1、第七章第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析一阶电路和二阶电路的时域分析1.换路定则和电路初始值的求法；2.掌握一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应的概念和物理意义；3.会计算和分析一阶动态电路(重点是三要素法)；4.了解二阶电路零状态响应、零输入响应、全响应的概念和物理意义；5.会分析简单的二阶电路；6.会计算一阶电路的阶跃响应、冲激响应；7.会用系统法列写简单的状态方程。内容提要与基本要求第七章第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析一阶电路和二阶电路的时域分析重点重点(1)动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定；(2)一阶电路时间常数的概念与计算；(3)一阶电路的零输入响应和零状态响应；
2、(4)求解一阶电路的三要素法；(5)暂态分量(自由分量)和(稳态分量)强制分量概念；(6)二阶电路的零输入、零状态和全响应的概念；(7)二阶电路的方程和特征根、过渡过程的过阻尼、欠 阻尼及临界阻尼的概念及分析；(8)二阶电路的阶跃响应。第七章第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析一阶电路和二阶电路的时域分析难点难点(1)应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建立动态电路方程；(2)电路初始条件的概念和确定方法；(3)二阶电路的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼放电过程分析方法和基本物理概念。与其它章节的联系本章讨论的仍是线性电路，因此前面讨论的线性电路的分析方法和定理全部可以用于本章的分析中。第9章讨论的
3、线性电路的正弦稳态响应就是动态电路在正弦激励下的稳态分量的求解。第七章第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析一阶电路和二阶电路的时域分析7-1 动态电路的方程及其初始条件7.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件SUS+-(t=0)+-uCRC+-uRi引引 言言 自然界事物的运动，在一定的条件下有一定的稳定状态。当条件发生变化时，就要过渡到新的稳定状态。从一种稳定状态转到另一种新稳定状态时，往往不能跃变，而是需要一定时间，或者说需要一个过程，在工程上称过渡过程。接通电源，C 被充电，C 两端的电压逐渐增长到稳态值Us，即要经历一段时间。电路中的过渡过程虽然短暂，在实践中却很重
4、要。7.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件一、动态电路的基本概念含有动态元件(L、C)的电路称为动态电路。描述动态电路的方程是微分方程。全部由线性非时变元件构成的动态电路，其描述方程是线性常系数微分方程。只含一个动态元件(L或C)的电路，其描述方程是一阶线性常系数微分方程，称一阶电路。动态电路的分析方法：1.经典法 时域分析法时域分析法2.拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法 复频域分析法复频域分析法3.状态变量法状态变量法 时域分析法时域分析法7.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件二、换路及换路定则1.换路 电路结构或元件参数的改变称为换路。换路是在t=0
5、(或 t=t0)时刻进行的。含有动态元件的电路换路时存在过渡过程，过渡过程产生的原因是由于储能元件L、C，在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放需要S24V+-(t=0)+LiL4W14W22W3W6H6W-uL12V+-i8W4Wt=0S纯电阻电路在换路时没有过渡期。一定的时间来完成。7.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件2.换路定则在换路前后：q(t)=q(t0)+tt0iC(x)dxq(0+)=q(0-)+0+0-iC(x)dx以t=t0=0作为换路的计时起点：换路前最终时刻记为t=0-，换路后最初时刻记为t=0+。线性电容C的电荷0-到0+瞬间，iC(t)为有限
6、值时，积分为0。q(0+)=q(0-)C上的电荷不能跃变！由q(t)=C uC(t)可知，当换路前后C不变时uC(0+)=uC(0-)C两端的电压也不能跃变！7.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件Y(0+)=Y(0-)L中的磁链不能跃变！由Y(t)=LiL(t)可知，当换路前后L不变时 iL(0+)=iL(0-)L中的电流也不能跃变！同理可得：q(0+)=q(0-)uC(0+)=uC(0-)换路定则表明(1)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）在换路前后保持不变，这是电荷守恒定律的体现。(2)换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）在换路前后保
7、持不变。这是磁链守恒定律的体现。7.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件三、初始值的计算解：换路前的“旧电路”求图示电路在开关闭合瞬间各支路电流和电感电压。1.由换路前的“旧电路”计算uC(0-)和iL(0-)。iC(0-)=0，C视为开路。uL(0-)=0，L视为短路。iL(0-)=12AuC(0-)=24V=iL(0+)=uC(0+)R1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uCR33W2W2W48ViR1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uCR33W2W2W48Vi由等效电路算出7.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件2.画出t=0+等效电路：
8、电感用电流源替代，电容用电压源替代。iC(0+)=48-243=8AuL(0+)=48-212=24VR1+-U0SR2iLiC12A+-uL+-R33W2W2W48V24ViiL(0-)=12A=iL(0+)uC(0-)=24V=uC(0+)i(0+)=iL(0+)+iC(0+)=12+8=20At=0+时刻的等效电路R1+-U0SR2iLiCCL+-uL+-uCR33W2W2W48Vi第七章第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析一阶电路和二阶电路的时域分析7-2 一阶电路的零输入响应7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应零输入响应：在电源激励为零的情况下，由动态元件的初始值(0)引
9、起的响应。1.RC 电路 SR+-uC(t=0)i+-uRU0SR+-uC(t0+)i+-uRU0换路后的“新电路”i=ducdt-C=Riducdt=-RC由KVL得：ducdtRC+uC=0uR分析 RC 电路的零输入响应，实际上是分析其放电过程。一阶齐次微分方程7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应t=RC 称RC电路的时间常数。若R取W，C取F，则t为s。t 的大小，反映uC的变化快慢：t 越大，uC衰减越慢。SR+-uC(t0+)i+-uRU0p=-RC1通解 uC=A e1RC-t由初始条件 uC(0+)=uC(0-)=U0 得：uC=U0 e=U0 et-t1RC-t，
10、t 0touC t2t3tU0t的图解ducdtRC+uC=0特征方程特征根RCp+1=07.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应t=0，uC=U0t=t，uC=U0 e-10.638U0 在理论上，要经过无限长时间，uC才能衰减到0。在工程上，认为经过3t 5t 时间，过渡过程即告结束。touC t2t3tU00.368U00.05U0uC=U0 et-tt=3t，uC=U0 e-30.05U0t=5t，uC=U0 e-50.007U0uR=uC=U0 et-tSR+-uC(t0+)i+-uRU0,uRi=ducdt-C=RU0t-teWR=0i2(t)R dt=0RU022RC-t
11、edt=21CU02C储存的能量全被R 吸收，并转换成热能消耗掉。RU0i7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应例：试求t0时的i(t)。换路后，C 通过(R1/R2)放电，Req=R1/R2=2W。所以 t=ReqC=2 s引用典型电路结果：uC(0-)=2+4+4104=4 V根据换路定则：uC(0-)=uC(0+)=4 VR2+-uC4W4WC1Fit0SR1uC=uC(0+)et-t=4 e-0.5t Vi=-21RequC=-e-0.5t A(t0)(t0)2WSR2+-(t=0)+-uC4WR14WC1F12R10Vi7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应2.R
12、L电路由KVL uL+uR=0SR+-(t=0)R0L12uL+-iU0R(t0)LuL+-iS2+-uRdiLdt+Ri=0didtL+i=0Ri(0+)=i(0-)=R0U0i(t)=i(0+)e=R0U0t=RL为RL电路的时间常数。t-tes=WHt-t得 i(t)解之 代入初试条件 基本形式：i(t)=I0 et-t(t 0)7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应电阻和电感上的电压分别为：R(t0)LuL+-iS2+-uRRI0uRtoi,uR,uL iI0uL-RI0uR=Ri=R I0 euL=-uR=-R I0 edidtL或者：uL=-R I0 ei(t)=I0 e
13、t-tt-tt-tt-t，(t 0)，(t 0)，(t 0)7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应例7-2试求：t；i(0+)和i(0-)；i(t)和uV(t)；uV(0+)。VS+-RL+-URVuVi0.189W0.398H5kW35V某300kW汽轮发电机励磁回路的电路模型电压表的量程才50V。t=R+RVL=0.189+51030.398=79.6(ms)i(0-)RU=0.18935=185.2 Ai(t)=185.2 e-12560t AuV(t)=-RV i(t)=-926 e-12560t kVuV(0+)=926 kV!t0+实践中，要切断 L 的电流，必须考虑磁场
14、能量的释放问题解：=i(0+)第七章第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析一阶电路和二阶电路的时域分析7-3 一阶电路的零状态响应7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应零状态响应：在动态元件初值为 0 的状态下，外施激励引起的响应。1.RC电路 由KVL：uR+uC=USSUS+-(t=0)+-uCRC+-uRiuR=Riducdt=RCducdtRC+uC=US常系数非齐次线性方程对应的齐次方程：其解为：uC=uC+uC 通解：uC=A e1RC-t特解：uC =US 所以：uC=US+A educdtRC+uC=01RC-t7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应代入初值：
15、uC(0+)=uC(0-)=0求得：A=-US所以零状态响应为uC=US(1-e )，t-tuC稳态分量uC瞬态分量ducdt i=C=RUSet-tiSUS+-(t0+)+-uCRC+-uRiducdtRC+uC=USuC=US+A e1RC-tt=RCuC=uC+uCUStouC ,iRUS-USuC=US-US e t-t7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应电源提供的能量：电阻吸收的能量：W=0US i(t)dt=CUS2WR=0i2(t)R dt=21CUS2t=RCducdtRC+uC=USuC=US+A e1RC-tducdt i=C=RUSet-tSUS+-(t0+)
16、+-uCRC+-uRi结果表明：电源提供的能量只有一半转换为电场能量存储于C 中，另一半在充电过程中被 R 消耗掉。不论RC的值是多少，充电效率总是50%。7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应2.RL电路的零状态响应(1)激励是恒定直流换路前：iL(0+)=iL(0-)=0 换路后：iR+iL=ISSRL+-ISuLt=0iRiL(t0+)iR=uLR=LRdiLdtLRdiLdt+iL=ISLRt=解得：iL=IS(1-e )t-t代入式中：7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应(2)激励是正弦电压设 us=Umcos(wt+yu)则 LdiLdt+RiL=Umcos(
17、wt+yu)通解：iL=A et-t特解的形式：iL=Imcos(wt+q)把 iL 代入微分方程：Im、q 为待定系数。RImcos(wt+q)-wLImsin(wt+q)=Umcos(wt+yu)Im|Z|cos(wt+q+j)=Umcos(wt+yu)式中R2|Z|=+(wL)2tgj=RwLLRt=t0+us+-+-uLRLi+-uR7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应比较得：q=yu-j，|Z|Um特解：iL=Imcos(wt+q)=cos(wt+yu-j)上述常系数非齐次线性微分方程的全解为：|Z|UmiL=cos(wt+yu-j)+A e-tt由iL(0+)=iL(0
18、-)=0定出：A=-|Z|Umcos(yu-j)|Z|UmiL=cos(wt+yu-j)-cos(yu-j)eIm=Um|Z|Im|Z|cos(wt+q+j)=Umcos(wt+yu)式中R2|Z|=+(wL)2tgj=RwL|Z|Um-tt7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应讨论(1)若 S闭合时yu-j=90o，toi i=i稳态分量iL是与外施激励同频率的正弦量暂态分量iL随时间的增长衰减为零。(2)若S闭合时yu=j，则：iL=|Z|Umcoswt e-tt|Z|Um-|Z|UmiL=cos(wt+yu-j)-cos(yu-j)e|Z|Um-tt则 iL=0。说明电路不发生
19、过渡过程而立即进入稳态。R上的电压 uR=R iLL上的电压 uL=LdiLdt7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应RL 串联电路与正弦电压接通后，在一定初值条件下，电路的过渡过程与S动作时刻有关。iLiLtoiL|Z|Um|Z|Um-此时闭合 S，约过半个周期，iL的最大瞬时值(绝对值)将接近稳态振幅的两倍。当t 很大时，iL衰减极其缓慢。稳态振幅过渡中的最大瞬时值iL=|Z|Umcoswt e-tt|Z|Um-第七章第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析一阶电路和二阶电路的时域分析7-4 一阶电路的全响应7.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应全响应稳态解暂态解1.全响应：外施激
20、励和动态元件初值都不为零时的响应。SUS+-(t=0)+-uCRC+-uRi+-U0uC(0+)=uC(0-)=U0uC =US +(U0-US)educdtRC+uC=US-tt(1)一阶电路的全响应可以看成是稳态分量(强制分量)与暂态分量(自由分量)之和。=+2.全响应的两种分解方式强制分量自由分量7.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应零输入响应(2)把上式改写成下列形式：零状态响应全响应此种分解方式便于叠加计算，体现了线性电路的叠加性质。uC =US +(U0-US)e-ttSUS+-(t=0)+-uCRC+-uRi+-U0uC =U0 e-tt+US(1-e )-tt=+7.4 一阶
21、电路的全响应一阶电路的全响应3.三要素法(1)在恒定激励下f(t)=f()+f(0+)-f()-tte由初始值、稳态值和时间常数三个要素决定。全响应=稳态分量+暂态分量uC =US +(U0-US)e-tt(2)在正弦电源激励下 f(t)=f(t)+f(0+)-f(0+)-tte的正弦量；f(t)是换路后的稳态响应(特解)，是与激励同频率f(0+)是稳态响应f(t)的初始值。f(0+)和t 的含义与恒定激励下相同。说明一阶电路的响应求f(t)的方法是待定系数法或相量法。7.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应例1换路前：iL(0-)=-IS=-2A求换路后的戴维宁电路SUs+-(t=0)iLR
22、LiIsab10V4H2W2A?Uoc+-(t0+)iLReqLab=10-22=6 VUoc=Us-RisReq=R=2W求iL的三个要素：iL(0+)=iL(0-)=-2AiL()=Uoc/Req=6/2=3(A)t=L/Req=4/2=2(s)f(t)=f()+f(0+)-f()e-ttiL(t)3-232iL(t)=3-5e-0.5t Ai(t)=IS+iL(t)=5-5 e-0.5t A7.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应例2：电路如图，求uL。SiL+-2AuL4W2W4W12-+8Vi1+-2i10.1HUoc=4i1+2i1Req=10WUi解：iL(0-)=-4A=iL(
23、0+)SiL+-2AuL4W2W4W12-+8Vi1+-2i10.1H(t0)求换路后的戴维宁电路=12VReqUi=(4+4)i1+2i1i1uL(0+)=Uoc-Req iL(0+)=12-10(-4)=52ViLUoc+-(t0+)ReqL+-uL0.1H7.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应也可以先求iL：uL=LdtdiLuL()=0t=ReqL=0.01s100.1得 uL=52e-100t V例2：电路如图，求uL。解：iL(0-)=-4A=iL(0+)代入三要素公式f(t)=f()+f(0+)-f()-ttet=0.01siL(0-)=-4A=iL(0+)iL()=Uoc/R
24、eq=1.2AiL=1.2-5.2e-100t A再由求出uL。Uoc=4i1+2i1Req=Ui求换路后的戴维宁电路=12VuL(0+)=Uoc-Req iL(0+)=52V=10WiLUoc+-(t0+)ReqL+-uL0.1H7.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应例3：图示电路原本处于稳定状态，t=0 时开关S闭合，求换路后的电流i(t)。iU=10V+-R1=2WSL=1HR2=5WC=0.25FiL(0-)=0，uC(0-)=10V，换路后变为两个独立的单回路iL(0-)+-uC(0-)iU=10V+-R1=2WSL=1HR2=5WC=0.25F+-uCiLiC解：电容电路的三要素
25、为 iC(0+)=uC(0+)R1=5At1=R1C=0.5s,iC()=0电感电路的三要素为 iL(0+)=iL(0-)=0t2=LR2=0.2s,iL()=UR2=105=2Ai(t)=iL(t)+iC(t)求出iC(t)、iL(t)后(t0)7.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应例4：t=0时S1从位置1拨向位置2，经0.12s后S2打开，求uC(t)并绘波形图。U1+-R210mFS250VR1=20kWCS121U2-+30kW10V+-uC解：先求初始值 uC(0-)=-10V 再分阶段用三要素法求解。(1)0t0.12sU1+-R210mFS250VR1=20kWCS1230k
26、W+-uCuC(0+)=uC(0-)=-10VuC()=30+203050=30Vt1=(20/30)1031010-6=0.12suC(t)=30-40e-8.33t V(0t0.12s)7.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应(2)t0.12sU1+-R210mFS250VR1=20kWCS1230kW+-uCuC(0.12-)=30-40e-8.330.12=15.28VuC(t)=30-40e-8.33t V(0t0.12s)uC(0.12+)=uC(0.12-)=15.28Vt2=R2 C=301031010-6 =0.3s,uC()=0uC(t)=15.28e-3.33(t-0.1
27、2)Vt0.12s00.10.20.30.4 0.5t/suC(t)/V-1010200.12s15.28第七章第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析一阶电路和二阶电路的时域分析7-5 二阶电路的零输入响应7.5 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应二阶电路的动态分析，原则上与一阶电路相似，那就是列方程、解方程。由于二阶线性微分方程有两个特征根，对于不同的二阶电路，它们可能是实数、虚数或共轭复数。因此动态过程将呈现不同的变化规律。分析时由特征方程求出特征根，并判断电路是处于衰减放电，还是振荡放电，还是临界放电状态。7.5 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应C+-uC+-S(t=0)+-
28、uLRL+-uRiU0I0典型电路分析(RLC串联)1.列写方程i=duCdt-CRi=-RCuL=Ldidt=-LCd2uCdt2由KVL：-uC+Ri+uL=0 LCd2uCdt2duCdt+RC+uC=0代入上式得二阶齐次微分方程duCdt若以电容电压为变量则有 uC(0+)=U0，i(0+)=0初始条件为或duCdt=-Ct=0+i(0+)=0(t0+)7.5 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应2.解方程特征方程的根特征方程 LCp2+RCp+1=0 p1=2LR-+2LR2-LC1C+-uC+-(t0+)+-uLRL+-uRiU0I0uC(0+)=U0，LCd2uCdt2duC
29、dt+RC+uC=0duCdt=0t=0+p2=2LR-2LR2-LC1(1)特征根只与电路参数和结构有关，与激励和初始值无关。(2)当R、L、C的参数不同时，特征根有不同的形式。7.5 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应uC=A1e p1t+A2e p2t解的形式为(1)R23.分析三种情况p1、p2 是两个不相等的负实根。A1=p2-p1p2U0A2=p2-p1p1U0由初始条件求得uC=p2-p1U0(p2e p1t-p1e p2t)所以LCp1,2=2LR-2LR2-LC1uC(0+)=U0，LCd2uCdt2duCdt+RC+uC=0duCdt=0t=0+7.5 二阶电路的零输
30、入响应二阶电路的零输入响应duCdti=-CuL=didt L=-(p2-p1)U0(p1e p1t-p2e p2t)p1 p2=LC1考虑到=-L(p2-p1)U0(e p1t-e p2t)tm2tmuCuLiotuC,uL,U0i|p2|p1|uC 第1项较大，且衰减较慢。故占主导地位。总有uC0、i0，说明C一直在释放电能。称非振荡放电或过阻尼放电。uC=p2-p1U0(p2e p1t-p1e p2t)分析7.5 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应C+-uC+-+-uLRL+-uRiU0tm2tmuCuLiotuC,uL,U0i|p2|p1|tm=p1-p2ln(p2p1)i从0开
31、始，到0结束，有极值。令(di/dt)=0 得i达到 imax的时刻为：0tm：C 的电场能转化为L的磁场能和R的热能。tm：uL变负，C 的电场能和L的磁场能都转化为R的热能。能量释放完毕，过渡过程结束。7.5 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应(2)令2LRd=LC1w2=-22LRbwdw0则 p1=-d+jw，p2=-d-jwR临界电阻,为过阻尼电路。R 0+和t t0+和t 0+和t t0 后电路的全部性状。uC、iL 就是该电路的其余各量都能用uC、iL表示。一组状态变量。7.10 状态方程状态方程状态变量不是唯一的G 状态变量是一组独立的动态变量。A 对线性电路而言，选uC
32、、iL作为状态变量很合适。对非线性电路，有时会选qC、yL作为状态变量。将iL=(uR/R)代入上述方程duCdt=0+RC1uR+0duRdt=-LRuC-LRuR+LRuSC+-uC+uR -+-RL+uL -iLuSSduCdt=0+C1iL+0diLdt=-L1uC-LRiL+L1uS uC、uR也是该电路的一组状态变量。7.10 状态方程状态方程2.状态方程的标准形式 用状态变量表达的一组独立的一阶微分方程称为状态变量方程，简称状态方程。写成矩阵形式：duCdiLdtdt=0C1-L1-LRuCiL+0 00L1iSuS令 x1=uCx2=iL系数矩阵A系数矩阵B则=A+Bx1=.d
33、tduCx2=.dtdiLx1.x2.x1x2iSuSduCdt=0+C1iL+0diLdt=-L1uC-LRiL+L1uS7.10 状态方程状态方程则 状态方程具有更简洁的形式：若.xdefx=x1 x2 T，v=iS uS T.x=A x+B v.x1.x2T，标准形式.x 和 x 为n阶列向量；则=A+Bx1.x2.x1x2iSuSx 称为状态向量，v 称为输入向量。F若电路具有n个状态变量，m个激励源。矩阵A为nn阶方阵；v 为 m 阶列向量；矩阵B为nm阶矩阵。状态方程的编写方法：直观法和系统法。较简单的电路用直观法，复杂的电路用系统法。7.10 状态方程状态方程3.状态方程的编写C
34、 在线性电路中，选独立的电容电压和独立的电感电流作为状态变量编写状态方程和求解最方便。直观法的编写步骤 在状态方程中，要包含对状态变量的一次导数：(1)对只含一个C的结点列KCL方程；(2)对只含一个L的回路列KVL 方程；(3)列其它方程(若有必要)，消去非状态变量。C+-R2L2i1uSR1+-uCL1i2iSi2+iS07.10 状态方程状态方程列出以uC、i1和i2为状态变量的方程。解：12CdtduC=-i1-i2G L1dtdi1=uC-R1(i1+i2)+uS=uC-R1(i1+i2)+uS-R2(i2+iS)iR1iR2对只含一个C的结对只含一个L的回路列KVL方程点列KCL方
35、程L2dtdi2AJ方程中不含非状态变量，不用列其它方程。iR1iR2C+-R2L2i1uSR1+-uCL1i2iSi2+iSi1+i20非状态变量已预先做了处理7.10 状态方程状态方程整理成矩阵形式dtduCdtdi1dtdi2=0-C1-C1L11-L1R1-L1R1L21-L2R1-L2R1+R2uCi1i2+0 0L110L21-L2R2uSiSCdtduC=-i1-i2L1dtdi1=uC-R1(i1+i2)+uS=uC-R1(i1+i2)+uS-R2(i2+iS)L2dtdi27.10 状态方程状态方程4.电路(或系统)的状态空间描述状态方程只表示了状态对输入和初始状态的关系：x
36、 =Ax+Bv，x(t0)=x0.F在实用中，为了完整地表示动态电路，还要建立4状态方程与输出方程联立，称为动态电路的状态空输出与状态、输入之间的关系，称输出方程。间描述。输出方程：y=Cx+Dv则 y 是h维输出向量；C是hn系数矩阵；D是hm系数矩阵。C、D 仅与电路结构和元件参数有关。F若 电路具有n个状态变量,m个激励源,h个输出变量。7.10 状态方程状态方程对右图电路，已编写过它的状态方程。若以结点的电压作为输出，则有un1=-R1(i1+i2)+uSun2=uC-(i1+i2)R1+uSun3 =R2(i2+iS)C+-R2L2i1uSR1+-uCL1i2iSi2+iSi1+i2
37、0un1un2un3y=Cx+Dv=0 -R1 -R11 -R1 -R10 0 R2+1 01 00 1uSiSuCi1i2整理成标准形式第七章第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析一阶电路和二阶电路的时域分析7-11 动态电路时域分析中的几个问题7.11 动态电路时域分析中的几个问题动态电路时域分析中的几个问题1.关于动态电路的阶数微分方程的阶次称为动态电路的阶数。动态电路的阶数与所含独立动态元件的个数有关。(1)常态网络不含纯电容回路(包括电压源)以及纯电感割集(包电路的阶数=动态元件的个数。例如前面分析过的电路：仅含一个贮能元件(常值C与L)和电阻的电路，或能化为此形式的电路，都属于一阶电
38、路。RLC串联或并联电路属于二阶电路。括电流源)在内的网络。所以有：7.11 动态电路时域分析中的几个问题动态电路时域分析中的几个问题(2)非常态网络含纯电容回路或纯电感割集或二者兼有。电路的阶数=动态元件总数-独立纯电感割集个数 iLRLiS+-uSRC+-uC阶数=0+-uSC1SR1R2C2C3C4阶数=4-1=3-独立纯电容回路个数7.11 动态电路时域分析中的几个问题动态电路时域分析中的几个问题练习：分析图示电路的阶数。+-uSC1R1L1C3L2L3R2C2iS+-uSC1R1L1C3L2L3R2C2iS电容子网络无独立回路L1+-uSC1R1C3L2L3R2C2iS电感子网络有1
39、个独立割集解：6-1=5阶7.11 动态电路时域分析中的几个问题动态电路时域分析中的几个问题2.动态电路中初始值的计算换路定则必须遵循电荷守恒定律和磁链不变原则：qk(0+)=qk(0-)或 Ck uCk(0+)=Ck uCk(0-)Yk(0+)=Yk(0-)或 Lk iLk(0+)=Lk iLk(0-)+-(t=0)S3WiL1L16W12VL22H1HiL2R2R1US+-(t0)S3WiL1L16W12VL22H1HiL2R2R1US换路前 iL1(0-)=USR1=4A，iL2(0-)=USR2=2A例1：电路稳定后将S打开，求iL1(0+)和 iL2(0+)。解7.11 动态电路时域
40、分析中的几个问题动态电路时域分析中的几个问题换路前：iL1(0-)=4A，iL2(0-)=2A换路后KCL要求 iL2(0+)=-iL1(0+)但YL(0+)=YL(0-)iL1(0+)=2A+-(t=0)S3WiL1L16W12VL22H1HiL2R2R1US+-(t0)S3WiL1L16W12VL22H1HiL2R2R1US(L1+L2)iL2(0+)12-24 iL2(0+)=L1+L2L2iL2(0-)-L1iL1(0-)=2+1=-2 A电感中电流变化引起的电压遵循KVL方程中关于正负号的规定。出现了iL(0-)iL(0+)=L2iL2(0-)-L1iL1(0-)iL2()=-iL1
41、()=0t=(L1+L2)/(R1+R2)7.11 动态电路时域分析中的几个问题动态电路时域分析中的几个问题例2：S闭合前电路稳定，US=6V，C3=2F，C1=C2=1F，t=0时S闭合，求各电容电压的初始值(C3原未充电)。C1RUS+-C2SC3+-uC2+-+-uC3uC1S闭合前uC1(0-)=uC2(0-)=3V，uC3(0-)=0S闭合后解：uC1(0+)=uC1(0-)=3V，但 uC2(0+)=uC3(0+)换路时刻，C2、C3的电荷重新分配，但保持守恒。C2 uC2(0+)+C3 uC3(0+)代入数据：uC2(0+)+2 uC3(0+)=3+0 由KVL知：uC2(0+)
42、=uC3(0+)解之：uC2(0+)=uC3(0+)=1V=C2 uC2(0-)+C3 uC3(0-)7.11 动态电路时域分析中的几个问题动态电路时域分析中的几个问题3.非齐次微分方程特解的计算以dydt+Ay=f(t)为例输入f(t)的形式 特解y*的形式常数P 常数QP0+P1t (P0可以为0)Q0+Q1t P0+P1t+P2t2 Q0+Q1t+Q2t2 Pe-mt(mA)Qe-mtPe-mt(m=A)Q t e-mtPsinwt (或Pcoswt)Q1sinwt+Q2 coswt第七章第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析一阶电路和二阶电路的时域分析本章结束第七章第七章 一阶电路和二阶
43、电路的时域分析一阶电路和二阶电路的时域分析P159 例7-6求：uC、uR、i、uL和imax套用下列公式可得到结果SCuC+-1+-uLRL+-uRiUS210V0.1m4k1H根据已知条件算出:属非振荡放电过程p1=2LR-+2LR2-LC1p2=2LR-2LR2-LC1uC=p2-p1U0(p2e p t-p1e p t)12i=-L(p2-p1)U0(e p t-e p t)12uL=-(p2-p1)U0(p1e p t-p2e p t)12uR=Ritm=p1-p2ln(p2 p1)i=imax的时间R2LC第七章第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析一阶电路和二阶电路的时域分析P16
44、2 例7-8 试验步骤：闭合S1，让C充电到U0；打开S1，接通S2，C开始放电。在适当的时候，把被试高压开关A拉开。L用很粗的导线绕制，其电阻可忽略不计。(1)为了模拟50Hz的工 频电流，L=？(2)uC(t)=?i(t)=?试验高压开关灭弧能力的振荡电路ARiLuC-+S2S1+-U0C3800m14.14kV解：LC1=w0=2pf=314 rad/sL=w02C1=2.67 (mH)i=w0LU0sinw0t=16.9sin314t(kA)uC=uL=U0sin(w0t+90o)=14.14 sin(314t+90o)(kV)第七章第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析一阶电路和二阶电路的时域分析P165 例7-9 解：S动作时，相当于对电路外施单位阶跃电流 is=e(t)A。对应齐次方程的解为：iL=(A1+A2t)e-pt A 特解：iL=1 A 全解：iL=1+(A1+A2t)e-pt ASLISiLt=0CG+-uC+-uLiCiRuC(0-)=0iL(0-)=0210-3S 1m1H1A求：iL、uC 和 iCLCd2iLdt2+GLdiLdt+iL=IS特征方程：p2+CGp+LC1=0p1,2=2CG-2CG2-LC1代入数据：p1=p2=p=-10-3初始值：diLdt0+=LuL(0+)=LuC(0+)=0iL(0+)=iL(0-)=0
