1、第一章 晶体结构为什么要研究结构结构决定了相互作用，相互作用又决定了运动，不同的运动形式具有不同的性质，也就是结构决定了性质碳的几种不同结构碳的几种不同结构零维：足球烯 超导、强磁性、耐高压、抗化学腐 蚀、在光、电、磁 等领域有潜在的应用前景。一维：碳纳米管强度是钢的100倍，而质量仅为钢的1/7，如果能做成碳纤维，将是理想的轻质高强度材料。碳纳米管还具有极强的储气能力，可以在燃料电池储氢装置上二维：石墨烯 世界上已知的导电性最好，最薄最坚硬的材料三维：无定形碳、石墨、金刚石我们要如何描述这些我们要如何描述这些 形态各异的晶体？形态各异的晶体？晶体具有规则的几何形状晶体具有规则的几何形状人们对
2、晶体的初步认识晶体具有确定的晶体具有确定的熔点熔点 物理性质各向异性物理性质各向异性 有分子原子等更小结构的概念有分子原子等更小结构的概念对晶体结构认识的历史1669年，意大利科学家斯丹诺（Nicolaus Steno）发现了晶面角守恒定律1784年，法国科学家阿羽依（Rene Just Hauy）推断晶体具有规则的几何外形是由于组成晶体的“小基石”规则排列的结果。1850年，法国科学家布拉维（A.Bravais）把以上学说发展成空间点阵学说，并证明只有14种点阵类型。1890-1895年，俄国科学家费奥多罗夫（Fedorov）、熊夫利（Schoenflies）等各自建立了晶体对称性的空间群理
3、论。1 1、基元（、基元（basisbasis）和点阵（）和点阵（latticelattice）晶体结构的最显著特点是周期性。理想情况下，晶体可以晶体结构的最显著特点是周期性。理想情况下，晶体可以看成是看成是由一由一“基本结构单元基本结构单元”基元，在空间基元，在空间无限无限重复排列构重复排列构成的，成的，这种性质称为这种性质称为晶体结构的周期性晶体结构的周期性。没有边界，所以所没有边界，所以所有的基元都是等同的，如果有边界就不同了。理想晶体与实际有的基元都是等同的，如果有边界就不同了。理想晶体与实际晶体的区别晶体的区别1.1 原子的周期性阵列原子的周期性阵列 化学组成、空间结构、排列取向、周
4、围环化学组成、空间结构、排列取向、周围环境相同的原子、分子、离子或离子团的集合，境相同的原子、分子、离子或离子团的集合，是组成晶体的是组成晶体的最小最小结构单元。结构单元。注意注意：一般不等于化学组成的基本单元。比如：一般不等于化学组成的基本单元。比如碳的各种不同晶体其基元不同，但其化学组成碳的各种不同晶体其基元不同，但其化学组成的基本单元都是碳原子。的基本单元都是碳原子。基元的定义：基元的定义：石墨烯基元的选择石墨烯基元的选择为了描述晶体中原子的排列规则，将每一个原子（原子团等）为了描述晶体中原子的排列规则，将每一个原子（原子团等）抽象视为一个几何点（称为阵点），从而得到一个按一定规则抽象视
5、为一个几何点（称为阵点），从而得到一个按一定规则排列分布的无数多个阵点组成的空间阵列，称为空间点阵或晶排列分布的无数多个阵点组成的空间阵列，称为空间点阵或晶体点阵，简称点阵。也就是说，在空间任何方向上均为周期性体点阵，简称点阵。也就是说，在空间任何方向上均为周期性排列的无限个排列的无限个全同全同点的集合。点的集合。注意注意：点阵所描写的或所代表的仅仅是晶体结构的周期性，不等同于点阵所描写的或所代表的仅仅是晶体结构的周期性，不等同于周期结构周期结构 ，只有把物理实体即基元以相同的方式放置于点阵的阵点上（方，只有把物理实体即基元以相同的方式放置于点阵的阵点上（方位要相同）才能形成周期结构；全同包括
6、每个点均有相同的环境位要相同）才能形成周期结构；全同包括每个点均有相同的环境点阵的定义：点阵的定义：点阵的描述（非数学上的）点阵的描述（非数学上的）如何选取building block？Bravais Rule：应充分反应点阵的对称性；格子直角应尽可能的多（便于计算）；所包含的阵点数应尽可能的少 划分结果：14种Bravais lattices Bravais lattice的定义：晶格只有一种原子构成，基元也只有一个原子，且原子中心与阵点中心重合。也就是说，每个格点周围环境完全相同。单式格子：每个格点只有一个原子复式格子：如果有多个原子的话，可以看成由多个相同的Bravais lattice
7、相互位移套构而成的。晶格：晶格：通过空间点阵中的阵点可以作许多平行的直通过空间点阵中的阵点可以作许多平行的直线族或平行的平面族，这样三维的空间点阵形成线族或平行的平面族，这样三维的空间点阵形成网格状分布，它代表晶体中基元的具体排列方式，网格状分布，它代表晶体中基元的具体排列方式，称为晶格。称为晶格。相应代表基元的阵点称为格点。相应代表基元的阵点称为格点。由于历史上空间点阵学说是布拉菲最早提出的，由于历史上空间点阵学说是布拉菲最早提出的，所以上述的点阵有称为布拉菲点阵，相应的晶格称所以上述的点阵有称为布拉菲点阵，相应的晶格称 为布拉菲格子。为布拉菲格子。等同点系：晶格中所有与起始点在等同点系：晶
8、格中所有与起始点在化学、物理和化学、物理和 几何环境完全相同几何环境完全相同的点的集合的点的集合 点阵：由等同点系所点阵：由等同点系所抽象抽象出来的一系列在空间出来的一系列在空间 中周期排列的中周期排列的几何点几何点的集合体的集合体 格格 点：空间点阵中周期排列的几何点点：空间点阵中周期排列的几何点 基基 元：一个格点所代表的物理实体元：一个格点所代表的物理实体晶体结构点阵基元晶体结构点阵基元晶体是由结构基元（可以是原子、分子或离子）在空间呈不随时间变化的规则的三维周期排列而成，这是晶体的本质特征。为了研究结构基元排列的规律，先撇开结构基元，从每个结构基元的等同点抽象出空间点阵，研究空间点阵的
9、阵点排列规律性。不同种类的结构基元有可能具有相同的排列方式。因此晶体结构可视为Na+Cl-氯化钠晶体结构氯化钠晶体结构 NaNa+周期性排列和周期性排列和ClCl-周期性排列周期性排列相间交替形成氯化钠晶体结构相间交替形成氯化钠晶体结构 基元：基元：由相距半个晶格常数的由相距半个晶格常数的正离子和负离子构成正离子和负离子构成 等同点等同点：正离子或负离子：正离子或负离子2.晶格平移矢量晶格平移矢量基矢：为了描述点阵而引入基矢：为了描述点阵而引入在布拉菲点阵中，人为选取的与晶格维数同在布拉菲点阵中，人为选取的与晶格维数同样多的一组矢量，使得晶格中任意两个格点样多的一组矢量，使得晶格中任意两个格点
10、间的位移矢量（即格矢量）可以表达为该矢间的位移矢量（即格矢量）可以表达为该矢量的整数线性组合。量的整数线性组合。注意注意：基矢不唯一：基矢不唯一 基矢的选择是多样的基矢的选择是多样的1231a2a1a2a1a2a 原点的选取也可以是任意的原点的选取也可以是任意的 晶格矢量群平移后没有任何变化，晶格矢量群平移后没有任何变化，叫做晶格（或点阵）的平移对称性叫做晶格（或点阵）的平移对称性在三维布拉菲晶格中在三维布拉菲晶格中,格矢量格矢量332211alalalR其中其中 、为一组基矢。即平移矢量为一组基矢。即平移矢量 1a2a3a、为一组整数。为一组整数。1l2l3l1a2a3a)0,0,0(312
11、,0,12aaR 布拉菲点阵的数学定义布拉菲点阵的数学定义332211anananRn),3,2,1,0,(321 nnnnR称为晶格平移矢量称为晶格平移矢量确定原点和基矢后，晶格中任一格点都可以用矢量：确定原点和基矢后，晶格中任一格点都可以用矢量：表示。由于格点周期性排列，从任一格点表示。由于格点周期性排列，从任一格点出发平移出发平移 后必然得到另一个格点，所以后必然得到另一个格点，所以由上式确定的点的集合等价为布拉菲格子由上式确定的点的集合等价为布拉菲格子nR 基元中原子位置的相对表示基元中原子位置的相对表示3.基元与原胞（初基晶胞）基元与原胞（初基晶胞）在三维布拉菲晶格中在三维布拉菲晶格
12、中,某个原子在基元内的相某个原子在基元内的相对坐标：对坐标：1,0321jjjjjjjzyxazayaxrl初基晶胞（原胞）初基晶胞（原胞）由基矢 为3个棱边组成的平行六面体。321,aaa1a1a2a3a3a2a只反应了晶体的微观周期性，很多时候没有反应出晶体的宏观对称性只反应了晶体的微观周期性，很多时候没有反应出晶体的宏观对称性基矢选择不唯一使得初基晶胞形状不唯一基矢选择不唯一使得初基晶胞形状不唯一性质：性质：1 1、原胞有八个顶点，每个原胞包含一个格点，是晶体中最小的体积周期重复、原胞有八个顶点，每个原胞包含一个格点，是晶体中最小的体积周期重复单元。可以平行、无交叠堆积，不留空隙的填满整
13、个空间形成晶体。单元。可以平行、无交叠堆积，不留空隙的填满整个空间形成晶体。2 2、原胞体积：、原胞体积：)(321aaav3 3、不同原胞中对应点物理性质、不同原胞中对应点物理性质 相同，称为相同，称为平移对称性平移对称性，用晶格平移矢量表示为：，用晶格平移矢量表示为：)()(rVRrVn)(rV4 4、原胞的选择是多样的，但体积相同。、原胞的选择是多样的，但体积相同。1231a2a1a2a1a2a（矢量的混合积）（矢量的混合积）基元与原胞的区别概念不同 基元是具体的原子或原子团，是具体的 结构单元。原胞是体积单元。一个原胞只有一个基元 Wigner-Seitz原胞（原胞（WS原胞）（对称原
14、胞）：与基矢的选原胞）（对称原胞）：与基矢的选择没有关系，且能反应晶体的宏观对称性。择没有关系，且能反应晶体的宏观对称性。定义：选定一格点为中定义：选定一格点为中心，作该点与最邻近格点的心，作该点与最邻近格点的中垂面，中垂面所围成的多中垂面，中垂面所围成的多面体。面体。WS原胞性质：原胞性质：只包含一个格点，其体积与固体物理学原胞体积只包含一个格点，其体积与固体物理学原胞体积相等，也是最小的周期性单元。相等，也是最小的周期性单元。WS原胞避免了对基矢的选择问题，与布拉菲点原胞避免了对基矢的选择问题，与布拉菲点阵具有完全相同的对称性。阵具有完全相同的对称性。平移对称性反而不直观平移对称性反而不直
15、观原胞的优点：每个原胞只含有一个格点，能反应出晶体的原胞的优点：每个原胞只含有一个格点，能反应出晶体的微观周期性。微观周期性。原胞的缺点：没有反应出晶体的宏观对称性，且三个基矢原胞的缺点：没有反应出晶体的宏观对称性，且三个基矢之间的夹角很多时候不是直角，不利于计算。之间的夹角很多时候不是直角，不利于计算。所以在结晶学中，通常选取最小单元的几倍作为原胞，称所以在结晶学中，通常选取最小单元的几倍作为原胞，称为结晶学原胞或晶胞。为结晶学原胞或晶胞。晶胞晶胞 除了周期性外，每种晶体还有除了周期性外，每种晶体还有自己特殊的对称性。为了同时反映自己特殊的对称性。为了同时反映晶格的对称性，往往会取最小重复晶
16、格的对称性，往往会取最小重复单元的一倍或几倍的晶格单位作为单元的一倍或几倍的晶格单位作为原胞。结晶学中常用这种方法选取原胞。结晶学中常用这种方法选取原胞，故称为结晶学原胞，简称晶原胞，故称为结晶学原胞，简称晶胞（也称为单胞）胞（也称为单胞）。结晶学原胞（晶胞、惯用晶胞）结晶学原胞（晶胞、惯用晶胞）结晶学原胞（晶胞）的选取方法结晶学原胞（晶胞）的选取方法 选取晶体选取晶体三个不共面的对称轴（晶轴）矢量三个不共面的对称轴（晶轴）矢量 作为坐标轴（基矢），其作为坐标轴（基矢），其矢量长度等于各轴上的周期，所围成的平行六面体。矢量长度等于各轴上的周期，所围成的平行六面体。cba,abcacbcba3a
17、1a2a简单立方简单立方体心立方体心立方面心立方面心立方选取晶胞的原则选取晶胞的原则a)选取的平行六面体能代表整个空间点阵的对称性；b)平行六面体内相等的棱和角的数目最多；c)平行六面体棱间的直角最多；d)在满足上述条件下，晶胞应具有最小的体积。总之，晶胞的选择既要考虑周期性，又要考虑宏观对称性 1 1、晶胞边长称为晶格常数（点阵常数）、晶胞边长称为晶格常数（点阵常数）2 2、惯用晶胞可以是初基的，也可以是非初基惯用晶胞可以是初基的，也可以是非初基 的，若一个的，若一个初基晶胞能反映出点阵的对称性，那么它也初基晶胞能反映出点阵的对称性，那么它也 就是惯用晶就是惯用晶胞。比如立方点阵，初基晶胞也
18、就是惯用晶胞。胞。比如立方点阵，初基晶胞也就是惯用晶胞。惯用晶惯用晶胞体积是原胞体积的整数倍；胞体积是原胞体积的整数倍；3 3、除顶点外，格点可能出现在平行六面体的体心或面心、除顶点外，格点可能出现在平行六面体的体心或面心上；上；4 4、惯用晶胞不仅能反映格子的周期性，也能反映格子的、惯用晶胞不仅能反映格子的周期性，也能反映格子的对称性对称性 晶胞性质晶胞性质比较 固体物理学原胞往往不能直观的反映点阵的宏观对称性，但能完全反映点阵的平移对称性；WS原胞既能完全反映点阵的平移对称性，又能充分反映点阵的宏观对称性，但是其图形复杂，不好直观想象；晶胞能直观的反映点阵的宏观对称性，但有时不能完全反映点
19、阵的平移对称性。kji,取晶轴作为坐标轴，坐标轴单位矢量用 表示。简单立方（简单立方（sc）晶胞基矢：cbakacj abi aa,原胞基矢：kaaj aai aa321,321aaa晶胞与原胞体积相等，包含一个格点。1aa2ab3acijk常用的几种晶胞简介常用的几种晶胞简介体心立方（bcc）原子个数原子个数2晶胞：晶胞：基矢基矢aaibajcak 体积体积3VaBCC Lattice原胞：原胞：基矢基矢体积体积123222()()()aaijkaaijkaaijk 31232aVaaa原子个原子个数数1 由一个顶点向三个体心引由一个顶点向三个体心引基矢。基矢。原子个原子个数数4晶胞：晶胞：
20、基矢基矢aaibajcak 体积体积3Va面心立方（fcc）原胞：原胞：基矢基矢体积体积123222()()()aaijaajkaaki31234aVaaa原子个原子个数数1 由一个顶点向三个面心引由一个顶点向三个面心引基矢。基矢。FCC lattice晶胞的几何特性 以sc为例ab1、晶胞的体积 ab2、晶胞内的原子数（棱边、面心、体心上分别有原子时怎么算）3、原胞的体积 晶胞的体积除以晶胞内的原子数4、单位体积内的原子数：晶胞内的原子数除以晶胞体积，可以看出，单位体积内的原子数非常多。5、最近邻原子数（配位数）：sc：6，bcc：8，fcc：126、最近邻原子间距：越大，原子排列越稀疏。s
21、c，bcc，fcc分别是多少？7、次近邻原子数8、次近邻原子间距9、堆垛因子（致密度）：晶胞内原子体积除以晶胞体积。计算sc，bcc，fcc的堆垛因子分别是多少？晶胞体积晶胞中原子所占的体积堆积系数1、晶向与晶列、晶向与晶列1.2 晶面指数系统晶面指数系统 通过布拉菲格子的任意两个格点作一条直线，这一直线称为通过布拉菲格子的任意两个格点作一条直线，这一直线称为晶列晶列。晶列的取向叫做晶向，即点阵中阵点的排列方向。晶列的取向叫做晶向，即点阵中阵点的排列方向。在一晶列外的节点可作一些与原晶列平行的晶列。这些晶列的总在一晶列外的节点可作一些与原晶列平行的晶列。这些晶列的总和称为一族晶列。和称为一族晶
22、列。同族晶列中的晶列相互平行，并且完全等同，所以一族晶列的特同族晶列中的晶列相互平行，并且完全等同，所以一族晶列的特点是晶列的取向。点是晶列的取向。晶列1晶列2晶体性质的各向晶体性质的各向异性，表明晶体异性，表明晶体结构具有方向性。结构具有方向性。晶列的特点晶列的特点 （1）一族平行晶列把所有格点包括无遗。）一族平行晶列把所有格点包括无遗。（2）在一平面中，同族的相邻晶列之间的）在一平面中，同族的相邻晶列之间的距离相等。距离相等。（3）通过一格点可以有无限）通过一格点可以有无限 多个晶列，多个晶列，其中每一晶列都有一族平行的晶列与之对其中每一晶列都有一族平行的晶列与之对应。应。（4）有无限多族
23、平行晶列。）有无限多族平行晶列。晶向的表示法晶向的表示法(、为互质整数）332211alalalR1l2l3l晶向记为晶向记为 ，。1l2l3l ，称为晶列指数。称为晶列指数。1l2l3l原子沿晶向到原子沿晶向到最近邻最近邻的晶格平移矢量的晶格平移矢量为为 由于晶格的对称性，晶体在某些晶向上的性质可能是完全相同的，这些晶向称为等效晶向，统称一组等效晶向时用表示。1l2l3l 将布拉菲格子的全部格点用一平行平面族包括无遗，则该平行平面族将布拉菲格子的全部格点用一平行平面族包括无遗，则该平行平面族称为称为晶面系（族）晶面系（族），族中每个平面称为，族中每个平面称为晶面晶面。同一布拉菲晶格可以形成无
24、穷种晶面族。同一布拉菲晶格可以形成无穷种晶面族。2 2、晶面、晶面一个晶面系有三个特点：一个晶面系有三个特点：（1）晶面方向相同；）晶面方向相同；（2）晶面间距相等；）晶面间距相等；（3）晶面格点分布相同；）晶面格点分布相同；确定晶面指数（密勒指数）的方法：确定晶面指数（密勒指数）的方法：（)先找出晶面在三个晶轴上的截距值先找出晶面在三个晶轴上的截距值,晶轴晶轴可以是初基的可以是初基的,也可以是非初基的也可以是非初基的（以晶格常数（以晶格常数为单位）；为单位）；（)将这些数取倒数将这些数取倒数(若截距无穷大即平行于若截距无穷大即平行于晶轴，则其倒数为晶轴，则其倒数为0);（)将这三个数化简成最
25、简互质整数比，放在将这三个数化简成最简互质整数比，放在圆括号中（圆括号中（hkl），这就是该面的晶面指数。若），这就是该面的晶面指数。若选定的晶轴是初基的（即是基矢），则选定的晶轴是初基的（即是基矢），则hkl是不是不含公约数的。含公约数的。如果晶轴选的是初基晶胞的基本矢量，则定义出来的三个互质整数就叫做晶面指数晶面指数 如果晶轴选的是惯用晶胞的三个基本矢量，则定义出来的三个互质整数就叫做密勒指密勒指数数晶面（密勒）指数的另外一种定义 选好原点，则必有某一晶面经过原点 必有平行于此晶面的另一个晶面经过晶轴上的 点，这两个晶面之间的其他平行晶面将 等分 成h1份 同样道理，其他两个晶轴也被等分成
26、h2，h3份 将h1，h2，h3化成互质整数得到晶面（密勒）指数1a1a3a2a1112223例：写出下图中晶面的晶面指数例：写出下图中晶面的晶面指数化成互质整数（具有相同比率的三个最小整数）比：化成互质整数（具有相同比率的三个最小整数）比：1a晶面在晶面在 三个轴上的截距：三个轴上的截距：1a2a3a2,2,3截距的倒数：截距的倒数：21,21,313:3:221:21:31得到晶面指数：得到晶面指数：)233(为什么要用倒易截数？1、如某晶面与某一晶轴平行，截数无穷大，而 倒易截数01如图 截距 截数 倒易截数121112121cba倒易截数比01212111:2、倒易截数为有理数，倒易截
27、数比必为整数比，且与衍 射指标相联系L:K:Hnl:nk:nh3、晶面指标应写成互质的236312111:如不能写成 12：6：4等晶面指标较小的平面点阵，其面间距较大，每面的密度较大晶面指标较小的平面点阵，其面间距较大，每面的密度较大立方晶格的几种主要晶面标记立方晶格的几种主要晶面标记 3、常见的晶面指数、常见的晶面指数立方晶系的晶面和晶向立方晶系的晶面和晶向 证明立方晶系中方向hkl垂直于平面（hkl）。1axa2aya3aza 证明方法一证明方法一 对立方晶系，三个立方轴为zxyACBlahakaKn根据晶面指数的定义，平面组（hkl）中距原点最近的平面ABC在三个晶轴上的截距是 。该平
28、面法线方向的单位矢量 的方向余弦是其中，d是原点到平面ABC的垂直距离，法线方向的单位矢量是,a a ah k l ncos,cos,cosdhdkdlaaacoscoscos()dnxyzhxkylza由方向指数的定义，hkl方向的方向矢量是 显然，所以，方向所以，方向hkl垂直于具有相同指数的平面（垂直于具有相同指数的平面（hkl）。）。123()hkla hxkylzRaaa nR 证明方法二证明方法二 要证明方向hkl垂直于平面（hkl），只需证明方向矢量垂直于平面（hkl）上的两个矢量，例如AB和BC：显然有haxkaylazRaaABOBOAyxkh aaBCOCOBzylk 22
29、()()0aaABhaxkaylazyxaakhR同理所以，方向所以，方向hkl垂直于平面（垂直于平面（hkl）。()()0aaBChaxkaylazzylkRzxyACBlahakaKnO1.sc、bcc、fcc结构结构 在在sc、bcc、fcc点阵的每一个阵点点阵的每一个阵点上放上一个同种原子就变成了上放上一个同种原子就变成了sc、bcc、fcc晶体结构。晶体结构。例如金属钠是在例如金属钠是在bcc点阵点阵的每个阵点上放上一个原子得到的晶体。的每个阵点上放上一个原子得到的晶体。1.3 简单晶体结构简单晶体结构 很多金属具有很多金属具有bcc和和fcc结构，但是几乎没有金属具结构，但是几乎没
30、有金属具有有sc结构。如金属结构。如金属Li，Na，K等具有等具有bcc结构，而结构，而金属金属Au，Ag，Cu等具有等具有fcc结构。结构。2 氯化钠氯化钠(NaCl)结构结构 Na+，Cl-交替排列，每一个离子周围都有交替排列，每一个离子周围都有6个异类离子为个异类离子为最近邻。如果仅看一类离子，它们构成一个最近邻。如果仅看一类离子，它们构成一个fcc结构，所结构，所以，这种结构可以看作是两个分别由以，这种结构可以看作是两个分别由Na+和和Cl-离子构成的离子构成的fcc结构沿着对角线方向移动结构沿着对角线方向移动1/2对角线长而得到。对角线长而得到。该结构的布拉维点阵是该结构的布拉维点阵
31、是fcc，初基基元为一个，初基基元为一个Na+离子和离子和一个一个Cl-离子。离子。2 氯化钠氯化钠(NaCl)结构结构 一个惯用晶胞中有一个惯用晶胞中有4对离子，即对离子，即4个初基基元，共个初基基元，共8个个离子离子:Cl-:(000),(1/2,1/2,0),(0,1/2,1/2),(1/2,0,1/2)Na+:(1/2,1/2,1/2),(1/2,0,0),(0,1/2,0),(0,0,1/2)3 氯化氯化铯铯(CsCl)结构结构 惯用晶胞中也只有惯用晶胞中也只有1对离子，即对离子，即1个初基基元，共个初基基元，共2个个离子离子:Cs+:(000),Cl-:(1/2,1/2,1/2)C
32、l-Cs+Cs+，Cl-交替排列，每一个离交替排列，每一个离子周围都有子周围都有8个异类离子为最近个异类离子为最近邻。如果仅看一类离子，它们邻。如果仅看一类离子，它们构成一个构成一个sc结构。结构。该结构的布拉维点阵是该结构的布拉维点阵是sc，初基基元为一个初基基元为一个Cs离子和一离子和一个个Cl-离子。离子。通常，把晶体结构中每一个原子的最近邻的原子数通常，把晶体结构中每一个原子的最近邻的原子数称为称为配位数配位数。晶体结构晶体结构 配位数配位数sc 6bcc 8fcc 12NaCl 6 （即为（即为6个异类离子为最近邻）个异类离子为最近邻）CsCl 8 （即为（即为8个异类离子为最近邻）
33、个异类离子为最近邻）配位数的高低反映晶体结构原子排列的稀松和紧密配位数的高低反映晶体结构原子排列的稀松和紧密情况。情况。4.4.六角密堆积结构六角密堆积结构hexagonal close-packed,hcp）将原子看成刚性硬球，在一个平面上按最紧密排列，这样将原子看成刚性硬球，在一个平面上按最紧密排列，这样一个原子排列最紧密的平面我们通常称为密排面一个原子排列最紧密的平面我们通常称为密排面.把一个个密排把一个个密排面按最紧密方式堆积起来就是密堆积结构面按最紧密方式堆积起来就是密堆积结构.二维密排二维密排堆积堆积二维正方二维正方堆积堆积 原子在晶体中的平衡位置，排列采取尽可能的紧密方原子在晶体
34、中的平衡位置，排列采取尽可能的紧密方式式 结合能最低的位置结合能最低的位置 密堆积所对应的配位数密堆积所对应的配位数 晶体结构中最大的配位数晶体结构中最大的配位数 12 在一个层中，最紧密的堆积方式，是在一个层中，最紧密的堆积方式，是一个球与周围一个球与周围 6 个球相切，在中心的周围个球相切，在中心的周围形成形成 6 个凹位，将其算为第一层。个凹位，将其算为第一层。第二层第二层 对第一层来讲最紧密的堆积方式是将球对准对第一层来讲最紧密的堆积方式是将球对准 1，3，5 位。位。(或对准或对准 2，4，6 位，其情形是一样的位，其情形是一样的)123456123456 关键是第三层，对第一、二层
35、来说，第三层可以有两种最紧关键是第三层，对第一、二层来说，第三层可以有两种最紧密的堆积方式。密的堆积方式。在一个层中，最紧密的堆积方式，是一个球与周围在一个层中，最紧密的堆积方式，是一个球与周围 6 个球相切，在中心的周围形成个球相切，在中心的周围形成 6 个凹位，将其算为第一个凹位，将其算为第一层。层。下图是此种六方下图是此种六方紧密堆积的前视图紧密堆积的前视图ABABA 第一种是将球对准第一层的球。第一种是将球对准第一层的球。123456 于是每两层形成一个周期，于是每两层形成一个周期，即即 AB AB 堆积方式，形成六堆积方式，形成六方紧密堆积方紧密堆积。配位数配位数 12。(同层同层
36、6，上下层各上下层各 3)第三层的第三层的另一种另一种排列排列方式，方式，是将球对准第一层是将球对准第一层的的 2，4，6 位位，不同于不同于 AB 两层的位置两层的位置，这是这是 C 层。层。123456123456123456123456此种立方紧密堆积的前视图此种立方紧密堆积的前视图ABCAABC 第四层再排第四层再排 A，于是形于是形成成 ABC ABC 三层一个周三层一个周期。期。得到面心立方堆积得到面心立方堆积。配位数配位数 12。（求轴比）（求轴比）(同层同层 6，上下层各上下层各 3)BCA ABC ABC 形式的堆积，形式的堆积，为什么是面心立方堆积？为什么是面心立方堆积？我
37、们来加以说明。我们来加以说明。这两种堆积都是最紧密堆积这两种堆积都是最紧密堆积，空间利用率为空间利用率为 74.05%。证明证明 金属钾金属钾 K 的的立方体心堆积立方体心堆积 还有一种空间利用率稍低的堆积方式，立方体心堆积：立方还有一种空间利用率稍低的堆积方式，立方体心堆积：立方体体 8 个顶点上的球互不相切，但均与体心位置上的球相切。个顶点上的球互不相切，但均与体心位置上的球相切。配位数配位数 8，空间利用率为，空间利用率为 68.02%（证明证明）。）。六方紧密堆积六方紧密堆积 IIIB，IVB面心立方紧密堆积面心立方紧密堆积 IB，Ni，Pd，Pt立方体心堆积立方体心堆积 IA，VB，
38、VIB 金属的金属的堆积方式堆积方式5 金刚石结构金刚石结构 半导体硅半导体硅Si和锗和锗Ge等都具有金刚石结构，并且一些重等都具有金刚石结构，并且一些重要的二元化合物半导体也与这种类型的结构有关。要的二元化合物半导体也与这种类型的结构有关。该结构可以看作是两个该结构可以看作是两个fcc晶格格点上放上同种原子沿立晶格格点上放上同种原子沿立方体的体对角线错开方体的体对角线错开1/4对角对角线长而得到。线长而得到。碳原子构成的一个面心立碳原子构成的一个面心立方原胞内还有四个原子，分别方原胞内还有四个原子，分别位于四个空间对角线的位于四个空间对角线的 14处处找四个最近邻并求最近邻间距求其堆垛比图中
39、分数值表示以立方体边长为单位，其原子处在基准面图中分数值表示以立方体边长为单位，其原子处在基准面上方的高度。上方的高度。0座标为基准面上的原子，座标为基准面上的原子，1/2坐标为四个侧坐标为四个侧面上面心上的原子的投影坐标。面上面心上的原子的投影坐标。立方惯用晶中共有立方惯用晶中共有8个全同碳原子个全同碳原子:(000),(1/2,0,1/2),(1/2,1/2,0),(0,1/2,1/2)(1/4,1/4,1/4),(3/4,1/4,3/4),(3/4,3/4,1/4),(1/4,3/4,3/4)在在1/4和和3/4处的点是处在另一处的点是处在另一个个fcc格子上。格子上。金刚石型结构的晶格
40、类型属于金刚石型结构的晶格类型属于fcc晶格点阵。初基基元有两晶格点阵。初基基元有两个全同原子，座标为个全同原子，座标为(000)和和(1/4,1/4,1/4).它们均处于一个它们均处于一个fcc格子上。格子上。每个原子有四个最近邻，即配位数为每个原子有四个最近邻，即配位数为4。金刚石结构是元。金刚石结构是元素周期表中第素周期表中第IV族元素具有方向性共价键键合的典型例证。族元素具有方向性共价键键合的典型例证。每一个原子有四个共价键。将每一个原子的每一个原子有四个共价键。将每一个原子的4个最近邻原个最近邻原子连起来就构成一个正四面体。子连起来就构成一个正四面体。金刚石金刚石6 立方硫化锌（立方
41、硫化锌（ZnS）结构（闪锌矿结构）结构（闪锌矿结构）该结构可以看作是，在两个该结构可以看作是，在两个fcc点阵阵点上分别放上不同点阵阵点上分别放上不同锌原子和硫原子后，沿着立方体的体对角线错开锌原子和硫原子后，沿着立方体的体对角线错开1/4对角对角线长而得到。线长而得到。立方硫化锌结构的立方硫化锌结构的晶格类型属晶格类型属于于fcc晶格点阵。初基基元有晶格点阵。初基基元有两个不同原子，座标为两个不同原子，座标为S(000)和和Zn(1/4,1/4,1/4).SZn立方惯用晶中共有立方惯用晶中共有8个原子个原子:S:(000),(1/2,0,1/2),(1/2,1/2,0),(0,1/2,1/2
42、)Zn:(1/4,1/4,1/4),(3/4,1/4,3/4),(3/4,3/4,1/4),(1/4,3/4,3/4)布拉菲点阵有一些基本性质，对称性是布拉菲点阵有一些基本性质，对称性是其基本性质之一。其基本性质之一。什么是对称性？什么是对称性？为什么要研究点阵的对称性？为什么要研究点阵的对称性？1.4 点阵的基本类型点阵的基本类型什么是对称性 爱因斯坦给出的对称性定义为：对称性是在描述物体的变量的空间中物体经过某种变换后 的不变性。费多洛夫的定义：几何图形是自己的各个部分重合的性质，或者更确切的说是几何图形在不同位置上与最初位置重合的性质。一般来说，晶体的宏观性质是各向异性的，但在某些特定的
43、方向上，晶体的性质可以是各向异性的，这种晶体宏观性质在不同方向上有规律重复出现的现象，称为晶体的对称性。例：例：围绕光轴（围绕光轴（C C轴）每转动轴）每转动120120，晶体自身重合。在垂直于，晶体自身重合。在垂直于C C轴的平面内，轴的平面内，石英晶体具有三重对称性。表现在宏观性质上，相隔石英晶体具有三重对称性。表现在宏观性质上，相隔120120方向上，晶体的方向上，晶体的物理性质是一样的。物理性质是一样的。C轴 晶体结构的对称性晶体结构的对称性 晶体内部原子（离子）的规则排列使晶体具有外形规则性，晶体内部原子（离子）的规则排列使晶体具有外形规则性，不仅几何外形上具有明显对称性，而且晶体的
44、宏观物理性质不仅几何外形上具有明显对称性，而且晶体的宏观物理性质也表现明显对称性。这种性质称为晶体结构的对称性。也表现明显对称性。这种性质称为晶体结构的对称性。对称性的本质是指系统中一些要素是等价的，对称性越高对称性的本质是指系统中一些要素是等价的，对称性越高的系统，需要独立表征的系统要素就越少，描述起来就越的系统，需要独立表征的系统要素就越少，描述起来就越 简单，且能大大简化某些计算工作量。简单，且能大大简化某些计算工作量。对于一个具体的晶体材料，如果知道了它对于一个具体的晶体材料，如果知道了它的点对称性，那么它的某种物理性质就可的点对称性，那么它的某种物理性质就可以确定，这称为以确定，这称
45、为Neumann原理。原理。对称性的分类按照是否考虑平移来分 宏观对称性：不考虑平移对称性，宏观对称操作时，晶体至少有一个点不动，所以相应的对称操作又称为点对称操作。微观对称性：考虑平移后 的对称性，除了宏观对称操作完全适用外，还包括了平移、螺旋旋转、滑移反映三种新的对称元素。1 1、晶体结构的对称操作、晶体结构的对称操作所谓点阵的对称操作是这样一种运动或动作：将点阵经过这样一种操作后，点阵中的所有阵点都会落到操作前的等价点上，这种操作的结果是把点阵引入到与原始状态完全等价的构型上。对称操作越多，晶体对称性越高。在操作中保持空间中至少一个点不动的对称操作称为在操作中保持空间中至少一个点不动的对
46、称操作称为点对称点对称操作操作，如简单旋转和镜像转动，如简单旋转和镜像转动(反映和倒反反映和倒反)是是点式操作点式操作;使空使空间中所有点都运动的对称操作称为间中所有点都运动的对称操作称为非点式操作非点式操作，如平移，螺，如平移，螺旋转动和滑移反映。旋转动和滑移反映。点对称操作主要分以下几类：点对称操作主要分以下几类：（1 1）转动）转动 将点阵（或晶体）绕通过某一定点将点阵（或晶体）绕通过某一定点的轴进行旋转，如果，每转动的轴进行旋转，如果，每转动2/2/点点阵都是自身还原的，则相应的转动轴，阵都是自身还原的，则相应的转动轴，我们称之为重转动轴。转动轴的符号我们称之为重转动轴。转动轴的符号用
47、用1 1、2 2、3 3、4 4、6 6表示。（晶体固有的平表示。（晶体固有的平移对称性对许可的转动操作有严格的限移对称性对许可的转动操作有严格的限制，可以制，可以证明只有这五种转动对称性证明只有这五种转动对称性）B点转到点转到B点点 B点必有一个格点点必有一个格点 绕通过绕通过A的转轴的任意对称操作，转过角度的转轴的任意对称操作，转过角度 A和和B两点等价两点等价以通过以通过B点的轴顺时针转过点的轴顺时针转过 A点转到点转到A点点 A点必有一个格点点必有一个格点 设想有一个对称轴垂直于平面，设想有一个对称轴垂直于平面，B是是A的最近邻点的最近邻点由于由于 ，而且而且AB为该方向上的最短平移周
48、期，所以有为该方向上的最短平移周期，所以有 ABAB/ABpAB p为整数为整数 由几何关系由几何关系有有即：即：p=1-2cos cos 的变化范围的变化范围+1-1)-cos(21 ABAB)cos21(ABcos =+1,+1/2,0,-1/2,-1 =0,60,90,120,180 p =-1,0,1,2,3 n =1，6，4，3，2 除了除了1，2，3，4和和6以外的以外的其他角度的转动，例如转动其他角度的转动，例如转动2/5或或2/7，不可能找到使之与自身，不可能找到使之与自身重合的晶格。适当设计的单分子重合的晶格。适当设计的单分子可以有任意角度的转动对称性，可以有任意角度的转动对
49、称性，但是一个无限的周期晶格则不可但是一个无限的周期晶格则不可能。可以用分子制作一个晶体，能。可以用分子制作一个晶体，其中单独的分子具有其中单独的分子具有5重转动轴，重转动轴，但是不能期望晶格具有但是不能期望晶格具有5重转动重转动轴。轴。当试图去制作一个具有当试图去制作一个具有5重对称性的周期晶格将会遇到什么样的重对称性的周期晶格将会遇到什么样的情况情况:这些五边形不能相互贴紧地填充整个空间。或者说是这些五边形不能相互贴紧地填充整个空间。或者说是不可不可能使五边形相互连接的列阵不留任何空隙地充满整个空间能使五边形相互连接的列阵不留任何空隙地充满整个空间。这就。这就表明，不可能将表明，不可能将5
50、重点对称性同所需要的平移周期性结合起来。重点对称性同所需要的平移周期性结合起来。（3 3）中心反演）中心反演 通过某一定点的直线为轴，将点阵或晶体先转动通过某一定点的直线为轴，将点阵或晶体先转动1801800 0，然后通过过这一定点而垂直于旋转轴的平面再，然后通过过这一定点而垂直于旋转轴的平面再作镜面反映的操作称为中心反演。这样的操作效果相作镜面反映的操作称为中心反演。这样的操作效果相当于把（，）变成为（，当于把（，）变成为（，z z）。）。原点原点O O称为对称心，中心反演一般用表示。称为对称心，中心反演一般用表示。（2 2）镜面反映）镜面反映 若一个点阵以通过某一定点的平面为镜面，将点阵反
