域中用滤波器滤除高于折叠频率的高频分量，在时域中则是截取有限点进行量，在时域中则是截取有限点进行DFT。工程工程中经常遇到的中经常遇到的连续非周期信号连续非周期信号xa(t)，其频谱函数，其频谱函数Xa(j)也也是连续函数。是连
31、续函数。先先对对xa(t)进行时域采样，得到时域离散信号进行时域采样，得到时域离散信号x(n)=xa(nT)；对对x(n)进行进行DFT，得到的，得到的Xa(k)是是x(n)的傅里叶变换的傅里叶变换X(ej)在区在区间间0,2 上的上的N点等间隔采样；点等间隔采样；x(n)和和Xa(k)均是有限长序列。均是有限长序列。（1）对有限长连续非周期信号进行频谱分析）对有限长连续非周期信号进行频谱分析设连续信号设连续信号xa(t)持续时间为持续时间为Tp，最高频率为，最高频率为fc。则。则xa(t)的傅里叶的傅里叶变换为：变换为：jj2(j)()()e()etftaaaaXfx tx tdtx tdt
32、F T 对对xa(t)以以抽抽样样频率频率fs=1/T2fc进行抽样进行抽样得：得：x(n)=Xa(nT-NT/2)/2 1j2/j22(j)()e()efnNfnTannNTaTx nTX fT x nT 对对X(jf)在区间在区间0,fs上等上等间隔抽样间隔抽样N点点，抽样，抽样间隔为间隔为F，参数，参数fs、Tp、N和和F满足如下关系式：满足如下关系式：11spfFNNTT1FTNj2(j)()eftaaXfx tdt 设设共抽样共抽样N点，得：点，得：t=nT，dt=(n+1)T-nT=T，Tp=NT 令令f=kF，频域频域N点点抽抽样样得得:令令X(jkF)=Xa(k)，xa(nT)
33、=x(n)，根据，根据DFT的对称性可得的对称性可得/2 1j2/2(j)()eNkFnTanNXkFT x nT2/2 1j/2()e,NknNanNTx nT0-1kN21j0()()e(),01NknNanX kTx nTx nkNDFT结论结论:1()()ID F Tax nXkT()()aXkTx nD F T 连续非周期信号连续非周期信号的频谱特性可以通过对连续的频谱特性可以通过对连续信号抽样，信号抽样，并进并进行行DFT再乘以再乘以T的近似方法得到。的近似方法得到。连续非周期信号连续非周期信号的的时域抽样时域抽样信号可以通过对其频谱函数信号可以通过对其频谱函数进行进行抽样抽样，并
34、进行，并进行IDFT再乘以再乘以1/T的近似方法得到。的近似方法得到。（2）对无限长连续非周期信号进行频谱分析）对无限长连续非周期信号进行频谱分析首先对信号进行截取，使之成为有限长连续非周期信号；首先对信号进行截取，使之成为有限长连续非周期信号；按照有限长连续非周期信号的按照有限长连续非周期信号的DFT分析法进行近似分析。分析法进行近似分析。【例例6.9】理想理想低通滤波器的单位冲激响应低通滤波器的单位冲激响应ha(t)及其频响函数及其频响函数Ha(jf)如图。如图。sin()()athtt则H(k)=TDFTh(n),0k32整个频响有波动整个频响有波动用用DFT来分析来分析ha(t)的频率
35、响应特性。的频率响应特性。解：解：8pTs4,0.25sfHz Ts32pTNT10.125FHzNT()()(16)(16)aahnhnTu nu n()(-16)ah nhnclose all;clear;clc;t=-4:0.25:4;n=0:1:32;x=sinc(t);stem(t,x);figure;y=fft(x);stem(n,0.25.*abs(y);hold on;plot(n,0.25.*abs(y),r)110.125320.25FHzNT()h n|()|H k8,4psTs fHzclose all;clear;clc;t=-4:0.125:4;m=length(t
36、);n=0:1:m-1;x=sinc(t);stem(t,x);figure;y=fft(x);stem(n,0.125.*abs(y);hold on;plot(n,0.125.*abs(y),r)110.125640.125FHzNT()h n|()|H k8,8psTs fHzclose all;clear;clc;t=-8:0.25:8;m=length(t);n=0:1:m-1;x=sinc(t);stem(t,x);figure;y=fft(x);stem(n,0.25.*abs(y);hold on;plot(n,0.25.*abs(y),r)110.0625640.25FHzN
37、T()h n|()|H k16,4psTs fHz要使频率分辨力提高要使频率分辨力提高（使（使F减小），该怎么办？减小），该怎么办？答：增大答：增大Tp。3.对对连续信号连续信号进行频谱分析的参数选择进行频谱分析的参数选择 谱分析的范围谱分析的范围fc：受抽样受抽样频率频率fs的限制，的限制，fc 2 fc 抽样抽样点数点数N：N=Tp/Ts=fs/F 信号信号观察观察时间时间Tp的选择：的选择：Tp 1/F解：解：根据信号观察时间根据信号观察时间TP的选择原则：的选择原则：TP 1/F=1/10=0.1s3maxmin110.21022250022250050010ccTsffNFTmax=
38、1/2fc=Nmin=2fc/F3maxmin110.21022250022250050010ccTsffNFNmin=2fc/Fminmin225001000510.25pNTs观察时间增加一观察时间增加一倍倍，抽样，抽样点数增点数增加一倍加一倍【例例6.10】对对实信号进行谱分析，要求谱实信号进行谱分析，要求谱分辨力分辨力F10Hz，信号，信号最高频率最高频率fc=2.5kHz，试确定最小记录时间，试确定最小记录时间TPmin，最大，最大的的抽抽样样间隔间隔Tmax，最少，最少的抽样的抽样点数点数Nmin。如果。如果fc不变，要求谱不变，要求谱分辨力分辨力增加增加一倍，最少一倍，最少的抽样
39、的抽样点数和最小的记录时间是多少点数和最小的记录时间是多少?频率分辨力提高频率分辨力提高一倍，一倍，即：即：F=5 Hz TPmin=1/F=1/5=0.2s 因为要求因为要求:fs2fc，最小，最小的抽样的抽样频率为频率为2fc，所以，所以:(1)频谱混叠频谱混叠：4用用DFT进行频谱进行频谱分析的误差分析的误差问题问题原因原因:不满足不满足时域抽样定理时域抽样定理避免措施避免措施：抽样：抽样频率频率fs2fm，以避免信号在以避免信号在=k 处附近的处附近的混叠。混叠。具体方法是具体方法是：抽抽样样前对信号进行预滤波，滤去信号中频率高于前对信号进行预滤波，滤去信号中频率高于fs/2的频率的频
40、率分量；按分量；按fs抽样即满足抽样定理。抽样即满足抽样定理。DFT(实际中用实际中用FFT计算计算)可用来可用来对连续信号和离散信号对连续信号和离散信号进行谱分进行谱分析。在实际分析过程中，要对析。在实际分析过程中，要对连续连续信号抽样信号抽样和截断和截断，由此可能，由此可能产生产生误差。误差。许多实际工程信号不满足带限条件许多实际工程信号不满足带限条件(没有没有fm)，怎么办，怎么办？通过一个低通滤波器，产生一个通过一个低通滤波器，产生一个fc作为最高频率。作为最高频率。抗混叠抗混叠低通滤波器低通滤波器()x t1()x t)(th0.5cfHz1sfHzclose all;clear;c
41、lc;t=-4:1.25:4;m=length(t);n=0:1:m-1;x=sinc(t);figure;stem(t,x);figure;y=fft(x);stem(n,1.25.*abs(y);hold on;plot(n,1.25.*abs(y),r)0.8sfHz()h n|()|H kclose all;clear;clc;t=-4:1:4;m=length(t);n=0:1:m-1;x=sinc(t);figure;stem(t,x);figure;y=fft(x);stem(n,abs(y);hold on;plot(n,abs(y),r)12scfHzf()h n|()|H
42、kclose all;clear;clc;t=-4:0.8:4;m=length(t);n=0:1:m-1;x=sinc(t);figure;stem(t,x);figure;y=fft(x);stem(n,0.8.*abs(y);hold on;plot(n,0.8.*abs(y),r)1.25sfHz()h n|()|H kclose all;clear;clc;t=-4:0.5:4;m=length(t);n=0:1:m-1;x=sinc(t);figure;stem(t,x);figure;y=fft(x);stem(n,0.5.*abs(y);hold on;plot(n,0.5.*
43、abs(y),r)2sfHz()h n|()|H k(2)栅栏效应栅栏效应：现象：现象：N点点DFT是在区间是在区间0,2 上的上的N点等点等间隔间隔抽抽样，抽样样，抽样点之间的频谱函数值是不知道的，就好像从点之间的频谱函数值是不知道的，就好像从N个个栅栏缝隙栅栏缝隙中观看信号的频谱特性，得到的是中观看信号的频谱特性，得到的是N个个缝隙中看到的频谱缝隙中看到的频谱函数值，这种现象称为栅栏效应。函数值，这种现象称为栅栏效应。原因原因：对信号的频谱进行有限对信号的频谱进行有限点抽样点抽样。后果后果：可能可能漏掉漏掉(挡住挡住)大的频谱分量。大的频谱分量。减少栅栏效应的措施减少栅栏效应的措施：对对原
44、序列补原序列补0，增大，增大N，以，以增加抽样增加抽样点。点。)()(4nRnx(3)频谱泄漏：频谱泄漏：RN()02NN-2N矩形窗矩形窗序列序列幅度幅度谱谱主瓣主瓣旁瓣旁瓣无限长序列无限长序列x(n)截短成有限长序列截短成有限长序列y(n)，即即原因原因:对序列对序列x(n)截断所引起的。截断所引起的。()()()Ny nx n R njjj1(e)()(e)(e)2NYy nXRFT其中其中(1)jjj()2sin2(e)()e()esin2NNNNNRR nR FT解：该周期序列的幅度谱为解：该周期序列的幅度谱为0-44|Y()|N/2加矩形窗后幅度谱加矩形窗后幅度谱 0-44X()x
45、(n)=cos(0n)的频谱的频谱RN()02NN-2N矩形窗序列幅度矩形窗序列幅度谱谱【例例6.11】x(n)=cos(0n)，0=/4，用，用DFT分析其频谱特性。分析其频谱特性。加矩形窗截断后加矩形窗截断后1()()()2NYXR()(2)(2)44lXll 频谱泄漏频谱泄漏谱间干扰谱间干扰为了减小截断效应的影响，可采取以下措施：为了减小截断效应的影响，可采取以下措施：窗函数窗函数不变，不变，增大抽增大抽样样点点N值值：使主瓣变窄（使主瓣变窄（4/N），提高频率分辨力。但旁瓣个数，提高频率分辨力。但旁瓣个数，相对幅度大小不变，即谱间干扰不变。相对幅度大小不变，即谱间干扰不变。抽抽样点样点
46、N不变，改变窗函数不变，改变窗函数：选用旁瓣小的窗函数，使旁瓣个数减少，相对幅度减小，选用旁瓣小的窗函数，使旁瓣个数减少，相对幅度减小，谱间干扰减小。但旁瓣越小，其主瓣就越宽，从而使谱谱间干扰减小。但旁瓣越小，其主瓣就越宽，从而使谱分辨分辨力降低。力降低。！谱！谱分辨力与谱间干扰是一对矛盾体，要综合考虑和兼顾。分辨力与谱间干扰是一对矛盾体，要综合考虑和兼顾。1.用用DFT计算计算线性线性卷积可以实现卷积可以实现线性线性时不变因果系统。时不变因果系统。()()()()()my nh nx nh m x nm时域直接卷积法实现时域直接卷积法实现:h(n)()y n()x n()0,0()0,0h
47、nnx nn10()()()()()N Mmy nh nx nh m x nm长度为M长度为N长度为N+M-16.2.2基于离散傅里叶变换的基于离散傅里叶变换的LTI系统实现系统实现设：设：x(n)的长度为的长度为M，h(n)的长度为的长度为N。()(),Lqx nx nqL10()()()Nlmh m x nqLMy nqL 设设L=N+M-1()x n()()cy nh n2.2.线性卷积线性卷积和循环卷积和循环卷积的关系的关系两序列两序列的循环卷积的循环卷积：10()()()()()N Mlmy nh nx nh m x nm10()()LLqmx nmh mRqLn10()()LqmL
48、h m x nqR nLm两序列的线性卷积：两序列的线性卷积：10()()()LLLmh mx nmR n)()(LlqR ny nqL只要保证只要保证L N+M-1，即循环卷积长度，即循环卷积长度L大于等于线性大于等于线性卷积长度卷积长度(N+M-1)，则则 10()()()()()()NlmclLqh m x nqLMy nqLy ny nqL R nyc(n)等于等于yl(n)以以L为周期的周期延拓序列的主值序列。为周期的周期延拓序列的主值序列。()()cly ny nMATLAB的卷积和的卷积和函数是？函数是？结论：结论：conv()nh(n)0 01 12 23 34 41 1nx(
49、n)0 01 12 23 34 45 51 1【例例6.12】已知已知序列序列x(n)和和h(n)，求，求(1)y1(n)=x(n)*h(n),线性线性卷积长度为卷积长度为 N+M-1=8点长。点长。7100()()()1,2,3,4,4,3,2,1my nx m h n m(1)y1(n)=x(n)*h(n)；(2)y2(n)=x(n)h(n)；(3)y3(n)=x(n)h(n)；(4)y4(n)=x(n)h(n)。解解：根据根据yc(n)=yl(n)LRL(n)计算循环卷积。计算循环卷积。(2)y2(n)=x(n)h(n)=3,3,3,4,4,30混叠混叠1LNM(3)y3(n)=x(n)
50、h(n)=1,2,3,4,4,3,2,10(4)y4(n)=x(n)h(n)=1,2,3,4,4,3,2,1,0,00无混叠无混叠无混叠无混叠由由时域循环卷积时域循环卷积定理知：定理知：Y(k)=X1(k)X2(k)3.3.频域间接法计算：频域间接法计算：对对Y(k)进行进行L点点IDFT得得y(n)，即，即 y(n)=IDFTIDFTY(k)DFTDFTIDFTL点点L点点M点点x1(n)N点点x2(n)X2(k)X1(k)x1(n)x2(n)Y(k)1LNM第第6章完章完本课件的参考文献参见教材末尾所列的文献目录。本课件的参考文献参见教材末尾所列的文献目录。本课件部分图片来源于网络。本课件
