1、1微分中值定理和微分中值定理和导数的应用导数的应用第四章第四章2 微分中值定理的核心是微分中值定理的核心是拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理，中值定理，费马定理费马定理是它的预备定理，是它的预备定理，罗尔定理罗尔定理是它的特例，是它的特例，柯西定理柯西定理是它的推广。是它的推广。1.1.预备定理预备定理费马费马(Fermat)定理定理.0)()(),()(000 xfxxfxbaxf可导，则可导，则在点在点且且取得最值，取得最值，内一点内一点在在若函数若函数 费马（费马（Fermat，1601-1665），），法法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出
2、费马大、小定理而著名于世。因提出费马大、小定理而著名于世。第一节第一节 微分中值定理微分中值定理3xyo)(xfy 1 2 几何解释几何解释:1.1.预备定理预备定理费马费马(Fermat)定理定理.0)()(),()(000 xfxxfxbaxf可导，则可导，则在点在点且且取得最值，取得最值，内一点内一点在在若函数若函数 曲线在最高点或最曲线在最高点或最低点如果有切线，则切低点如果有切线，则切线必然是线必然是水平水平的。的。4证明证明:达达到到最最大大值值证证明明。在在只只就就0)(xxf),()(,),()(0000 xfxxfbaxxxxf 就就有有内内在在达达到到最最大大值值，所所以以
3、只只要要在在由由于于,0)()(00 xfxxf即即;0 ,0)()(00时时当当从而从而 xxxfxxf;0 ,0)()(00时时当当 xxxfxxf0)()(lim)(000 x0 xxfxxfxf这这样样.0)()(lim)(000 x0 xxfxxfxf.0)(0 xf所所以以可导，可导，在点在点而而0)(xxf极限极限的保的保号性号性52.2.罗尔罗尔(Rolle)定理定理xO yC aby f(x)AB几何解释几何解释:如果连续光滑的曲如果连续光滑的曲线线 y f(x)在端点在端点 A、B 处的纵坐标相等。处的纵坐标相等。那么，在曲线弧上至那么，在曲线弧上至少有一点少有一点 C(,
4、f()，曲线在曲线在 C点的切线是点的切线是水平的。水平的。如果函数如果函数y f(x)满足条件：满足条件：(1)在闭区间在闭区间a,b上上连续，连续，(2)在开区间在开区间(a,b)内可导，内可导，(3)f(a)f(b)，则至则至少存在一点少存在一点 (a,b)，使得使得f ()0。6证证.)1(mM 若若,)(连续连续在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 则则.0)(xf由此得由此得),(ba .0)(f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf),(afM 设设.)(),(Mfba 使使，则则由费马引理由费马引理,.0)(f所以最大值和最小值不可能同时在
5、端点取得。所以最大值和最小值不可能同时在端点取得。7注意：注意：f(x)不满足条件不满足条件(1)f(x)不满足条件不满足条件(3)f(x)不满足条件不满足条件(2)BxO yAabxO yABabcxO yABab 如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。论就可能不成立。8在在,0 上上连连续续,),0(内内可可导导,且且0)()0(ff,例例1 1验证验证，xxfsin)(，xxfcos)(，0)2(f.),0(2 9 例例2 2 不求导数，判断函数不求导数，判断函数f(x)(x 1)(x 2)(x 3)的导的导数有几个零点，以及
6、其所在范围。数有几个零点，以及其所在范围。解解 f(1)f(2)f(3)0，f(x)在在1,2，2,3上满足罗尔上满足罗尔定理的三个条件。定理的三个条件。在在(1,2)内至少存在一点内至少存在一点 1，使使 f (1)0，1是是 f (x)的一个零点。的一个零点。在在(2,3)内至少存在一点内至少存在一点 2，使使f (2)0，2也是也是f (x)的一个零点。的一个零点。f (x)是二次多项式，只能有两个零点，分别在区是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间间(1,2)及及(2,3)内。内。思考：思考：f (x)的零点呢？的零点呢？10证证明明：可可导导函函数数)(xf的的两两个个零零点点之之
7、间间必必有有)()(xfxf 的的零零点点.例例3 3证证对对)(e)(xfxgx 使使用用罗罗尔尔定定理理,，)()(e)(xfxfxgx )(xf的的零零点点即即为为)(xg的的零零点点,由由罗罗尔尔定定理理可可知知,)(xf的的两两个个零零点点之之间间必必有有)(xg 的的零零点点,而而)(xg 的的零零点点即即为为)()(xfxf 的的零零点点,结论得证结论得证.类类似似,欲欲证证)()(xfxf 存存在在零零点点,取取)(e)(xfxgx 即即可可.11证证设设)(xf在在 1,0上上连连续续,在在)1,0(内内可可导导,且且0)1(f，证证明明：存存在在,)1,0(使使得得 .0)
8、(1)(ff 作作辅辅助助函函数数 ,)()(xxfxF 则则 ,)()()(xfxxfxF 显显然然)(xF在在1,0上上满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件,故故存存在在,)1,0(使使得得.0)()()(ffF例例4 4原原式式改改为为 .0)()(ff 12证证设设)(),(xgxf在在,ba上上可可导导,0)(xg )(af,0)(bf 证证明明存存在在,),(ba 使使 .)()()()(gfgf 作作辅辅助助函函数数 ,)()()(xgxfxh 则则 ,)()()()()()(2xgxgxfxgxfxh 显然显然)(xh在在,ba上满足罗尔定理的条件上满足罗尔定理的条件,故存在故
9、存在,),(ba 使使,0)(h 即即 .)()()()(gfgf 例例5 513 如果函数如果函数f(x)满足：满足：(1)在闭区间在闭区间a,b上连续，上连续，(2)在在开区间开区间(a,b)内可导，则至少存在一点内可导，则至少存在一点 (a,b)内，使得内，使得几何意义：几何意义：得到得到将罗尔定理条件中去掉将罗尔定理条件中去掉),()(bfaf 3.3.拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理.,ABCAB行于弦行于弦该点处的切线平该点处的切线平在在至少有一点至少有一点上上在曲线弧在曲线弧.)()()(abafbff C2h h xO yABaby=f(x)C1 14证明证
10、明容容易易验验证证,)(xF满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件,于于是是),(ba ,使使 即即 abafbff )()()(.作辅助函数作辅助函数，)()()()()()(axabafbfafxfxF ，0)()()()(abafbffF 15xxfln)(,在在e,1 上上满满足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的条条件件,例例6 6，xxf1)(，1e11e)1()e(ff，e),1(1e .1e)1()e()(fff 使使16)10()()()(000 xxxfxfxxf).10()(0 xxxfy拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.，)()()(abfafb
11、f 之之间间和和介介于于ba 或或)()()(ababafafbf ,10 ,特别地特别地,或或.的精确表达式的精确表达式增量增量 y 拉格朗日中值公式另外的表达方式：拉格朗日中值公式另外的表达方式：abafbff )()()(17如如果果在在),(ba内内恒恒有有0)(xf,则则)(xf在在),(ba内内为为一一常常数数.推论推论1 1),(,),(2121xxxxba 内内任任取取两两点点在在)()()()(211212xxxxfxfxf 则则，0)()(,0)(12 xfxff.)()(12xfxf 即即由由21,xx的的任任意意性性可可知知,)(xf常常数数,),(bax.证明证明在在
12、,21xx上上对对)(xf使使用用拉拉格格朗朗日日定定理理,18如如果果)(xf和和)(xg在在),(ba内内可可导导,且且在在),(ba内内恒恒有有)()(xgxf ,则则在在),(ba内内)(xf和和)(xg最最多多相相差差一一个个常常数数.由由推推论论 1 1 知知 Cxgxfx )()()(，作作辅辅助助函函数数 )()()(xgxfx ,则则 0)()()(xgxfx,推论推论2 2证明证明即得结论。即得结论。19而而 2)0(f,故故 2)(xf,1,1 x.证证明明恒恒等等式式 2arccosarcsin xx,1,1 x 设设 xxxfarccosarcsin)(,1,1 x
13、01111)(22 xxxf,)1,1(x Cxf)(,)1,1(x 且且 2)1()1(ff,类似可得：类似可得：2cotarcarctan xx,Rx.例例7 7证证由推论由推论1知知,20利用拉格朗日定理证明不等式利用拉格朗日定理证明不等式证明：证明：aababb1lnln1 ,)0(ba 令令 xxfln)(,在在),(ba上上利利用用拉拉格格朗朗日日定定理理,例例8 8证证，ababf lnln1)(,ba ,111ab .1lnln1aababb 即得即得21例例9 9.)1ln(1,0 xxxxx 时时证证明明当当证证,0)(条条件件上上满满足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的在在x
14、tf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(,0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln(xxx 0又又x 111,11111 x,11xxxx ),1ln()(ttf 设设.)1ln(1 xxxx 即得即得22不不妨妨设设yx ,令令ttfsin)(,在在,yx上上利利用用拉拉格格朗朗日日定定理理：而而 1cos ,故故 yxyx sinsin.在在上上式式中中令令0 y，即即得得结结论论.),(yx ,使使 )(cossinsinyxyx ,例例1010证证类似可证：类似可证：，yxyx arctanarctanRyx,，yxyx sinsinRyx,推论推论，xx sinR
15、x 234.4.柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理 设函数设函数f(x)及及g(x)满足条件：满足条件：(1)在闭区间在闭区间a,b上连续，上连续，(2)在开区间在开区间(a,b)内可导，内可导，(3)在在(a,b)内任何一点处内任何一点处g(x)均不为零，均不为零，则至少存在一点则至少存在一点 (a，b)内，使得内，使得)()()()()()(gfagbgafbf 如果取如果取g(x)x，那么柯西中值定理就变成了拉那么柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理格朗日中值定理.说明说明：证略证略.24P148 习题四习题四练习练习：25第二节第二节 洛必达法则洛必达法则 在函数商的极限中，如果
16、分子分母同是无穷小在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量或同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不量或同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不存在，这种极限称为存在，这种极限称为未定式未定式，记为，记为洛必达法则是求函数极限的一种重要方法洛必达法则是求函数极限的一种重要方法.，00.及及26(1 1)0)(lim)(lim xgxfaxax；(2 2)(xf和和)(xg在在点点0 x的的某某去去心心邻邻域域内内可可导导，且且0)(xg；则则 Axgxfax)()(lim(或或).(3 3)Axgxfax )()(lim(或或),00设设函函数数)(xf和和)(xg在在点点ax 的的 定理定
17、理(洛必达法则洛必达法则)(证略证略)某某去心邻域内有定义且可导去心邻域内有定义且可导,且满足下列条件：且满足下列条件：00 和和型未定式型未定式一、一、27)()(lim)()(limxgxfxgxfaxax 1 1.ax 可可改改为为 x；2 2.)(lim)(limxgxfaxax时时洛洛必必达达法法则则仍仍成成立立；3 3.若若不不是是“00”或或“”未未定定式式,不不能能使使用用洛洛必必达达法法则则；4 4.当当)()(limxgxf 不不存存在在时时,且且不不是是 ,不不能能断断言言)()(limxgxf不不存存在在,说明说明：5.5.洛必达法则可多次使用。洛必达法则可多次使用。只
18、能说此时使用洛必达法则失败只能说此时使用洛必达法则失败,需另想它法；需另想它法；)()(lim)()(limxgxfxgxfxx 28例例13245lim241 xxxxx12333lim221 xxxx266lim1 xxx.23)00(用用“洛必达法则洛必达法则”求极限例求极限例题题练习练习:123lim2331 xxxxxx2254lim31 xxx.41 比较比较:因式分解，因式分解，)3)(1()4)(1(lim231 xxxxxxx原原式式.41 29例例2xxx1)1(lim0 1)1(lim10 xx.)00(比较比较:xxxxx)1ln()1ln(1)1(lim0 原式原式,
19、1)1(tx 令令,)1ln()1ln(tx 则则.0,0tx时时当当.xxttxt)1ln(lim)1ln(lim00 )0(30练习练习:2031)cos(sinlimxxx xxxx6cos)sin(sinlim0 .61 2031)cos(sinlimxxx 22032/sinlimxxx .61 或解或解等价无穷等价无穷小替换小替换31例例3xxx1sinarctan2lim 22111limxxx 221limxxx .1)00(xxx1arctan2lim 32例例4)00(xxxx10)1(elim ，xxy1)1(，xxy)1ln(ln 2)1ln(1xxxxyy )1()1
20、ln()1()1(lim210 xxxxxxxx 2010)1ln()1(lim1)1(limxxxxxxxxx xxx2)1ln(lime0 .2e 及时分离非零因子及时分离非零因子 33例例5)(注注:0lnlim xxx,0 .xxxlnlim xxx211lim xx2lim .0 注注:xxxelim,0 .例例65elimxxx )(45elimxxx .!5elimxx 34例例6xxx3tantanlim2 xxx3sec3seclim222 xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxxxxxsin3sinlimcos3c
21、oslim22 .3)(或解或解：xxx3tantanlim2 xxxxxxcos3coslim3sinsinlim22 xxxsin3sin3lim2 .3 及时及时分离分离非零非零因子因子 xxxsin3sin3lim2 0035例例7解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式)sin1(limxx 洛必达法则失效。洛必达法则失效。)cos11(limxxx 原式原式.1.1lim2xxx 求求练习练习不能使用洛必达法则。不能使用洛必达法则。.111lim20 xx原式原式解解极限不存在极限不存在221lim1limxxxxxx xxx21lim 36二、其它类型的未定
22、式二、其它类型的未定式,0 例例8)0(解法：转解法：转化为化为 或或 型不定式。型不定式。00 型型）0 1 步骤步骤:,10 .0100 或或xxxlnlim0 (0 )xxxlnlim010/1lim xxx xx 0lim1.0,00,1 0 37例例9)(0101 0000 型型）2步骤步骤:xxx1)1ln(1lim0)1ln()1ln(lim0 xxxxx 20)1ln(limxxxx xxx2111lim0 )1(21lim0 xx )00(.21 38步骤步骤:型型00,1,0)3 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 例例10)0(00e.1 xxxtan0lim
23、xxxlntanlim0e xxx20sinlime xxxlntan0elim 对数恒等式对数恒等式xxlne xxxcotlnlim0e 39例例11xxx 111lim)1(xxxln111elim xxx 1lnlim1e11 lim1e xx.e1 或解或解(重要极限法重要极限法)：xxx 111lim xxx 111)1(1lim.e1 40例例12.)(cotlimln10 xxx)(0,ln)ln(cotln xxy 取取对对数数得得xxxln)ln(cotlim0 xxxx1csccot1lim20 xxxxsincoslim0 ,1 .e1 原式原式,)(cotln1xxy
24、 令令解解41.)arctan2(lim xxx 求求.e2 所所以以原原极极限限例例13解解,)arctan2(xxy 设设,)arctanln2ln(ln xxy 则则所以所以)arctanln2ln(limlnlimxxyxx xxx/1arctanln2lnlim 22111arctan1limxxxx xxxxarctan11lim22 ,2 42练习练习)1(解解,)sin(21xxxy 记记200lnsinlnlimlnlimxxxyxx xxxxxxsin2sincoslim20 206cossincoslimxxxxxx ,61 .)sin(lim210 xxxx求求.e 6
25、1 原式原式xxxxx21sincoslim0 302sincoslimxxxxx 43求求 nnnnba)2(lim ,0(a,)0 b.解解,1xn 令令，原式原式xxxxba10)2(lim ，令令xxxbay1)2(，则则xbayxx2ln)ln(ln )1(2)ln(e ab 原式原式xxxxxbabbaa lnlnlim0 xbayxxxx2ln)ln(limlnlim00 )00(，2)ln(ab.ab 例例14 这是数列极限这是数列极限,不能直接使用洛必达法则不能直接使用洛必达法则,要先化为函数极限要先化为函数极限.44或解或解xxxxba10)2(lim 原式原式xxxxba
26、10)2111(lim xbabaxxxxxxxba2111120)2111(lim xbaxxx211lim0e 2lnlneba .ab axaxln1)0(x求求 nnnnba)2(lim ,0(a,)0 b.例例1445小结小结洛必达法则洛必达法则型型00,1,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 463.3.若若 不存在时不存在时,不能断定原极限是否存在不能断定原极限是否存在,此时法则失效此时法则失效,改用其它方法改用其它方法.洛必达法则并不能解洛必达法则并不能解决一切未定式的极限问题决一切未定式的极限问题.)()(limxgxfa
27、x 应用洛必达法则应注意的几个问题应用洛必达法则应注意的几个问题:1.1.应用洛必达法则时要应用洛必达法则时要分别求分子及分母的导数分别求分子及分母的导数,切忌不要把函数切忌不要把函数当做整个分式当做整个分式来求导来求导.2.2.洛必达法则洛必达法则可以累次使用可以累次使用,但必须注意但必须注意,每次使每次使用前需确定它是否为用前需确定它是否为未定式未定式.4.4.使用洛必达法则时使用洛必达法则时,要灵活结合其它方法要灵活结合其它方法,如等价如等价无穷小替换、凑重要极限、分离非零因子、恒等变无穷小替换、凑重要极限、分离非零因子、恒等变形、换元等形、换元等.47P148 习题四习题四练习练习：4
28、8第三节第三节49函数的单调性与导数符号的关系函数的单调性与导数符号的关系观察与思考：观察与思考：函数单调增加函数单调增加函数单调减少函数单调减少 函数的单调性与函数的单调性与导数的符号导数的符号有什么关系？有什么关系？0)(xf0)(xf50函数单调增加时导数大于零；函数单调增加时导数大于零；观察结果：观察结果：函数的单调性与导数符号的关系函数的单调性与导数符号的关系函数单调增加函数单调增加函数单调减少函数单调减少0)(xf0)(xf函数单调减少时导数小于零。函数单调减少时导数小于零。51xyo)(xfy xyo)(xfy 0)(xf0)(xf定理定理.),(,)(内内可可导导上上连连续续，
29、在在在在设设函函数数babaxfy 上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在）（,)(0)(),(1 baxfyxfba .,)(0)(),()2(上上单单调调减减少少在在，那那末末函函数数内内如如果果在在baxfyxfba 52证证),(,21baxx ,21xx 且且应用拉格朗日定理应用拉格朗日定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf ,012 xx,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf；上上单单调调增增加加在在,)(baxfy ,0)(),(xfba内内，若若在在,0)(f则则).()(12xfxf.,)(上单调
30、减少上单调减少在在baxfy 53例例1 1解解.ln的的单单调调性性讨讨论论函函数数xy .1e xy,)0,(内内在在,0 y函数单调减少；函数单调减少；,),0(内内在在,0 y.函函数数单单调调增增加加).,(:D定定义义域域又又例例2 2.1e的的单单调调性性讨讨论论函函数数 xyxxy1 ,0.)(ln单单调调增增加加严严格格在在定定义义域域内内所所以以xy 解解)0,1(xyo54例例3 3解解.)(32的的单单调调性性确确定定函函数数xxf.),(:D)0(,32)(3 xxxf时，时，当当0 x,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),0 时，时，当当 x0,0)(xf上上
31、单单调调减减少少；在在0,(32xy xoy55例例4 4解解.31292)(23的的单单调调区区间间确确定定函函数数 xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf，)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)(xf.2,121 xx时，时，当当1 x,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在 1,(时时，当当21 x,0)(xf上单调减少；上单调减少；在在2,1 时，时，当当 x2,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),2 56也可用列表的方式，也可用列表的方式，x1,(2,1),2 y y例例4 4解解.31292)(23的的单单调调区区间间确确定定函函数数 xxxxf).,(:D12
32、186)(2 xxxf，)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)(xf.2,121 xx57.,)(内内导导数数的的符符号号然然后后判判断断区区间间的的定定义义区区间间数数分分函函用用驻驻点点及及不不可可导导点点来来划划xf 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点方法方法:注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区不影响区间的单调性间的单调性.例如例如,3xy .),(上上严严格格单单调调增增加加但但在在 ,032 xy称驻点称驻点,0)0(yxyo58例例5 5证证.)1ln(,0成成立立试试证证时时当当xxx )
33、,1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则,0)(,),0(,),0)(xfxf且且上上可可导导在在上上连连续续在在；上上单单调调增增加加在在),0)(xf,0)0(f而而时时，当当0 x,0)(xf).1ln(xx 即即，)0()(fxf 可利用函数的单调性证明不等式可利用函数的单调性证明不等式59.0)(,1e xxx证证明明不不等等式式例例6 6证证,)1(e)(xxfx 令令,1e)(xxf则则，时时当当0 x,0)(xf,0)0()(fxf;1exx 即即，时时当当0 x,0)(xf,0)0()(fxf.1exx 即即综上所述，综上所述，.1e 0 xxx 总总有有时时当当，
34、；上上单单调调增增加加在在),0)(xf；上上单单调调减减少少在在0,()(xf60有且只有一个实根。有且只有一个实根。证明方程证明方程0arctan4 xx，设设xxxfarctan4)(.1)1(,4)0(ff.)(至至少少有有一一个个零零点点函函数数xf.)(至至多多只只有有一一个个零零点点xf.)(单单调调增增加加xf0111)(2 xxf又又由零点存在定理知，由零点存在定理知，有且只有一个实根。有且只有一个实根。0)(xf例例7 7证证利用函数的单调性讨论方程的根利用函数的单调性讨论方程的根,0,1)(上上连连续续在在显显然然 xf61小结小结单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重单
35、调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以证明不等式和应用：利用函数的单调性可以证明不等式和确定某些方程实根的个数确定某些方程实根的个数.62P148 习题四习题四练习练习：63问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?第四节第四节 曲线的上下凸性和拐点曲线的上下凸性和拐点xyo64曲线的上、下凸性就是曲线弯曲的方向曲线的上、下凸性就是曲线弯曲的方向.xyo1P2P)(:xfyC 设设)(xf是是定定义义在在区区间间 I 上上的的函函数数，21,PP
36、是是曲曲线线 C：)(xfy )(Ix 上上的的任任意意两两点点,线线段段21PP 称称为为曲曲线线 C的的弦弦，C 上上介介于于21,PP之之间间的的曲曲线线段段21PP称称为为 C 的的弧弧.65定义定义如如果果曲曲线线)(:xfyC)(Ix 上上任任意意两两点点 21,PP的的弦弦21PP 总总在在弧弧21,PP之之上上，则则称称曲曲线线 C 是是下下凸凸的的；xyo1P2P)(:xfyC 如如果果曲曲线线)(:xfyC)(Ix 上上任任意意两两点点 21,PP的的弦弦21PP 总总在在弧弧21,PP之之下下，则则称称曲曲线线 C 是是上上凸凸的的。xyo1P2P)(:xfyC 下凸下凸
37、凹凹上凸上凸凸凸66xyo)(xfy xyo)(xfy 1x2x221xx 221xx )2(21xxf)2(21xxf 2)()(21xfxf 2)()(21xfxf 1x2x实实际际上上，只只要要考考虑虑,21xx的的中中点点就就可可以以了了。2)()()2(2121xfxfxxf 下下凸凸：2)()()2(2121xfxfxxf 上上凸凸：67观察与思考：观察与思考：曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？拐点拐点下凸下凸上凸上凸当曲线是下凸的时，当曲线是下凸的时，f (x)单调增加。单调增加。当曲线是上凸的时，当曲线是上凸的时，f (x)单调
38、减少。单调减少。曲线凸性的判定曲线凸性的判定曲线下凸与上凸的分界点称为曲线的曲线下凸与上凸的分界点称为曲线的拐点拐点。68设函数设函数)(xf在在,ba上连续，在上连续，在),(ba内内二阶可导二阶可导.xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y定理定理(1 1)如如果果,0)(xf,),(bax 则则曲曲线线)(xfy 在在,ba上上是是下下凸凸的的；(2 2)如如果果,0)(xf,),(bax 则则曲曲线线)(xfy 在在,ba上上是是上上凸凸的的。证略。证略。69例例1 1.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 解解,32xy
39、,6xy 时，时，当当0 x,0 y；为为上上凸凸的的在在曲曲线线0,(时，时，当当0 x,0 y；在在为下凸的为下凸的曲线曲线),0.)0,0(是是曲曲线线的的拐拐点点点点x yO3xy 70.143 34及拐点及拐点的凹凸区间的凹凸区间求曲线求曲线 xxy例例2 2解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy,0 y令令.32,021 xx得得x)0,(),32()32,0(032)(xf )(xf 00下凸下凸上凸上凸下凸下凸拐点拐点拐点拐点)1,0()2711,32(71例例3 3解解拐点的求法：拐点的求法：1.1.找出二阶导数为零的点或不可导点；找出二阶导数为零的点或不
40、可导点；2.2.若它两侧的二阶导数值异号若它两侧的二阶导数值异号,则为则为拐点；若同号则不是拐点拐点；若同号则不是拐点.3的的拐拐点点求求曲曲线线xy ,0时时当当 x,3132 xy,9235 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx ,0,)0,(y内内但在但在,0,),0(y内内在在.)0,0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy 注意：注意：拐点要写出纵坐标。拐点要写出纵坐标。72例例4 4.32的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解当当0 x和和当当0 x时时,均均有有0 y,，3132 xy，3494 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx 故故)0,0(不不是
41、是拐拐点点.73P148 习题四习题四练习练习：74oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法第五节第五节 函数的极值与最值函数的极值与最值75设设函函数数)(xf在在0 x的的某某个个邻邻域域),(0 xU有有定定义义,且且当当),(0 xUx 时时,恒恒有有)()(0 xfxf,则则称称)(0 xf为为)(xf的的一一个个极极大大值值；如如果果当当),(0 xUx 时时,恒恒有有)()(0 xfxf,则则称称)(0 xf为为)(xf的的一一个个极极小小值值.定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极
42、值极值,使函数取得极值使函数取得极值的点称为的点称为极值点极值点.注注：极值是局部性的概念：极值是局部性的概念,极大值不一定比极小值大极大值不一定比极小值大.oxy0 xoxy0 x76定理定理1 1(极值的必要条件极值的必要条件)由费马引理可知，由费马引理可知，设设)(xf在在点点0 x可可导导，所以对可导函数来讲所以对可导函数来讲,极值点必为驻点。极值点必为驻点。但反之不然，驻点不一定是极值点但反之不然，驻点不一定是极值点.如如3xy 的的驻驻点点为为0 x,但但它它不不是是极极值值点点.x yO3xy 且且0 x是是)(xf的的极极值值点点，则则必必有有0)(0 xf。77如如|xy 在
43、在0 x处处不不可可导导,但但却却是是极极小小值值点点.此外此外,不可导点不可导点也可能是极值点也可能是极值点,x yO|xy 函数的不可导点也不一定是极值点，函数的不可导点也不一定是极值点，x yO3xy 如如3xy 在在0 x处处不不可可导导,却却不不是是极极值值点点.78 这就是说这就是说,极值点要么是极值点要么是驻点驻点,要么是要么是不可导点不可导点,两者必居其一两者必居其一.我们把驻点和孤立的不可导点统称为我们把驻点和孤立的不可导点统称为极值可疑点极值可疑点.下面给出两个充分条件下面给出两个充分条件,用来判别这些极值可疑点用来判别这些极值可疑点是否为极值点是否为极值点.79定理定理2
44、(2(极值的第一充分条件极值的第一充分条件)xyoxyo0 x0 x 设设函函数数)(xf在在0 x处处连连续续,在在0 x的的某某去去心心邻邻域域),(0 xU内内可可导导.(1)(1)若若),(00 xxx 时时,0)(xf,),(00 xxx时时,0)(xf,则则0 x为极大值点；为极大值点；(2 2)若若),(00 xxx 时时,0)(xf,),(00 xxx时时,0)(xf,则则0 x为极为极小小值点；值点；(3 3)如如果果在在上上述述两两个个区区间间内内)(xf 同同号号,则则 0 x不不是是极极值值点点.xyoxyo0 x0 x 一阶导数一阶导数变号法变号法80定理定理3(3(
45、极值的第二充分判别法极值的第二充分判别法)设设函函数数)(xf在在它它的的驻驻点点0 x处处二二阶阶可可导导,则则(1 1)如如果果0)(0 xf,则则 0 x为为极极小小值值点点；(2 2)如如果果0)(0 xf,则则 0 x为为极极大大值值点点；(3 3)如如果果0)(0 xf,则则无无法法判判断断.称为称为“二阶导数非零法二阶导数非零法”(1)(1)记忆记忆:几何直观；几何直观；(3)(3)当当0)(0 xf时时,失效失效,如如:43,xx在在0 x处处.xyo0 x xyo0 x 说明：说明：(2)(2)此此法只适用于驻点法只适用于驻点,不能用于判断不能用于判断不可导点；不可导点；81
46、例例1 1解法一解法一.593)(23的的极极值值求求函函数数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)(xf.3,121 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论x)1,(),3()3,1(1 3)(xf )(xf 00极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1(f极大值极大值,10,)3)(1(3 xx82例例1 1解法二解法二.593)(23的的极极值值求求函函数数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)(xf.3,121 xx得驻点得驻点,)3)(1(3 xx,66)(xxf )1(f,012 ；是极大值是极大值故故10)1(f )3(f,012 .22)3(是极小值是极小
47、值故故 f83例例2 2解解.)2(1)(32的的极极值值求求出出函函数数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在时时当当xfx 时，时，当当2 x;0)(xf时，时，当当2 x.0)(xf.)(1)2(的极大值的极大值为为xff.)(在该点连续在该点连续但函数但函数xfM84例例3 3解解.2,0cossin)(上上的的极极值值在在求求函函数数 xxxf ,sincos)(xxxf ，令令0)(xf.45,421 xx得得驻驻点点,cossin)(xxxf )4(f,02 ；是极大值是极大值故故2)4(f )45(f,02 .2)45(是极小值是极小值故故 f85例例
48、4 4解解.23)(32的的极极值值求求函函数数xxxf 列表讨论列表讨论x)0,(),1()1,0(01)(xf )(xf 无无0极大值极大值极小值极小值.21)1(f极小值极小值，极极大大值值0)0(f311)(xxf不不可可导导点点01 x,驻驻点点12 x,，311x 86例例5 5解解.ln1)(2的的极极值值求求函函数数xxxf xxxf12)(，令令0)(xf.22 x得得驻驻点点.22ln23)22(是极小值是极小值故故 f,122xx 注意定义域！注意定义域！导数左负右正，导数左负右正，87设设函函数数)(xyy 由由方方程程1222223 xxyyy所所确确定定，试试求求)
49、(xyy 的的驻驻点点，并并判判断断它它是是否否为为极极值值点点。化化为为0)1()1(223 xx，解解得得唯唯一一驻驻点点1 x，将将1 x，1)1(y，0 y代代入入，可可见见1 x是是隐隐函函数数)(xyy 的的极极小小值值点点.令令0 y,得得xy ,例例6 6解解 两边关于两边关于x求导求导,得得(1)0232 xyxyyyyy代代入入原原方方程程,得得 1223 xx,对对(1)(1)式再求导，得式再求导，得，012)26()23(22 yyyyxyy得得021 y，88 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3 3个，而个，而 x=0=
50、0 则是导数不存在的点则是导数不存在的点.三个一阶导数为三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在个极小值点，一个极大值点；在x=0=0左侧一阶导数为正，左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见右侧一阶导数为负，可见x=0=0为极大值点，故为极大值点，故f(x)共有共有两个极小值点和两个极大值点，应选两个极小值点和两个极大值点，应选(C).C).设函数设函数)(xf在在),(内连续，其导函数的图形内连续，其导函数的图形如图所示，则如图所示，则)(xf有有 例例7 7解解xyo(A)A)一个极小值点和两个
