7数字信号处理3课件.ppt

1、前面介绍设计方法实现的线性相位FIR DF具有很好的7.5 简单整系数线性相位简单整系数线性相位FIR DF2、系数个数较多，使得乘法次数多，计算时间长，1、系数不是简单整数，要求较长的字长。影响实时处理。性能，但也有不足：在实际处理中，若对DF的特性只有一般要求，但对处理速度要求较高，且要求设计方法简单，在这种情况下可以使用简单整系数FIR DF。这种滤波器系数少，且均为整数(1,2,3,)。因为左移一位可实现乘2运算；左移一位再加移位前的数据可实现乘3运算；其他整数因此运算时间可以大大减少，从而可以做到实时处理。乘法以此类推。所以实际只需不多的移位及加法运算，7.5.1、简单整系数线性相位

2、、简单整系数线性相位FIR DF的设计原理的设计原理FIR梳状滤波器的系统函数为 NNNzzzzH11（7.5-1）式(7.5-1)的H(z)有原点处的N阶极点(zp=0)，单位圆上的N个零点其对应的差分方程k=0,1,2,N-1(7.5-2)y(n)=x(n)x(nN)zk=e j2k/N频率特性(7.5-3)式中(7.5-2)y(n)=x(n)x(nN)H()=2sin(N/2)，()=(N/2/2)H()=2sin(N/2)，H(ej)=H(z)jezjez=1zN=1e jN=2sin(N/2)ej(N/2/2)=H()e j()40/23/22H()=2sin(2)，jImzRez例

3、 N=4时的零、极图与模频图如下2502jImzRez2/56/524/58/5H()=2sin(5/2)例N=5时的零、极图与模频图如下 4111LzHzz现在只要在梳状滤波器基础上加入一些必要的极点，可以设计所需要的各种简单整系数线性相位FIR DF。1、低通、低通线性相位FIR DF（不论N为奇、偶，、型）以N=4为例。取消=0,，即z=1处的零点，其模频特性的低频部分会增大，从而具有低通特性。=1+z 1+z 2+z 3 jjLjjjLeeHeeeH1142/sin2sin jLeH对应差分方程系数均为1频率特性 其中，或 y(n)=x(n)+x(n1)+x(n2)+x(n3)y(n)

4、y(n1)=x(n)x(n4)()=3/2。=HL()e j()02/sin2sinjLeH2/sin2sinjLeH相频特性模频特性()=3/2。/23/224 5111LzHzz jjLjjjLeeHeeeH115若N=5，则差分方程系数均为1频率特性2/sin2/5sin jLeH其中，=1+z 1+z 2+z 3+z 4y(n)y(n1)=x(n)x(n5)或 y(n)=x(n)+x(n1)+x(n2)+x(n3)+x(n4)()=2。02/sin2/5sin jLeH2/sin2/5sin jLeH()=22/56/524/58/5模频特性相频特性5 111zzzHNLP由此类推一般

5、低通设计方法：（7.5-4）差分方程y(n)=x(n)+x(n1)+x(n2)+x(nN+1)y(n)y(n1)=x(n)x(nN)(7.5-5a)或(7.5-5b)2/sin2/sin1121NeeeeHNjjjNjLP2/sin2/sinNeHjLP相频特性(7.5-6a)频率特性 (7.5-6c)其中模频特性 且HL(0)=N (7.5-6b)()=(N 1)/2 111zzzHNHP2、高通、高通线性相位FIR DF对于高通可以设置 z=1处的极点，使其与该处的零点抵消。(1)N为偶数(7.5-7)差分方程y(n)+y(n1)=x(n)x(nN)y(n)=x(n)+x(n1)+x(n2

6、)+x(nN+1)(7.5-8b)或(7.5-8a)2/cos2/sin112/21NeeeeHNjjjNjHP2/cos2/sinNeHjHP频率特性其中模频特性(7.5-9a)相频特性(7.5-9c)(7.5-9b)=HH()e j()，且HH()=N ()=(N 1)/2+/2 2/cos2sinjLeH4例N=40/23/22 111zzzHNHP）N为奇数因为1zN在 处无零点，如N=5的模频图。可以将N为奇数的低通零点旋转1800，使低通转变为高通。所以用 z代替低通系统函数(7.5-4)式中的z，就可以得到N为奇数时的高通滤波器的系统函数(7.5-10)差分方程 (7.5-11a

7、)y(n)+y(n1)=x(n)+x(nN)(7.5-11b)或 y(n)=x(n)x(n1)+x(n2)+x(nN+1)2/cos2/cos1121NeeeeHNjjjNjHP jHPeH频率特性(7.5-12a)=HH()e j()2/cos2/cosNeHjLP如N=5(7.5-12b)(7.5-12c)模频特性，相频特性HH()=N ()=(N 1)/2 y(n)=x(n)x(n1)+x(n2)x(n3)+x(n4)02/cos2/5cos jLeH2/cos2/5cos jLPeH例N=52/56/524/58/55带通线性相位FIR DF是抵消梳状滤波器的一对零点而得0je，则中心

8、频率为0的带通 21011cos21111100zzzzezezzHNjjNBP3、带通、带通线性相位FIR DF到的。设抵消的零点为(1)N为偶数系统函数为：（7.5-13）20cos211jjjNjBPeeeeH02/21coscos2/sinNeNj0coscos2/sinNeHjBP频率特性其中模频特性相频特性(7.5-14b)(7.5-14a)(7.5-14c)=HB()e j()()=(N 1)/2+/2 因为只有2cos0取0、1、1时，HB(z)为整系数的系统函数，所以0只能取/3、/2、2/3。例如0=/3时，原梳状滤波器在此处必须有零点，才能在这里设置极点与之相抵消。所以原

9、梳状滤波器的零点数必为2 /(/3)=6，或6的整数倍12、18、。因为解出 N=6n，n=1,2,3。1ejN/3=0，ejN/3=1=ej2n，216111111100zzzzezezzHjjNBP特别的，当0=/3，N=6时=1+z 1 z 3 z 4差分方程 y(n)y(n1)+y(n2)=x(n)x(n6)或 y(n)=x(n)+x(n1)x(n3)x(n4)系数均为1例N=6HB()0.31.35 20.651.70.753.50 0011111NBPjjzHzezez(2)、N为奇数原梳状滤波器的零点旋转1800，用z代替z，只有如此才能使N为奇数。(7.5-15)120112c

10、osNzzz20cos211jjjNjBPeeeeH012coscos2/cosNeNj频率特性(7.5-16a)0coscos2/cosNeHjBP其中模频特性相频特性 (7.5-16b)(7.5-16c)=HB()e j()()=(N/2 1)N只能取9，15，21，。因为只有2cos0取0、1时，HB(z)为整系数的系统函统函数，所以0只能取/3、/2。若0=/3时，则/3处必为零点，这时n=1,2,3。解出：N=3(2n+1)n=1,2,3 1+ejN/3=0，ejN/3=1=ej(2n+1)，21911zzzzH特别的，当0=/3，N=9时这时最大值为5.2。差分方程 y(n)y(n

11、1)+y(n2)=x(n)+x(n9)系数均为10例N=9HB()5.20.750.3221.680.3 0.6511.35 1.7200.753.5N=6带 通 振幅 图振 幅0.3 0.6511.35 1.72-150-90090150以 pi 为 单位 的 频 率N=4带 通 相位 图00.3211.68200.7515.2N=9带 通 振幅 图振 幅00.311.72-160-90090160N=9带 通 相位 图以 pi 为 单位 的 频 率N=6、N=9带通滤波器的模频及相频特性如图7.5-4所示。12NAPAzzH12NjjAPAeeH4、带阻、带阻FIR DF一个中心频率为0，

12、带宽为B的带阻FIR DF，可以用一个全通FIR DF与一个中心频率为0，带宽为B的带通FIR DF的组合而成。即带阻FIR DF的系统函数：其中全通FIR DF的系统函数为：(7.5-19a)(7.5-19b)频响(7.5-18)Hs(z)=HA(z)HB(z)21012cos211zzzAzzHzHzHNNBPAPBsj2/20cos/2ecoscosNNA0jBPeH，0为带通的中心(1)N为奇数(7.5-20)频响(7.5-21)式中A为带通的最大值，即频率。Hs(ej)=HA(ej)HB(ej)12120112cosNNzAzzzj2/20sin/2ecoscosNNA0jBPeH，

13、0为带通的(2)N为偶数(7.5-22)频响(7.5-23)式中A为带通的最大值，即中心频率。Hs(ej)=HA(ej)HB(ej)Hs(z)=HA(z)HB(z)61211zzz利用前面的两个带通FIR DF，可以得到相应的带阻FIRDF。例 N=6HA1(z)=3.5z 2HA1(ej)=3.5e j(6/21)Hs1(z)=3.5z 2Hs1(ej)=3.5e j(6/21)HB1(e j)91211zzz相应的带阻FIR DF如图7.5-5所示。例 N=9HA2(z)=5.2z(N/2-1)=5.2z 3.5HA2(ej)=5.2e j(9/21)Hs2(z)=5.2z 3.5Hs2(

14、ej)=5.2e j3.5 HB2(ej)0.3 0.6511.35 1.7202.753.5N=6带 阻 振 幅 图振 幅0.3 0.6511.35 1.72-180-90090180以 pi 为 单位 的 频 率N=4带 阻 相 位 图00.3211.68203.24.25.2N=9带 阻 振 幅 图振 幅00.311.72-180-90090180N=9带 阻 相 位 图以 pi 为 单位 的 频 率7.5.2、简单整系数、简单整系数FIR DF的设计的设计一般的DF设计指标通常由通带截止频率、阻带截止频率、通带最大衰减、阻带最小衰减给出。这些指标对于简单整系数FIR DF的设计同样适合

15、。但简单整系数FIR DF也具有自己的特点。以图7.5-6所示低通振幅特性为例，其阻带截止(最低)通带带宽B通常取3dB带宽。频率一般定义为模频特性第一旁瓣峰值的频率3/N；dBHHpLPLPp31lg200lg20707.02/1 NHHsLPLPslg200lg20式中s=3/N。以低通为例，指标为p s 2/N4/N NNHL(ej)设：N=12时，计算低通的阻带最小衰减p。12 3sin12121 30.383sin2 12LsH 020lg20lgLsLsHNdBH因为此时最小衰减不到14dB，在实际应用中远远满足不了要求。HL(0)=12=20lg(120.383)13.25dB

16、为了加大阻带衰减，就要减少旁瓣与主瓣的相对幅度。可以在单位圆上设置二阶以上的高阶零点，而另外加上二阶以上的高阶极点来抵消一个或几个高阶零点。这样做的结果使滤波器的阻带衰减加大，也使滤波器的过渡带更陡峭。例如，在单位圆z=1处安排一个k阶零点，且在单位圆z=1处安排一个k阶极点，则此滤波器的系统函数为 kNLPzzzH111k滤波器的阶数(7.5-24)由此再一次看到阻带衰减与过渡带宽的矛盾。由图7.5-7所示低通归一化模频特性可见：p1 s 2/N4/N pL k1HL(ej)10在主瓣高度均为1的情况下k 1，pk1 设计时，由已知通、阻带衰减p、s，通带带宽B以由上分析可知，简单整系数滤波

17、器设计就是根据给定的设计指标确定N与k。关的方程。以低通为例。及截止频率s指标可以分别列出与通带及阻带指标相 kpLPLPkLPLPpHHBHH0lg200lg20kppNN2/sin2/sinlg20(2)由通带指标确定N (7.5-26)020lg20lg3/kkLPsLPsLPHNHHN3/220lgsin 3/2k(1)由阻带指标确定k(7.5-25)以及s=3/N列方程：27lg20lg20sHPHPksHPHPsHHkHH例例7.5-1：设计一个高通，fp=21kHz，通带最大衰减(1)由阻带指标确定k，按阻带为第一旁瓣峰值处的定义(1)偶数。3dB，阻带最小衰减27dB，取样间隔

18、T=20s，N取解：p=3、s=27，fs=1/T=50kHz。20lg20lg27kHHsHsHsHHkHH(1)(2)式中HH()=N(3)NNNNNHsHP2/3sin2/cos321cos32sin1sin 3/2HsHN因为N为偶数，分子为1所以将(1)(2)代入(3)，得到(4)20klgNsin(3/2N)=27 N较大时，(4)式中的sin(3/2N)(3/2N)s 20klg(3/2)=27k 27/20 lg(3/2)=270.07427=2.0053取k=2。25410501021252/21233spsfffB kpHPHPpHHlg202/cos2/sinBBNBHH

19、HPpHP(2)由通带指标确定N。频响的通带按通带衰减列方程：式中(6)(5)2/sin2/sinBNBBHHPkpNBBN2/sin2/sinlg20(7)将HH()=N及式(7)代入(5)式，得到因为N为偶数，sinN(B)/2=sinNB/2；cos(B)/2=sinB/2，所以(6)式可表示为xxkxxkpsinlg20sinlg20在B 处sinx/x恒为正，所以有 8414.01010/sin40/320/kpxx将sin x/x展开为泰勒级数!5!31sin42xxxx取前两项近似得 8414.0!312x当B较小时，sin(B/2)B/2，令NB/2=x，则解出x=0.9755

20、=NB/2=N4/50，N=3.8814，N取4。2184214212111zzzzzzzH由此设计的高通滤波器系统函数为：=12z 1+3z 24 z 3+3z 4 2z 5 +z 6差分方程y(n)+2 y(n1)+y(n2)=x(n)2x(n4)+x(n8)或y(n)=x(n)2x(n1)+3x(n2)4x(n3)+3x(n4)2x(n5)+x(n6)检验衰减频率特性如图7.5-8所示。00.250.50.841-23-30以pi为单位的频率N=4,k=2高通振幅图为改善阻带指标，只有加大k，k取3，重新计算。kpNBBN2/sin2/sinlg20 xxkxxkpsinlg20sinl

21、g20由图7.5-8可见，通带指标满足设计要求，而阻带指标不满足设计要求。当B较小时，sin(B/2)B/2，令NB/2=x，则89125.01010/sin60/320/kpxx89125.0!312x在B处sin x/x 恒为正，所以有 将sin x/x展开为泰勒级数!5!31sin42xxxx取前两项近似得解出N=3.2，N取4。x=0.8087=N B=4N/50 31411zzzH由此设计的高通滤波器系统函数为：差分方程 y(n)=x(n)3x(n1)+6x(n2)10 x(n3)+12x(n4)12x(n5)+10 x(n6)6x(n7)+3x(n8)x(n9)=13z 1+6z

22、210 z 3+12z 4 12z 5 +10z 66 z 7+3z 8 z 93411jjjeeeH32/cos2sinjeH滤波器的频响特性检验衰减频率特性如图所示。，()=3+00.250.50.871-34-30以pi为单位的频率N=4,k=3高通振幅图往往只能兼顾，不能兼得。由图7.5-9可见，此时阻带指标满足设计要求，而通带带宽指标稍差。从这里再次看到阻带指标与通带带宽kBfNfks25.2通带衰减为3分贝，解式(7.5-26)的方程时，一般可用如下近似公式计算系统阶数：(7.5-27)式中 f s 为采样频率，Bfk为 k 阶滤波器通带带宽。低通时为通带截止频率f p；高通时的带宽为k由（1）式计算得到的系统阶数Bfk=0.5f s f p LBfNfks25.293.3210425.2105033LBfNfks25.22.3310425.2105033如例7.5-1,k=2时k=3时式中高通带宽为最后N取整数为N=4。Bfk=0.5fs f p=(25-21)103=4103 作业 34