1、1.6三角函数模型的简单应用授课人：谢智聪授课人：谢智聪20222022年年7 7月月2626日日 知识目标：通过对三角函数模型的简单应用的学习，初步学会由图象求解析式的方法；体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。能力目标：让同学们体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。情感目标：让同学们切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。教学目标教学目标:1.y=sinx y=As
2、inx (振幅变换）振幅变换）三角变换三角变换 横坐标不变，纵坐标伸长或缩短到原来的横坐标不变，纵坐标伸长或缩短到原来的A倍倍 3.y=sin x y=sin（x+）(平移变换）平移变换）向左或向右平移向左或向右平移 个单位个单位 2.y=sinx y=sin x (周期变换）周期变换）纵坐标不变，横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变，横坐标伸长或缩短到原来的 倍倍1|复习导入：复习导入：在我们现实生活中有很多现象在进行在我们现实生活中有很多现象在进行周而复始地变化，用数学语言可以说这些周而复始地变化，用数学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所学的三角函数现象具有周期性，而我们所学的三角函数就
3、是刻画周期变化的典型函数模型，本节就是刻画周期变化的典型函数模型，本节课我们就来探讨三角函数模型的简单应用。课我们就来探讨三角函数模型的简单应用。正弦型函数正弦型函数1 1、物理情景、物理情景星体的环绕运动星体的环绕运动简谐运动简谐运动2 2、地理情景、地理情景 气温变化规律气温变化规律月圆与月缺月圆与月缺3 3、心理、生理现象、心理、生理现象 情绪的波动情绪的波动智力变化状况智力变化状况体力变化状况体力变化状况4 4、日常生活现象、日常生活现象 涨潮与退潮涨潮与退潮股票变化股票变化)0,0()sin(AbxAy例1 如图,某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(x+)+b
4、 (1)求这一天的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.6 10 14y T/xt/h102030O例1 如图,某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(x+)+b (1)求这一天的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.解解:(1)(1)由图可知，这一天的由图可知，这一天的 最大温差是最大温差是20206 10 14y T/xt/h102030O例1 如图,某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(x+)+b (1)求这一天的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.解：从614时的图象是函数y=Asin(x+)+b 的半个周期的图象。6 10 14
5、y T/xt/h102030O，1A=30-10=1021b=30+10=202思考思考：我们应该从哪个：我们应该从哪个方面入手来求函数的解析方面入手来求函数的解析式？式？将 x=6,y=10 代入上式，解得3=43y=10sinx+20,x 6,1484所以61422121T(2)写出这段曲线的函数解析式.6 10 14y T/xt/h102030O20)8sin(10 xy8思考思考：如何确定如何确定 与与 的值？的值？所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段温度变化，因此应当特别注意自变量的变化范围。方法小结：方法小结：,)()(21minmaxxfxfA.)()(21minmaxxfx
6、fb利用利用 求得求得,2T利用图像上的一点（一般使用最高点或最低利用图像上的一点（一般使用最高点或最低点），该点的坐标满足函数解析式可求得点），该点的坐标满足函数解析式可求得 。法国圣米切尔山【Mount Archangel Michae】海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。涨潮落潮事例一 宁波港地处我国大陆海岸线中部，南北和长江“T”型结构的交汇点上，地理位置适中，是中国大陆著名的深水良港，分成宁波老港区、镇海港区、北仑港区，宁波港水深流顺风浪小。进港航道水深在 18.2 米 以上，20 万吨以下船舶自由进港，25 万吨 30 万吨船舶可候潮进出港
7、。事例二1.依据规定,当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放,请设计一天内从上午到晚上之间,开放冲浪场所的具体时间段，有多少时间可供冲浪者进行活动?上述的变化过程中，哪些量在发生变化？哪个是自变量？哪个是因变量？2.按安全条例规定，船何时安全进出港？同学们，你们能否针对上述呈周期性变化的现象编拟一道能用三角函数模型解决它的题吗？若干年后，如果在座的各位有机会当上船长的话，当你的船要到某个港口去，你作为船长，你希望知道关于那个港口的一些什么情况？例4 海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋
8、.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:时刻时刻水深水深/米米时刻时刻水深水深/米米时刻时刻水深水深/米米0:005.09:002.518:005.03:007.512:005.021:002.56:005.015:007.524:005.0思考思考：观察表格中的数据，你能从中得到哪些信息？：观察表格中的数据，你能从中得到哪些信息？并且，水深的变化是否有规律性？如果有，那呈现怎么并且，水深的变化是否有规律性？如果有，那呈现怎么样的规律性？样的规律性？呈周期性变化规律呈周期性变化规律.(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数生态系统,给出整点时的水深的近似数值 (精确到0.0
9、01).(2)一条货船的吃小深度(船底与水面的距离)为4米,安全例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米.安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数生态系统,给出整点时的水深的近似数值 (精确到0.001).时刻时刻水深水深/米米时刻时刻水深水深/米米时刻时刻水深水深/米米0:005.09:002.518:005.03:007.512:005.021:002.56:005.0
10、15:007.524:005.0作出散点图作出散点图思考思考：为了选择一个适：为了选择一个适当的函数模型，我们应该当的函数模型，我们应该从哪个角度进行选取？从哪个角度进行选取？思考思考：你认为可以用哪个类：你认为可以用哪个类型的函数来拟合这些数据？型的函数来拟合这些数据？3 6 9 12 15 18 21 24Oxy642hxAy)sin(我们使用函数y=A sin(x+)+h刻画水深与题意之间的对应关系.A=2.5,h=5,T=12,=0，时刻时刻水深水深/米米时刻时刻水深水深/米米时刻时刻水深水深/米米0:005.09:002.518:005.03:007.512:005.021:002.
11、56:005.015:007.524:005.0 所以，港口的水深与时间的关系可用 近似描述.56sin5.2xy3 6 9 12 15 18 21 24Oxy642由由 ，得，得122T6下面，有请一位同学上来求一下下面，有请一位同学上来求一下 、的值的值Ah时刻时刻0:001:002:003:004:005:006:007:008:009:00 10:00 11:00水深水深5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754时刻时刻12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:0
12、0 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00水深水深5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754由得到港口在整点时水深的近似值:（精确到0.001）56sin5.2xy(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？解：货船需要的安全水深为4+1.5=5.5(米),所以当 y 5.5时就可以进港.5.556sin5.2x由计算器可得SHIFTsin-1MODEMODE20
13、.2=0.201357920.2014思考思考：货船能够进入港口所需要满足的条件是什么？：货船能够进入港口所需要满足的条件是什么？实际水深吃水深度+安全间隙 2.06sinx即即3846.0Ax解得解得2014.06x因此因此 ，ABCDy=5.5yOx5101524682.5sin56yx 因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右.我们发现，在区间我们发现，在区间 内，函数内，函数 图象图象与直线与直线 有四个交点有四个交点24,056sin5.2xy5.5yDCBA,由函数的周期性可得由
14、函数的周期性可得,3846.123846.012Cx6154.53846.06Bx 思考：得到了4个交点的横坐标值后，大家结合图象说说货船应该选择什么时间进港？什么时间出港呢？3846.0Ax6154.176154.512Dx下面我们再来细心分析：下面我们再来细心分析：v刚才整个过程，货船在进港刚才整个过程，货船在进港停留停留离开港离开港口，货船的吃水深度一直没有改变，也就是说货口，货船的吃水深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变。船的安全深度一直没有改变。v但是现实告诉我们，货船在卸货的过程中，根据但是现实告诉我们，货船在卸货的过程中，根据物理学的知识我们知道，随着船身自身重量
15、的减物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，换句话说，随着货物的卸载，小，船身会上浮，换句话说，随着货物的卸载，货船的安全深度不再向开始那样一直是一个常数货船的安全深度不再向开始那样一直是一个常数，它也是一个关于时间的变量，而实际水深也一，它也是一个关于时间的变量，而实际水深也一直在变化，这样一来当两者都在改变的时候，我直在变化，这样一来当两者都在改变的时候，我们又改如何选择进出港时间呢？们又改如何选择进出港时间呢？O 2 4 6 8 10 xy86422.5 sin56yx思考思考：要保持港口的水深不小于船的安全水深，那么要保持港口的水深不小于船的安全水深，那么如何刻画船的
16、安全水深呢？如何刻画船的安全水深呢？(3)若某船的吃水深度为4米.安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?思考思考：题目中题目中“必须停止卸必须停止卸货货”，是在货船即将面临什么，是在货船即将面临什么危险的时候呢？危险的时候呢？当实际水深快要等于安全当实际水深快要等于安全水深的时候（即实际水深大于水深的时候（即实际水深大于或等于安全水深），就必修停或等于安全水深），就必修停止卸货，将船驶离港口。止卸货，将船驶离港口。)2(3.05.5xy5.50.32yxP通过图象可以看到，当快要通过图象可以看到，当快
17、要到到P点的时候，货船就必须点的时候，货船就必须停止卸货，驶向深水区。停止卸货，驶向深水区。(3)若某船的吃水深度为4米.安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?O 2 4 6 8 10 xy86422.5 sin56yx解：解：要使实际水深大于或等于要使实际水深大于或等于安全水深，即安全水深，即)2(3.05.556sin5.2xx思考思考：那么：那么P点的坐标如何求得呢？点的坐标如何求得呢？)2(3.05.556sin5.2xx二分法二分法实际水深实际水深安全水深安全水深5.50.32yxP通过图象
18、可以看到，当快要通过图象可以看到，当快要到到P点的时候，货船就必须点的时候，货船就必须停止卸货，驶向深水区。停止卸货，驶向深水区。因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.(3)若某船的吃水深度为4米.安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?O 2 4 6 8 10 xy86422.5 sin56yx解：解：要使实际要使实际水深小于或等于水深小于或等于安全水深，即安全水深，即)2(3.05.556sin5.2xx 时间 实际水深安全水深是否安全605米43米安全6542米41米较
19、安全7038米40米危险思考：有些同学可能思考：有些同学可能会存在异议，能否在会存在异议，能否在P点的时候才停止卸点的时候才停止卸货，将船驶离港口？货，将船驶离港口？7,6Px所以实际问题所以实际问题 必须具体分析，必须具体分析，考虑周全。考虑周全。从上面的问题可以看出，如果有时候时间控制不当从上面的问题可以看出，如果有时候时间控制不当，货船在卸货的过程中，就会出现货还没有卸完，不得，货船在卸货的过程中，就会出现货还没有卸完，不得已要暂时驶离港口，进入深水区，等水位上涨后再驶回已要暂时驶离港口，进入深水区，等水位上涨后再驶回来。来。这样对老板来说就会造成人力、物力、财力上的巨这样对老板来说就会
20、造成人力、物力、财力上的巨大损失？这显然不是老板愿意看到的。大损失？这显然不是老板愿意看到的。补充：若船的吃水深度为补充：若船的吃水深度为4米，安全间隙为米，安全间隙为1.5米，该米，该船在船在2:00开始卸货，货物卸空后吃水深度为开始卸货，货物卸空后吃水深度为2米，为了米，为了保证进入码头后一次性卸空货物，又能安全驶离码头，保证进入码头后一次性卸空货物，又能安全驶离码头，那么每小时吃水深度至少要以多少速度减少？那么每小时吃水深度至少要以多少速度减少？那该如何来解决这个问题呢？那该如何来解决这个问题呢？今晚作业（今晚作业（1）课堂练习课堂练习1.1.如果某地夏天从如果某地夏天从814814时用
21、电量变化曲线近似满足时用电量变化曲线近似满足函数函数 ,如图所示如图所示.(1)(1)求这一天的最大用电量和最小用电量求这一天的最大用电量和最小用电量;(2)(2)写出这段曲线的函数解析式写出这段曲线的函数解析式.14,8,4066sin10 xxybxAy)sin(2、如右上图、如右上图,单摆从某点开始来回摆动单摆从某点开始来回摆动,离开离开平衡位置平衡位置O的距离的距离s cm和时间和时间t s的函数关系式的函数关系式为为 ，那么单摆来回摆动一次那么单摆来回摆动一次所需的时间为（所需的时间为（）A.2 sC.0.5sB.sD.1sD课堂练习课堂练习)62sin(6ts体验探究1、你能一刀削
22、出一条正弦曲线吗？提示：把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈，用刀斜着将纸筒削断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线。你知道吗？这条曲线就是正弦曲线！这条曲线就是正弦曲线！2、你能试着针对周围一些呈周期性变化的现象编拟一道能用三角函数模型解决它的题吗？今晚作业（今晚作业（2）课后作业活页十三 过关巩固3.回顾我们整个解决三角函数模型过程，经历了几个阶段回顾我们整个解决三角函数模型过程，经历了几个阶段 2.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型型,可以用来研究很多问题可以用来研究很多问题,我们可以通过建立三角函数模我们可以通过建立三角函数模型来解决实际问题型来解决实际问题,如天气预报如天气预报,地震预测地震预测,等等等等.课堂小结 ：收集数据：收集数据-画散点图（为了更加直观形象揭画散点图（为了更加直观形象揭示变化规律）；示变化规律）；：根据图象特征：根据图象特征-选择适当函数类型，并求得函选择适当函数类型，并求得函数类型；数类型；：函数模型在实际问题中的应用。：函数模型在实际问题中的应用。1.如果某种变化着的现象具有周期性如果某种变化着的现象具有周期性,那么它就可以借助那么它就可以借助三角函数来描述三角函数来描述.
