1、1基金的利息度量基金的利息度量(Interest measurement of a fund)l问题：问题：一个投资基金，它的本金在一个度量时期内是不断变化的，随时都有新资金的投入，也不断有资金的撤出。那么在这种情况下，如何计算投资基金的收益率呢？l两种度量方法：l币值加权收益率l时间加权收益率24.2币值加权收益率币值加权收益率l简单近似l精确计算l近似计算3简单近似简单近似l假设假设：本金在当期的变化是平稳的，期初本金余额与期末本金余额的平均数就是当期的平均本金余额。用当期的利息收入除以当期的平均本金余额，即可求得投资收益率。l符号（符号（注意：不同书中的符号可能不同）：l期初的本金余额为
2、Al期末累积值变为B（仅考虑一个时期）l当期产生的利息 Il期末的本金余额就是(B I)l当期的平均本金余额就是(A+B I)/2。l当期的收益率可近似表示为 2()/2IIiABIABI4精确计算精确计算l假设期初的本金为A，在时刻t的新增投资为Ct，投资收益率为i，在期末的累积值可表示为(1)(1)(1)tttAiCi注注：时刻t的新增投资额Ct只在时刻 t 以后产生收益，即产生收益的时间长度为(1 t)用B表示期末的累积值，则有(1)(1)(1)tttAiCiB注：注：Ct 0表示增加投资；Ct 0表示抽走投资。5近似计算近似计算l对于不足一个时期的新增投资，用单利代替复利，即令 iti
3、t)1(1)1()1(1)(1)(1)(1)1(1)tttttAiCiAiCt i故期末累积值可表示为()(1)(1)ttttttBACIiACtACt(1)()tttti ACtACB6(1)ttIiACt对近似公式的解释：对近似公式的解释：（1）分母是以本金产生利息的时间长度为权数计算的加权平均本金余额，如期初的本金将在整个时期内产生利息，所以它的权数为1，时刻t增加的投资Ct产生利息的时间长度是(1 t)，所以其权数为(1 t)。（2）如果进一步假设新增投资发生在期中，即t=0.5，则0.5ttIiAC这就是前述最简单的一个近似公式。22ttIAC2()ttIAAC2()IABI74.3
4、时间加权收益率时间加权收益率l币值加权收益率受本金增减变化的影响。l本金的增减变化是由投资者个人所决定的，基金经理人无权作出增减本金的决定。l币值加权收益率可以衡量投资者的收益，但不能衡量基金经理人的经营业绩。l时间加权收益率就是扣除了本金增减变化的影响后所计算的一种收益率。8l例：例：假设某基金由A，B，C三个投资者投资，基金经理人将该基金全都投资于一种股票，该股票在期初的价格是每股20元，期中上升到25元，到期末又下降到20元。假设三个投资者的出资情况如下（参见下下页的表格）：（1）投资者A在期初投资2000元（获得100股），当期再无新增投资，所以期末的帐户余额仍然是2000元。（2）投
5、资者B在期初投资2000元（获得100股），期中又增加投资1000元（获得40股），到期末时有140股，每股的价格是20元，所以期末的帐户余额是2800元。9 （3）投资者C在期初投资2000元（获得100股），在期中抽走750元（减少30股），期末时剩余70股，每股的价值是20元，所以期末的帐户余额是1400元。l问题：（1）计算这三个投资者的币值加权收益率。（2）整个基金的币值加权收益率等于多少？（3）如何衡量基金经理人的业绩？10投资基金的构成及其新增投资情况期初本金期初本金期中帐户余额期中帐户余额期中新增投资期中新增投资期末帐户余额期末帐户余额A2000（100股）2500（100股）
6、0（0股）2000（100股）B2000（100股）2500（100股）1000（40股）2800（140股）C2000（100股）2500（100股）750（30股）1400（70股）基金(合计)6000（300股）7500（300股）250（10股）6200（310股）股票价格2025252011l解解：（1）币值加权收益率币值加权收益率 A：2000(1+i)=2000，i=0 B：2000(1+i)+1000(1+i)0.5=2800,i=7.967%C：2000(1+i)750(1+i)0.5=1400，i=9.184%问题问题：投资于同一个基金，三个投资者的币值加权收益率为何相差悬
7、殊？期初本金期中帐户余额期中新增投资期末帐户余额A2000（100股）2500（100股）0（0股）2000（100股）B2000（100股）2500（100股）1000（40股）2800（140股）C2000（100股）2500（100股）750（30股）1400（70股）股价：期初20，期中25，期末2012（2）整个基金的币值加权收益率：）整个基金的币值加权收益率：基金在期初的本金是6000元 在期中增加的本金是1000 750=250 在期末的帐户余额是 2000+2800+1400=6200 整个基金的币值加权收益率是下述方程的解：6000(1+i)+250(1+i)0.5=6200
8、 故整个基金的币值加权收益率为：0.816%期初本金期中帐户余额期中新增投资期末帐户余额A2000（100股）2500（100股）0（0股）2000（100股）B2000（100股）2500（100股）1000（40股）2800（140股）C2000（100股）2500（100股）750（30股）1400（70股）基金6000（300股）7500（300股）250（10股）6200（310股）13l分析分析：l度量基金经理人的经营业绩的收益率应为0。但基金的币值加权收益率为负(0.816%)。l如果扣除了新增投资的影响，三个投资者的收益率将是相同的。lA没有新增投资，所以扣除新增投资后的币值加
9、权收益率仍然为0。lB和C都有新增投资，如果扣除新增投资，它们的收益率可计算如下：14lB的初始投资2000元，在期中，由于股票价格上升，投资余额成为2500元，所以在前半期的收益率为 j1=25002000 1=25%。l在期中，新增投资1000元，使后半期初的投资余额增加到25001000=3500元，这个余额在期末由于股价下跌降到2800元，所以在后半期的收益率为 j2=28003500 1=20%。l假设本金在整个投资期保持不变，不妨令其为1，并假设当期的平均收益率为i，则应有 1+i=(1+j1)(1+j2)l故扣除新增投资的影响后，投资者B的平均收益率为i=(1+j1)(1+j2)
10、1=(1+25%)(1 20%)1=0B2000（100股）2500（100股）1000（40股）2800（140股）15l同理，投资者C在扣除新增投资的影响后，整个时期的收益率也为0。l对于整个投资基金也一样，它在扣除新增投资的影响后，整个时期的收益率为0。l请大家自己验证。l下面讨论时间加权收益率的一般公式。16时间加权收益率的一般公式时间加权收益率的一般公式l假设在一年中的时刻t1，t2，tm1共有m1次本金的存入或取出。整个一年就被划分为m个区间。2211=1BjBCi=(1+j1)(1+j2)(1+jm)1区间2的收益率全年的收益率11=1kkkkBjBC区间k的收益率17l例：例：基金在1月1日的余额为A，在6月30日的余额为B，在12月31日的余额为C。（1）如果没有资金的存入和撤出，证明币值、时间加权收益率都等于(C-A)/A。（2）如果在6月30日计算余额之后存入资金D，试求币值、时间加权收益率。（3）如果在6月30日计算余额之前存入资金D，试求币值、时间加权收益率。l在衡量基金经理人的经营业绩时，通常使用时间加权收益率；l在衡量一个具体投资者的收益情况时，使用币值加权收益率。18
