1、4.34.3三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质要点梳理要点梳理1.“1.“五点法五点法”作图原理作图原理:在确定正弦函数在确定正弦函数y y=sin=sin x x 在在0 0，2 2 上的图象形状时上的图象形状时,起关键作用的五起关键作用的五 个点是个点是 、.余弦函数呢？余弦函数呢？(0,0)(0,0)1,2()0,()1,23()0,2(基础知识基础知识 自主学习自主学习2.2.三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质:y y=sin=sin x x y y=cos=cos x x y y=tan=tan x x定义域定义域图象图象 值域值域 R R 函函数数性性质质-1,1-1,
2、1-1,1-1,1R RR R,2|kxx(k kZ Z)对称性对称性周期周期单调性单调性奇偶性奇偶性:对称轴kx)(2Zk；:对称中心)(0,(Zkk:对称轴kx)(Zk；对称中:心kk2,22)(Zk:对称中心)(Zk22单调增区间)(2Zk；单调减区间kk2,22)(23Zk单调增区间2,2kk)(Zk；单调减区间2,2kk)(Zk单调增区间kk,22)(Zk奇奇奇奇偶偶)0,2(k)0,2(k3.3.一般地对于函数一般地对于函数f f（x x）,如果存在一个不为如果存在一个不为0 0的常的常 数数T T，使得当，使得当x x取定义域内的每一个值时取定义域内的每一个值时,都有都有 f f
3、（x x+T T）=f f（x x），那么函数），那么函数f f（x x）就叫做周期）就叫做周期 函数，非零常数函数，非零常数T T叫做这个函数的周期，把所有叫做这个函数的周期，把所有 周期中存在的最小正数周期中存在的最小正数,叫做最小正周期叫做最小正周期(函数函数 的周期一般指最小正周期的周期一般指最小正周期).).函数函数y y=A Asinsin(x x+）或或y y=A Acoscos（x x+）（）（00且为常数）的周且为常数）的周 期期 函数函数y y=A Atantan(x x+)(0)+)(0)的周期的周期,2T.T基础自测基础自测1.1.函数函数y y=1-2sin=1-2s
4、in x xcoscos x x的最小正周期为（的最小正周期为（）解析解析4.D2.C.B21.A.22,2sin1TxyB2.2.设点设点P P是函数是函数f f(x x)=sin )=sin x x(0)(0)的图象的图象C C的的 一个对称中心一个对称中心,若点若点P P到图象到图象C C的对称轴的距离的的对称轴的距离的 最小值是最小值是 则则f f(x x)的最小正周期是（的最小正周期是（）解析解析 由正弦函数的图象知对称中心与对称轴由正弦函数的图象知对称中心与对称轴 的距离的最小值为最小正周期的的距离的最小值为最小正周期的 故故f f（x x）的）的 最小正周期为最小正周期为T T=
5、,44.D2.C.B2.A,41.44B3.3.函数函数y y=sin =sin 的图象（的图象（）A.A.关于点关于点 对称对称 B.B.关于直线关于直线 对称对称 C.C.关于点关于点 对称对称 D.D.关于直线关于直线 对称对称 解析解析 验证法：验证法：)32(x)0,3(4x)0,4(3x.)0,3()32sin(,0sin)332sin(,3对称的图象关于点所以时当xyxA4.4.在下列函数中在下列函数中,同时满足以下三个条件的是同时满足以下三个条件的是()()在在 上递减；上递减；以以 为周期；为周期；是奇函数是奇函数.A.A.y y=tan=tan x x B.B.y y=co
6、s=cos x x C.C.y y=-sin=-sin x x D.D.y y=sin=sin x xcoscos x x 解析解析 y y=tan=tan x x的周期为的周期为 ，故，故A A错错.y y=cos=cos x x为偶函数，故为偶函数，故B B错错.y y=sin=sin x xcoscos x x=sin 2=sin 2x x的周期为的周期为 ，故，故D D错错.y y=-sin=-sin x x的周期为的周期为2 ,2 ,是奇函数，由图象知是奇函数，由图象知 在在 上是递减函数，故上是递减函数，故C C正确正确.)2,0(221)2,0(C5.5.（20092009四川文
7、，四川文，4 4）已知函数已知函数f f(x x)=sin)=sin (x xR R)，下面结论错误的是（，下面结论错误的是（）A.A.函数函数f f(x x)的最小正周期为的最小正周期为2 2 B.B.函数函数f f(x x)在区间在区间 上是增函数上是增函数 C.C.函数函数f f(x x)的图象关于直线的图象关于直线x x=0=0对称对称 D.D.函数函数f f(x x)是奇函数是奇函数 解析解析 A A正确正确;由图象知由图象知y y=-cos=-cos x x关于直线关于直线x x=0=0对称，对称，C C正确正确.y y=-cos=-cos x x是偶函数，是偶函数，D D错误错误
8、.)2(x2,0,2,cos)2sin(Txxy;B,2,0cos,2,0cos正确增函数上是在上是减函数在xyxyD题型一题型一 与三角函数有关的函数定义域与三角函数有关的函数定义域 求下列函数的定义域：求下列函数的定义域：（1 1）y y=lgsin(cos=lgsin(cos x x);(2);(2)y y=本题求函数的定义域本题求函数的定义域:(1)(1)需注意对数需注意对数 的真数大于零，然后利用弦函数的图象求解；的真数大于零，然后利用弦函数的图象求解；(2)(2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于零，需注意偶次根式的被开方数大于或等于零，然后利用函数的图象或三角函数线求解然后利用函
9、数的图象或三角函数线求解.解解 (1)(1)要使函数有意义要使函数有意义,必须使必须使sin(cossin(cos x x)0.)0.-1cos -1cos x x1,0cos1,0cos x x1.1.cossinxx题型分类题型分类 深度剖析深度剖析方法一方法一 利用余弦函数的简图得知定利用余弦函数的简图得知定义域为义域为方法二方法二 利用单位圆中的余弦线利用单位圆中的余弦线OMOM,依题意依题意知知0 0 0)0,0)的函数的单调区间的函数的单调区间,可以通可以通过解不等式的方法去解答过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是列不等式的原则是:把把“x x+(0)”+(0)”视为一个视为一
10、个“整体整体”；A A0(0(A A0)00时，利用最值求时，利用最值求a a、b ba a00时，利用最值求时，利用最值求a a、b b解解 ,32323,20 xx.31219,361231223,3612,.312193612,1352,0;312233612,5312,0,1)32sin(23bababababaabababaax或综上可知解得则若解得则若3 3分分7 7分分1111分分1212分分 解决此类问题解决此类问题,首先利用正弦函数、余首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出弦函数的有界性或单调性求出y y=A Asinsin（x x+）或）或y y=A Acoscos
11、（x x+）的最值）的最值,再由方程的思想解决问再由方程的思想解决问题题.知能迁移知能迁移4 4 （20092009江西理，江西理，4 4）若函数若函数f f(x x)=(1+tan =(1+tan x x)cos)cos x x,0,0 x x ,00）的形式，再根）的形式，再根 据基本三角函数的单调区间据基本三角函数的单调区间,求出求出x x所在的区间所在的区间.应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考 虑虑.注意区分下列两题的单调增区间不同：注意区分下列两题的单调增区间不同：22).1(21cossin2txx3.3.利用换元法求三角函数最值时注意
12、三角函数有利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有 界性界性,如如:y y=sin=sin2 2x x-4sin-4sin x x+5,+5,令令t t=sin=sin x x(|(|t t|1),|1),则则y y=(=(t t-2)-2)2 2+11,+11,解法错误解法错误.).24sin()2();42sin()1(xyxy一、选择题一、选择题1.1.（20092009福建理，福建理，1 1）函数函数f f(x x)=sin)=sin x xcos cos x x的最的最 小值是（小值是（）解析解析 f f(x x)=sin)=sin x xcos cos x x=1.D21.C21.
13、B1.A.2sin21x,Z时当kkx,4.21)(minxfB定时检测定时检测2.2.(2009(2009全国全国理理,8),8)如果函数如果函数y y=3cos(2=3cos(2x x+)+)的的 图象关于点图象关于点 中心对称中心对称,那么那么|的最小值的最小值 为（为（）解析解析 由由y y=3cos(2=3cos(2x x+)的图象关于点的图象关于点)0,34(2.3.C4.B6.AD中心对)0,34(.63822|).(382).(238.0)38cos(3,0)34(,的最小值为即称知ZZkkkkfA3.3.已知函数已知函数 在区间在区间0 0，t t上至少取得上至少取得2 2次
14、次最最 大值，则正整数大值，则正整数t t的最小值是的最小值是 （）A.6 B.7 C.8 D.9A.6 B.7 C.8 D.9 解析解析3sinxy,45,6tTT则.8,215minttC4.4.已知在函数已知在函数f f(x x)=)=图象上图象上,相邻的一个最相邻的一个最大大 值点与一个最小值点恰好在值点与一个最小值点恰好在x x2 2+y y2 2=R R2 2上上,则则f f（x x）的的 最小正周期为最小正周期为 （）A.1 B.2 C.3 D.4A.1 B.2 C.3 D.4 解析解析 x x2 2+y y2 2=R R2 2，x x-R R，R R.函数函数f f（x x）的
15、最小正周期为）的最小正周期为2 2R R，Rxsin3.4,2,),3,2(),3,2(TRRR得代入圆方程相邻的最小值点为最大值点为D5.5.（20092009浙江理，浙江理，8 8）已知已知a a是实数是实数,则函数则函数 f f(x x)=1+)=1+a asin sin axax的图象不可能是（的图象不可能是（）解析解析 图图A A中函数的最大值小于中函数的最大值小于2 2，故，故00a a1,1,而其而其周期大于周期大于2 .2 .故故A A中图象可以是函数中图象可以是函数f f(x x)的图象的图象.图图B B中，函数的最大值大于中，函数的最大值大于2,2,故故a a应大于应大于1
16、 1，其周期小，其周期小于于2 ,2 ,故故B B中图象可以是函数中图象可以是函数f f(x x)的图象的图象.当当a a=0=0时，时，f f(x x)=1,)=1,此时对应此时对应C C中图象，对于中图象，对于D D可以看出其最大值可以看出其最大值大于大于2 2，其周期应小于，其周期应小于2 ,2 ,而图象中的周期大于而图象中的周期大于2 2 ，故，故D D中图象不可能为函数中图象不可能为函数f f(x x)的图象的图象.答案答案 D D6.6.给出下列命题：给出下列命题：函数函数 是奇函数；是奇函数；存在实数存在实数 ,使得使得 其中正确的序号为（其中正确的序号为（）A.A.B.B.C.
17、C.D.D.)232cos(xy;23cossin;tantan,则是第一象限角且若、;)452sin(8的一条对称轴方程是函数xyx.)0,12()32sin(称图形成中心对的图象关于点函数xy解析解析 是奇函数；是奇函数；xyxy32sin)232cos(;23cossin,232,2)4sin(2cossin使得所以不存在实数因为的最大值为;tantan),36030tan(45tan,3603045:.,不成立即但例如是第一象限角且;)452sin(8,123sin)452sin(8的一条对称轴是函数所以代入把xyxxyx答案答案 C C.,.)32sin()0,12(,12sin)3
18、2sin(12正确只有综上所述的对称中心不是函数所以点代入把xyxyx二、填空题二、填空题7.7.21cos)lg(sinxxy函数 ,的单调函数)324sin(21xy .解析解析,021cos0sinxx要使函数有意义必须有.,232|),(232)(232322,21cos0sinZZZkkxkxkkxk，kkxkkxkxx函数的定义域为解得即的定义域为递增区间为Z).Z),kkkkkxkkxkxyxy(3821,389(,3821389,22343222),432sin(21)324sin(21为故函数的单调递增区间得由得由答案答案 )(3821,389Zkkk)(23,2(Zkkk8
19、.8.（20082008辽宁理，辽宁理，1616）已知已知f f(x x)=)=且且f f(x x)在区间在区间 上有最小值，上有最小值，无最大值，则无最大值，则 .解析解析 如图所示如图所示,),0)(3sin(x),3()6(ff)3,6(),3sin()(xxf),3()6(ff且)3,6(,33831016,2;3143108,1,0).(3108).(22344236)(此时在区间时当时当处取得最小值在kkkkkkxxfZZ答案答案314,)3,6()(无最大值内只有最小值在区间又、xf.314.故内存在最大值9.9.关于函数关于函数f f（x x）=4sin =4sin （x xR
20、 R）,有下列命有下列命 题：题：由由f f(x x1 1)=)=f f(x x2 2)=0)=0可得可得x x1 1-x x2 2必是必是 的整数倍；的整数倍；y y=f f（x x）的表达式可改写为）的表达式可改写为 y y=f f（x x）的图象关于点）的图象关于点 对称；对称；y y=f f（x x）的图象关于直线）的图象关于直线 对称对称.其中正确的命题的序号是其中正确的命题的序号是 .（把你认为正（把你认为正 确的命题序号都填上）确的命题序号都填上）解析解析 函数函数f f（x x）=的最小正周的最小正周 期期T T=，由相邻两个零点的横坐标间的距离，由相邻两个零点的横坐标间的距离
21、 是是 知知错错.)32(x);62cos(4xy)0,6(6x)32sin(4x22T答案答案 .6,)0,6(,06,)(.,)()0,6(,00sin43)6(2sin4)(6,)(.),62cos(4)26cos(4)32(2cos4)(不正确因此命题不是图象的对称轴故直线不是最高点也不最低点点时而平行轴且与最高点或最低点的对称轴必经过图象的曲线正确故命题图象的一个对称中心是因此点代入得将对称中心轴的每个交点都是它的与由于曲线正确知利用诱导公式得，xyxyxfxfxfxxxfxxxxf三、解答题三、解答题10.10.设函数设函数f f(x x)=sin(2)=sin(2x x+)(-0
22、)(-0)0)的最小正周期的最小正周期 是是 .（1 1）求）求的值；的值；（2 2）求函数）求函数f f（x x）的最大值，并且求使）的最大值，并且求使f f（x x）取）取 得最大值的得最大值的x x的集合的集合.解解212sin22cos12)()1(xxxf.2)42sin(22)4sin2cos4cos2(sin222cos2sinxxxxx.2,222,2)(,所以可得的最小正周期是函数由题设xf.,216|,22)(,1)44sin(,)(216,2244.2)44sin(2)(,)1()2(ZZkkxxxxfxkkxkxxxf的集合为此时的最大值是所以函数取得最大值时即当知由1
23、2.12.设函数设函数f f(x x)=cos)=cos x x (sin(sin x x+cos+cos x x),),其其 中中002.2.（1 1）若）若f f(x x)的周期为的周期为 ,求当求当 f f(x x)的值域；的值域；（2 2）若函数）若函数f f(x x)的图象的一条对称轴为的图象的一条对称轴为 求求的值的值.解解3,36时x,3x212cos212sin23)(xxxf21)62sin(x.1,)1(所以因为T,21)62sin()(xxf.23,0)(,65,662,36的值域为所以时当xfxx.21,0,131,20),(2123),(26)3(2,3)()2(kkkkkkkxxf所以又所以又所以的图象的一条对称轴为因为ZZZ 返回返回
