1、 第三讲有关对称问题第三讲有关对称问题学习目标基础落实金典例题 1.掌握中心对称和轴对称的概念.2.掌握对称轴是特殊直线（如x轴、y轴、yx等）的对称问题的处理方法.3.会根据对称的定义处理对称轴是一般直线的对称问题.1.（1）点（a，b）关于点（2,3）的对称点的坐标为；（2）点（a，b）关于直线xy0的对称点的坐标为.（1）填（4a，6b）；（2）填（b，a）.（1）设点（a，b）关于（2,3）的对称点为（x，y），则 ,所以x4a，y6b，故所求对称点的坐标为（4a，6b）.22ax22by（2）设点（a，b）关于xy0的对称点为（x，y），则 ,，故所求点的坐标为（b，a）.1axby
2、022byaxyaxb解之得2.直线2x3y60关于点（1,1）对称的直线方程是()A.3x-2y+2=0B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=0选D.设对称直线上任一点为P（x，y），它关于（1,1）的对称点为（x0,y0），则,所以x02x,y02y,代入已知直线方程得2（2x）3（2y）60,即2x3y80.12,1200yyxx3.已知点P（3,2）与点Q（1,4）关于直线l对称，则直线l的方程为()A.xy10B.xy0C.xy10D.xy0选A.因为l是PQ的中垂线，所以,所以PQ的中点是（2,3），所以直线l的方程是y3x2,即xy10.11PQkK4
3、.直线x2y10关于直线x=1对称的直线方程是()A.x2y10B.x2y-10C.2xy30D.x2y30选D 解法1：（数形结合法）画出图形可知，对称直线经过x1,x2y10,即（1,1），且斜率与x2y10的斜率相反，即k12,由点斜式得y1（x1），即x2y30.选D.解法2：（代入法）因为(x,y)(2-x,y)，故曲线方程为：（2x）2y10,即x2y30,故选D.21x=1对称轴是特殊直线的对称问题光线从点A（2,4）射出，经过y轴反射，反射光线又经过x轴反射后，经过点B（4,2），（1）求入射光线所在直线的方程；（2）求光线从A到B经过的路程S.（1）如图，A（2,4），B（4
4、,2），AB：y4，即yx2,与y轴交点为（0,2），所以入射光线所在直线的方程为yx2.（2）A到B经过的路程SAB.)2(2442x26对称轴是特殊直线如x轴、y轴、直线yx等，其对称点可利用已知的结论直接得到.1.已知直线l1和l2夹角的平分线为y=x，如果l1的方程是ax+by+c=0（ab0），那么l2的方程是()A.bx+ay+c=0B.ax-by+c=0C.bx+ay-c=0D.bx-ay+c=0选A.因为l1和l2夹角的平分线为y=x,所以l1、l2关于y=x对称，因为(x,y)（y,x），则l2为ay+bx+c=0.y=x对称对称轴是一般直线的对称问题已知直线l：x+2y+1
5、=0，l1：x-y-2=0,求直线l1关于l对称的直线l2的方程.解法1：即A（1,1）在直线l2上.l1上取一点（2,0），设它关于l的对称点为B（x0,y0），x1,y1.x2y10,xy20,由得121200 xy0122200yx则解得540 x5120y即B在直线l2上.512,54因为,所以l2的方程为y17（x1），即7xy80.71541512kAB解法2：设P(x，y)为l2上任意一点，它关于l的对称点为P(x，y)必在l1上，且PP的中点Ml，PPl，即x(3x4y2)，y(4x3y4)，01222yyxx2xxyy5151在轴对称问题中，点关于直线的对称是最基本、最重要的
6、对称，处理这种对称问题要紧紧抓住对称的意义，利用垂直、平分两个条件列出方程组.本题中两种解法是解这类问题的基本解法.2.已知ABC的一个顶点，A（1,4），内角B、C的角平分线所在的直线方程分别是l1：y1,l2：xy10,求BC边所在直线的方程.由角平分线的性质可知：点A关于直线l1、l2的对称点在BC边所在的直线上，显然，点A（1,4）关于直线l1的对称点为M（1,2），设点A关于直线l2的对称点为N（a，b），则114ab011421aba解得a3,b0所以N（3,0）.2131221又kMN,所以BC的方程为y（x3），即x2y30.对称的实际应用问题某地两邻镇在一直角坐标系下的坐标为
7、A(1,2)，B(4,0)，一条河所在的直线方程为l:x+2y-10=0,若在河边l上建一座供水站P，使到A、B两镇的管道最省，问应建在什么地方.如图所示，过A作直线l的对称点A，连接AB交l于P.则P为所求.这是因为：若在P(异于P)，|AP|+|PB|=|AP|+|BP|AB|，因此，只能在点P处才取得最小值.设A(a,b),则有解之，得所以A(3,6).直线AB的方程为：，即6x+y-24=0.0102221ba12112aba+2b=15,b=2a.a=3,b=6.434060 xy点P由方程组确定.解得x=，y=，所以点P的坐标为.故供水站应建在点P上，才能使管道最省.6x+y-24=0,x+2y-10=0.1136,1138113811361136,1138凡是路程之和最近、光的行程最短等问题的求解都可考虑利用点关于直线对称进行处理.3.求函数的最小值.841)(22xxxxf因为所以上式可看做x轴上的点P（x，0）到A（0,1），B（2,2）的距离之和222222)20()2()10()0(841)(xxxxxxf，（如图）因为A（0,1）关于x轴的对称点为A（0,1），所以AB的方程为yx1,令y0,得x.故当x时，y取最小值.所以yminAB.13)12(22x323232
