1、利用通用计算机实现的线性非移变系统的特定软件，或特别的专用硬件芯片组成的线性非移变系统，都可以定义为数字滤波器。实现数字滤波器时，必须把输入输出关系转变成计算机上可执行的算法。算法实际是由一组基本运算单元组成的。基本运算单元有加法器、乘法器、延时器等。第第5章章 数字滤波器的结构与状态变量分析法数字滤波器的结构与状态变量分析法对基本运算单元用框图或信号流图的方法表示，就可以把数字网络的运算结构表示出来，可以一目了然的看到系统运算的步骤、加法、乘法的次数、存储单元的多少。当然相同的输入输出关系可以用若干不同的运算结构实现。nhnxny10NMkkkka y nkb x nk1、差分方程2、时域一
2、般输入x(n)与输出y(n)可以有几种表示方法：y(n)=Tx(n)h(n)=T(n)式中H(z)是系统的系统函数，且 kkNkkkMkzazbzXzYzH1013、复频域y(n)=Z-1Y(z)=Z-1X(z)H(z)频域的离散傅里叶变换式中H(k)是系统的频域采样函数。不同的算法就有不同的表示方法，但都要用到基本运算单元。y(n)=IDFTY(k)=IDFTX(k)H(k)最常用描述离散系统的数学形式是给定系统函数 H(z)21115.08.011zzzH 1125.015.23.015.1zzzH 1135.0113.011zzzH例如以下系统函数函数表示，相应有不同的运算结构。上面的H
3、1(z)、H2(z)、H3(z)是同一系统不同的传输 不同的算法直接影响系统运算误差、运算速度以及系统的复杂程度与成本等，因此有必要研究实现信号处理的算法。本章用系统结构表示具体的算法，所以讨论系统结构实际讨论的是运算算法。本章除了讨论数字滤波器的基本系统结构，还将讨论系统的状态变量分析法。本书只讨论离散系统的系统结构与信号流图。首先介5.1离散系统的流图表示与系统分类离散系统的流图表示与系统分类5.1.1用信号流图表示系统结构信号流图是用节点与有向支路描述连续或离散系统。绍与流图的有关术语。对流图中所有节点编号：1，2，；节点变量等于该节点节点节点是支路的汇合点，节点上的物理量称为节点变量。
4、节点所有输入支路之和，节点变量表示为w1(n),w2(n),。支路、基本支路支路、基本支路支路：起始于节点j而终止于节点k的一条有向通路，称为支路 jk。基本支路：支路的增益是常数或z-1的是基本支路。输入节点（源节点）输入节点（源节点）输出节点（阱节点）输出节点（阱节点）输出y(n)的节点，是只有输入无输出的节点，也称为吸收节点。输入x(n)的节点，是只有输出无输入的节点。所以本节介绍用信号流图表示系统结构的方法。离散时由流图可以表示系统的结构，直观的看到系统的运算。间系统的基本运算单元是延时器、加法器标量乘法器。离散系统的基本运算单元框图与流图表示如图5.1-1所示。1、基本运算单元加法器
5、乘法器y(n)x1(n)x2(n)x(n)ax1(n)加法器y(n)x1(n)x2(n)ax(n)ax1(n)a延时器x(n)x(n-1)z-1x(n)x(n-1)z-1各种系统流图虽然算法各异，但都要用到基本运算单元。首先给出基本信号流图定义。2、基本信号流图、基本信号流图满足以下条件的是基本信号流图(1)、信号流图中所有支路的增益是常数或 z-1；(2)、流图的环路中必须存在延迟支路；(3)、节点与支路的数目有限。由基本信号流图，经过一定的运算我们可以得到系统函数。满足上述条件是基本流图。图5.1.2(a)如图5.1.2(a)所示的信号流图。z-1x(n)y(n)b0b1b2-a1-a2z
6、-1w2w1的算法，所以它不是基本流图。如图5.1.2(b)所示的信号流图。图5.1.2（b）x(n)y(n)H1(z)H2(z)图(b)支路增益不是常数或z-1，不能得出一种具体 例例5.1-1 求如图5.1.2(a)所示信号流图的系统函数 解解：由图5.1-2(a)可列出其节点方程 nwanwanxnw12212对(5.1-1)式取z变换，得(5.1-1)w1(n)=w2(n-1)122nwnw nwbnwbnwbny202112 122zzWzW 122zzWzW zWzzW22由W1(z)=W2(z)z-1以及W1(z)=W2(z)z-1得到X(z)=zW2(z)+a1 W2(z)+a
7、2 W2(z)z-1zW2(z)=X(z)-a1 W2(z)-a2 W2(z)z-1 zWazWazXzW12212 zWbzWbzWbzY202112 zWbzWbzWbzY202112 zWzazWazzWzzWbzWbzzWbzXzYzH2122122021122 2211221102211201122211zazazbzbbzazazzWbzbzbzzW当流图结构复杂时，可以用梅森公式（参考有关教材）求系统函数。Y(z)=b2 W2(z)z-1+b1 W2(z)+b0 zW2(z)应系统，分别用英文缩写IIR与FIR表示。一般可以从 5.1.2、系统分类、系统分类数字系统可以分为无限冲
8、激响应系统，与有限冲激响以下几个方面区分这两类系统。IIR系统函数为 kkNkkkMkzazbzzzH101 kkMkzbzH0，系统只有零点。系统有极点；而FIR系统函数为 knxbknyanykMkkNk01 knxbnykMk0IIR系统的差分方程为除了与当前及以往的激励有关，还与以前的输出有关；FIR系统差分方程为只与当前及以往的激励有关，与过去的输出无关。IIR系统的单位脉冲响应h(n)有无穷多项；而FIR系统对应的单位脉冲响应h(n)只有有限项。IIR系统因为与过去的输出有关，所以网络结构有反馈支路也称为递归结构；而FIR系统只与激励有关，因此没有反馈支路，也称为非递归结构。例例5
9、.1-2 5.1-2 已知某离散系统的差分方程式y(n)=ay(n-1)+x(n)，判断是IIR系统还是FIR系统。解 系统响应y(n)除了与当前激励x(n)有关，还与以前的输出 y(n-1)有关。其单位脉冲响应h(n)=anu(n)有无穷多项。111azzH有一个z=a 的极点，是IIR系统。系统函数为下面分别讨论两类系统的网络结构。5.2 IIR系统的基本结构系统的基本结构系统的差分方程 knxbknyanxTnykMkkNk01 一个线性非移变系统可以有多种网络结构。不同的网络5.2.1、IIR系统的直接形式系统的直接形式1、实现方法、实现方法结构使系统实现的成本、运算速度、稳定性等不同
10、。zHzHzazbzHkkNkkkMk21101系统传递函数 式中 kkMkzbzH01 kkNkzazH1211(5.2-1)kkNkkkMkzazbzH1011先实现零点，再实现极点。kkMkkkNkzbzazHzHzH011211先实现极点，再实现零点。(5.2-2)x(n)y(n)b0y2(n)z-1b1b2aN-1z-1z-1z-1z-1z-1a1a2aNbM-1bM先实现零点，再实现极点。x(n)y(n)y2(n)H1(z)H2(z)x(n)y(n)b0y2(n)z-1aN-1z-1z-1a1a2aNb1b2z-1z-1z-1bM-1bM先实现极点，再实现零点。两个支路的输入相同，
11、可合并为直接型。x(n)y(n)y2(n)H1(z)H2(z)x(n)y(n)b0aN-1a1a2aNb1b2z-1z-1z-1bM-1bMM=N 直接型最少延迟网络，也称典范形式，正准型。图5.2-3kkNkkkNkkkNkkkNkzazbzabzab11101011kkNkkkkNkzazbabb10101 kkNkkkNkzazbzH101还有不同的最小延迟网络M=N 与图5.2-3不同的最小延迟网络 101bba202bba101NNbbaNNbba01z1z1z nx ny0b1NaNa1a2a2、最小延迟网络特点特点(2)受有限字长影响大。(1)具有最小延迟数（需要）；(3)系统调
12、整不方便。例例5.2-15.2-1：已知数字滤波器的系统函数 3213218/14/34/5121148zzzzzzzH画出该滤波器的直接型结构。解解：直接型结构如图5.2-4所示。x(n)y(n)z-1z-1z-15/4-3/41/8-411-28 kkNkkkNkzazbzH1011111011zdzcbkNkkMk5.2.2、IIR系统的级联形式系统的级联形式1、实现方法、实现方法IIR系统的级联形式实现方法是将H(z)分解为零、极点形式ck是零点；dk是极点。二阶节。这样把每对共轭因子合并，可构成一个实系数的二阶节。实系数单根也可以看成是复数的特例，也两两合并为系统的零、极点有可能是复
13、数，由于ak、bk均是实数，所以如果H(z)有复数的零、极点，一定是共轭成对的。zHbzzzzbzHkNkkkkkNk21102211221121101121N表示对21N取整数(5.2-3)级联的一般形式(5.2-3)式中每个二阶节都用前面的最少延迟结构实现，得到具有最少延迟的级联结构，如图5.2-5所示。21Nk图5.2-511211k2k11211k 2kx(n)y(n)z-1z-1z-1z-1例：已知系统传递函数 21212118.02.119.05.014.118.013zzzzzzzzH 画出系统的级联结构。2119.05.018.013zzzzH21218.02.114.11zz
14、zz 解x(n)y(n)z-1z-1z-1z-11.2-0.8-1.4-0.80.5-0.93 zH21218.02.114.11zzzz2119.05.018.013zzz或系统的另一种级联结构如图5.2-7所示。x(n)y(n)z-1z-1z-1z-11.2-0.8-1.4-0.80.5-0.93例例5.2-3 5.2-3 已知系统传递函数 321321125.075.025.1121148zzzzzzzH解解：2121115.013161.131.0125.0119.018zzzzzzzH画出系统的级联结构。级联结构如图5.2-8所示。图5.2-8 例例5.2-3级联结构x(n)y(n)
15、z-1z-1z-11.136-0.310.25-0.19-0.581 可用不同的搭配关系，基本节顺序还可以改变经过优选可选出有限字长影响小的结构。2、改变第k节系数可以调整第k对的零、极点，系统特点特点调整方便。单极点M N时没有5.2.3、IIR系统的并联形式系统的并联形式1、实现方法、实现方法 kkNMkkkNkzCzpAzH0111与级联情况相同，把每对共轭因子合并，可构成一个实系数的二阶节。实系数单根是复数的特例，也两两合并为基本二阶节。这样IIR系统的并联形式实现对应的是H(z)部分分式形式，即M=N时的结构如图5.2-9所示 kkNMkkkkkNkzCzzzzH0221111021
16、11C0 x(n)y(n)z-1z-1z-1z-111211k2k11010k1k 321321125.075.025.1121148zzzzzzzH 21115.01201625.01816zzzzzH 例例5.2-4 已知系统传递函数解解：画出系统的并联结构。系统的并联结构如图5.2-10所示。x(n)y(n)z-1z-1z-1160.25-0.520-1682 每节的字长效应不会互相影响，有限字长影响小。（零点不可调）。1、调整比较方便，可以单独调整第k节的极点。特点特点转置形式转置形式置定理得到新的流图，即新的网络结构。转置定理：对单输入输出的流图，所有有向支路变向，输入输出位置互换，
17、所得到的新的流图与原流图完全等效。因此，以上所有的直接、级联、并联形式都可以由转101bba202bba101NNbbaNNbba01z1z1z nx ny0b1NaNa1a2a图的转置形式：1z1z1z1z-0.90.5-0.81.2-0.83-1.4例题第二种形式的转置形式：nx ny5.2.4、全通系统、全通系统系统的频响函数为上式中k 通常取1，表明通过全通系统后，不会改变信号幅度谱相对关系，改变的仅是信号的相位谱。定义幅频特性为常数 k 的系统为全通系统，即全通(5.2-5)H(ej)=k e j()kkNkkNkNkzazazH00NNNNNNzazazaazazaz2211221
18、1110a全通系统的系统函数一般形式为（5.2-6）式(5.2-6)中a0=1，a1,a2,aN为实数。111222112211zzzzzHkkkkNk 还可以表示为二阶节级联形式：(5.2-7)由式(5.2-6)可见全通系统系统函数的分子、分母多项式系数相同，排列次序相反。这样的系统函数其幅频特性必为1，因为 zQzQzzazazzazazHNkkNkkkNkNkkNkkNkNk10000式中 kkNkzazQ0 jjezeQeQzQj1 1jjjeQeQeH，因为ak均为实数，所以 全通系统的零、极点互为倒易关系，即若即若zk是H(z)（5.2-8）当 H(z)分子、分母多项式系数均为实数
19、时，H(z)若有复数零、极点一定是共轭成对的，使得复数零、极点必为四个一组出现。的实零点，则1/zk必为H(z)的实极点pk，满足如下关系zk pk=1全通系统零、极点分布示意图如图5.2-11所示。kpkz图5.2-11zk pk RezjImzooo 1111zzzzzHkkNk式中N为全通系统的阶，当N为奇数时，至少有一对全通系统的系统函数另一种常用表示形式为（5.2-9）实数零、极点。N阶全通系统的相位函数为（5.2-10）()=N 利用相位函数的变化，全通系统可作相位校正或相位均衡。例如一个衰减特性良好，相位特性较差的IIR滤波器可以与全通系统级联，使得所实现的系统幅度与相位均满足设
20、计要求。全通系统可与其它系统组合实现不同功能的系统，例如带阻系统就可由全通系统与带通系统组合。在IIR系统设计的原型变换中，也要用到全通系统。所有极点在单位圆内的因果稳定系统，若所有零点也在5.2.5、最小相位系统、最小相位系统单位圆内则称之为最小相位系统，记为Hmin(z)；而所有零点在单位圆外的则为最大相位系统，记为Hmax(z)零点在单位圆内、外的则为“混合相位”系统。一个非最小相位系统可由一个最小相位系统与一个全通系统级联组合，即 （5.2-11）的零、极点分布。最小相位系统与全通系统组成的非最小相位系统的零、极点分布示意图如图5.2-12所示。图a是非最小相位系统的零、极点图，图b是
21、最小相位系统，图c全通系统H(z)=Hmin(z)Hap(z)式中Hap(z)为全通系统函数。kpkpkpkpa非最小相位系统的零、极点图非最小相位系统的零、极点图C 全通系统的零、极点图全通系统的零、极点图图图5.2-12非最小相位系统、最小相位系统、全通系统的零、极点分布非最小相位系统、最小相位系统、全通系统的零、极点分布b最小相位系统的零、极点图最小相位系统的零、极点图jImzRezjImzRezjImzRezoooH(z)为只有一个零点（多个零点类推）在单位圆外的 100110min111zzzzzzzH证明乘，即（5.2-12）101001min111zzzzzzzH可表示为一个最小
22、相位系统H1min(z)与该零点因子相非最小相位系统，设该零点为1/z0，|z0|1，H(z)H(z)=H1min(z)(z-1-z0)10min11zzzH亦为最小相位系统，由式（5.2-9）可知10011zzzz非最小相位系统的模频特性与最小相位系统的模频特是全通系统，所以H(z)=Hmin(z)Hap(z)。不难得到（5.2-13）性相等，即|H(ej)|=|Hmin(ej)|因为H1min(z)是最小相位系统，故滤波器最优化设计中，如果将非最小相位系统所有单位同的最小相位系统。类似的，若将系统所有单位圆外又不会改变系统幅频特性的相对关系。式（5.2-13）的结论在实际应用中非常有用。在
23、后续的kz/1代替时，可以得到幅频特性相kz/1代替时，可以确保系统稳定，而圆外的零点 zk 用的极点 zk 用特性相同的所有因果稳定系统，最小相位系统的响应因为利用上述相关关系及z变换的初值定理可以证明，幅频延迟与能量延迟最小。由初值定理 000limminapzhhhzH 0limminminhzHzH(z)=Hmin(z)Hap(z)kNkkkzNkapzzzzzzzH11111limlim由于因果稳定系统的|zk|1，所以（5.2-14）式(5.2-14)表明，幅频特性相同的所有因果稳定系统，最小相位系统对单位脉冲(n)的响应延迟最小。|h(0)|hmin(0)|nhmEmn20 nh
24、nhmnmn202min0 deHdeHjj2min2（5.2-15）则由帕斯维尔定理有 若定义n从0m范围内单位脉冲响应h(n)的能量E(m)为0m又已知|H(ej)|=|Hmin(ej)|，即 nhnhnn202min0段内，即能量延迟最小。式（5.2-15）证明留作习题。信道的逆滤波器。而最小相位系统的逆系统一定存在。在信号检测、解卷积等实际应用中逆系统（或逆滤波）都有重要作用，如信号检测中的信道均衡器实质是设计所以式(5.2-15)说明hmin(n)的能量集中在n较小的时间段 zBzAzHzHN1(5.2-16)因果稳定的。因果稳定系统H(z)=B(z)/A(z)，其逆系统为当且仅当H(z)为最小相位系统时，其逆系统HN(z)才是
