1、第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分一、问题的提出一、问题的提出二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的概念三、对弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算四、几何与四、几何与物理意义物理意义五、小结五、小结 思考题思考题一、问题的提出实例实例:曲线形构件的质量曲线形构件的质量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L.sM 匀质之质量匀质之质量分割分割,121insMMM ,),(iiis 取取.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 取极限取极限.),(lim10 niiiisM 近似值近似值精确值精确值二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线
2、积分的概念,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL并作和并作和作乘积作乘积点点个小段上任意取定的一个小段上任意取定的一为第为第又又个小段的长度为个小段的长度为设第设第个小段个小段分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数面内一条光滑曲线弧面内一条光滑曲线弧为为设设1.定义定义oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L.),(lim),(,),(,),(,010 niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf即即记作记作线积分线积分第一类曲第一类曲上对弧长的曲线积分或上对弧长的曲线积分或在曲线弧在曲线
3、弧则称此极限为函数则称此极限为函数这和的极限存在这和的极限存在时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段的如果当各小弧段的被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量.),(LdsyxM 2.存在条件：存在条件：.),(,),(存在存在对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当 LdsyxfLyxf3.推广推广曲线积分为曲线积分为上对弧长的上对弧长的在空间曲线弧在空间曲线弧函数函数),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 注意：注意：)(,)(.121LLLL 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),
4、(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(.2 LdsyxfLyxf曲线积分记为曲线积分记为上对弧长的上对弧长的在闭曲线在闭曲线函数函数4.性质性质.),(),(),(),()1(LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为常数为常数kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL 三、对弧长曲线积分的计算定理定理)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且且上具有一阶连续导数上具有一阶连续导
5、数在在其中其中的参数方程为的参数方程为上有定义且连续上有定义且连续在曲线弧在曲线弧设设注意注意:;.1 一定要小于上限一定要小于上限定积分的下限定积分的下限.,),(.2而是相互有关的而是相互有关的不彼此独立不彼此独立中中yxyxf特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba 推广推广:)().(),(),(:ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf.)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc 例例1.)2,1()2,1(,4:,2一段一段到
6、到从从其中其中求求 xyLydsIL解解dyyyI222)2(1 .0 例例3)20(.,sin,cos:,的一段的一段其中其中求求kzayaxxyzdsI解解.21222kaka dkaka222sincos 20Ixy42 例例4 .0,22222zyxazyxdsxI为圆周为圆周其中其中求求解解 由对称性由对称性,知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圆周长球面大圆周长 dsa四、几何与物理意义,),()1(的线密度时的线密度时表示表示当当Lyx;),(LdsyxM;,1),()2(LdsLyxf弧长弧长时时当当,),(),
7、()3(处的高时处的高时柱面在点柱面在点上的上的表示立于表示立于当当yxLyxf.),(LdsyxfS柱面面积柱面面积sL),(yxfz ,)4(轴的转动惯量轴的转动惯量轴及轴及曲线弧对曲线弧对yx.,22 LyLxdsyIdsxI 曲线弧的重心坐标曲线弧的重心坐标)5(.,LLLLdsdsyydsdsxx 五、小结1.1.对弧长曲线积分的概念对弧长曲线积分的概念2.2.对弧长曲线积分的计算对弧长曲线积分的计算3.3.对弧长曲线积分的应用对弧长曲线积分的应用思考题思考题对弧长的曲线积分的定义中对弧长的曲线积分的定义中 的符号的符号可能为负吗？可能为负吗？iS 思考题解答思考题解答iS 的符号永
8、远为正，它表示弧段的长度的符号永远为正，它表示弧段的长度.一、一、填空题填空题:1 1、已知曲线形构件已知曲线形构件L的线密度为的线密度为),(yx,则则L的质量的质量M=_；2 2、Lds=_；3 3、对对_的曲线积分与曲线的方向无关；的曲线积分与曲线的方向无关；4 4、Ldsyxf),(=dtttttf)()()(),(22中要中要求求 _.二、二、计算下列求弧长的曲线积分计算下列求弧长的曲线积分:1 1、Lyxdse22,其中其中L为圆周为圆周222ayx ,直线直线xy 及及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；练习题练习题 2 2、yzdsx2
9、,其中其中L为折线为折线ABCD,这里这里DCBA,依次为点依次为点(0,0,0)(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)；3 3、Ldsyx)(22,其中其中L为曲线为曲线 )cos(sin)sin(costttaytttax )20(t；4 4、计算、计算 Ldsy,其中其中L为双纽线为双纽线 )0()()(222222 ayxayx.三、设螺旋形弹簧一圈的方程为三、设螺旋形弹簧一圈的方程为taxcos,taysin,ktz ,其中其中 20t,它的线密度它的线密度222),(zyxzyx ,求求:1 1、它关于、它关于Z
10、轴的转动轴的转动ZI惯惯量量；2 2、它的重心、它的重心.练习题答案练习题答案一、一、1 1、Ldsyx),(；2 2、的的弧弧长长L；3 3、弧长；、弧长；4 4、.二、二、1 1、2)42(aea；2 2、9 9；3 3、)21(2232 a；4 4、)22(22 a.三、三、)43(32222222kakaaIz ；2222436kaakx ；2222436kaaky ；22222243)2(3kakakz .第二节第二节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分一、问题的提出一、问题的提出二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念三、对坐标曲线积分的计算三、对坐标曲线积分的计算四、小
11、结四、小结 思考题思考题oxyABL一、问题的提出1 nMiM1 iM2M1Mix iy 实例实例:变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),(常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn .)()(1jyixMMiiii .ABFW 求和求和.),(),(1 niiiiiiiyQxP 取极限取极限.),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精确值精确值,),(),(),(jQiPFiiiiii 取取,),(1iiiiiMMFW .),(),(iiiiiiiyQxPW 即即 niiW
12、W1oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 二、对坐标的曲线积分的概念,0.),(,).,;,2,1(),(,),(),(.),(),(,11101111222111时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段如果当各小弧段上任意取定的点上任意取定的点为为点点设设个有向小弧段个有向小弧段分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数向光滑曲线弧向光滑曲线弧的一条有的一条有到点到点面内从点面内从点为为设设 iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL1.定义定义.),(lim),(,(),(,),
13、(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP 记作记作或称第二类曲线积分）或称第二类曲线积分）积分积分的曲线的曲线上对坐标上对坐标在有向曲线弧在有向曲线弧数数则称此极限为函则称此极限为函的极限存在的极限存在类似地定义类似地定义.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ ,),(),(叫做被积函数叫做被积函数其中其中yxQyxP.叫积分弧段叫积分弧段L2.存在条件：存在条件：.,),(),(第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当LyxQyxP3.组合形式组合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(
14、.,jdyidxdsjQiPF 其中其中.LdsF4.4.推广推广 空间有向曲线弧空间有向曲线弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP .RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 5.5.性质性质.,)1(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则则和和分成分成如果把如果把则则有向曲线弧有向曲线弧方向相反的方向相反的是与是与是有向曲线弧是有向曲线弧设设,)2(LLL 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP
15、),(),(),(),(三、对坐标的曲线积分的计算,),(),(,0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在则曲线积分则曲线积分且且续导数续导数一阶连一阶连为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及在以在以运动到终点运动到终点沿沿的起点的起点从从点点时时到到变变单调地由单调地由当参数当参数的参数方程为的参数方程为续续上有定义且连上有定义且连在曲线弧在曲线弧设设 LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),(且且特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxy
16、yL，终点为，终点为起点为起点为.)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 则则.)(:)2(dcyyxxL，终点为，终点为起点为起点为.),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 则则.,)()()(:)3(终点终点起点起点推广推广ttztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),(4)两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：,)()(tytxL ：设有向平面曲线弧为设有向平面曲线弧为,),(为为处的切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点上点yxL LLdsQPQdyPdx
17、)coscos(则则其中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt （可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ）,),(为为处的切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点上点zyx dsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(则则 dstA rdA,dsAt可用向量表示可用向量表示，其中其中,RQPA ,cos,cos,cos t,dzdydxdstrd 有向曲线元；有向曲线元；.上的投影上的投影在向量在向量为向量为向量tAAt处的单位切向量处的单位切向量上点上点),(zyx 例例1.)1,1()1,1(,2的一段弧的一段弧到到上从上从为抛物线为抛物线其中其中计
18、算计算BAxyLxydxL 解解的定积分，的定积分，化为对化为对x)1(.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1,1(A)1,1(B的定积分，的定积分，化为对化为对y)2(,2yx ABLxydxxydx 1122)(dyyyy.11到到从从 y 1142dyy.54 xy 2)1,1(A)1,1(B.)0,()0,()2(;)1(,2的直线段的直线段轴到点轴到点沿沿从点从点的上半圆周的上半圆周针方向绕行针方向绕行、圆心为原点、按逆时、圆心为原点、按逆时半径为半径为为为其中其中计算计算aBxaAaLdxyL 例例2解解,si
19、ncos:)1(ayaxL，变到变到从从 0)0,(aA)0,(aB 0原式原式 daa)sin(sin22)0,(aA)0,(aB .343a ,0:)2(yL，变到变到从从aax aadx0原式原式.0 问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同.03a)(cos)cos1(2 d 例例3).1,1(),0,1()0,0(,)3(;)1,1()0,0()2(;)1,1()0,0()1(,2222依次是点依次是点，这里，这里有向折线有向折线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛
20、物线为为其中其中计算计算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0,1(A)1,1(B解解.)1(的积分的积分化为对化为对 x,10,:2变到变到从从xxyL 1022)22(dxxxxx原式原式 1034dxx.1)0,1(A)1,1(B2yx .)2(的积分的积分化为对化为对 y,10,:2变到变到从从yyxL 1042)22(dyyyyy原式原式 1045dxy.1)0,1(A)1,1(B)3(ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式原式,上上在在 OA,10,0变到变到从从xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA.0,上上在在 AB,10,1变到变
21、到从从yx 102)102(2dyydyxxydxAB.1 10 原原式式.1)0,1(A)1,1(B问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同路径不同而积分结果相同.四、小结1对坐标曲线积分的概念对坐标曲线积分的概念2对坐标曲线积分的计算对坐标曲线积分的计算3两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系思考题思考题 当曲线当曲线L的参数方程与参数的变化范围给定的参数方程与参数的变化范围给定之后之后（例如（例如L：taxcos，taysin，2,0 t，a是正常数），试问如何表示是正常数），试问如何表示L的方的方向向（如（如L表示为顺
22、时针方向、逆时针方向）？表示为顺时针方向、逆时针方向）？思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.例如例如L：taxcos，taysin，2,0 t中中当当t从从 0 变变到到 2时时，L取取逆逆时时针针方方向向;反反之之当当t从从 2变变到到 0 时时，L取取顺顺时时针针方方向向.一、一、填空题填空题:1 1、对对_的曲线积分与曲线的方向有关；的曲线积分与曲线的方向有关；2 2、设设0),(),(dyyxQdxyxPL,则则 LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(_；3 3、在公式在公式 dyyxQdxyxPL),(),(dt
23、tttQtttP)()(,)()()(,)(中中,下下 限限对应于对应于L的的_点点,上限上限 对应于对应于L的的_点；点；4 4、两类曲线积分的联系是、两类曲线积分的联系是_ _.练练 习习 题题二、二、计算下列对坐标的曲线积分计算下列对坐标的曲线积分:1 1、Lxydx,L其中其中为圆周为圆周)0()(222 aayax及及 x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按按 逆时针方向绕行逆时针方向绕行)；2 2、Lyxdyyxdxyx22)()(,L其中其中为圆周为圆周 222ayx (按逆时针方向饶行按逆时针方向饶行)；3 3、ydzdydx,其中为
24、有向闭折线其中为有向闭折线ABCD,这里这里 的的CBA,依次为点依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)；4 4、ABCDAyxdydx,其中其中ABCDA是以是以)0,1(A，)1,0(B,)0,1(C,)1,0(D为顶点的正方形正向边界线为顶点的正方形正向边界线.三、三、设设z轴与重力的方向一致轴与重力的方向一致,求质量为求质量为m的质点从位的质点从位置置),(111zyx沿直线移到沿直线移到),(222zyx时重力所作时重力所作的功的功.四、四、把对坐标的曲线积分把对坐标的曲线积分 LdyyxQdxyxP),(),(化成化成对
25、弧长的积分对弧长的积分,L其中其中为为:1 1、在在xoy面内沿直线从点面内沿直线从点(0,0)(0,0)到点到点(1,1)(1,1)；2 2、沿抛物线沿抛物线2xy 从点从点(0,0)(0,0)到点到点(1,1)(1,1)；3 3、沿上半圆周沿上半圆周xyx222 从点从点(0,0)(0,0)到点到点(1,1).(1,1).练习题答案练习题答案一、一、1 1、坐标；、坐标；2 2、-1-1；3 3、起、起,点；点；4 4、dzRQdyPdx dsRQP)coscoscos(.二、二、1 1、;23a 2 2、2；3 3、21；4 4、0 0.三、三、)(,0,012zzmgWmgF .四四、
26、1 1、LdyyxQdxyxP),(),(LdsyxQyxP2),(),(；2 2、LdyyxQdxyxP),(),(LdsxyxxQyxP241),(2),(；3 3、LdyyxQdxyxP),(),(LdsyxQxyxPxx),()1(),(22.第三节第三节 格林公式格林公式一、问题的提出一、问题的提出二、二、格林公式格林公式三、简单应用三、简单应用四、小结四、小结 思考题思考题一、区域连通性的分类 设设D为平面区域为平面区域,如果如果D内任一闭曲线所内任一闭曲线所围成的部分都属于围成的部分都属于D,则称则称D为平面单连通区为平面单连通区域域,否则称为复连通区域否则称为复连通区域.复连通
27、区域复连通区域单连通区域单连通区域DD 设空间区域设空间区域G,如果如果G内任一闭曲面所围成内任一闭曲面所围成的区域全属于的区域全属于G,则称则称G是空间二维单连通域是空间二维单连通域;如果如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面的曲面,则称则称G为空间一维单连通区域为空间一维单连通区域.GGG一维单连通一维单连通二维单连通二维单连通一维单连通一维单连通二维不连通二维不连通一维不连通一维不连通二维单连通二维单连通 设闭区域设闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线L围围成成,函数函数),(),(yxQyxP及及在在D上具有一阶连上具有一阶连续偏导数续偏导数
28、,则有则有 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(1)(1)其中其中L是是D的取正向的边界曲线的取正向的边界曲线,公式公式(1)(1)叫做叫做格林公式格林公式.二、格林公式定理定理1 1连成连成与与由由21LLL组成组成与与由由21LLL边界曲线边界曲线L L的正向的正向:当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区区域域D总在他的左边总在他的左边.2LD1L2L1LD),()(),(21bxaxyxyxD 证明证明(1)(1)若区域若区域D既是既是 X型型又是又是 Y型型,即平行于即平行于坐标轴的直线和坐标轴的直线和L至至多交于两点多交于两点.),()(),(21dycyxyyxD yxo a
29、bDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx dxxQdydxdyxQyydcD )()(21 dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),(EACCBEdyyxQdyyxQ),(),(LdyyxQ),(同理可证同理可证 LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yx DcCE)(1yx 若若区区域域D由由按按段段光光滑滑的的闭闭曲曲线线围围成成.如如图图,证明证明(2)(2)L1L2L3LD1D2D3D两式相加得两式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(将将D分成三个既是分成三个既是 X型又是型又是 Y型的区域型的区域1
30、D,2D,3D.321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ 321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx LQdyPdx1D2D3DL1L2L3L),(32,1来说为正方向来说为正方向对对DLLLGD3L2LFCE1LAB证明证明(3)(3)若区域不止由一条闭曲若区域不止由一条闭曲线所围成线所围成.添加直线段添加直线段ABAB,CECE.则则D的边界曲线由的边界曲线由ABAB,2L,BA,BA,AFC,CEAFC,CE,3L,ECEC及及CGACGA构成构成.由由(2)知知 DdxdyyPxQ)(CEAF
31、CBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3 LQdyPdx 231)(LLLQdyPdx),(32,1来说为正方向来说为正方向对对DLLL便便于于记记忆忆形形式式:LDQdyPdxdxdyQPyx.格格林林公公式式的的实实质质:沟沟通通了了沿沿闭闭曲曲线线的的积积分分与与二二重重积积分分之之间间的的联联系系.xyoL例例 1 1 计算计算 ABxdy,其中曲其中曲线线AB是半径为是半径为r的圆在的圆在第一象限部分第一象限部分.解解 引引入入辅辅助助曲曲线线L,1.1.简化曲线积分简化曲线积分三、简单应用ABDBOABOAL 应应用用格格林林公公式式,xQP ,0 有有 LDxdydxdy,
32、BOABOAxdyxdyxdy,0,0 BOOAxdyxdy由于由于.412rdxdyxdyDAB 例例 2 2 计计算算 Dydxdye2,其其中中D是是以以)1,0(),1,1(),0,0(BAO为为顶顶点点的的三三角角形形闭闭区区域域.解解 令令2,0yxeQP ,2.2.简化二重积分简化二重积分xyoAB11D则则 2yeyPxQ ,应应用用格格林林公公式式,有有 BOABOAyDydyxedxdye22 1022dxxedyxexOAy).1(211 e例例3 3 计算计算 Lyxydxxdy22,其中其中L为一条无重点为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线分段光滑且不经过原
33、点的连续闭曲线,L的方的方向为逆时针方向向为逆时针方向.则则当当022 yx时时,有有yPyxxyxQ 22222)(.记记L所所围围成成的的闭闭区区域域为为D,解解令令2222,yxxQyxyP ,L(1 1)当当D)0,0(时时,(2)当当D)0,0(时时,1DrlxyoLD由由格格林林公公式式知知 Lyxydxxdy022作作位位于于D内内圆圆周周 222:ryxl ,记记1D由由L和和l所所围围成成,应应用用格格林林公公式式,得得yxo lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222 lLyxydxxdyyxydxxdy(其其 中中l的的 方方 向向取取逆逆时时
34、针针方方向向).2 (注意格林公式的条件注意格林公式的条件)drrr22222sincos 20格林公式格林公式:LDQdyPdxdxdyyPxQ)(取取,xQyP 得得 LDydxxdydxdy2闭闭区区域域D的的面面积积 LydxxdyA21.取取,0 xQP 得得 LxdyA取取,0,QyP 得得 LydxA3.3.计算平面面积计算平面面积曲线曲线AMO由函数由函数,0,axxaxy 表示表示,例例 4 4 计计算算抛抛物物线线)0()(2 aaxyx与与x轴轴所所围围成成的的面面积积.解解ONA为为直直线线0 y.LydxxdyA21 AMOONAydxxdyydxxdy2121)0,
35、(aANM AMOydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210 .61420adxxaa )0,(aANM四、小结1.1.连通区域的概念连通区域的概念;2.2.二重积分与曲线积分的关系二重积分与曲线积分的关系3.3.格林公式的应用格林公式的应用.格林公式格林公式;LDQdyPdxdxdyyPxQ)(若区域若区域 如图为如图为复连通域，试描述格复连通域，试描述格林公式中曲线积分中林公式中曲线积分中L的方向。的方向。LDQdyPdxdxdyyPxQoxyABCDEFG思考题思考题思考题解答思考题解答oxyABCDEFG由两部分组成由两部分组成L外外边界：边界：内内边界：边界：BCDA
36、BEGFE第四节第四节 格林公式的应用格林公式的应用一、问题的提出一、问题的提出二、曲线积分与路径无关的条件二、曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积三、二元函数的全微分求积四、小结四、小结 思考题思考题Gyxo 1LQdyPdx则则称称曲曲线线积积分分 LQdyPdx在在G内内与与路路径径无无关关,一、曲线积分与路径无关的定义 2LQdyPdx1L2LBA如果在区域如果在区域G内有内有 否否则则与与路路径径有有关关.二、曲线积分与路径无关的条件 设开区域设开区域G是一个单连通域是一个单连通域,函数函数),(),(yxQyxP在在G内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数,则曲线积分
37、则曲线积分 LQdyPdx在在G内与路径无关内与路径无关（或沿（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充内任意闭曲线的曲线积分为零）的充要条件是要条件是xQyP 在在G内恒成立内恒成立.定理定理2 2(1)开开区区域域G是是一一个个单单连连通通域域.(2)函函数数),(),(yxQyxP在在G内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数.两条件缺一不可两条件缺一不可有关定理的说明：有关定理的说明：三、二元函数的全微分求积三、二元函数的全微分求积 设开区域设开区域G是一个单连通域是一个单连通域,函数函数),(),(yxQyxP在在G内具有一阶连续偏导内具有一阶连续偏导数数,则则dyyxQdxyxP),
38、(),(在在G内为某一内为某一函数函数),(yxu的全微分的充要条件是等式的全微分的充要条件是等式xQyP 在在G内恒成立内恒成立.定理定理3 3xQyP 若若 ),(),(1100yxByxAQdyPdx则则dyyxQdxyxPyyxx),(),(101010 ),(01yxC),(11yxB xyo),(00yxA dxyxPdyyxQxxyy),(),(101010 或或例例 1 1 计计算算 Ldyyxdxxyx)()2(422.其其中中L为为由由点点)0,0(O到到点点)1,1(B的的曲曲线线弧弧2sinxy .xxyxyyP2)2(2 xyxxxQ2)(42 解解 xQyP ，原积
39、分与路径无关原积分与路径无关 故故原原式式 101042)1(dyydxx.1523 例例 2 2 设设曲曲线线积积分分 Ldyxydxxy)(2与与路路径径无无关关,其其中中 具具有有连连续续的的导导数数,且且0)0(,计计算算 )1,1()0,0(2)(dyxydxxy.积积分分与与路路径径无无关关xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP),(),(xyyxQ 由由0)0(，知知0 c 2)(xx .故故 )1,1()0,0(2)(dyxydxxy由由xyxy2)(cxx 2)(10100ydydx.21 四、小结与路径无关的四个等价命题与路
40、径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数,则则以以下下四四个个命命题题成成立立.LQdyPdxD与与路路径径无无关关内内在在)1(CDCQdyPdx闭闭曲曲线线,0)2(QdyPdxduyxUD 使使内内存存在在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题一、一、填空题填空题:1 1、设闭区域设闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线L围成围成,函数函数),(,),(yxQyxP及在及在D上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数,则则有有 DdxdyyPxQ)(_；2 2、设设D为 平 面 上
41、 的 一 个 单 连 通 域为 平 面 上 的 一 个 单 连 通 域,函 数函 数),(,),(yxQyxP在在D内有一阶连续偏导数内有一阶连续偏导数,则则 LQdyPdx在在D内与路径无关的充要条件是内与路径无关的充要条件是_在在D内处处成立；内处处成立；3 3、设设D为由分段光滑的曲线为由分段光滑的曲线L所围成的闭区域所围成的闭区域,其面其面积为积为 5,5,又又),(yxP及及),(yxQ在在D上有一阶连续偏上有一阶连续偏导数导数,且且1 xQ,1 yP,则则 LQdyPdx_.练练 习习 题题二、二、计算计算 Ldyyxdxxxy)()2(22其中其中L是由抛物线是由抛物线2xy 和
42、和xy 2所围成的区域的正向边界曲线所围成的区域的正向边界曲线,并并验证格林公式的正确性验证格林公式的正确性.三、三、利用曲线积分利用曲线积分,求星形线求星形线taytax33sin,cos 所所围成的图形的面积围成的图形的面积.四、证明曲线积分四、证明曲线积分 )4,3()2,1(2232)36()6(dyxyyxdxyxy在整个在整个xoy面面内与路径无关内与路径无关,并计算积分值并计算积分值.五、利用格林公式五、利用格林公式,计算下列曲线积分计算下列曲线积分:1 1、Ldyyxdxyx)sin()(22其中其中L是在圆周是在圆周 22xxy 上由点上由点(0,0)(0,0)到点到点(1,
43、1)(1,1)的一段弧；的一段弧；2 2、求曲线积分、求曲线积分 AMBdyyxdxyxI221)()(和和 ANBdyyxdxyxI222)()(的差的差.其中其中AMB是过原点和是过原点和)1,1(A,)6,2(B且其对称轴垂直于且其对称轴垂直于x轴的抛物线上的弧段轴的抛物线上的弧段,AMB是连接是连接BA,的线段的线段.六、计算六、计算 Lyxydxxdy22,其中其中L为不经过原点的光滑闭曲为不经过原点的光滑闭曲 线线.(.(取逆时针方向取逆时针方向)七、验证七、验证yxxdxxyyx23228()83(dyyey)12 在整在整个个xoy平面内是某一函数平面内是某一函数),(yxu的
44、全微分的全微分,并求这并求这样一个样一个),(yxu.八、试确定八、试确定,使得使得dyryxdxryx 22 是某个函数是某个函数),(yxu的全微分的全微分,其中其中22yxr ,并求并求),(yxu.九、设在半平面九、设在半平面0 x内有力内有力)(3jyixrkF 构成力构成力场场,其中其中k为常数为常数,22yxr .证明在此力场中证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关场力所作的功与所取的路径无关.练习题答案练习题答案一、一、1 1、LdyQPdx；2 2、xQyp ；3 3、10.10.三、三、301.四、四、283a.五、五、236.236.六、六、1 1、2sin4167
45、；2 2、-2-2.七、七、1 1、当、当所所包包围围L的的D区区域域不包含原点时不包含原点时,0,0；2 2、当、当所所包包围围L的的D区区域域包含原点包含原点,仅仅绕绕且且L原点原点 一圈时一圈时,2；3 3、当、当所所包包围围L的的D区区域域包含原点包含原点,绕绕且且Ln原原点点 圈时圈时,n2.七七、)(124),(223yyeyeyxyxyxu .八八、yryxu ),(,1.第五节第五节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分一、概念的引入一、概念的引入二、对面积的曲面积分的定义二、对面积的曲面积分的定义三、计算法三、计算法四、小结四、小结 思考题思考题一、概念的引入 若若曲曲面面 是是
46、光光滑滑的的,它它的的面面密密度度为为连连续续函函数数),(zyx,求求它它的的质质量量.实例实例 所谓曲面光滑所谓曲面光滑即曲面上各点处都即曲面上各点处都有切平面有切平面,且当点在且当点在曲面上连续移动时曲面上连续移动时,切平面也连续转动切平面也连续转动.二、对面积的曲面积分的定义 设曲面设曲面 是光滑的是光滑的,函数函数),(zyxf在在 上有界上有界,把把 分成分成n小块小块iS（iS 同时也表示同时也表示第第i小块曲面的面积）小块曲面的面积）,设点设点),(iii 为为iS 上上任意取定的点任意取定的点,作乘积作乘积 ),(iiif iS ,并作和并作和 niiiif1),(iS,如果
47、当各小块曲面如果当各小块曲面的直径的最大值的直径的最大值0 时时,这和式的极限存在这和式的极限存在,则称此极限为函数则称此极限为函数),(zyxf在曲面在曲面 上对面积上对面积的的曲面积分曲面积分或或第一类曲面积分第一类曲面积分.1.1.定义定义即即 dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 记为记为 dSzyxf),(.dSzyxf),(21),(),(dSzyxfdSzyxf.2.2.对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质则则及及可分为分片光滑的曲面可分为分片光滑的曲面若若,21 叫被积函数，叫被积函数，其中其中),(zyxf.叫积分曲面叫积分曲面 三、计算法;1),(,
48、22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:.1yxzz 若若曲曲面面则则按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(),(:.2zxyy 若曲面若曲面则则.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),(.3zyxx ：若曲面若曲面则则例例1 1积积分分曲曲面面：yz 5,解解投影域投影域：25|),(22 yxyxDxy dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 dxdyzzd
49、Syx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 例例 2 2 计计算算dSxyz|,其其中中 为为抛抛物物面面 22yxz （10 z）.解解依对称性知：依对称性知：被被积积函函数数|xyz关关于于xoz、yoz 坐标面对称坐标面对称轴对称，轴对称，关于关于抛物面抛物面zyxz22 有有 14成立成立，(1 为为第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)xyzdxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原式原式dSxyz|dSxyz 14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 其其中中1|),(22 yxyxDxy,0,0 yx 利用极坐标利用极坐标 trxcos,t
50、rysin,rdrrrttrdt 102222041sincos4 drrrtdt21050412sin22 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 计计算算 xdS,其其中中 是是圆圆柱柱面面 122 yx,平平面面2 xz及及0 z所所围围成成的的空空间间立立体体的的表表面面.例例3 3解解 321 其其中中1：0 z,2：2 xz,3：122 yx.投投影影域域1D：122 yx显显然然 011 DxdxdyxdS,01112 DdxdyxxdS讨讨论论3 时时,将将投投影影域域选选在在xoz上上.（注意：注意：21xy 分为左、右两片分为左、右两片）3xdS 3
