1、6.5 3、模拟原型直接变换法的一般设计方法、模拟原型直接变换法的一般设计方法其特点是不经过数字域或模拟域的频率变换，直接完成受到一定限制，所以原型直接变换法只讨论双线性变换。数字滤波器的方法，这种方法称模拟原型直接变换法，现在讨论通过归一化模拟低通原型滤波器直接设计各种设计的一般过程可以归纳为以下步骤：HL(j)Hd(e j)sz的变换。由于冲激不变法的混叠效应，使其应用4)由双线性变换关系将H(s)转变为数字滤波器的系统H(s)；函数H(z)。1)确定DF性能要求，确定数字滤波器各临界频率k。2)由双线性变换关系将k变换为模拟低通截止频率c；3)由c、衰减指标求出模拟原型滤波器传递函数11
2、11zzs 模拟低通到数字低通的变换关系为 1111zzssHzHaL由频率变换关系示意图如图6.5.6所示。1、模拟低通到数字低通、模拟低通到数字低通HL(j)Hl(e j)得到频率变换关系为=tan(/2)000CC|H(j)|H(ej)|tan/2CC 1111zzssHzHaL4、H(s)；2、模拟低通截止频率C=tan(C/2)一般设计步骤1、根据数字滤波器指标，确定数字临界频率C 3、将C=tan(C/2)代入得到模拟低通原型传递函数5.02104102233TfTCCC解解 1)根据给定数字滤波器指标，确定DF临界频率C例例6.5.2 系统的采样间隔 T=250s(fs=4kHz
3、)，要求设计一个三阶巴特沃思低通滤波器，其三分贝截止频率fC=1kHz。2)由双线性变换关系将C变换为模拟域临界频率C=tan(C/2)，则 C=1。122123ssssHa caasssHsH/3223322ccccsss122123sss三阶巴特沃思归一化低通原型 3)按C、衰减指标求出AF的传递函数H(s)。4)由双线性变换关系将H(s)转变为DF的系统函数H(z)1112112111111121131111zzzzzzzzssHzHa 312111213131111211211zzzzzzz232123136331261zzzzzz23213333.011667.05.05.01667
4、.0zzzz模拟滤波器的频率变换中，若H(s)是模拟低通滤波器的系统函数，则H(1/s)就是高通滤波器的系统函数。这一关系也适用双线性变换。所以模拟低通到数字高通的变换关系为 1111zzssHzHaH(6.5-26)2 模拟低通到数字高通模拟低通到数字高通HL(j)Hh(e j)1111zzs得到频率变换关系为由频率变换关系示意图如图6.5.7所示。(6.5-27)=cot(/2)|H(ej)|H(j)|CCh2h122cot/2000 1111zzssHzHah一般设计步骤H(s)4)2、模拟低通截止频率C=cot(C/2)1、根据数字滤波器指标，确定数字临界频率C 3、将C=cot(C/
5、2)代入得到模拟低通原型传递函数5.0265.12/2sCCCffT解、解、1)确定DF临界频率C例例6.5.3用双线性变换设计一个三阶巴特沃思高通滤波器，采样频率fs=6kHz，要求其三分贝截止频率fC=1.5kHz(不计3kHz以上的频率分量)。2)由双线性变换关系将C变换为模拟域临界频率C=cot(C/2)，则C=1。122123ssssHa caasssHsH/3223322ccccsss122123sss三阶巴特沃思归一化低通原型3)按C、衰减指标求出AF的归一化传递函数H(s)。1112112111111121131111zzzzzzzzssHzHa 312111213131111
6、211211zzzzzzz 232123136331261zzzzzz23213333.011667.05.05.01667.0zzzz4)由双线性变换关系将H(s)转变为DF的系统函数H(z)。3 模拟低通到数字带通模拟低通到数字带通 HL(j)HB(e j)要实现模拟低通数字带通的变换，就要将模拟低通的=0 映射到数字带通的中心频率0上，而=要映射到数字频率的高低端=及=0上。即s平面的原点s=0要映射z平面的 0ejz平面的z=1。，s=j要映射z这样模拟低通到数字带通的变换关系为11cos21120200zzzzzezezsjjjjjjjjjeeeeeees0202cos211cos2
7、sincoscos0 j(6.5-28)将z等于单位圆，z=e j代入上式 式中0 是数字带通中心频率。sincoscos0 jssincoscos0得到频率变换关系为(6.5-29)直接原型低带通的频率变换关系示意图如图6.5.8所示。sincoscos02010|H(ej)|H(j)|CC000证明sz的(6.5-28)式是稳定的映射关系，设z=r 011cos211cos2202202rrrrzzzzs1cos121202rrr代入(6.5-28)式上式的分子永远是非负的，所以 的正负取决于分母r2 1的正负。1cos121202rrr通过模拟低通设计数字带通，除了要知道模拟低通的截在z
8、平面单位圆内r 1时，对应 1单位圆外时，对应 0 是s的右半平面。所以稳定的模拟系统可以映射为稳定的数字系统。止频率C，还要知道数字带通的中心频率0。110sincoscosc220sincoscos(6.5-30)由图6.5.8及(6.5-29)式，有等式一般数字滤波器设计带通，只给出上、下截止频率式中 0是带通中心频率，1与2。利用这两个参数可以计算0、C。1为下截止频率，2为上截止频率，C是模拟低通截止频率。利用(6.5-30)式，解出21122112210sinsinsinsinsinsincossincoscos 2cos2cos2cos2sin22cos2sin221122112
9、1212 (6.5-31)(6.5-32)2cos2coscos211210(6.5-33)对(6.5-32)式取反余弦，得到0为110sincoscosc 11cos2202zzzssHzHaB；归纳一般设计步骤：2)模拟低通截止频率4)1、根据数字滤波器指标，确定数字临界频率C；3、将C 代入得到模拟低通原型传递函数H(s)；25.041005.1222111TfT75.0431005.3722222TfT225.0cos2coscos2cos2coscos1212110例例6.5.4系统的采样间隔T=10s(fs=10kHz)，要求设计一个三阶巴特沃思带通滤波器，其三分贝上、下截止频率f
10、1=12.5kHz，f2=37.5kHz。解解：1）、）、确定DF性能要求，确定DF临界频率k。14/3sin4/3cos2/cossincoscos220C 12123ssssHa caasssHsH/3223322ccccsss122123sss三阶巴特沃思归一化低通原型2)确定模拟临界频率C3)将C代入模拟低通原型得到传递函数H(s)。1111cos222202zzszzzssHzHa111211211122222322zzzzzz4323121zz4）1cos21022zzzs 4、模拟低通到数字带阻变换、模拟低通到数字带阻变换低通到数字带阻的变换关系为将带通的关系倒置即为带阻滤波器的
11、关系，所以模拟 (6.5-34)coscossin0解出频率变换关系(6.5-35)式中 0是数字带阻中心频率coscossin0直接原型低通到带阻频率变换关系的示意图如图6.5.9所示。CC2010|H(ej)|H(j)|202101coscossincoscossinc与带通变换相似 由图6.5.8 及(6.5-35)式，得到等式(6.5-36)式中 0是带阻中心频率，1为下截止频率，2为上截止频率，C是模拟低通截止频率。1cos21022zzzssHzHaS202101coscossincoscossinc一般设计步骤2)模拟低通截止频率4)1、根据数字滤波器指标，确定数字临界频率C；3
12、、将C 代入得到模拟低通原型传递函数H(s)；表6.5.2列出原型设计的变换关系。1111zzs /caassHsHs 11azszH zHs C=2fcT=2fc/fs变换关系频率关系步骤低通=tan(/2)确定C=tan(C/2)1111zzs /caassHsHs 11azszH zHsC=2fcT=2fc/fs高通=cot(/2)确定C=cot(C/2)11cos2202zzzssincoscos0110sincoscosc2cos2coscos211210 /caassHsHs 11cos2202zzzssHzHa1=2f1T，2=2f2T 带通2cos2coscos211210 /
13、caassHsHs 1=2f1T，2=2f2T 带阻1cos21022zzzs 22012 cos1azszzH zHscoscossin0101coscossinc6.6 IIR DF的频域最优设计的频域最优设计前两节研究的IIR DF设计方法都是通过设计一个模拟滤波器原型H(s)Hd(z)。如果DF的要求复杂，例如希望具有几个通带和阻带，或任意形状的幅频特性。或给定的是输入序列以及希望的输出序列，要求设计一个IIR DF，这时就需要用逼近的方法设计IIR DF，而不是通过AF转换。因此只能用直接逼近理想特性的方法设计IIR DF，而不是通过AF转换。际需要满足不同误差准则。本节所讨论的直接
14、逼近理误差指标的可实现数字系统的系统函数H(z)。具体设众所周知，可实现的频响H(e j)与理想频响Hd(e j)之间会有误差。在具体设计各种滤波器时，要根据实想特性的方法，是在给定误差准则条件下，求出满足计时通常要借助计算机求解大量的线性或非线性的联立方程，所以也称DF的计算机辅助设计（CAD），利用CAD最终得到在可以实现的H(e j)或H(z)。这种满足某种误差准则条件的设计也称该准则下的最优设计，本节讨论的是IIR DF的频域最优设计。频域最优设计，其误差函数以及误差准则必定与频响函数有关。定义某频率观测点上幅度误差函数为：iijdjieHeHe（6.6-1）1、频域最大误差准则设所有
15、频率观测点上的最大误差为最优设计是利用CAD技术，确定H(z)的各个系数，使得最大误差Em 最小，即为最大误差最小准则。(6.6-2)iEm=maxe()误差函数也称为评价函数，目标函数。2、频域均方误差准则误差的能量是误差函数的均方值（6.6-3）最优设计是利用CAD技术，确定H(z)的各个系数，使得均方误差最小。即误差能量最小，这是均方误差最小准则。E2=1Mie(i)2 21iijdjMieHeHE一般 k 个二阶节级联表示的系统函数为 zAGzdzczbzaAzHllllkl2121111，计算这些频率上的均方误差为1ijdeH0ijdeH要求在一组离散的频率i(i=1,2,M)上规定
16、理想的频响Hd(e j)，通常通带内取，阻带取6.6.1 频域最小均方误差频域最小均方误差 2121111zdzczbzazGllllkl 212111zdzczbzazGlllll zGlkl1将式(6.6-5)代入式(6.6-4)，得到（6.6-5）21iiMjjdiEH eHe21iiMjjdiA G eHe（6.6-6）（6.6-7）l=1,2,k 其中al、bl、cl、dl为待定系数，共有4k个系数。H(z)中的A，使均方误差E最小。为此求误差函数E对每个参数的导数，并令其为零。0AE021iiijjdjMieGeHeGAAE MijMijjdiiieGeGeHA121我们要解决的问
17、题是求出G(z)中的al、bl、cl、dl以及解出 一个方程则令0lcAE，0lbAE，0ldAE，0laAE，令=a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2，ak,bk,ck,dkl=1,2,k l=1,2,k l=1,2,k l=1,2,k 4k个方程求求E对每个参数的导数，得到4k+1个非线性方程，借助CAD解出这些方程，可得4k+1个系数。如果指标满足不了实际需求，只有k增加，再重新计算。实际设计时因为事前没有限制零、极点的位置，zp=r 1，这使得所设计的系统不稳定。G(e j)的某些极点可能在单位圆外，即有处理时可以用1/r代替r，而不会影响幅频特性的形状。假设极点形状。假设极
18、点zp=r e j，r 1，jjrjjreeezze1111122sincos11rrsincos11rrj则取zp=(1/r)e j 为极点，因为1cos212rrjjrjjreeezze/111/11111cos22rrr而：sin/1cos/111rrj22sin/1cos/111rr上面的推导结果表明两者的幅度只相差一个常数，一般用zp代替zp后再做最优化的计算时会得到进一步的优化。另外，相邻的i之间的频率不要求相等，可以在幅度变化快的区间频率间隔取得小一些，以保证结果的正确性。而在幅度变化慢的区间频率间隔取得大一些，以减少计算工作量。例如一个截止频率为0.2的理想低通特性，前20点的
19、i间隔可取0.01，后面的间隔为0.1。6.6.2 频域最小频域最小p误差准则误差准则6.6.1是 IIR DF 的幅频特性最小均方误差设计。这种方法讨论的只涉及幅度函数误差的平方(能量)。如果把上面公式中的平方改为p次方，再乘以加权系数W(i)则是另一种误差准则，称为p误差准则。不但有幅度的p误差准则，还有群迟延的p误差准则。p误差准则设计的目标是使得误差函数 p 次方加权平均最小。pjdjiaMipaiieHeHWE11、幅度设计的、幅度设计的p误差准则误差准则幅度的最优设计。p是大于2的整数。Epa是幅度误差p次方的加权平均数，简称为幅度误差函数，Wa(i)是Epa的加权系数。设计目标就
20、是使 Epa最小，可即得到p误差准则下 ddeHddjarg pidiiMipWE12、群迟延的p误差准则迟延的p误差函数，W(i)是E p的加权系数。E p是群迟延误差的p次方的加权平均数，简称为群群迟延plpllljpljjpljjljjljkljereereereereAeH00001 argjjH ejjjH eeH ee 3、最优化设计、最优化设计在讨论p误差准则时，H(e j)、()用极坐标形式表示较为方便。r0l、0l是第 l 对零点的模、角rpl、pl是第 l 对极点的模、角jeHarg llllkl43211将每个零、极点分量用极坐标表示：01jjj0eeellllrT02j
21、jj0eeellllrU3jjjeeepllpllrV4jjjeeepllpllrW1234jj1eellllklllllTUAVWH(ej)；于是（6.6-14）=H(e j)e j()llllkljWVUTAeH12/120000cos210llljljlrrereTl2/120000cos210llljljlrrereUl2/12cos21plplpljpljlrrereVpl2/12cos21plplpljpljlrrereWpl其中lllllrr000011coscossinsintanlllllrr000012coscossinsintanplplplpllrrcoscossins
22、intan13plplplpllrrcoscossinsintan14 dd 2000001cos21cos1llllllrrrdd 2000002cos21cos1llllllrrrddllllkldd43211将各相位分量代入群迟延中，得到其中 23cos21cos1plplplplpllrrrdd 24cos21cos1plplplplpllrrrdd设计的目标是找到A、r0l、rpl、0l、pl，使Epa、E p最小。pjdjiaMipaiieHeGAWE10AEpa011iiijpjdjiaMieGeHeGAWp 将H(e j)=AG(e j)代入Epa，有，得其为零，即(1)幅度p
23、误差最优设计为使Epa最小(最优化)，先求Epa对A的导数，并令的导数并令其为零，得00lparE00lpaE0plparE0plpaE4k个方程l=1,2,k l=1,2,k l=1,2,k l=1,2,k 由此得到与A相关的一个方程，再求Epa对剩余各系数小，达到最优幅度设计目的。利用CAD技术联立解出上述4k+1个系数，使Epa最2、群迟延p误差最优设计 llllkldddd43211221cos21cos1cos21cos1plplplplplplplplplplklrrrrrr200000200000cos21cos1cos21cos1llllllllllrrrrrr pidiiMipWE1再令 0plprE00lprE0plpE00lpEl=1,2,k l=1,2,k l=1,2,k l=1,2,k 4k个方程利用CAD技术联立解出上述4k个系数，使Ep最小。作业 10、11、20
