1、一、罗尔中值定理一、罗尔中值定理引理引理(费马费马):):设y=f(x)在开区间(a,b)内有定义.在x0(a,b)处取得最大值(最小值),且 f(x)在x0处可导,则 f(x0)=0.证证:因f(x)在x0处可导.),()()(lim 0000存在故xfxxfxxfx4 45 5 微分中值定理微分中值定理xxfxxfxxfxxfxx)()(lim)()(lim 000000从而)(0 xf 设f(x0)为f(x)在开区间(a,b)内的最大值,即,x(a,b),有 f(x)f(x0).故当|x|充分小时,有x0+x(a,b),从而 f(x0+x)f(x0)0因x0(a,b),(1)当x 0时,
2、0)()(00 xxfxxf由保号性定理,.0)()(lim)(0000 xxfxxfxfx令x 0+,(2)当x 0时,0)()(00 xxfxxf由保号性定理,.0)()(lim)(0000 xxfxxfxfx令x 0,综合(1),(2)有0 f(x0)0,故 f(x0)=0,类似可证f(x)在x0取最小值的情形.注注1.1.因f(x0)表示曲线y=f(x)上点M(x0,f(x0)处切线斜率.而f(x0)=0表示该点处切线斜率为0.因此,引理在几何上表示:若y=f(x)在(a,b)内部某点x0处取最大(小)值,且在x0可导,则在M(x0,f(x0)处的切线平行于x轴.如图bMax0y x0
3、M x0y=f(x)注注2.2.若f(x)在区间a,b的端点a(或b)处取得最大(小)值.不能保证f(a)(或 f(b)=0.即,在端点M(a,f(a)或M(b,f(b)处切线不一定平行于x 轴.如图.0abxyy=f(x)定理定理1.1.(罗尔中值定理).若y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b).则在(a,b)内至少存在一点,使得 f .证证:因f(x)在a,b上连续,从而可取得最大值M=f(x0)和最小值m=f(x1).其中,x0,x1 a,b(1)若 m=M,因m f(x)M.即,M f(x)M,所以f(x)=M.有f x,故(a,b)有 f .(2)若 m
4、b,还是ab.但 介于a,b之间.注注2.2.若y=f(x)在a,b上满足拉格朗日定理条件.x(a,b),y=f(x+x)f(x)=f x=f x+x)x其中|x|充分小,介于x 和x之间.0 1.使得=x+x,.xx即如图xabx+xx注注3.3.定理的条件f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导 不能减弱.推论推论1.1.若 f(x)在(a,b)内的导数恒为0,即x(a,b).有f x=0.则 f(x)在(a,b)内是一个常数.即x(a,b),f(x)=C(常数).证证:取定x0(a,b).只须证明x(a,b),有 f(x)=f(x0)即可.因f(x)在(a,b)内可导,从而在(a,b)
5、内连续.故 f(x)在x0,x(a,b)(或x,x0(a,b)上满足拉格朗日定理的条件.f(x)f(x0)=f (x x0)=0,介于x 和x0之间.即,x(a,b),有f(x)=f(x0)例例2.2.)11(.2cosarcarcsinxxx证明证证:记 f(x)=arcsinx+arccosx.在(1,1)内可导.且从而在(1,1)内,f(x)=C.(常数).取 x=0,得.01111)(22xxxf.220)0(fC故 当1 x 0时,.)1ln(1xxxx证证:改写原式,.1)1ln(11xxx利用公式)()()(fabafbf证不等式时,往往要把待证式中的一部分写成的形式,以便构造函
6、数 f(x).abafbf)()(0)01ln()1ln(00)1ln()1ln(xxxxxx所以,记 f(t)=ln(1+t),知f(t)在0,x上满足拉格朗日中值定理的条件.且0)01ln()1ln()1ln(xxxx)(f),0(,11x因)0(1111)(,111)(xxff)0(.1)1ln(11xxxx故三、柯西中值定理三、柯西中值定理定理定理3.3.若f(x),g(x)都在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 g(x)0.则至少存在一点(a,b),使得.)()()()()()(gfagbgafbf分析:若分别对f(x),g(x)用拉格朗日中值定理,可得上式左端.)()(21gf但
7、1,2不一定相同,故不能用这一方法.,)()()()()()(gfagbgafbf要证只须证0)()()()()()(gagbgafbff即.0)()()()()()(xxgagbgafbfxf证证:)()()()()()()(xgagbgafbfxfx记知(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导.且)()()()()()()(bgagbgafbfbfb)()()()()()()(agagbgafbfafa从而(b)(a)=0.由罗尔中值定理,(a,b),使()=0,).,(.)()()()()()(,bagfagbgafbf即例例5.5.设 f(x)在(,+)内可导.f(0)=0.证明 (,
8、+),使得 2f()f()=32 f 2(1)证证:这一类问题,往往可考虑用中值定理解决.变形.3)()(2)1(22fff注意到,xxxxfff3223 ,)()()(2左端,.01)0()1()1(33222fff.3)()(2)1(22fff从而,待证式为.)()(01)0()1(323322xxxfff故,记F(x)=f 2(x),g(x)=x3在0,1上连续,在(0,1)内可导.由柯西中值定理,(0,1),使得.3)()(2)1(22fff若修改例5为:f(0)=0,f(1)=0,证明,(,+),使得f()f()=0.则可用罗尔定理证.四、泰勒中值定理四、泰勒中值定理在近似计算和理论
9、分析中,对于复杂函数f(x).常希望用一个多项式P(x)=a0+a1x+a2x2+anxn 来近似表示 f(x).比如,当|x|很小时,ex 1+x,sin x.111xnxn都是用一次函数表示函数 f(x)的例子.缺陷缺陷:(1)精度不高,误差仅为o(x)(2)没有误差估计式.从几何上看,缺陷(1)是由于我们在x=0附近用直线代替曲线,精度当然不高.能否改用二次曲线,三次曲线,代替?精度是否能提高,或者说,曲线的吻合程度是否会更好些呢?y=ex1y=1+x2211xxy看图.1x0y21我们要解决的问题是:设f(x)在x=x0的某邻域内有直到n+1阶导数.(1)试求一个关于xx0的n次多项式
10、Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n使Pn(x)能在x0的附近近似表示 f(x).即,f(x)和Pn(x)在x=x0处的函数值以及k阶(kn)导数值都相等.即,f(x0)=Pn(x0),f(x0)=Pn(x0),f(x0)=Pn(x0),f(n)(x0)=P(n)n(x0).(2)误差 f(x)Pn(x)的表达式.首先解决问题(1),即设f(x)在x=x0的某邻域U(x0)内有直到n+1阶导数.求Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n.满足f(x0)=Pn(x0),f(x0)=Pn(x0),f(x0)=Pn(x0),f(n)(x0)
11、=P(n)n(x0).将x=x0代入Pn(x),得Pn(x0)=a0=f(x0),对Pn(x)求导,再将x0代入,得Pn(x0)=a1=f(x0)对Pn(x)求二次导,将x0代入,得Pn(x0)=2!a2=f(x0).(!2102xfa Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n同理,),(!3)(0)3(30)3(xfaxPn).(!310)3(3xfa 得一般,),(!)(0)(0)(xfanxPnnnn得)()(!)()(!2)()(!1)()()(00200000 xfxxnxfxxxfxxxfxfxpnnn Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2
12、+an(xx0)n).(!10)(xfnann得定理定理4.4.(泰勒中值定理)如果f(x)在含x0的某个区间(a,b)内有直到n+1阶的导数，则对x(a,b)，有).()(!)()(!2)()(!1)()()(00200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn其中,)()!1()()(10)1(nnnxxnfxR是介于x0与x之间的一个值.).()()(xpxfxRnn记只须证明.)(,)()!1()()(010)1(即可之间与介于xxxxnfxRnnn或.)!1()()()()1(10nfxxxRnnn证证:由于f(x)和Pn(x)在(a,b)内有直到 n+1 阶导数,从而 R
13、n(x)在(a,b)内有直到 n+1 阶导数.注意到,0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn).()()1()1(xfxRnnn).()()(),(),(,),(1000显然满足定理条件用柯西中值定理和对两函数上，或在区间nnxxxRbaxxxxbax)()()(),()()(0)(0)(0)(xPxfxRxPxfxRknkknnn有10)()(nnxxxR0)()()(100nnnxxxRxRnnxnR)(1()(0110)(1()()(0101nnnxnxRR1介于x0与x之间.对函数Rn(x)和(n+1)(xx0)n在x0,1或1,x0上用柯西中值定理.有0)(1()
14、()()()(010110nnnnnxnxRRxxxR1022)()1()(nnxnnR0)()1()()(1020 2nnnxnnxRR2介于x0与1 之间.继续下去,经n次后,有)()!1()()()(0)(10 xnRxxxRnnnnnn0)()!1()()(00)()(xnxRRnnnnnn)!1()(1)1(nRnnn.)!1()()1(nfnn其中=n+1介于x0与n 之间,从而介于x0与x之间.注注1.1.公式)()(!)()(000)(xRxxkxfxfnknkk称为 f(x)按(xx0)的幂,展开到n阶的泰勒公式.)()!1()()(010)1(之间与介于xxxxnfxRnn
15、n称为拉格朗日型余项.也可写成10 .)()!1()()(1000)1(nnnxxnxxxfxR注注2.2.当n0时，泰勒公式变为拉格朗日中值公式.),)()()(000之间与介于xxxxfxfxf注注3.3.若.|)(|.),()()1()1(Mxfbaxfnn即内有界在10)1()()!1()(|)(|)()(|nnnnxxnfxRxPxf则.|)!1(10nxxnM且.0)()!1()(lim)()(lim0)1(000 xxnfxxxRnxxnnxx可是,误差Rn(x)是(xx0)n的高阶无穷小(当xx0时).即 Rn(x)=0(xx0)n).称为皮亚诺余项.注注4.4.若在泰勒中值定
16、理中取x0=0.则公式为)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2xRxnfxfxffxfnnn.)!1()()1()()(1)1(1)1(nnnnnxnxfxnfxR其中 介于x与0之间,01.称为马克劳林公式.例例6.6.写出 f(x)=ex展开到n阶的马克劳林公式.解：解：f(n)(x)=ex,f(n)(0)=1故1)1(0)()!1()(!)0(nnknkkxxnfxkfe.0)!1(!110之间，介于，xxnexknknk特别,取x=1,有,!1!2111!10nkenk误差)!1(|neRn.1 0 ,)!1(3之间，介于nnkneke0,)!1(!1例例7.7.求f(x)=
17、sinx 在x0=0的展开式解：解：sin0=0,)2sin()(sin)(nxxn故2sin)0()(nfn0，n=2k时,(1)k，n=2k 1时,将sin x在x0=0展开到n=2m阶.得mnmnnxRxnfx202)()(!)0(sin)()!12(1)1(!51!31212153xRxmxxxmmm其中.10 ,)!12(2)12(sin)(122mmxmmxxR例例8.8.求4202coslimxexxx解：解：展开)(0!4!211cos442xxxx)4(0)2(!21)2(!111422222xxxex相减)4(0)(081!4cos444422xxxxexx)(012144xx)0(,0)4(0)(0)4(0)(04444444时xxxxxxxx从而.121)(0121limcoslim44404202xxxxexxxx
