1、第第3 3章章 可靠性中常用的概率分布可靠性中常用的概率分布 o 可靠性设计的数学基础是概率论与数理统计。o 产品失效是随机事件。o 载荷、强度等设计变量为随机变量。o 系统与零件之间的关系要在概率框架下考虑。o 随机变量样本数据统计处理、分布拟合、参数估计、概率计算、置信度确定、等等。3.1 3.1 分布特征分布特征o随机变量分为离散型和连续型两类：n 离散型随机变量的取值xi是可数的。n 连续型随机变量x在其定义域内取任意值。o概率密度函数必须满足：n 对于所有x的值，n 对于连续型分布，n 对离散型的分布,o积累分布函数是随机变量X小于某个具体值的概率：P(Xx)。连续型随机变量的积累分
2、布函数定义为：（3-1）0)(xf 1)(dxxf1)(nnxpxdfxF)()(o概率论中有多种分布函数。不同的分布函数是在不同背景下提出来的，适用于不同的场合。o对于可靠性问题，涉及的都是小概率问题。因此，更关心分布函数在其定义域中对应于小概率密度部分的细节特征。o“总体上相近”、或低阶数字特征（例如均值和标准差）相同的两种分布，在小概率问题中可能表现出很大的差别。例如，对于图(下左)中所示的两种分布形式（一种为Weibull分布，另一种为正态分布），虽然它们的概率密度函数曲线差别很小，但其累积分布函数（反映可靠性特征）在小概率区域的差别却十分显著，如图(下右)所示。3.23.2二项分布二
3、项分布o试验 E 只有两种可能的结果 A 和，P(A)=p，P()=q。用 X 表示在 n 重独立试验中事件 A 发生的次数，则 X 是一个随机变量，它的可能取值为 0，1，2，k，n，在这种情形 X 服从的概率分布称为二项分布，记为:XB(n,p)，其概率分布为：(3-2)o二项分布的数字特征：E(X)=np，D(X)=np(1-p)。o二项分布用途很广泛产品的质量检验、描述表决系统的可靠性。),.,2,1,0()1(nkppCkXPknkkn3.33.3泊松泊松(Poisson)(Poisson)分布分布o泊松分布：(3-3)o泊松分布的数字特征为：E(X)=，D(X)=。!kekXPk)
4、,.,2,1,0()1(nkppCkXPknkkn泊松过程泊松过程泊松随机过程作为一种重要的计数过程，可以很好地用于描述“顾客流”、“粒子流”、“信号流”等事件的概率特性。o设为一计数过程，且满足以下条件：o(1)N(0)=0；o(2)是一个独立增量过程，即任取 时,N(t1),相互独立；o(3)对于充分小的 ，有0),(ttN0),(ttNmttt210)()(12tNtN)()(1mmtNtN0t)(2)()()()(1)()(totNttNPtotttNttNPo满足上述条件的计数过程 是参数为 的非时齐泊松随机过程，且 有：o当 时，有 0),(ttN0,0)(tt,0,tw,0mww
5、tdttdttmwwtemdttdttmwNtwNP 0 0 )()(0 0 !)()()()(0wtdttmtemdttmNtNP 0 )(0 !)()0()(o当 为常数时，满足上述条件的计数过程 为时齐泊松随机过程。o泊松随机过程的概率密度分布泊松随机过程的概率密度分布 )(t0),(ttN1h 5.0)(t3.43.4指数分布指数分布o指数分布的定义o指数分布的密度函数为 (3-4)o式中为常数，是指数分布的失效率。o指数分布的累积分布函数F(x)=1-e-x (3-5)若产品在一定时间区间内的失效数服从泊松分布，则该产品的寿命服从指数分布。(0;0)()(0)0 xxef xx3.5
6、 3.5 正态分布正态分布o 正态分布密度函数定义为：(3-6)o 其中：均值，标准差。xxxf,21exp21)(2标准正态分布o0，21的正态分布称为标准正态分布，其概率密度函数为：(3-7)o通过以下公式，可以实现从一般正态分布向标准正态分布的转换：)(21)(2/2xexfxxz可靠度函数 失效率函数截尾正态分布o工程实际中有很多试验或观察数据近似服从正态分布。但正态分布的取值范围（-到+）不很符合实际情况。考虑到许多试验或观察数据无负值，因此用截尾正态分布来表示较为准确。截尾正态分布定义为：o若X是一个非负的随机变量，且密度函数为则称X服从截尾正态分布。式中为“正规化常数”，以保证)
7、0()(21exp21)(2xxxfodxxf1)(。3.6 3.6 对数正态分布对数正态分布o若 X 是一个随机变量，Yln(X)服从正态分布：Y=ln(X)N(,2)o则称 X 服从对数正态分布。o对数正态概率密度函数是：f(x)=（3-9）o 和 不是对数正态分布的均值和标准差，而分别称为它的对数均值和对数标准差。2011 lnexp2200 xxxxo对数正态分布的均值是：（3-10）o对数正态分布的方差是：（3-11）2exp2exp)(2502TxE1exp2exp1exp2exp)(225022TxV可靠度函数 失效率函数3.8 3.8 威布尔威布尔(Weibull)(Weibu
8、ll)分布分布oWeibull采用“链式”模型研究、描述了结构强度和寿命问题，假设一个结构是由 n 个小元件串联而成，将结构看成是由 n 个环构成的一条链子，其强度（或寿命）取决于最薄弱环的强度（或寿命）。单个链的强度（或寿命）为一随机变量，设各环强度（或寿命）相互独立，分布相同，则求链强度（或寿命）的概率分布就变成求极小值分布问题，由此得出了威布尔分布函数。o由于威布尔分布是根据最弱环节模型或串联模型得到的，能充分反映材料缺陷等因素对材料疲劳寿命的影响，所以作为材料或零件的寿命分布模型或给定寿命下的疲劳强度模型比较合适。o 三参数威布尔分布的密度函数为 (3-13)o 威布尔分布的均值 (3-14)o 威布尔分布的方差 (3-15)1()()exp,()0 xxxf xx1()1E x 1121)(22xVo如果1，威布尔分布的均值小于，且随着x的减小接近于。随着增长到无穷，威布尔分布的方差减小，且无限接近于0。o风险函数 失效率函数o谢谢！
