1、 线性控制系统工程 第16章 伯德图分析，稳定性，及幅值和相角裕度 (g c)第第16章章 伯德图分析伯德图分析,稳定性稳定性 及幅值和相角裕度及幅值和相角裕度u伯德图中的增益裕度和相角裕度g c(g c)M(pc)pcpcdbgcpccMMGMPMMKKGMlg201lg201801 改变增益的作用是使幅值曲线上下平移，而相角曲线不变。如果 那么dBKKlg206lg205.0lg205.0lg206lg202lg202lg20dBdBKKKKKK 考虑下面的例子：K=0.1 转折频率为 1,0.5,0.34 奈奎斯特稳定性判据：当相角为-180o时，如果系统幅值小于或等于1，那么这个系统是
2、稳定的。在伯德图中，单位幅值对应于 MdB=0。例子中:相位为-180时，幅值约为 18dB，因此系统是稳定的。sssKsGH3121 0.01 0.1 1.0 1040200-20-40dbM-90-180-270图16.1 例子系统的伯德图0相位穿越点增益穿越点 增加K 将使幅值曲线向上平移动，从而使幅值穿越点向右移。但是相角穿越点保持不变。系统最终处在临界不稳定点上。计算临界不稳定时系统的幅值。dBdBNKNKNKNKlg20 lg20lg20lg2010logdbM90180270K1K2K cK31K1K2K3KcReI m Re图.16.2 具有变化K的系统伯德图、奈奎斯特图和根轨
3、迹I mK3KcK2K1 在相位-180时，K dB 幅值约为 18dB，如果系统不稳定：这个结果接近于先前分析的结果K=0.832.误差是由伯德图的相角曲线用直线近似引起的。94.718lg20NNNdBdBN 180794.0 NKKcl伯德图中的增益裕度 增益裕度(用分贝表示)为 Kc 的分贝值与增益K的分贝值之差。KKGMcKKGMcdBlg20lg20伯德图中的相位裕度：-相位裕度是使相角曲线向下移动 直到增益和相角穿越点发生在同一频率时的纯相角滞后量。-在图16.1中 54PMl 在伯德图中获得增益裕度和相位裕度:增益裕度是通过相角穿越频率得出的。它是该频率处的幅值分贝值与0dB线
4、之间的差值(用分贝表示)。相角裕度是通过增益穿越频率得出的，它是此频率处的相角与-180o线之间的差值。10log10logdbM0db0180图.16.3 增益裕度和相位裕度GMPMl一般开环传递函数 当 趋于 0 时 knmbpspspsszszszsKsGH/1/1/1/1/1/12121 nbsKsGHl0型系统 10logdbM1020logPK图.16.4 0型系统的伯德图0()bnGH sK()pGH jKl1型系统 幅值增益 如果k=1，那么当=1 时，图形经过Mdb=0dB线。()vKGH j()bbKKGH ssj10logdbM1020logvK10180-20db/de
5、cade图.16.5 1型系统的伯德图 Kv的值可以通过测量在 =1处的增益来获得。如果其他环节在频率=1之前作用于对数幅频特性，那么应该用低频渐近线的延长线求出。10logdbM-20db/decade1020logvK1 图.16.6 1 型系统的另一种伯德图l2型系统 如果 ka=1。对数幅频特性在当=1时，其低频段或它的延长线会以40db/decade 的斜率穿过 零分贝线。Ka 的值可以通过测量 =1 处的增益值来获得。2sKsGHb2jKjGHa110log1020logaKdbM-40db/decade图.16.7 2 型系统的伯德图l相角裕度是确定系统稳定性的唯一可靠的参数。l
6、无频率穿越点：-考虑下面的例子-相角绝不会穿过-180 线。但是相位裕度可以从增益穿越点 PM=45处获得，系统是稳定的。10/112sssKsGH 0.01 0.1 1.0 1040200-20-40dbM-90-180-270 图16.8 无相位穿越点的伯德图0K=1MATLAB 仿真 10/112ssssGHsys=tf(1 1,0.2 1 0 0);bode(sys)pause 用根轨迹来验证：ReI m-10-1图.16.9 系统的根轨迹图l 多个频率穿越点：考虑下面的例子 增益穿越频率在=1处,相角裕度为-45,可判断出系统是不稳定的。1000/1100/110/113sssssK
7、sGH 这里有两个相位穿越频率，分别为=3 和=300。在每个频率处增益裕度是正的，表明系统是稳定的系统。但相位裕度判断系统的确是不稳定的。0.01 0.1 1.0 10 40 0-40-80dbM-90-180-270图16.10 具有两个相位穿越点的系统0GM1=K(db)K=1GM2=K(db)-20-40-40-60PMMATLAB 仿真 1000/1100/110/113ssssssGHsys=tf(0.1 1.1 1,0.00001 0.011 1 0 0 0);bode(sys)pause 用根轨迹来验证：在kk1时，系统是不稳定的；在 k1kk2时，系统再次不稳定。图.16.1
8、1 系统的根轨迹图1122dbdbGMKGMK-1-10-100-1000ReI mK=K2K=K13 polesK=1l单一频率穿越点:增加相位考虑下面的例子相位裕度是负的，表明系统是不稳定的。增益裕度是正的，表明系统是稳定的。考虑相位裕度，系统是稳定的。322/1sssGH 0.1 1 10 10040 0-40-40dbM-90-180-270 图16.12 具有单一渐增相位穿越点的系统的伯德图0-40-60PMGM=K1(db)MATLAB 仿真 322/1sssGHsys=tf(0.25 1 1,1 0 0 0);bode(sys)pause 从根轨迹得到证实，系统是条件稳定的。当k
9、k1时，系统是不稳定的。3 poles2 zeroes-2K=K1K=1ReI m图.16.13 系统的根轨迹图l通过伯德图判断稳定性的可靠方法是:l-如果系统有正的相角裕度，那么系统是稳定的。l-相角裕度是由伯德图判定系统稳定性的唯一可靠的方法。改进的奈奎斯特判据：根据沿着频率增加方向的频率特性，观察临界点是在其左边还是右边通过，是由极坐标图判断稳定性的唯一可靠的方法。当 k k1时，系统是稳定的-1 0ReI m 图.16.14 稳定系统的奈奎斯特图l问题:如图所示的系统，画出当K=45时的伯德图，并确定增益裕度和相位裕度。计算使系统稳定的最大K值，并用劳斯阵列验证其结果。例题 16.1K
10、31(2)(3)ss-+RC图.SP16.1.1l解:开环传递函数：转折频率发生在=2 和=3处，将会在以下的频率范围画出伯德图：223112115.23245sssssGH1001.0dBKdB 85.2lg2050 11PMdBGM 0.1 1 10 10020 0-20-40dbM-90-180-270 图.SP16.1.20PMGMMATLAB 仿真 223112115.23245sssssGHsys=tf(45,1 8 21 18);bode(sys)pause 获得最大值 Kmax=NK用劳斯阵列来验证结果：特征方程为 误差与增益裕度的精确性有关101120log3.5545 3.
11、55160NNK232(2)(3)821180ssKsssK210:8181:(16818)08:180sKsKsK3:s121168 180150Kkl问题:一个单位反馈控制系统，其开环传递函数为：l 画出当 K=0.8时系统的伯德图，并确定增益裕度和相位裕度。使系统的相位裕度约为 60的K为何值?l解:例题 16.2 4152sssssKsG 2224/4/115/125.14/4/1145/15sssssKsssssKsGH 转折频率:=1(两次),=5(零),n=2(二阶系统的转折频率).将在以下频率范围内画出伯德图：画出每一个环节的增益和相位曲线0.25 412n1001.0dB 025.1K 0.01 0.1 1.0 1040200-20-40dbM-90-180-270图16.2.10 0.01 0.1 1.0 1040200-20-40dbM-180-360图16.2.20PM=60GM=3db3db 二阶环节频率比=/n频率比=/n 增益裕度为 3 dB，相位裕度约为35。为了给系统提供一个 60的相位裕度，幅值曲线需要下平移约3dB56.08.07.0 7.0 lg203 lg20KNNNKNKdBdB作业：P339 16.1 a.P339 16.3 e.
