1、4.1 4.1 伯努利方程伯努利方程第四章第四章 伯努利方程伯努利方程伯努利（瑞典），伯努利（瑞典），17381738，流体动力学流体动力学“流速增加，压强降低流速增加，压强降低”4.1.1 4.1.1 理想流体沿流线的伯努利方程理想流体沿流线的伯努利方程1.1.伯努利方程的推导伯努利方程的推导 欧拉运动方程四个假设欧拉运动方程四个假设（1 1）定常流动）定常流动（2 2）沿流线积分）沿流线积分（3 3）质量力有势）质量力有势（4 4）不可压缩）不可压缩1 1）定常流场中的欧拉方程）定常流场中的欧拉方程2 2）将上式沿流线积分可得到伯努利方程）将上式沿流线积分可得到伯努利方程3 3）质量力有势
2、）质量力有势4 4）对于不可压缩流体有）对于不可压缩流体有 常数常数5 5）质量力只有重力）质量力只有重力 （1）理想流体）理想流体欧拉运动方程欧拉运动方程（2）定常流动）定常流动0tV（4）质量力有势）质量力有势zfyfxfzzUyyUxxUUzyxddddddd（5）不可压缩）不可压缩（3）沿流线积分）沿流线积分zvxvyvxvvzvyvxxzxyzyxdddddddPPdd12.2.伯努利方程的意义伯努利方程的意义（1 1）几何意义：用几何图形来表示各物理量之）几何意义：用几何图形来表示各物理量之间的关系。间的关系。表明：表明：在流线上的总水头为一常数。在流线上的总水头为一常数。（2 2
3、）物理意义）物理意义表明：表明：在流线上的单位重量流体的总能量为在流线上的单位重量流体的总能量为 一常数。一常数。因此说伯努利方程是能量转化和守恒定因此说伯努利方程是能量转化和守恒定律在流体力学中的具体反映。律在流体力学中的具体反映。z单位重量流体的重力势能单位重量流体的重力势能 位置水头位置水头 pg单位重单位重量量流体的压强势能流体的压强势能 压力水头压力水头总机械能总机械能 总水头总水头 物理意义 几何意义单位重量流体的动能单位重量流体的动能 流速水头流速水头2gv2gpgvz22伯努利方程伯努利方程Cgpgvz22平面流场平面流场（忽略重力作用）Cpv22思 考1.轿车高速行驶时，为何
4、感觉车身变轻？4.1.2 4.1.2 理想流体总流的伯努利方程理想流体总流的伯努利方程动能修正系数AvAuA3321d21平均流速真实流速与速度分布有关，分布均匀为1；不均匀大于1。一般取1缓变流缓变流：流线间夹角很小，流线曲率很小，流线几乎是一些 平行直线的流动。特性：（1）质量力只有重力；（2）同一缓变过流断面上，各点的静压水头相等。pzCg理想流体总流假设 A1、A2是缓变流截面，对于微小流束：2211221222pupuzzgggg2211gdAugdAu通过断面1和2的能量222222112111gd)2(gd)2(21AugugpzAugugpzAA2222222211111111
5、)(gd)()(gd)(21gAvgpzAugpzgAvgpzAugpzAA由动能修正系数定义2222222221121111212gd22gd221AvvAuguAvvAuguAA2211AvAvgvgpzgvgpz2222222211114.1.3.4.1.3.实际流体总流的实际流体总流的伯努伯努利方程利方程fhgvgpzgvgpz222222221111能量损失或水头损失伯努利方程应用举例伯努利方程应用举例h01p0p0小孔出流1101zzhgvgpzgpz22110100ghv21v4.1.4 相对运动的伯努利方程相对运动的伯努利方程 叶轮随体坐标系将坐标固结于旋转的叶轮上。r2叶轮的
6、角速度为gfyfxfzyx,22yfyfxfzzUyyUxxUUyyxdddddddgzugzrU2222121Cgugwgpz2222u：随叶轮旋转的牵连速度w：相对与叶轮的速度B A ABBppv22BBgHpAAgHpghppvBAB2)(22121vAAv22212122pvpv联立求解：联立求解：)(1)2221121AAppv（)(112ghpp1)/()1/2411dDghv（4.6 4.6 动量积分方程和动量矩积分方程及其应用动量积分方程和动量矩积分方程及其应用根据动量定理：流体系统的动量对时间的变化率等于外界作用在该系统上的合力，即 F Fv vK KVVttddddd由于外
7、力有质量力和表面力之分，故上式右边的等式可写为SVVtSVVdddddn np pv vf得控制体的动量积分方程SVSvVtSVSnVddddn np pv vv vf f4.6.1 4.6.1 动量积分方程动量积分方程4.6.2 动量矩积分方程 H HF F根据动量矩定理：流体系统对某点的动量矩对时间的变化率等于外界作用在该系统上的合力对同一点的力矩，即F Fr rv vr rH HVVttdddddSVVtSVVdddddn np pr rr rv vr rf f根据雷诺输运方程式可得控制体的动量矩积分方程SVSvVtSVSnVddddn np pr rr rv vr rv vr rf f
8、关于控制面（1）与问题有关的边界面；（2）已知物理量较多的面；（3）流面即流线组成的面（vn=0）两端截面垂直于流线（此时 vn=v）在应用控制体的动量积分方程和动量矩积分方程时，还要注意如下几点：（1）方程是矢量式，为计算方便，要选择适宜的坐标系，以便于求出各项的投影值；（2）法向分量的正负号以控制面外法向为正，向内为负；（3）方程未知数较多时，可联立连续方程和伯努利方程求解；（4）控制面上的压力计算最好使用相对压强 4.6.3 4.6.3 动量积分方程和动量矩积分方程的应用动量积分方程和动量矩积分方程的应用app 动量方程求解步骤动量方程求解步骤:(1)建立坐标系,标出控制体(2)分析控制
9、体所受到的力，表明控制面上各种参数(3)分析动量的变化(流出减流进,速度投影有正负)，列动量方程。4.6.3 动量积分方程和动量矩积分方程的应用(a)(b)(c)水流对弯管的作用力1.水流对弯管的作用力动量方程为)()()(12222111v vv vn nn nF FQAppAppaain1sincos2jinsin)(sincos)()()cos(222221112AppqvFAppAppvvqFayaax水流对弯管作用力的两个分量可写为 固定此段弯管所需的外力为sin)(sincos)()()cos(222221112AppqvFAppAppvvqFayaax例例 求射流对斜置平板(单位
10、厚度)的作用力F。设：流量为 q，速度为v，来流方向与板的夹角为。解解 取控制体如图。因射流处于大 气之中，射流中压强都近似等 于大气压。又由伯努利方程知 v1=v2=v。x 方向动量方程：y 方向动量方程：0cos2211qvvqvqFqv)sin(0由连续性条件 q=q1+q2 和 x 方向的动量方程还可以解出2.射流对平板和叶片的作用力012cos1qq022cos1qqsin)cos1(020020AvFAvFyxyv0FxFyxA0v0射流对固定叶片的作用图取控制体如图，射流速度为v0,过流断面为A0,应用动量方程有sin)()cos1()(020020AuvFAuvFyxyFxFy
11、xA0v0v0-uuv0-u射流对运动叶片的作用采用固结于叶片上的运动坐标系,则在此动坐标系上观察到的流动是定常的取控制体如图,此控制体进出口截面上的速度应为相对速度(v0 u),过流断面为A0,应用动量方程有3.水流对喷嘴的作用力 喷嘴)()(1211vvqAppFa)()(1211vvqAppFa由连续方程得)/1()(1222212AAAvvvq由伯努利方程 appgvgpgvgp2222211,22得212221121AAvppa求出2v后代入动量方程得2111/121)(AAAppFa4.洒水器 喷水器因此本问题的动量矩积分方程可写成02211rqvrqv02211rvrv设v为喷水的相对速度，则有 2211rvvrvv)()(4)(2221221222121rrdrrqrrrrv
