1、上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 1第第1章章 函数函数 极限与连续极限与连续 理解函数的概念及其特性；理解函数的概念及其特性；掌握初等函数由基本初等函数构成的过程；掌握初等函数由基本初等函数构成的过程；了解经济学中的常见函数；了解经济学中的常见函数；掌握极限的四则运算法则和求极限的简单掌握极限的四则运算法则和求极限的简单 方法；方法；理解函数连续的概念；理解函数连续的概念；上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 2第第1 1章章 函数函数 极限与连续极限与连续 021.1 1.1 函数函数函数的概念函数的概念函数的特性函数的特性 初等函数初等函数 经济函数模型举例经济函
2、数模型举例思考与练习思考与练习上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 31 1 函数的概念函数的概念xyD称为自变量，称为自变量，称为因变量称为因变量；数集；数集称为该函数的称为该函数的非空数集若对于每一个数非空数集若对于每一个数，按照某一确定的，按照某一确定的xDfy，变量，变量总有惟一确定的数值与之对应，总有惟一确定的数值与之对应，对应法则对应法则yx(),yf xxD是是的函数，记作的函数，记作其中，其中，则称则称定义域定义域x定义域是使函数有意义的自变量定义域是使函数有意义的自变量 的取值范围的取值范围xyD定义定义1 1 设设是两个变量，是两个变量，是一个给定的是一个给定的和
3、和时，对应的时，对应的的数值称为函数值，记为的数值称为函数值，记为0 xDy当当0()f x0()x xyf x0()f x0 x或或，存在，也说函数在存在，也说函数在有定义有定义 0()f x有定义有定义 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 4xD当自变量当自变量取遍定义域取遍定义域中的数值时，对应的中的数值时，对应的()fx称为函数称为函数的值域的值域y(),My yf x xD的全体组成的数集的全体组成的数集函数值函数值 例例1 11 1 求函数求函数1ln2xxy的定义域的定义域 解解 要使函数有意义，要使函数有意义，必须必须0 x012x且且所以函数的定义域是满足上面两个
4、不等式的数值所以函数的定义域是满足上面两个不等式的数值),1 D或记为区间形式：或记为区间形式：1xxD集合的交集：集合的交集：上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 551211)2(2f211)(aaf221)1(11)1(22xxxxf2221)1(11)1(xxxxf)1(xf)1(xf 和和解解)2(f)(af例例1 12 2已知已知，求，求，211)(xxf上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 6 函数以其自变量个数的多少可分为函数以其自变量个数的多少可分为一元函数一元函数和和多元多元二元函数一般记做二元函数一般记做 .三元函数记做三元函数记做(,)zf x y(
5、,)uf x y z.)123ln(yxz例例13设函数设函数），（12f（1）求定义域；（）求定义域；（2）求函数值）求函数值123),(yxyx所以函数的定义域为所以函数的定义域为7ln)126ln()1,2(f（2）0123yx（1）要使函数有意义，必须）要使函数有意义，必须解解函数函数只含有一个自变量的函数称为只含有一个自变量的函数称为一元函数一元函数，含有两，含有两个及两个以上自变量的函数称为多元函数个及两个以上自变量的函数称为多元函数上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 72 2 分段函数分段函数由两个或两个以上的解析式表示的函数，由两个或两个以上的解析式表示的函数，称为
6、分段函数称为分段函数 一般，分段函数的定义域是各段函数定义域的并一般，分段函数的定义域是各段函数定义域的并集集例例1 15 5 设设 101()xf xx000 xxx ，求函数的定义域求函数的定义域 和函数值：和函数值：(0)f(1)f(2)f解解 定义域定义域(,)D 00()f11 10()f 22 1 1()f 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 8（1 1）函数的有界性）函数的有界性（2 2）函数的单调性）函数的单调性（3 3）函数的奇偶性）函数的奇偶性（4 4）函数的周期性）函数的周期性3 3、函数的特性、函数的特性（1 1）函数的有界性函数的有界性Dxxfy),(0M
7、 设有函数设有函数如果存在如果存在，使得对任意，使得对任意DxMxf)(，均有，均有（可以没有等号）成立，则称函数（可以没有等号）成立，则称函数)(xfDM在在内是有界的；如果这样的内是有界的；如果这样的不存在，则称函不存在，则称函)(xfD在在内是无界的内是无界的数数上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 9MyMy 直线直线和和之间之间()f xD)(xfy 若函数若函数在在内有界，则函数内有界，则函数的图形在的图形在),(x1M例如，对任意的例如，对任意的，存在，存在，使，使 1xsinxxfsin)(得得所以函数所以函数在在(，)xxf1)(上是有界的上是有界的 而函数而函数在
8、开区间在开区间(0(0，1)1)内内 是无界的是无界的 而在区间而在区间(1(1，2)2)内是有界的内是有界的 二元函数的有界性是指由二元函数确定的空二元函数的有界性是指由二元函数确定的空xoy坐标面的平面之间坐标面的平面之间间曲面位于两张平行于间曲面位于两张平行于上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 10(2)(2)函数的单调性函数的单调性设有函数设有函数),(),(baxxfy，若对任意两点，若对任意两点 2121),(,xxbaxx当)()(21xfxf时，总有时，总有(1)(1)，则称，则称)(xf),(ba),(ba函数函数在在上是单调增加的，区间上是单调增加的，区间称为称
9、为 函数函数)(xf的单调增加区间；的单调增加区间；)()(21xfxf)(xf),(ba(2)(2)，则称函数，则称函数在在上是单调上是单调),(ba)(xf减少的，减少的，区间区间称为函数称为函数的单调减少区的单调减少区 间间 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 11单调增加的函数和单调减少的函数统称为单调单调增加的函数和单调减少的函数统称为单调 函数，单调增加区间和单调减少区间统称为函数的函数，单调增加区间和单调减少区间统称为函数的 单调区间单调区间 x单调减少函数的图形沿单调减少函数的图形沿轴正向逐渐下降轴正向逐渐下降x单调增加函数的图形沿单调增加函数的图形沿轴正向逐渐上升
10、；轴正向逐渐上升；0 y x 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 12(3)(3)函数的奇偶性函数的奇偶性设函数设函数)(xfy的定义域关于原点对称，如果的定义域关于原点对称，如果 对于定义域内的所有对于定义域内的所有x都有都有 )()(xfxf)(xf(1)(1)，则称函数，则称函数为为奇函数奇函数；)()(xfxf)(xf(2)(2)，则称函数，则称函数为为偶函数偶函数奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关 y)(xf于于轴对称如果函数轴对称如果函数既不是奇函数也不是偶既不是奇函数也不是偶 函数，称为非奇非偶函数函数，称为非奇非偶函数
11、上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 13例例1 16 6 判断函数判断函数)1ln()(2xxxf的奇偶性的奇偶性解解 函数的定义域为函数的定义域为D=D=),(，因为，因为222(1)ln1xxxx 121)ln(xx22()ln()()1 ln(1)fxxxxx 2ln(1)()xxf x 所以函数所以函数2()ln(1)f xxx是奇函数是奇函数上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 14(4)(4)函数的周期性函数的周期性()f xD设函数设函数的定义域为的定义域为 如果存在一个常数如果存在一个常数 0TDx)()(xfTxf，使得对于任一使得对于任一，有，有，则，
12、则()f xT称称为为周期函数周期函数，使上式成立的最小正数，使上式成立的最小正数，称为，称为 函数函数)(xfy 的最小正周期，简称周期通常所说周期的最小正周期，简称周期通常所说周期 函数的周期是指它的最小正周期函数的周期是指它的最小正周期 周期函数的图形特点是自变量每增加或减少一个周期函数的图形特点是自变量每增加或减少一个 周期后，图形重复出现周期后，图形重复出现 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 151 1反函数反函数定义定义设函数设函数MyDxxfy,),(若对于任意若对于任意 MyDxyxf)(一个一个，中都有惟一的一个中都有惟一的一个，使得，使得成立，成立，xMy)(
13、xfy 这时这时是以是以为定义域的为定义域的的函数，称它为的函数，称它为的的 反函数，记作反函数，记作Myyfx),(1 二、初等函数二、初等函数1 1反函数反函数2 2基本初等函数基本初等函数3 3复合函数复合函数4 4初等函数初等函数上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 16Dxxfy),(Mxxfy),(1函数函数与与互为反互为反 函数，它们的定义域与值域互换函数，它们的定义域与值域互换 在同一直角坐标系下，在同一直角坐标系下，Dxxfy),(与与 Mxxfy),(1xy 的图形关于直线的图形关于直线对称对称)(1yfxyx在函数在函数中，中，是自变量，是自变量，表示函数因表示
14、函数因 xy为我们习惯于以为我们习惯于以表示自变量，表示自变量，表示函数，所以常表示函数，所以常，)(1yfxxy把函数把函数中的字母中的字母对换，即把函数对换，即把函数)(1yfxMxxfy),(1的反函数写做的反函数写做 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 1723 xy32xy例如，函数例如，函数与函数与函数xy 互为反函数，它们的图形关于直线互为反函数，它们的图形关于直线对称对称例例1 16 6 求函数求函数1xey的反函数的反函数1xey)1ln(2yx解解 由由解出解出xy)1ln(2xy把函数中的字母把函数中的字母，对换得对换得，所，所 1xey)1ln(2xy以以的
15、反函数为的反函数为上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 182 2基本初等函数基本初等函数 常数函数常数函数幂函数幂函数指数函数指数函数对数函数对数函数三角函数三角函数反三角函数反三角函数基本初等函数基本初等函数上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 19上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 20上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 21上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 22上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 23上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 24上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 253 3复合函数
16、复合函数yu)(ufy ux定义定义 设设是是的函数的函数，又是又是的函数的函数)(xuxu，如果对于自变量，如果对于自变量的取值，通过的取值，通过有惟一有惟一 yyuxy的的与之对应，则与之对应，则 通过变量通过变量构成构成的函数，称的函数，称为为x的复合函数，记作的复合函数，记作)(xfy其中其中u叫中间变量叫中间变量uey 21 xuyx例例17已知已知，将，将表示成表示成的函数的函数uey),(21 xu解解由于由于的定义域的定义域，的值域的值域 ),1 21xuuey，所以将，所以将代入代入得它们复合得它们复合成的函数为成的函数为21 xey 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应
17、用数学 26复合函数的中间变量可以不止一个如函数复合函数的中间变量可以不止一个如函数 2uy vusinxv，可以复合成为函数，可以复合成为函数 xy2sin)45sin(xyuysin例例18 （1）函数）函数是由是由45 xu复合而成的复合而成的xeytanuey xutan（2）函数）函数是由是由，复合而成的复合而成的xylnlnuylnvu（3）函数）函数是由是由，xvln复合而成的复合而成的)1cot(xarcyuyvarcucot（4）函数）函数是由是由，1xv复合而成的复合而成的 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 274 4初等函数初等函数由基本初等函数经过有限次四
18、则运算或复合由基本初等函数经过有限次四则运算或复合 运算所构成，并可用一个式子表示的函数叫运算所构成，并可用一个式子表示的函数叫初等初等 函数函数 高等数学中讨论的函数绝大部分都是初等函高等数学中讨论的函数绝大部分都是初等函 2sinxy 12252xxxy数例如，函数数例如，函数，xxy2ln等都是初等函数等都是初等函数 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 28四、经济函数模型举例四、经济函数模型举例1 1需求函数与供给函数模型需求函数与供给函数模型在经济学中，在经济学中，需求需求是指在一定价格条件下，消费者愿意是指在一定价格条件下，消费者愿意并且有支付能力购买的商品数量并且有支
19、付能力购买的商品数量把商品的需求量把商品的需求量Qp仅看成是其价格仅看成是其价格的函数，这个的函数，这个函数就称为函数就称为需求函数需求函数记作记作()QQ p供给供给是就市场中的生产销售者而言的某种商品的市是就市场中的生产销售者而言的某种商品的市Sp场供给量场供给量 也受商品价格也受商品价格的制约，的制约，价格上涨价格上涨,供给量供给量 增加；反之，增加；反之，供给量减少供给量减少上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 29价格价格p()SS p的函数，称为的函数，称为供给函数供给函数，记作，记作 一般地，需求函数是价格的单调减函数，供给函数一般地，需求函数是价格的单调减函数，供给函
20、数是价格的单调增函数当市场的需求量与供给量持平是价格的单调增函数当市场的需求量与供给量持平时，称为时，称为供需平衡供需平衡价格称为价格称为供需平衡价格供需平衡价格或或均衡价格均衡价格，记为，记为 ，0p需求量称需求量称为为均衡量均衡量，记为，记为0Q在假定其它因素不变的条件下，供给量在假定其它因素不变的条件下，供给量S也可看成也可看成上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 30例例1 19 9根据往年市场资料，某当季商品售价为每件根据往年市场资料，某当季商品售价为每件80元时，市场需求量为元时，市场需求量为1 1万件，若该商品每件降低万件，若该商品每件降低3 3元元8010.390.1
21、3pQp 解解由题意知由题意知例例1 11010上例中，当市场售价为每件上例中，当市场售价为每件80元时，生产厂元时，生产厂商愿向市场提供商愿向市场提供4万件商品，当价格每件增加万件商品，当价格每件增加3元时，生元时，生时，需求量将增加时，需求量将增加0.3万件，试求该商品的需求函数万件，试求该商品的需求函数产厂商就多提供产厂商就多提供0.6万件商品，试求该商品的供给函数万件商品，试求该商品的供给函数 解解由题意知由题意知8040.60.2123pSp上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 31例例1 11111试求出上两例中该商品的市场均衡价格试求出上两例中该商品的市场均衡价格与均衡
22、量与均衡量 解解当当QS 时，市场供需平衡，此时时，市场供需平衡，此时000.21290.1pp，070p因而因而 090.1 702Q 即市场的均衡价格为每件即市场的均衡价格为每件70元，均衡量为元，均衡量为2万件万件上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 322 2成本、收入和利润函数模型成本、收入和利润函数模型成本、收入和利润这些经济变量都与产品的产量成本、收入和利润这些经济变量都与产品的产量总利润函数总利润函数，记作，记作)(qL0C1()C q总成本由固定成本总成本由固定成本和变动成本和变动成本两部分组成，两部分组成，)(qC)(qR；总收入函数总收入函数，记作，记作 称为称
23、为 总成本函数总成本函数，记作，记作或销售量或销售量q密切相关，它们都密切相关，它们都 可以看作可以看作q的函数，的函数，总成本函数总成本函数 .01()()C qCC q总收入函数是产品的单价与产量或销售量的积总收入函数是产品的单价与产量或销售量的积pqqR)(p总收入函数总收入函数 （其中（其中 为产品的单位售价为产品的单位售价)总利润总利润是总收入与总成本之差是总收入与总成本之差 .)()()(qCqRqL上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 33例例1 11212某工厂生产某种产品的日固定成本某工厂生产某种产品的日固定成本 为为300元，生产一个单位产品的变动成本为元，生产一
24、个单位产品的变动成本为150元，元，试求该工厂日总成本函数若每件产品的出厂价为试求该工厂日总成本函数若每件产品的出厂价为 300元，试问每天生产多少件产品才能达到收支平元，试问每天生产多少件产品才能达到收支平 衡？衡？解解设该产品的日产量为设该产品的日产量为q个单位由题意，个单位由题意，日总成本函数日总成本函数01()()300 150C qCC qq上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 34出售这出售这q单位产品所得总收入为单位产品所得总收入为()300R qpqq，因此总利润因此总利润()()()150300L qR qC qq 0)(qL2q为达到收支平衡，必须为达到收支平衡，
25、必须，即，即 也就是说每天生产也就是说每天生产2个单位该产品，才可达到收支个单位该产品，才可达到收支 平衡平衡 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 353 3库存函数模型库存函数模型例例1 11313某药店常年经销药品某药店常年经销药品A，年销售量，年销售量 300箱，每箱进货价箱，每箱进货价800元，如果按平均库存量占元，如果按平均库存量占 用资金，该资金每年应付贷款利息用资金，该资金每年应付贷款利息7.5%，为了保证，为了保证 供应，要有计划地进货，假设销售量是均匀的，每供应，要有计划地进货，假设销售量是均匀的，每 批进货量相同已知进一批货需手续费批进货量相同已知进一批货需手续
26、费50元，而库元，而库 存保管费每箱每年存保管费每箱每年10元，试求库存总费用元，试求库存总费用c与进货与进货 批量（即每批进货的数量）批量（即每批进货的数量）x之间的函数关系之间的函数关系 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 36解解 设进货批量为设进货批量为x（箱），则全年进货的批数为（箱），则全年进货的批数为300nx按题意，进货的手续费按题意，进货的手续费 11500050Cnx，平均库存量为平均库存量为 2x,从而库存保管费从而库存保管费 xxC51022按这样的平均库存量，该药店常年占用资金大约为按这样的平均库存量，该药店常年占用资金大约为 8004002xx，须支付的
27、贷款利息须支付的贷款利息 0034007 530.Cxx综上所述，库存总费用综上所述，库存总费用1231500035CCCCxx上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 37五、思考与练习五、思考与练习1判断：判断：（1）两个单调增函数的积函数仍是单调增函数（）两个单调增函数的积函数仍是单调增函数（）（2）两个偶函数的积还是偶函数）两个偶函数的积还是偶函数 （）2求下列函数的定义域求下列函数的定义域29xy1)3lg(xxy（1）（2）(3)224zxy1)3,3;D 2)(,11,3);D 223)(,)|4Dx yxy上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 383将下列复合函数分解成简单函数将下列复合函数分解成简单函数13 xy5)ln1(xy（1）；（2）101)(xf000 xxx4确定确定 的定义域，求函数值的定义域，求函数值(0)f(1)f(2)f，并作出函数图象，并作出函数图象 3.1),31;yu ux52),1 ln;yu ux 4.(,);(0)0,(1)1;(2)1Dfff 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 395求下列函数的反函数求下列函数的反函数12 xy)2lg(1xy（1）；（2）115.1);2xy112)102xy
