1、系统建模与仿真系统建模与仿真System Modeling&Simulation第一章第一章 绪绪 论论第一章第一章 绪绪 论论1、系统、模型、仿真的基本概念；系统、模型、仿真的基本概念；2、系统仿真的历史、应用领域及、系统仿真的历史、应用领域及发展趋势；发展趋势；3、仿真的优缺点；、仿真的优缺点；4、以及仿真研究一般步骤。、以及仿真研究一般步骤。20世纪中期以来，随着计世纪中期以来，随着计算机技术的发展，仿真正算机技术的发展，仿真正在成为继理论研究、实验在成为继理论研究、实验研究之后的认识世界、改研究之后的认识世界、改造世界的造世界的“第三种手段第三种手段”。系统、模型与仿真系统、模型与仿真
2、一、系统一、系统“按照某些规律结合起来，互相作用、互相按照某些规律结合起来，互相作用、互相依存的所有实体的集合或总和依存的所有实体的集合或总和”。二、模型二、模型 模型是实际系统的抽象模型是实际系统模型是实际系统的抽象模型是实际系统的抽象的抽象 模型可分为两大类：模型可分为两大类：形象模型 抽象模型 v形象模型形象模型（Iconic Model）v 又称物理模型又称物理模型,是采用一定比例是采用一定比例尺按照真实系统的尺按照真实系统的“样子样子”制作，制作，与实物基本相似。与实物基本相似。抽象模型抽象模型(Abstract Model)是用符号、图表等来描述客观事物所建立的模型。抽是用符号、图
3、表等来描述客观事物所建立的模型。抽象模型又可分为：象模型又可分为：数学模型数学模型（Mathematics Model）用字母、数字、数学符号建立起来的公式、图表、图用字母、数字、数学符号建立起来的公式、图表、图像及框图等来描述客观事物的特征及其内在联系的模型。像及框图等来描述客观事物的特征及其内在联系的模型。仿真模型仿真模型（Simulation Model）也称模拟模型（也称模拟模型（Analog Model）用便于控制的一用便于控制的一组条件代表真实事物的特征，通过模仿性的试验来了解真组条件代表真实事物的特征，通过模仿性的试验来了解真实事物的规律。实事物的规律。概念模型概念模型（Conc
4、ept Model）是一类最抽象的模型是一类最抽象的模型。数学模型是系统模型中最主要和最常数学模型是系统模型中最主要和最常用的表示方式。用的表示方式。左图为一个流水线俯视图，同左图为一个流水线俯视图，同等大小的矩形工件排列在直道等大小的矩形工件排列在直道上，然后依次进入半径为上，然后依次进入半径为r的弯的弯道。每个工件中心进入弯道后，道。每个工件中心进入弯道后，整个工件绕弯道中心整个工件绕弯道中心S转动，转转动，转动时工件上每一点与动时工件上每一点与S的距离保的距离保持不变。在工件尺寸持不变。在工件尺寸a,b给定给定的条件下，的条件下，l与与r应满足何条件，应满足何条件，可使工件在运动过程中不
5、会相可使工件在运动过程中不会相撞？撞？2bl2a rS分相邻两工件均在弯道与分别位于分相邻两工件均在弯道与分别位于弯道和直道两种情况讨论。对于前弯道和直道两种情况讨论。对于前者有：者有：对于分别位于弯道和直道的情况，对于分别位于弯道和直道的情况，则有则有：brarrLlarctan2)(1brbrrbrarLlarctan2)(222lmglT2L=l1/C=gLCiLCT2 例如，一个长为例如，一个长为l，质量为，质量为m单摆，单摆的运动是简谐运动，其周期单摆，单摆的运动是简谐运动，其周期是是 由电感由电感L及电容及电容C构成的的电路系统，是一个构成的的电路系统，是一个 简谐振动，其周期为简
6、谐振动，其周期为 glT2LCT2 系统系统 模型模型计算机计算机建模建模仿真仿真 仿仿 真真仿真是一种基于模型的话动仿真是一种基于模型的话动仿真的三要素，即系统、模型、计算机。仿真的三要素，即系统、模型、计算机。开始开始 假设假设 构建仿真模型构建仿真模型 用模型仿真实验用模型仿真实验 假设正确？假设正确？结束结束NoYes 仿真实验过程示意图仿真实验过程示意图年年 代代 发展的主要特点发展的主要特点16001940在物理科学基础上的建模在物理科学基础上的建模20世纪世纪40年代年代电子计算机的出现电子计算机的出现20世纪世纪50年代中年代中期期仿真应用于航空领域仿真应用于航空领域20世纪世
7、纪60年代年代工业控制过程的仿真工业控制过程的仿真20世纪世纪70年代年代包括经济、社会和环境因素的大系统仿真包括经济、社会和环境因素的大系统仿真20世纪世纪70年代中年代中期期系统与仿真的结合，如用于随机网络建模的系统与仿真的结合，如用于随机网络建模的SLAM仿真系统仿真系统20世纪世纪70年代中年代中期期系统仿真与更高级的决策结合，如决策支持系统系统仿真与更高级的决策结合，如决策支持系统DSS20世纪世纪80年代中年代中期期集成化建模与仿真环境，如美国集成化建模与仿真环境，如美国Pritsker公司的公司的TESS建模仿真系建模仿真系统统20世纪世纪90年代年代可视化建模与仿真，虚拟现实仿
8、真，分布交互仿真可视化建模与仿真，虚拟现实仿真，分布交互仿真系统建模与仿真的发展历史及趋势系统建模与仿真的发展历史及趋势（1）面向对象仿真（）面向对象仿真（Object-oriented Simulation，OOS）（2）定性仿真（）定性仿真（Quanlitative Simulation，QS）（3）智能仿真（）智能仿真（Intelligence Simulation，IS）（4）分布交互仿真（）分布交互仿真（Distributed Interrative Simulation，DIS）（5）可视化仿真（）可视化仿真（Visul Simulation，VS）（6）多媒体仿真（）多媒体仿真（
9、Multimedia Simulation，MS）（7）虚拟现实仿真（）虚拟现实仿真（Virtual Reality Simulation，VRS）（8）Internet网上仿真网上仿真近年来系统仿真出现以下近年来系统仿真出现以下研究热点：研究热点：1.当问题可用普通方法解决时，不应使用仿真。当问题可用普通方法解决时，不应使用仿真。2.问题可得到解析解时，不应使用仿真。问题可得到解析解时，不应使用仿真。3.如果直接实验更为简单，不应使用仿真。如果直接实验更为简单，不应使用仿真。4.如果成本超过仿真节约的费用，不使用仿真。如果成本超过仿真节约的费用，不使用仿真。5.如果没有足够的资源，不使用仿真
10、。如果没有足够的资源，不使用仿真。6.如果没有足够的时间，不使用仿真。如果没有足够的时间，不使用仿真。7.如果无数据可用，甚至无法估计，则不建议使用仿真。如果无数据可用，甚至无法估计，则不建议使用仿真。8.如果没有足够的时间或无人可用，则仿真是不适合的。如果没有足够的时间或无人可用，则仿真是不适合的。9.如果对仿真有不合理的预期（如要求过多过快，或对如果对仿真有不合理的预期（如要求过多过快，或对仿真德能力被过高估计），则仿真是不适合的。仿真德能力被过高估计），则仿真是不适合的。10.如果系统行为太复杂或不可定义，则不适合使用仿如果系统行为太复杂或不可定义，则不适合使用仿真真不适合仿真的规则不适
11、合仿真的规则仿真的优点仿真的优点1、节省时间。、节省时间。2、节约资金。、节约资金。3、虚拟现实。、虚拟现实。4、规避风险。、规避风险。仿真的主要缺点：仿真的主要缺点：1、模型的建立需要特殊的培训。、模型的建立需要特殊的培训。2、结果可能难于解释。、结果可能难于解释。3、结果不能保证求得最优解，且不、结果不能保证求得最优解，且不能知道有多大的可能误差。能知道有多大的可能误差。4、建模和分析非常耗时，且成本高、建模和分析非常耗时，且成本高。1.问题描述问题描述发现问题本质，确定目标发现问题本质，确定目标。2.目标设定目标设定 研究所描述的问题和确定的目标是否适合用仿真的方法研究所描述的问题和确定
12、的目标是否适合用仿真的方法来解决来解决。3.模型概念化模型概念化根据系统运转机制或要素间相互依存、制约的逻辑关系，根据系统运转机制或要素间相互依存、制约的逻辑关系，建立模型结构。建立模型结构。5.模型翻译模型翻译 模型翻译就是将模型装换成计算机可识别的格式。模型翻译就是将模型装换成计算机可识别的格式。6.检验与验证检验与验证 检验是检查为仿真模型准备的计算机程序是否能正常检验是检查为仿真模型准备的计算机程序是否能正常运行。运行。仿真研究的步骤仿真研究的步骤7.实验设计实验设计 给出初始条件，确定仿真运行的长度以及需要重给出初始条件，确定仿真运行的长度以及需要重复的次数。复的次数。8.仿真运行与
13、分析仿真运行与分析分析用于估计仿真的系统设计的性能指标分析用于估计仿真的系统设计的性能指标 9.文档与报告生成文档与报告生成 有两种文档：程序和进展。程序文档便于用户随有两种文档：程序和进展。程序文档便于用户随意修改参数。进展报告提供记录完成的工作和作出意修改参数。进展报告提供记录完成的工作和作出决定时间。决定时间。10.实施实施 实施的成功取决于前面步骤地执行实施的成功取决于前面步骤地执行。问题表述问题表述目标设定与目标设定与项目计划项目计划模型概念化模型概念化数据收集数据收集模型翻译模型翻译检验过？检验过？验证过验证过？再运行？再运行？实验设计实验设计仿真运行仿真运行与分析与分析文档与报告
14、文档与报告实施实施是是是否否否是否仿真建模的过程可分为以下四个阶段：仿真建模的过程可分为以下四个阶段：第一阶段：问题的发现期或导向期，由问题描第一阶段：问题的发现期或导向期，由问题描述、目标设定和项目阶段计划；述、目标设定和项目阶段计划；第二阶段：建模和数据收集，模型翻译以及模第二阶段：建模和数据收集，模型翻译以及模型的检验与验证；型的检验与验证；第三阶段：模型的运行与分析，包括实验设计第三阶段：模型的运行与分析，包括实验设计、模型运行与分析；、模型运行与分析；第四阶段：实施阶段，包括文档和报告生成。第四阶段：实施阶段，包括文档和报告生成。第二章第二章 建模方法建模方法第二章第二章 建模方法建
15、模方法1、数学模型、数学模型2、建模的一般原则和步骤、建模的一般原则和步骤 3、建模的方法、建模的方法 数学模型是系统模型中最主要和最常数学模型是系统模型中最主要和最常用的表示方式。用的表示方式。一、数学模型及其作用一、数学模型及其作用 数学模型是科学研究中的一种重要方数学模型是科学研究中的一种重要方法。作为科学研究的一种重要方法。数学法。作为科学研究的一种重要方法。数学模型有：模型有：1、解释、解释、2、判断、判断 3、预见、预见数学模型数学模型放射性物质的处理问题放射性物质的处理问题 有一段时间，美国原子能委员会（现为核管理有一段时间，美国原子能委员会（现为核管理委员会）把浓缩放射性废物装
16、入密封性能很好的圆委员会）把浓缩放射性废物装入密封性能很好的圆桶，然后沉入桶，然后沉入300ft 300ft 的海里。这种处理方式很自然的海里。这种处理方式很自然地引起生态学家和社会各界的关注，这种处理方式地引起生态学家和社会各界的关注，这种处理方式安全吗？一些工程师认为放射性废物可能因圆桶与安全吗？一些工程师认为放射性废物可能因圆桶与海底相撞时破裂而泄漏，美国原子能委员会的有些海底相撞时破裂而泄漏，美国原子能委员会的有些专家则坚持认为这种处理方式绝对安全。专家则坚持认为这种处理方式绝对安全。美国原子能委员会的处理方法究竟是否安全？美国原子能委员会的处理方法究竟是否安全？V=40ft/s 工程
17、师进行大量破坏性实验，试验结果表明圆桶在速度工程师进行大量破坏性实验，试验结果表明圆桶在速度为为40ft/s的冲撞下会发生破裂。的冲撞下会发生破裂。圆桶沉入圆桶沉入300ft300ft海底时，其末速度为多大？海底时，其末速度为多大？300ft核废料泄漏BDWyDBwdtydm2vdtdyCvDgWm,)(BWWgvWCgdtdv)1()(tWCgeCBWtv86.713)(limCBWtvt圆桶重量圆桶重量W527.436磅，磅，B470.327，阻力，阻力D=Cv，C0.08 dtdydydvdtdvCvBWdydvdtdymWgyBWCvBWCBWCvln2v(300)45.1ft/s 4
18、0ft/s（破裂的临界速度破裂的临界速度）发现谷神星发现谷神星根据根据“提丢斯波德提丢斯波德”定则，当行星的轨道半径定则，当行星的轨道半径用天文单位表示时，太阳系的行星到太阳的轨道用天文单位表示时，太阳系的行星到太阳的轨道半径有公式半径有公式其中其中n分别等于分别等于1，0，1，2，4，5分别与分别与水星、水星、金星、地球、火星、木星和土星对应金星、地球、火星、木星和土星对应。为什么。为什么n=3时，没有行星与之对应？火星和木星之间是否还时，没有行星与之对应？火星和木星之间是否还有别的天体？有别的天体？)234(101nR太阳水星（1）金星（0）地球（1）火星（2）木星（4）土星（5）？（3）
19、谷神星（3）二、数学模型的分类二、数学模型的分类 1.根据模型的时间集合可分为连续时间根据模型的时间集合可分为连续时间模型和离散时间模型模型和离散时间模型 2.根据模型的状态变量可分为连续变化根据模型的状态变量可分为连续变化模型和离散变化模型模型和离散变化模型 连续变化的模型 状态变量的轨迹 连续时间模型 离散时间模型 模型的时间集合 离散变化的模型类类类类 连续模型和离散模型连续模型和离散模型 建模的一般原则和步骤建模的一般原则和步骤 一、建模的原则一、建模的原则1.可分离原则可分离原则 2.合理性原则合理性原则 3.因果性原则因果性原则 4.可测、可选择性原则可测、可选择性原则 可分离原则
20、可分离原则 系统中的实体之间存在不同程度系统中的实体之间存在不同程度的相互关联，但在系统分析中，绝大的相互关联，但在系统分析中，绝大部分联系可以忽略。系统的分离依赖部分联系可以忽略。系统的分离依赖于对系统的认识、环境的界定、因素于对系统的认识、环境的界定、因素的提炼以及约束条件与外部条件的设的提炼以及约束条件与外部条件的设定。定。合理性原则合理性原则 数学模型是对实际系统的抽象、数学模型是对实际系统的抽象、简化，这一过程建立合理假设的简化，这一过程建立合理假设的基础之上。假设的合理性直接关基础之上。假设的合理性直接关系到系统模型的真实性，系到系统模型的真实性，因果性原则因果性原则 对系统进行数
21、学描述，必须根据输对系统进行数学描述，必须根据输入量与输出量之间的因果关系来建立函入量与输出量之间的因果关系来建立函数关系，即必须遵循因果性原则。数关系，即必须遵循因果性原则。函数F（因果关系）输入输入X输出输出Y 可测、可选择性原则可测、可选择性原则 用数学形式表示系统的复合结构时，用数学形式表示系统的复合结构时，输入、输出量必须可获得和度量，否则输入、输出量必须可获得和度量，否则无法定量地描述系统。为此，输入、输无法定量地描述系统。为此，输入、输出量应可测量及可选择。出量应可测量及可选择。二、建模的步骤二、建模的步骤 1.准备准备 2.认识认识 3.建模建模 4.求解求解 5.分析与检验分
22、析与检验 准备阶段 系统认识阶段 系统建模 模型求解 分析、检验 模型使用模型不合适修改模型合格 系统愈复杂，涉及的因素愈多，所建系统愈复杂，涉及的因素愈多，所建的模型一般也愈复杂。但是模型并非愈复的模型一般也愈复杂。但是模型并非愈复杂愈好，而是要便于使用、便于有效地解杂愈好，而是要便于使用、便于有效地解决问题。故建模时，应综观全局，删繁就决问题。故建模时，应综观全局，删繁就简，使模型具有简明、用适当的形式。简，使模型具有简明、用适当的形式。对于复杂的系统，通常先用一个简略对于复杂的系统，通常先用一个简略的概图定性地描述，经过抽象、简化，使的概图定性地描述，经过抽象、简化，使模型摆脱原型的复杂
23、形态。对于有若干子模型摆脱原型的复杂形态。对于有若干子系统的系统，则确定子系统，明确它们之系统的系统，则确定子系统，明确它们之间的联系，描述并建立子系统的输入输出间的联系，描述并建立子系统的输入输出（I/O）关系。）关系。阐述系统的目标和问题阐述系统的目标和问题 用略图定型描述系统的结构、环境用略图定型描述系统的结构、环境 确定有关的成分、要素、变量和子系统作出确定有关的成分、要素、变量和子系统作出 分图表分图表 明他们之间的明他们之间的关系关系 简述子系统的简述子系统的I/O关系关系 确定子系统变量确定子系统变量模型假设以扩充或者模型假设以扩充或者 省省略略I/O关系关系说明关系的形式并构造
24、变说明关系的形式并构造变量关系式量关系式 推导模型方程推导模型方程 模型求解寻找最优或次优解模型求解寻找最优或次优解 数据测试作校验数据测试作校验 模型使用、研究系统性状模型使用、研究系统性状 复杂系统建模主要步骤复杂系统建模主要步骤 准备准备 建模的准备工作是：明确建模的建模的准备工作是：明确建模的对象、背景，建模目的或目标，建模对象、背景，建模目的或目标，建模要解决哪些问题，如何用模型来解决要解决哪些问题，如何用模型来解决问题。确定模型实现的方式是定性还问题。确定模型实现的方式是定性还是定量、模拟还是仿真。是定量、模拟还是仿真。认识认识（1）将目标表述为适合于建模的相应形）将目标表述为适合
25、于建模的相应形式；式；（2）拟定模型的规范，）拟定模型的规范，（3）模型要素的筛选和确定。）模型要素的筛选和确定。（4）模型关系的确定。找出模型中真正）模型关系的确定。找出模型中真正要做用的关系。将把模型要素与目标联系要做用的关系。将把模型要素与目标联系成为一个有机的整体，形成模型分析的基成为一个有机的整体，形成模型分析的基础。础。建模建模 建模的本质是在实际系统与模型之间建模的本质是在实际系统与模型之间建立一种关系建立一种关系。是将要素原型表示为要素。是将要素原型表示为要素变量，描述要素间的相互依存和相互依赖变量，描述要素间的相互依存和相互依赖关系，确定约束条件、目标与要素的关系，关系，确定
26、约束条件、目标与要素的关系，部分与部分、部分与整体的关系。部分与部分、部分与整体的关系。求解求解 用传统和现代的数学方法计算求解用传统和现代的数学方法计算求解模型得出结论，对复杂系统，计算机仿模型得出结论，对复杂系统，计算机仿真是最有力的工具之一。真是最有力的工具之一。分析与检验分析与检验1、分析模型是否符合要求，、分析模型是否符合要求，2、检验是否符合客观实际。、检验是否符合客观实际。往复循环，直至符合要求。往复循环，直至符合要求。建模的方法建模的方法 一、建模的方法论一、建模的方法论 二、常用建模方法二、常用建模方法 建模的方法论建模的方法论（一）归纳（一）归纳（二）演绎（二）演绎（三）类
27、比（三）类比（四）移植（四）移植 归纳归纳 归纳是从归纳是从个别个别的、的、特殊特殊的知识概括的知识概括出出一般一般性知识的方法性知识的方法,是以若干已知的不是以若干已知的不完全的现象推断未知现象，是从特殊的完全的现象推断未知现象，是从特殊的具体的认识推进到一般的抽象的认识的具体的认识推进到一般的抽象的认识的思维方式。思维方式。归纳又可分为完全归纳和不完全归归纳又可分为完全归纳和不完全归纳纳 长长的阶梯长长的阶梯 有一条长阶梯，如果每步跨两阶，最后剩下一阶：有一条长阶梯，如果每步跨两阶，最后剩下一阶：每步跨三阶，则最后剩两阶，每步跨四阶剩三阶，每步每步跨三阶，则最后剩两阶，每步跨四阶剩三阶，每
28、步跨五阶剩四阶，每步跨六阶剩五阶，如果每跨七阶正好跨五阶剩四阶，每步跨六阶剩五阶，如果每跨七阶正好跨完。这个阶梯最少有多少台阶？跨完。这个阶梯最少有多少台阶？从题目给的已知条件，可以列出以下情况：从题目给的已知条件，可以列出以下情况：2的倍数加的倍数加13、5、7119；3的倍数加的倍数加25、8、11119；4的倍数加的倍数加37、11、15119；5的倍数加的倍数加49、14、19119；6的倍数加的倍数加511、17、23119；7的倍数加的倍数加07、14、21、119。119多多 面面 体体面（面（F）顶点（顶点（V）棱棱(E)I立立 方方 体体 6 6 8 8 12 12II三三
29、棱棱 柱柱 5 5 6 6 9 9III五五 棱棱 柱柱 7 7 10 10 15 15IV方方 锥锥 5 5 5 5 8 8V三三 棱棱 锥锥 4 4 4 4 6 6VI五五 棱棱 锥锥 6 6 6 6 10 10VII八八 面面 体体 8 8 6 6 12 12VIII“塔顶塔顶”体体 9 9 9 9 16 16IX截角立方截角立方体体 7 7 10 10 15 15 多面体的顶点数、面数与棱数多面体的顶点数、面数与棱数 2161899“塔 顶”体IX21517107截角立方体VIII21517107五 棱 柱VII21214F68八 面 体VI2121486立 方 体V2101266五
30、棱 锥IV291165三 棱 柱III281055方 锥II26844三 棱 锥I F+V-E 棱(E)F+V 顶点（V）面（F）多 面 体F+V-E=2?!演演 绎绎 演绎是从演绎是从一般到个别的思维方式一般到个别的思维方式。从逻辑学的角度而言，从逻辑学的角度而言，演绎是思维演绎是思维的最高形式的最高形式。演绎可把特殊的情况。演绎可把特殊的情况明晰，揭露蕴涵的性质，有助科学明晰，揭露蕴涵的性质，有助科学的理论化和体系化。的理论化和体系化。ru ur0太阳行星示意图cos1epr)12222-e(a/a,bb pAr22132kaT假设1：假设2：假设3：rf m 假设4：jiujiucoss
31、insincosrrrur 万有定律的推导万有定律的推导 牛顿认为一切运动均有其力学原因，开普勒三定律的背后牛顿认为一切运动均有其力学原因，开普勒三定律的背后一定有某个力学规律在起作用，他如下构造数学模型分析解释。一定有某个力学规律在起作用，他如下构造数学模型分析解释。为便为便于分析推导，以太阳为原点建立极坐标（于分析推导，以太阳为原点建立极坐标（r,），向径），向径r 的终点表示行的终点表示行星的位置，以开普勒三定律和牛顿第二定律为基本假设，其数学形式是星的位置，以开普勒三定律和牛顿第二定律为基本假设，其数学形式是：ur rrujiuujiusincoscossinuuruur)2()(2
32、rrrrrrrr32/4/2rrArA 0/22/4222 rArrrArrrrrur)(2 sin2sin2epAeprr)1(4cos232prrAepAr rprAur224 类类 比比 类比是在两事物有某些属性相似类比是在两事物有某些属性相似或相异，并且已知其中一事物还具有或相异，并且已知其中一事物还具有或不具有其它属性的前提下，推出另或不具有其它属性的前提下，推出另一事物也具有成不具有其它属性的推一事物也具有成不具有其它属性的推理形式。理形式。lm02mgdtdml02lgdtdglT2LCii02CqdtqdL02LCqdtqdLCT2LCiilmglT2LCT2L=l1/C=gn
33、51544783344222211110直线被点分割的份数平面被直线分割的份数空间被平面分割的份数 分 成 几 部 分 分割元素的个数移移 植植 把一个或几个科学领域中的理论和行之把一个或几个科学领域中的理论和行之有效的研究方法、手段用于所研究的领有效的研究方法、手段用于所研究的领域，从而解决所研究问题中的疑难问题域，从而解决所研究问题中的疑难问题。l x agG0a/2 x 图237 针与平行线的位置关系sin2lx 0,20axaladlp221sin20anlN20lim,0pNnPNxx+xFF+FxFFxFFxxQXXQXXQQX市场营销活动弹性弹簧的弹性常用的建模方法常用的建模方法
34、（一）机理分析法（一）机理分析法（二）统计分析法（二）统计分析法（三）嫁接法（三）嫁接法 机理分析法机理分析法依据已知的原理对客观世界进依据已知的原理对客观世界进行数学描述的方法，常用的有行数学描述的方法，常用的有微分方程、差分方程、代数方微分方程、差分方程、代数方程、数学规划、图论等程、数学规划、图论等微分方程微分方程建立微分方程模型通常采用微元分析建立微分方程模型通常采用微元分析法，一般需经过以下步骤：法，一般需经过以下步骤：（1）翻译翻译。（2）建立瞬时关系建立瞬时关系。（3）确定单位量纲确定单位量纲。（4）确定条件确定条件。Hr1r2Bhh+hr 水面图v一个上下底半径分别为一个上下底
35、半径分别为r1和和r2，高为，高为H的圆锥型容器内盛的圆锥型容器内盛满了水，在容器底部有一面积满了水，在容器底部有一面积B B的小孔放水，研究任意的小孔放水，研究任意时刻的水的高度。时刻的水的高度。hrQ2131 sBQ2ghv2tghBhr2312 Q1Q2Q tvssvttghBhr2312ghBrth232ghrBghrBdtdht2323lim220 在十字路口的黄灯应亮多少时间？在十字路口的黄灯应亮多少时间？II+Lx(t)十字路口黄灯管理321TTTT02vLIT002|,0)0(vdtdxxfmgdtxdmt0vfgtdtdxfgvfgvvgfvfgtvfgttx22121)(2
36、000222010211fgvvLITT001v0T 图2313 黄灯亮的时间tvfgttx0221)(新产品销售新产品销售 新产品的新产品的“生命周期生命周期”（Product Life Cycle，PLC）曲线）曲线ttntnKrtn)()()()()()(tntnKrdttdn0)0(nnrtenKKtn)1(1)(0Kn(t)n0t Logistic模型曲线差分方程差分方程 一类最常见的离散型数学模型一类最常见的离散型数学模型,描述按离描述按离散时间变化的事物和现象。建立差分方散时间变化的事物和现象。建立差分方程的步骤与以上讨论的微分方程建模步程的步骤与以上讨论的微分方程建模步骤基本相
37、同，其区别在于无需建立瞬时骤基本相同，其区别在于无需建立瞬时关系，而用差分替代微分。关系，而用差分替代微分。借款问题借款问题设期初借款为设期初借款为P(0)，在每期（如年或月），在每期（如年或月）末应偿还的金额为末应偿还的金额为R。P(n+1)为第为第n+1期期开始时欠款的总数，则应等于开始时欠款的总数，则应等于P(n)加利息加利息减去偿还减去偿还R，即，即 RnkPnP)()1(rk1RnrPnP)()(当当 时欠款增长，当时欠款增长，当 时欠款时欠款减少，若对某减少，若对某m，有，有 ，则，则rRnp)(rRnp)(rRmp)(rRnp)(在实际问题中，还款往往是根据贷款方的经济在实际问题
38、中，还款往往是根据贷款方的经济实力变动，即视贷款方的时运而变，因而还款实力变动，即视贷款方的时运而变，因而还款是波动的，记是波动的，记RR(n)，于是有一阶差分方程，于是有一阶差分方程：)()()1(nRnkPnPniininRkPknP01)()0()1(rRkPkkkRPkkRPknPnnnnniin)1()0(11)0()0()1(111101 若贷款额若贷款额P(0)=50000,月利率月利率r=1%，按月计，按月计息，显然要想还清贷款，必须息，显然要想还清贷款，必须R500，假如取，假如取R750，当每年末的欠款数取最接近的整数计算，当每年末的欠款数取最接近的整数计算时，有下表时，有
39、下表：每年年末欠款数每年年末欠款数由表可知，每月还款由表可知，每月还款R750，有望在，有望在9年零年零3个个月还清贷款月还清贷款。n1224364860728496108P(n)46829432573923034649295832382317332100181777 交战问题交战问题 有红、兰两支队伍交战，假设在有红、兰两支队伍交战，假设在n个时间单位后，两支队伍的个时间单位后，两支队伍的人数分别是人数分别是x(n)和和y(n)，红军的每个士兵在每个时间间隔打死打伤兰，红军的每个士兵在每个时间间隔打死打伤兰军军a个士兵，兰军的每个士兵在每个时间间隔打死打伤红军个士兵，兰军的每个士兵在每个时间
40、间隔打死打伤红军b个士兵个士兵。)()()1()()()()1()(naynxnxnxnbxnynyny)()()1()()()1(naynxnxnbxnyny)()()(nynxnP)()1(nAPnP11abA)0()(PAnPn代数方程代数方程 根据所讨论问题、现象的运行机制，利根据所讨论问题、现象的运行机制，利用代数（包括线性代数）、递推关系、概率用代数（包括线性代数）、递推关系、概率论等知识建立相应数学模型。论等知识建立相应数学模型。森林管理森林管理 森林中的树木每年都要有一批被砍伐出售，为使森林不森林中的树木每年都要有一批被砍伐出售，为使森林不被耗尽且每年有所收获，每当砍伐一颗树时
41、，应就地补种被耗尽且每年有所收获，每当砍伐一颗树时，应就地补种一颗幼苗，使森林总数保持不变。被出售树木的价值取决一颗幼苗，使森林总数保持不变。被出售树木的价值取决于其高度，森林中的树木有不同的高度，能否寻找一个方于其高度，森林中的树木有不同的高度，能否寻找一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，获得最大的经案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，获得最大的经济效益。济效益。nggg10001000121G)()(titGXXnyyy21Y000000111R)()1(nnXRYYGX111122133223221121132nnnnnnnnnxgyxgxgyxgxgyxgxgyxgyyy01
42、122332211nnnnxgxgxgxgxg1112223112332232)()(),(nnnnnnnxgppxgppxgpypypypyyyf数学规划数学规划许多工程、技术和管理问题可归许多工程、技术和管理问题可归结为数学规划问题。常用的数学结为数学规划问题。常用的数学规划有线性规划、非线性规划、规划有线性规划、非线性规划、动态规划、整数规划、目标规划动态规划、整数规划、目标规划等。等。投资决策问题投资决策问题 某钢铁厂准备用某钢铁厂准备用5000万元用于万元用于A、B两个项目校改进行两个项目校改进行投资设投资设xl、x2分别表示分配给项目分别表示分配给项目A、B的投资据专家的投资据专家
43、预估，投资项目预估，投资项目A、B的年收益分别为的年收益分别为20和和16同时，同时，投资后总的风险损失将随着总投资和单项投资的增加而增投资后总的风险损失将随着总投资和单项投资的增加而增加，已知总的风险损失为加，已知总的风险损失为2x12+2x22+(x1+x2)2。应如何分配。应如何分配资金，才能使期望的收益最大，问时使风险损大为最小。资金，才能使期望的收益最大，问时使风险损大为最小。目标函数目标函数 Max Max f(z)2020 x1 十十 16 16 x2 22x12+2 2x22+(x1+x2)2 约束条件约束条件 0,05000)(21211xxxxzg取取1则数学模型为：则数学
44、模型为：目标函数目标函数 Max f(z)20 x1 十十 16x2 2x12+2x22+(x1+x2)2 约束条件约束条件 这是一个非线性规划问题。这是一个非线性规划问题。0,05000)(21211xxxxzg 有资金和库容约束的最佳批量有资金和库容约束的最佳批量 假设假设n种产品的年需求量、订货量及单价分种产品的年需求量、订货量及单价分别为别为Ri，Qi，Ci，i=1，2,，n；K表示实施表示实施一次订货的固定费用；一次订货的固定费用；F表示库存费用系数表示库存费用系数（0F1），即），即FCi表示第表示第i种产品的单位储存种产品的单位储存费；费；J，W分别表示可用资金和库容总量；分别表
45、示可用资金和库容总量；wi表表示第示第i种产品第种产品第i种产品的单位库存占用。研究种产品的单位库存占用。研究在给定资金和库容总量的情况下，如何使费用在给定资金和库容总量的情况下，如何使费用最少。最少。iiiiiiiQFCCQKQRy2iiiiiQFCKQRy2niiiiiQFCKQRy1202.2111iniiiniiiniiiiiQWQwQCtsQFCKQRMiny 存储控制问题存储控制问题 假设已对某种产品在特定时期内的需求作出预计，且希望决定每个假设已对某种产品在特定时期内的需求作出预计，且希望决定每个时期的产量，可以最小的成本满足需求。时期的产量，可以最小的成本满足需求。令时期数，令
46、时期数，n=1,，2，3，N Dn第第n时期产品的需求量时期产品的需求量 xn第第n时期开始时产品的库存量时期开始时产品的库存量 dn第第n时期产品的计划产量时期产品的计划产量 Pn第第n时期产品的实际生产能力时期产品的实际生产能力 Wn第第n时期开结束时产品的库存容量时期开结束时产品的库存容量 Cn第第n时期产品的生产成本时期产品的生产成本 Hn第第n时期产品的库存成本时期产品的库存成本则第则第n个时期生产、储存的状态转移方程（见图个时期生产、储存的状态转移方程（见图2314）是：期末库）是：期末库存期初库存本期生产需求，即存期初库存本期生产需求，即 时期n DnPnWndn xnxn+1
47、R(xn,dn)nnnnDdxx1)(),(1nnnnnnnnnnnnDdxHdCxHdCdxRnnnnWDdxnnPd nnnDdxnnPd 月份月份需求需求 能能 力力 成成 本本 生产能力生产能力库容库容生产成本生产成本库存成本库存成本123233323235175150200303040假设假设1月份的初始库存为月份的初始库存为1个产品单位个产品单位 1月份月份 2月份月份 3月份月份D1=2P1=3x1=1 x2x3x4W1=2 d1=?D2=3 P2=2 W2=3 d2=?D3=3P3=3 W3=2d3=?R1(x1,d1)R2(x2,d2)R3(x3,d3)生产库存控制的生产库存
48、控制的3阶段动态规划问题阶段动态规划问题k=3时有 12040240)(40200),(min333333333xdDdxddxR ）（）（）满足需求3生产产约3库存约束(5.33333dxddxtsx3d3f3(x3)=R3(x3,d3)=240d3+40 x3-1201234012332106004002000k=2时，成本函数为 R2(x2,d2)150 d2+30(x2+d2-3)=180 d2+30 x2-90，d2x2x3 x2d2-3R2(x2,d2)d2f3(x3)f2(x2)=R2(x2,d2)+f3(x3)0 1 20 1 20 1 2012 0 0 1 300 150 3
49、30022600400 900 750 730k=1时，成本函数为 R1(x1,d1)175 d2+30(x1+d1-2)205d2+30 x1-60 计算表格d1x1x2 x1d1-2R1(x1,d1)d1f2(x2)f1(x1)=R1(x1,d1)+f2(x2)0 1 2 30 1 2 3120 1 2 31 1 2 380 58523900730 1280 1315月份初始库存产量生产成本期末库存库存成本每月总成本1231102233503006001003000380300600总计1250301280最优策略图论方法图论方法 有时事物和现象间的联系与变化有时事物和现象间的联系与变化仅
50、有或无两种情况，如仅有或无两种情况，如A事件发生，事件发生，则则B事件也发生；或事件也发生；或A事件达到某一事件达到某一阈值时，阈值时，B事件就发生等，是二元事件就发生等，是二元关系。此时可采用图论的方法建模关系。此时可采用图论的方法建模。连锁店配送车辆的行车路线连锁店配送车辆的行车路线 在一个城市的连锁店，某些商品或原料采用由配送中心在一个城市的连锁店，某些商品或原料采用由配送中心每天（或数天）配送的供货方式。在一辆送货车装载量能满每天（或数天）配送的供货方式。在一辆送货车装载量能满足的前提下，合理地安排到各连锁店的运货路线，可使运营足的前提下，合理地安排到各连锁店的运货路线，可使运营效率最
