1、第4章直流激励下的一阶动态电路1 1第4章 直流激励下的一阶动态电路4.1 电容元件电容元件 4.2 电感元件电感元件 4.3 换路定律换路定律 4.4 一阶电路的响应一阶电路的响应 本章小结本章小结 阅读材料：电容器与电容元件阅读材料：电容器与电容元件 实验实验7 一阶一阶RC电路的暂态响应分析电路的暂态响应分析 第4章直流激励下的一阶动态电路2 24.1 电容元件电容元件4.1.1 电容元件的定义电容元件的定义电容元件是电路模型中的一个基本元件，是一种表征电路元件储存电荷特性的理想元件。电容元件的定义是：如果一个二端元件在任一时刻，其所储存的电荷q与端电压u之间的关系由uq平面上的一条曲线
2、所确定，则称此二端元件为电容元件，如图4-1所示。第4章直流激励下的一阶动态电路3 3图4-1 电容元件的qu特性曲线 第4章直流激励下的一阶动态电路4 4电量与电压大小成正比关系的电容元件，如果它的qu曲线是一条通过坐标原点的直线，如图4-1(a)所示，则称为线性电容元件;否则，称为非线性电容元件，如图4-1(b)所示。今后所说的电容元件，如无特别说明，都是指线性电容元件,电路符号如图4-2所示。第4章直流激励下的一阶动态电路5 5图4-2 电容元件的符号 第4章直流激励下的一阶动态电路6 6电容元件的原始模型为由两块金属极板中间用绝缘介质隔开的平板电容器。当在两极板上加上电压后，两极板就分
3、别积累了等量的正、负电荷，即对电容器进行了充电，每个极板所带电量的绝对值，叫做电容器所带的电荷量。同时，在两个极板间建立了电场，储存电场能量。聚积的电荷愈多，所形成的电场就愈强，电容元件所储存的电场能也就愈大。当电容器两极板聚积的电荷量改变时，就形成电流。电容元件每个极板所带电荷量的多少与两极板间电压的大小有关，其关系式为uqC(4-1)第4章直流激励下的一阶动态电路7 7式(4-1)反映了电容元件容纳电荷的本领。我们把电荷量q与电压u的比值称为电容元件的电容量，简称电容，用C表示，在数值上等于单位电压加在电容元件两端时，储存的电荷量。在国际单位制中，电容的单位是法拉，简称法(F)。在实际应用
4、中，法拉这个单位太大，常用较小的单位微法(F)和皮法(pF)，它们和F(法拉)的换算关系是1F10-6F；1pF10-12F如果电容元件的电容为常量，不随它所带电荷量的变化而变化，这样的电容元件即为线性电容元件，它的电容量只与其本身的几何尺寸以及内部的介质情况有关。第4章直流激励下的一阶动态电路8 8习惯上常把电容元件和电容器简称为电容，所以“电容”一词有双重含义，一是指电容元件(电容器)本身，同时也指电容元件的参数(电容量)。电容具有隔直流、通交流、通高频、阻低频的特性。主要用于隔断直流的电容叫做隔直电容，把高频信号与低频信号分开的电容叫旁路电容，作为级间耦合的电容叫耦合电容。当加在一个实际
5、电容器两端的电压超过某一个限度时，两极板间的绝缘介质将被击穿而导电，形成短路，故电容器均有一定的耐压值，又称为电容器的额定直流工作电压。它是电容器在电路中长期(不少于1万小时)可靠工作所能承受的最高直流电压。第4章直流激励下的一阶动态电路9 94.1.2 电容元件的伏安关系电容元件的伏安关系电容元件两端的电压发生变化时，两极板积累的电荷量也要发生变化，电路中出现了电荷的移动，便形成电流。如图4-3所示，当电容上的电压u和电流i为关联参考方向时，根据电流的定义，得 由得q=Cu，代入上式，得 tqidd(4-2)uqC tuCidd(4-3)第4章直流激励下的一阶动态电路10 10图4-3 电容
6、元件电压、电流方向 第4章直流激励下的一阶动态电路11 11这就是关联参考方向下电容元件的伏安关系。式(4-3)表明，流过电容的电流与电容两端电压的变化率成正比。也就是说，电容元件任一瞬间电流的大小并不取决于这一瞬间电压的大小，而是取决于这一瞬间电压变化率的大小。电压变化越快，电流越大；电压变化越慢，电流越小。如果电容两端电压保持不变，则通过它的电流为零，因此直流电路中电容元件相当于开路。由于电容电流只取决于它两端电压的变化率，所以电容元件又叫动态元件。第4章直流激励下的一阶动态电路12 124.1.3 电容元件的储能电容元件的储能电容器两极板有电压，介质中就有电场，并储存电场能量。因此，电容
7、元件是一种储能元件。当电容元件电压与电流为关联参考方向时，电容元件的瞬时功率为 若p0，说明电容吸收能量(功率)，处于充电状态；若p0，则电容处于放电状态，向外释放能量(功率)。这说明电容能在一段时间内吸收外部供给的能量并储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，它本身并不消耗能量。tuuCuipdd(4-4)第4章直流激励下的一阶动态电路13 13设t0瞬间电容元件的电压为零，经过时间t后电压升高至u，则电容C从0到t时间内储存的电场能量为若C、u的单位分别为法拉(F)、伏特(V)，则WC的单位为焦耳(J)。式(4-5)表明，电容元件在某一时刻的储能，只与这一时刻的电压有关，与达到u的过程
8、、电流的大小及有无电流无关。也就是说，只要电容两端有电压，就存在储能。tttCuuCuttuCutpW0020C21ddddd(4-5)第4章直流激励下的一阶动态电路14 144.1.4 电容元件的串、并联等效电容元件的串、并联等效在实际工作中，选用电容器时必须考虑它的电容量和耐压能力。当遇到电容的大小不合适或耐压不够的问题时，就可以把几个电容器串联、并联或混联使用。1.电容器的串联电容器的串联把几个电容器各极板首尾相接，顺序连成一个无分支电路的连接方式叫做电容器的串联。如图4-4所示为三个电容器串联的电路。当一个电容器的耐压不能满足电路要求，而它的容量又足够大时，通常可将几个电容器串联起来使
9、用。第4章直流激励下的一阶动态电路15 15图4-4 电容器的串联 第4章直流激励下的一阶动态电路16 16电容器串联时，与电源相连的两个极板充有等量异号的电荷量q，中间各极板因静电感应而出现等量异号的感应电荷。显然，各个电容器的电荷量均为q，总的电荷量也为q。因此，串联电容器组中的每一个电容器都带有相等的电荷量，即q=q1=q2=q3根据电容的定义式，则每个电容器两端的电压分别为uqC 332211CquCquCqu，(4-6)第4章直流激励下的一阶动态电路17 17由KVL列出回路电压方程u=u1+u2+u3，代入式(4-6)得 对等效电容C而言，它两端电压是u，所带电荷量是q，应有关系式
10、比较式(4-7)、式(4-8)得)111(321321CCCqCqCqCqu(4-7)Cqu(4-8)3211111CCCC(4-9)第4章直流激励下的一阶动态电路18 18式(4-9)说明，串联电容的等效电容的倒数，等于各个电容的倒数之和。如果只有两个电容器串联，其等效电容为如果有n个电容器串联，可推广为 2121CCCCCn211111CCCC 第4章直流激励下的一阶动态电路19 19当n个电容器的电容相等，均为C0时，等效电容C为 等效电容C比每个电容器的电容都小，这相当于加大了电容器两极板间的距离d，因而电容减小；每个电容的电压都小于端口电压，故当电容器的耐压不够时，可将电容器串联使用
11、，需注意的是电容小的分得的电压反而大。nCC0第4章直流激励下的一阶动态电路20202.电容器的并联电容器的并联把几只电容器接到两个节点之间的连接方式叫做电容器的并联。如图4-5所示为三个电容器并联的电路。电容并联时，各电容电压相等，都等于端口电压u，它们所带的电荷量分别为q1=C1u，q2=C2u，q3=C3u所以，三个电容的总电荷量为q=q1+q2+q3=C1u+C2u+C3u=(C1+C2+C3)u并联电容的等效电容为321CCCuqC(4-10)第4章直流激励下的一阶动态电路21 21图4-5 电容器的并联 第4章直流激励下的一阶动态电路2222式(4-10)说明，当几个电容元件并联时
12、，其等效电容等于各并联电容之和。如果有n个电容器并联，可推广为C=C1+C2+Cn当n个电容器的电容相等，均为C0时，则等效电容为C=nC0电容器并联时，工作电压不得超过它们中的最低耐压。否则，一只电容器被击穿，整个并联电路就会被短接，这样会对电路造成危害。当电容器的耐压足够但电容量不够时，可将几个电容器并联使用，以得到所需的电容量。当电容量和耐压都不够时，可将一些电容器混联使用，即有些并联，有些串联。第4章直流激励下的一阶动态电路2323【例4-1】两个电容器C1和C2，其中C1=200F，耐压U1=100V；C2=50F，耐压U2=500V。(1)计算两电容器并联使用时的等效电容和耐压；(
13、2)计算两电容器串联使用时的等效电容和耐压。解(1)将两电容器并联使用时，等效电容为C=C1+C2=200+50=250F耐压为UU1=100V第4章直流激励下的一阶动态电路2424(2)两电容器串联时，等效电容为 因为q1=C1U1=200106100=20103Cq2=C2U2=50106500=25103C显然，q1q2，故串联后的电荷量q=C1U1=20103C耐压为F4020200502002121CCCCCV5001040102063CqU第4章直流激励下的一阶动态电路2525【例4-2】电容同为50F，耐压同为50V的三只电容器连接如图4-6所示，求电路的等效电容和耐压。解 C2
14、和C3并联后的等效电容为C23=C2+C3=50+50=100F电路的等效电容，即C1与C23串联的等效电容为由于C1小于C23，故U1必大于U23，因此需保证U1不超过其耐压50V。F 3331005010050231231.CCCCC第4章直流激励下的一阶动态电路2626图4-6 例4-2图 第4章直流激励下的一阶动态电路2727当U1=50V时，耐压UU1+U2350+25=75V，即端口电压不能超过75V。V 25100505023112323CUCCqU第4章直流激励下的一阶动态电路2828【例4-3】在图4-7(a)所示电路中，C1=C2=C3=0.2F，C4=C5=0.1F，求等
15、效电容C。解 为便于观察连接方式，将图4-7(a)整理得图4-7(b)，C4与C2、C3并联，其等效电容C234为C1与C234串联，其等效电容C1234为F 201010111432234.CCCCF 1020202020234123411234.CCCCC第4章直流激励下的一阶动态电路2929图4-7 例4-3图 第4章直流激励下的一阶动态电路3030C5与C1234并联，电路等效电容C为 C=C5+C1234=0.1+0.1=0.2 F 第4章直流激励下的一阶动态电路31 314.2 电感元件电感元件4.2.1 自感现象自感现象任何通有电流的导体，和磁体一样，都可以在其周围产生磁场，这一
16、现象称为电流的磁效应，是丹麦科学家奥斯特在1820年发现的。当导体中的电流发生变化时，它周围的磁场也会随着变化。第4章直流激励下的一阶动态电路3232通常将导线绕制成螺旋状线圈，称为电感线圈，当电流通过线圈时，线圈周围激发的磁场与其电流i成正比。若穿过单匝线圈的磁感应线的多少用磁通表示，对于一个有N匝且均匀紧密绕制的线圈，其总磁通N称为自感磁链，简称磁链，用表示，即=N当线圈中间和周围没有铁磁物质时，线圈的磁链也与产生它的电流i成正比，即Li=N上式中的比例系数L称为电感线圈的自感系数，简称自感或电感。电感L的定义为 第4章直流激励下的一阶动态电路3333电感的大小与电流无关，仅取决于线圈的大
17、小、形状、匝数以及周围(特别是线圈内部)磁介质的磁导率(铁芯电感还与通过的电流i有关)。线圈匝数越多，横截面积越大，其电感也越大。有铁芯的线圈比无铁芯的线圈电感L大得多。对于相同的电流变化率，L越大，自感电动势越大，即自感作用越强。iL(4-11)第4章直流激励下的一阶动态电路3434在国际单位制中，电感的单位为亨利，简称亨(H)，还有较小的单位毫亨(mH)和微亨(H)，它们之间的换算关系为1mH10-3H，1H10-6H绕制线圈的导线总存在一定的电阻，所以当有电流i通过电感线圈时，除了在其周围产生磁场，储存一定的磁场能量外，电感线圈也要消耗能量。实际电感线圈消耗的能量很小，一般忽略不计，可用
18、一个只代表储存磁场能量的理想化的二端元件电感元件表示，其电路符号如图4-8所示。第4章直流激励下的一阶动态电路3535图4-8 电感元件 第4章直流激励下的一阶动态电路3636若电感元件的电感量为常数，不随产生磁链的电流i的变化而变化，称为线性电感元件；否则，为非线性电感元件。今后如无特殊说明，均指线性电感元件。“电感”一词有双重含义，既表示一个电感元件，又表示电感线圈的参数(电感值)L。实际的电感线圈均标明电感值和额定工作电流两个参数，使用时要防止通过电感线圈的电流超过它的额定工作电流，否则会使线圈过热而损坏。第4章直流激励下的一阶动态电路3737当电感中通过直流电流时，其周围只呈现固定的磁
19、感应线，不随时间而变化；但当线圈中通过交流电流时，即电感元件的电流发生变化时，磁链就随之变化，变化的磁链使线圈中产生感应电动势。这种由于线圈本身电流发生变化而产生的感应电动势，称为自感电动势。这个电动势总是阻碍导体中原来电流的变化，这种现象就叫做自感现象。第4章直流激励下的一阶动态电路38384.2.2 电感元件的伏安关系电感元件的伏安关系由法拉第电磁感应定律可知：电路中感应电动势的大小与穿过这一电路磁通量的变化率成正比。若磁链的参考方向与产生它的电流i的参考方向满足右手螺旋定则，并且自感电动势的参考方向与电流的参考方向一致时，如图4-9(a)所示，电磁感应定律可表示为tiLedd第4章直流激
20、励下的一阶动态电路3939图4-9 电感元件的电压电流关系 第4章直流激励下的一阶动态电路4040当选取线圈的电流i、电压u的参考方向为关联方向时，如图4-9(b)所示，则有此即为电感元件的伏安关系。式(4-12)表明，某一时刻电感元件两端的电压的大小取决于该时刻电流对时间的变化率，与该时刻电流的大小无关。只有当电流变化时，其两端才会有电压。电感电流变化越快，电压越高；电感电流变化越慢，电压越低。因此，电感元件也叫动态元件。如果电感元件的电流不随时间变化(如直流电)，即磁通没有变化，电感元件两端就不产生感应电压，故在直流电路中，电感元件相当于短路。(4-12)tiLeudd第4章直流激励下的一
21、阶动态电路41 414.2.3 电感元件的储能电感元件的储能电感元件是一种储能元件。前面分析已知电感两端的电压为 当选取电感电压与电流的参考方向一致时，电感元件吸收的瞬时功率为 若p0，表明电感从电路中吸收能量，储存在磁场中；若p0，表示电感释放能量。tiLuddtiLiuipdd第4章直流激励下的一阶动态电路4242电感电流从零增加到i时，电感元件储存的磁场能量为若L的单位为享利(H)，电流的单位为安培(A)，则WL的单位为焦耳(J)。式(4-13)表明：电感元件某一时刻所储存的磁场能量，只与该时刻电流的瞬时值有关，与电感的电压无关。只要电感中有电流，就储存有能量。tttLiiLittiLi
22、tpW0002L21ddddd(4-13)第4章直流激励下的一阶动态电路43434.3 换路定律换路定律4.3.1 电路的动态过程及换路定律电路的动态过程及换路定律自然界中的各种事物，其运动过程都存在着稳定状态和过渡状态。例如火车在启动前速度为零，这是一种稳定状态，启动后速度由零逐渐上升，直至达到某一速度后匀速行驶，又进入另一种稳定状态。此外，热水器烧水从加热到保温时温度的变化，行驶中的汽车从刹车减速到完全停止，都经历了从一种稳定状态过渡到另一种稳定状态的过程。电路也是如此，在含有储能元件电容、电感的电路中，当第4章直流激励下的一阶动态电路4444电路的结构或元件的参数发生改变时，电路从一种稳
23、定状态变化到另一种稳定状态，需要有一个动态变化的中间过程，称为电路的过渡过程(也称动态过程)。在这个状态变化的过程中，无论直流电路还是交流电路，在电路连接方式和元件参数不变的条件下，只要电源输出信号的幅值、波形和频率恒定，各支路电流和各部分电压也必将稳定在一定数值上，这种状态称为电路的稳定状态，简称稳态。第4章直流激励下的一阶动态电路4545图4-10所示电路中，R、L、C分别串联一只同样的灯泡，并连接在直流电源上。当开关S接通时，发现R支路的灯泡立即点亮，而且亮度始终不变；L支路的灯泡由不亮逐渐变亮，最后亮度达到稳定；C支路的灯泡由亮变暗，最后熄灭。这说明电阻支路在开关闭合后没有经历过渡过程
24、，立即进入稳定状态，而电感支路和电容支路在开关闭合后需要经历一段过渡过程。由以上现象可知，电路产生过渡过程(动态过程)有内、外两种原因，内因是电路中存在储能元件L或C；外因是电路的结构或参数发生改变，如电路的接通或断开、电路参数或电源的突然变化等，一般称为换路。通常规定换路是瞬间完成的。第4章直流激励下的一阶动态电路4646图4-10 过渡过程演示电路 第4章直流激励下的一阶动态电路4747电感、电容是储能元件，任意时刻电容元件所储存的电场能量为，电感元件所储存的磁场能量为，但能量变化是个渐变的过程，不能突变(跃变)，否则与其相应的功率将趋于无限大，这实际上是不可能的。也就是说，储能元件在换路
25、瞬间的能量应保持不变，其中，电容所储存的电场能量不能跃变反映在电容器上的电压uC不能跃变；电感元件所储存的磁场能量不能跃变反映在通过电感线圈中的电流iL不能跃变。2C21CuW2L21LiW tWpdd第4章直流激励下的一阶动态电路4848设t0为换路瞬间，用t0-表示换路前的一瞬间，t0+表示换路后的一瞬间，换路的时间间隔为零。从t0-到t0+瞬间，电容元件上的电压和电感元件中的电流不能跃变，用公式可表示为 式(4-14)即称为换路定律。应当指出，除了电容电压uC和电感电流iL不能跃变，其他的量，如电容电流iC、电感电压uL、电阻的电压uR和电流iR均可以跃变，不受此限制。)0()0()0(
26、)0(LLCCiiuu(4-14)第4章直流激励下的一阶动态电路49494.3.2 电路初始值与稳态值的计算电路初始值与稳态值的计算换路后最初瞬间的电流i(0+)和电压u(0+)的数值称为初始值。过渡过程中，电路中电压和电流的变化开始于换路后瞬间的初始值，终止于达到新稳态时的稳态值。稳态值可用前面学过的知识求解，初始值的确定是根据换路定律进行的，其步骤如下：(1)先求出换路前一瞬间的uC(0-)或iL(0-)。(2)根据换路定律确定uC(0+)和iL(0+)。第4章直流激励下的一阶动态电路5050(3)画出t0+时的等效电路图，若uC(0+)0，电容器相当于短路，用短路线替代；若iL(0+)=
27、0，电感相当于断路，则用开路替代。而若uC(0+)U0，电容元件等效为电压源；iL(0+)I0，则电感元件等效为电流源。(4)利用欧姆定律和基尔霍夫定律，确定电路中其他电压、电流在t0+时的初始值。第4章直流激励下的一阶动态电路51 51【例4-4】图4-11所示电路中，已知US10V，R12k，R25k，开关S闭合前，电容两端电压为零，求开关S闭合后各元件电压和各支路电流的初始值。解 选定有关电流和电压的参考方向，如图4-11所示，S闭合前uC(0-)0开关闭合后，根据换路定律,有uC(0+)=uC(0-)0在t0+时刻，根据基尔霍夫定律，有uR1(0+)=US=10VuR2(0+)+uC(
28、0+)=US 第4章直流激励下的一阶动态电路5252图4-11 例4-4图 第4章直流激励下的一阶动态电路5353由于uC(0+)0，故uR2(0+)=10V根据以上电压值求得电流如下mA 7)0()0()0(mA 2A10510)0()0(mA 5A10210)0()0(1C32R2C31R11iiiRuiRui第4章直流激励下的一阶动态电路5454【例4-5】如图4-12(a)所示电路原处于稳态，t0时开关S闭合，US=10V，R1=10，R2=5。求初始值uC(0+)、i1(0+)、i2(0+)和iC(0+)。第4章直流激励下的一阶动态电路5555图4-12 例4-5图 第4章直流激励下
29、的一阶动态电路5656解(1)开关S闭合前电路已处于稳态，电容电压uC不再变化，故，电容C可视为开路，由此可画出t0-时的等效电路，如图4-12(b)所示，按图可求得t0-时电容两端的电压为uC(0)=US=10V在开关S闭合瞬间，根据换路定律,有uC(0+)=uC(0)=10V0ddCCtuCi第4章直流激励下的一阶动态电路5757(2)在t0+瞬间，电容元件可视做电压为uC(0+)=10V的恒压源，由此可画出t0+时的等效电路，如图4-12(c)所示。根据该等效电路，运用直流电路的分析方法可求出各电流的初始值为 A 220)0()0()0(A 2510)0()0(A 0101010)0()
30、0(21C2C21CS1iiiRuiRuUi由图4-12(b)可知，换路前i1(0)=i2(0)=iC(0)=0。电路换路后，电流i2和iC发生了突变。第4章直流激励下的一阶动态电路5858【例4-6】如图4-13(a)所示电路原处于稳态，t0时开关S闭合，US12V，R14，R22，R36。求初始值uC(0+)、iL(0+)、i(0+)和u(0+)。解(1)首先求出开关S闭合前的电容电压uC(0)和电感电流iL(0)。由于t0-时电路处于稳态，电路中各处电流及电压都是常数，因此电感两端的电压，电感L可看做短路，电容中的电流，电容C可看做开路。0ddLLtiLu0ddCCtuCi第4章直流激励
31、下的一阶动态电路5959图4-13 例4-6图 第4章直流激励下的一阶动态电路6060由此可画出t0-时的等效电路，如图4-13(b)所示。由图4-13(b)可求得t0-时的电感电流和电容电压分别为(2)开关S闭合后瞬间，根据换路定律，有iL(0+)=iL(0)=1.2AuC(0+)=uC(0)=7.2V在t=0+瞬间，电容元件可视做电压为uC(0+)=7.2V的恒压源，电感元件可视做电流为iL(0+)=1.2A的恒流源，由此可画出t=0+时的等效电路，如图4-13(c)所示。27621)0()0(216412)0(3LC31SL.Riu.RRUi第4章直流激励下的一阶动态电路61 61由图可
32、知 u(0+)可用节点电位法由t=0+时的等效电路求出，即 A02.12.1)0()0()0(A2.162.7)0()0(LC3iiiRuiCV4.221412.141211)0()0(21L1SRRiRUu第4章直流激励下的一阶动态电路6262通过以上例题，可归纳出求初始值的简单步骤如下：(1)画出t0-时的等效电路，求出uC(0)和iL(0)；(2)根据换路定律，画出t0+时的等效电路；(3)根据t0+时的等效电路，运用直流电路的分析方法求出各电流、电压的初始值。第4章直流激励下的一阶动态电路63634.4 一阶电路的响应一阶电路的响应在电路分析中，“激励”与“响应”这两个词经常被提到。通
33、常，电源(包括信号源)提供给电路的输入信号统称为激励，简单地说，施加于电路的信号就是激励。对激励作出的反应称为响应，即电路在激励作用下所产生的电压和电流。在动态电路中，只含有一个独立动态元件(储能元件)的电路称为一阶电路。通常有RC一阶电路和RL一阶电路两大类。所谓一阶电路响应，就是只含有一种储能元件的电路在激励后所产生的反应。一阶电路的响应可归纳为零输入响应、零状态响应和全响应三种情况。第4章直流激励下的一阶动态电路64644.4.1 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应一阶电路通常有RC电路和RL电路两大类。若输入激励信号为零，仅由储能元件的初始储能所激发的响应，称为零输入响应。1.R
34、C电路的零输入响应电路的零输入响应RC电路的零输入响应，实质上就是指具有一定原始能量的电容元件在放电过程中，电路中电压和电流的变化规律。根据换路定律，当电容元件原来已经充有一定能量，电路发生换路时，电容元件的极间电压是不会发生跃变的，必须由原来的电压值开始连续地增加或减少，而电容元件中的充、放电电流是可以跃变的。第4章直流激励下的一阶动态电路6565如图4-15(a)所示的RC放电电路，开关S处于位置1时电容C被充电，充电完毕后电路处于稳态。t0时换路，开关S由位置1迅速扳向位置2，放电过程开始。放电开始一瞬间，根据换路定律可得uC(0+)=uC(0)=US。此时电路中的电容元件与R串联后经位
35、置2构成放电回路，由KVL可得uCiCR=0(4-15)由于，代入式(4-15)中得 tuCiddCC0ddCCutuRC第4章直流激励下的一阶动态电路6666图4-15 RC零输入电路及波形图 第4章直流激励下的一阶动态电路6767这是一个一阶线性常系数齐次微分方程，对其求解可得式中US是过渡过程开始时电容电压的初始值uC(0+),RC称为电路的时间常数。它是影响一阶电路电压、电流衰减或增加速度的参数。不论R、C及US的值如何，RC一阶电路中的响应都是按指数规律变化的，如图4-15(b)所示。由此可推论：RC一阶电路的零输入响应规律是指数规律。电容元件的放电电流曲线在横轴下方，说明电流是负值
36、，因为它与电压为非关联方向。tRCtuUtue)0(e)(CSC(4-16)第4章直流激励下的一阶动态电路6868RC一阶电路放电速度的快慢取决于时间常数。实验证明：越大，放电过程进行得越慢；越小，放电过程进行得越快，如图4-16所示。显然，时间常数=RC是反映过渡过程进行快慢程度的物理量。令式(4-16)中的t值分别等于1、2、3、4、5，可得出uC随时间的衰减表。时间常数的物理意义可由表4-1进一步说明。第4章直流激励下的一阶动态电路6969图4-16 不同值情况下的uC变化曲线 第4章直流激励下的一阶动态电路7070表表4-1 电容电压随时间衰减表电容电压随时间衰减表 第4章直流激励下的
37、一阶动态电路71 71由表4-1中数据可知，当放电过程经历了一个的时间，电容电压就衰减为初始值的36.8%，经历了2后衰减为初始值的13.5%，经历了5后则衰减为初始值的0.7%。理论上，根据指数规律，必须经过无限长时间，电压uC才衰减到零，过渡过程才能结束。但实际上，过渡过程经历了(35)的时间后，剩下的电容电压已经很小了，因此，在工程上一般可认为此时电路已经进入稳态。由此也可得出：时间常数是过渡过程经历了总变化量的63.2%所需要的时间，其单位为秒(s)。第4章直流激励下的一阶动态电路72722.RL电路的零输入响应电路的零输入响应RL串联电路的零输入响应也和RC电路一样，是指输入信号或激
38、励为零时电路中电压和电流的变化规律。电路如图4-17(a)所示，t0时，通过电感L的电流为I0。设在t0时开关S闭合，根据换路定律，电感中仍有初始电流I0，即i(0+)=I0，此电流将在RL回路中逐渐衰减，最后变为零。在这一过程中，电感元件在初始时刻的原始能量逐渐被电阻消耗，转化为热能。20L21LIW 第4章直流激励下的一阶动态电路7373图4-17 RL零输入电路及波形图 第4章直流激励下的一阶动态电路7474根据图4-17(a)电路中电压和电流的参考方向及元件的伏安关系，应用KVL可得RiL+uL=0(4-17)由于，代入式(4-17)中得若以储能元件L上的电流iL作为待求响应，则可解得
39、 tiLuddL0ddtiLRi(t0)ttLRiItie)0(e)(0(4-18)式中，是RL一阶电路的时间常数，其单位也是秒(s)。显然，在RL一阶电路中，L值越小、R值越大时，过渡过程进行得越快，反之越慢。LR第4章直流激励下的一阶动态电路7575t0时，电阻元件两端的电压为 由式(4-17)可得电感元件两端的电压为 电路中响应的波形如图4-17(b)所示，显然它们也是随时间按指数规律衰减的曲线。tRIRiue0RtLRIuue0RL第4章直流激励下的一阶动态电路7676由以上分析可知：(1)一阶电路的零输入响应都是随时间按指数规律衰减到零的，这实际上反映了在没有电源作用的条件下，储能元
40、件的原始能量逐渐被电阻消耗掉的物理过程。(2)零输入响应取决于电路的原始能量和电路的特性，RC电路中电容放电时的电容电压uC和RL电路中电感与电源断开后的电感电流iL的响应可用式 统一表达。(3)原始能量增大A倍，则零输入响应将相应增大A倍，这种原始能量与零输入响应的线性关系称为零输入线性。tftfe)0()(第4章直流激励下的一阶动态电路77774.4.2 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应所谓零状态响应，是指储能元件的初始能量等于零，仅在外激励作用下引起的电路响应(电压和电流)。1.RC电路的零状态响应电路的零状态响应电容的初始能量为零时称为零状态。实际上，零状态响应研究的是RC电路
41、充电过程中响应的变化规律，其电路如图4-18(a)所示。第4章直流激励下的一阶动态电路7878图4-18 RC零状态电路及波形图 第4章直流激励下的一阶动态电路7979开关S未闭合时，电容的初始储能为零，即uC(0-)=0。开关S闭合后，电源通过电阻对电容器进行充电。根据KVL，可列出方程 这是一个一阶线性非齐次方程，对此方程求解可得到式(4-19)中的uC()是充电过程结束时电容电压的稳态值，数值上等于电源电压值。SCddUutuRCC)e1()e1)()(SCCRCtRCtUutu(4-19)第4章直流激励下的一阶动态电路8080显然，一阶电路的零状态响应也符合指数规律，如图4-18(b)
42、所示。充电开始前，uC(0)=0，由于电容电压不能跃变，故充电开始时，uC(0+)=uC(0)=0；随着充电过程的进行，电容电压按指数规律增长，经过(35)时间后，过渡过程基本结束，电容电压uC()=US，电路达到稳态。从理论上讲，当开关S闭合后，经过足够长的一段时间，电容的充电电压才能等于电源电压US，充电过程才结束，充电电流iC也才能衰减到零。第4章直流激励下的一阶动态电路81 81由于电容的基本工作方式是充、放电，因此电容支路的电流不是放电电流就是充电电流，即电容电流只存在于过渡过程中，只要电路达到稳态，iC必定等于零，故在电容充电过程中，iC仍按指数规律衰减。由于充电过程中电压、电流为
43、关联方向，故iC曲线在横轴上方。第4章直流激励下的一阶动态电路82822.RL电路的零状态响应电路的零状态响应电路如图4-19(a)所示，在t0时开关闭合。换路前电感中的电流为零，根据换路定律，换路后t0+瞬间iL(0+)=iL(0)=0。由于此时电流为零，因此电阻上的电压uR=0，由KVL可知，此时电感元件两端的电压uL(0+)=US。当达到稳态后，自感电压uL一定为零，电路中电流将由零增至US/R后保持恒定。第4章直流激励下的一阶动态电路8383图4-19 RL零状态电路及波形图 第4章直流激励下的一阶动态电路8484图4-19(a)电路中，根据KVL及欧姆定律，可列出方程uR+uL=US
44、iLR+uL=US(4-20)将代入式(4-20)中，并将等式两边同除以R得式(4-21)是一个包含有变量iL的一阶线性常系数非齐次微分方程，方程的形式和求解与RC串联电路完全相似，即对此方程求解可得到tiLuddLLRUitiRLSLLdd(4-21)e1()(LtSRUti(4-22)第4章直流激励下的一阶动态电路8585根据式(4-22)可得电阻电压为电感电压为 显然，在过渡过程中，自感电压uL是按指数规律衰减的，而电流iL则是按指数规律上升的，电阻两端电压uR始终与电流成正比，从零增至US。图4-19(b)即为iL、uL、uR随时间变化的曲线。)e1()(SLRtURitutUtiLt
45、uedd)(SLL或 tSUuUtue)(SRL第4章直流激励下的一阶动态电路8686由以上分析可知：RC电路中电容充电时的电容电压uC,以及RL电路中电感接通电源后电感电流iL的响应规律为式(4-23)是零状态响应规律表达式，即零状态响应的uC和iL是按指数规律增加的。)0t()e1)()(tftf(4-23)第4章直流激励下的一阶动态电路87874.4.3 一阶电路的全响应一阶电路的全响应以上讨论了零输入响应和零状态响应。若电路中动态元件为非零初始状态，且又有外输入激励，在二者的共同作用下所引起的电路响应称为一阶电路的全响应。对于线性电路，从电路换路后的能量来源推知：电路的全响应必然是其零
46、输入响应与零状态响应的叠加。下面以RC电路为例加以分析。在图4-20(a)所示电路中，设电容的初始值电压为uC(0)=U0，开关S在t0时闭合而接通直流电压US。不难看出，换路后该电路可看成零输入条件下的电容放电过程和零初始条件下的电容充电过程的叠加，如图4-20(b)、(c)所示。第4章直流激励下的一阶动态电路8888图4-20 RC全响应电路 第4章直流激励下的一阶动态电路8989在图4-20(b)中，零输入响应为在图4-20(c)中，零状态响应为将上述二者叠加即得全响应为tUue0C1)e1(SC2tUu)e1(eS0C2C1CttUUuuu(4-24)第4章直流激励下的一阶动态电路90
47、90由以上分析可推知：无论对于RC电路还是RL电路，一阶电路的全响应f(t)均为零输入响应加零状态响应，即 其中，f(0+)为所求响应的初始值，f()为响应的稳态值，它表示在直流电源作用下，t时的响应值。整理式(4-25)后得)e1)(e)0()(ttfftf(4-25)tffftfe)()0()()(t0)(4-26)第4章直流激励下的一阶动态电路91 91【例4-7】如图4-21所示电路，在t0时S闭合。已知US=9V，uC(0)12V，C1mF，R11k。R22k。试求t0时的uC和iC。解 由于全响应是由零输入响应和零状态响应两部分构成的，故分别进行求解。(1)首先求零输入响应uC1。
48、当输入为零时，uC将从其初始值12V开始按指数规律衰减，根据式(4-16)可求得零输入响应为V e12C1tu其中，sCRRRRRC32101102121332121第4章直流激励下的一阶动态电路9292图4-21 例4-7图 第4章直流激励下的一阶动态电路9393(2)再求零状态响应uC2。电容初始状态为零时，在9V电源的作用下引起的电路响应可由式(4-19)求得 因此全响应为 V)e1(9C2tu(其中的时间常数与零输入响应相同)Ve39e)912(9e99e125.15.15.15.1C2C1Cttttuuu第4章直流激励下的一阶动态电路9494其中，第一项是常数9，它等于电容电压的稳态
49、值uC()，因此也称为全响应的稳态分量，而第二项是按指数规律衰减的，只存在于暂态过程中，因此称为全响应的暂态分量，由此也可把全响应写为全响应稳态分量+暂态分量电容支路的电流为mA e54d)e39d(101dd51513Ct.t.C.ttuC)t(i第4章直流激励下的一阶动态电路95954.4.4 一阶动态电路的三要素法一阶动态电路的三要素法一阶电路的全响应可表述为零输入响应和零状态响应之和，也可表述为稳态分量和暂态分量之和。其中响应的初始值、换路后的稳态值和时间常数称为一阶电路的三要素，也就是式(4-25)中的f(0+)、f()和。下面我们介绍用三要素法求一阶电路的全响应。在式(4-25)中
50、，f(t)表示全响应，只要知道f(0+)、f()和这三个要素，就可以简单地求出一阶电路在外加电源作用下的全响应了。第4章直流激励下的一阶动态电路9696一阶电路响应的初始值uC(0+)和iL(0+)，必须在换路前t0-的等效电路中进行求解，然后根据换路定律(两者不能跃变)得出；如果是其他各量的初始值，则应根据t0+的等效电路进行求解。一阶电路响应的稳态值均应根据换路后重新达到稳态时的等效电路进行求解。第4章直流激励下的一阶动态电路9797一阶电路的时间常数应在换路后t0时的等效电路中求解。求解时首先将t0时的等效电路除源(所有的电压源短路，所有的电流源开路处理)，然后将动态元件断开，并把断开处
