1、1随机信号分析2第第2 2章章 随机信号随机信号32.1 2.1 定义与基本特性定义与基本特性2.2 2.2 典型信号举例典型信号举例2.3 2.3 一般特性与基本运算一般特性与基本运算2.4 2.4 多维高斯分布与高斯信号多维高斯分布与高斯信号2.5 2.5 独立信号独立信号目目 录录42.1 2.1 定义与基本特性定义与基本特性 A()X2.1.1 概念与定义概念与定义1.典型典型例子例子（1）贝努里实验贝努里实验:其样本空间只有其样本空间只有两个两个样本点，即样本点，即只有两个可能结果只有两个可能结果:A 和和 。在在掷币实验掷币实验中，贝努里随机变量中，贝努里随机变量 可以表示为可以表
2、示为:1()0X正面表示基本可能结果正面5有概率有概率若若重复重复在在t=n(n=1,2,)时刻上，时刻上，独立独立进行相进行相()1,()0,1P Xp P Xqpq 同的掷币实验同的掷币实验,12(),(),(),nXXX构成一随机变量构成一随机变量序列序列n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10()nX6则有则有 其概率其概率 ()nX(,)1,(,)0,1P X np P X nqpq10tn正面时刻正面(,)X n7n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101(,)Xn2(,)Xn所有随机变量序列的集合就是随机信号。所有随
3、机变量序列的集合就是随机信号。每一个随机变量序列称为每一个随机变量序列称为一个样本一个样本，也叫也叫一个实现一个实现。8（2）时间连续时间连续的随机现象的随机现象 观察电阻上的噪声电压，可能有不同的波形。观察电阻上的噪声电压，可能有不同的波形。每一个波形称为每一个波形称为样本函数样本函数，也叫，也叫一个实现一个实现。所有波形的集合就是随机信号。所有波形的集合就是随机信号。92.随机信号的随机信号的定义定义定义定义:设随机实验的样本空间设随机实验的样本空间 ，对于空间，对于空间 的每一个样本的每一个样本 ，总有一个，总有一个时间函数时间函数 与之对应与之对应 ,对于空间的所有样对于空间的所有样
4、本本 ，可有，可有一族一族时间函数时间函数 与之与之 对应，这族时间函数称为对应，这族时间函数称为随机信号随机信号。()tT(,)iX t(,)X t i i 定义定义:设设 是随机实验是随机实验E E的样本空间，若的样本空间，若对于每对于每 个样本点个样本点 ,都有都有唯一唯一的的实数实数 与之对应与之对应,且对于任意实数且对于任意实数 ，都有确定，都有确定 的的概率概率与之对应，则称与之对应，则称 为为随机变量随机变量。x()X()X103.随机信号的随机信号的表征表征(数学模型数学模型)（1）在任意给定时刻，随机信号是一个随机变量在任意给定时刻，随机信号是一个随机变量 随机信号随机信号可
5、视为许多可视为许多随机变量随机变量的的集合集合；X(t,1)X(t,2)X(t,3)X(t,4)X(t1,)X(t2,)X(tn,)X(t,)t11n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101(,)X n2(,)X n(9,)X(1,)X12（2）随机信号随机信号可视为所有可视为所有样本函数样本函数的的集合集合；X(t,1)X(t,2)X(t,3)X(t,4)X(t,)t13n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101(,)X n2(,)X n14（3）当时刻当时刻 t 与样本与样本 都
6、固定时，随机信号是都固定时，随机信号是 一个实数，称之为一个实数，称之为状态状态；X(t,1)X(t,2)X(t,3)X(t,4)X(t,)tt13n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10(,)X n115（4）当时刻）当时刻 t 与样本与样本 都发生变化时，就构成随都发生变化时，就构成随 机信号的完整概念。机信号的完整概念。X(t,1)X(t,2)X(t,3)X(t,4)X(t,)tn01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10(,)X n164.随机信号随机信号的的分类分类及及举例举例（1）时间离散、取值离散时间离散、取值离散 D.R.Seq.例例：贝努里贝努里r.s.n01 1
7、 2 3 4 5 6 7 8 9 10(,)X n17例例：一脉冲信号发生器传送的信号：一脉冲信号发生器传送的信号（2）时间连续、取值离散时间连续、取值离散 D.R.P.1202t1 X t0T02T04T03T18（3）时间连续、取值连续时间连续、取值连续 C.R.P.例例：正弦型信号：正弦型信号()sin()X tAwtt()X tR,.V.wA常数R,.V.A w常数R,.V.Aw常数t()X tt()X t19（4）时间离散、取值连续时间离散、取值连续 C.R.Seq.例例：每隔单位时间对噪声电压抽样：每隔单位时间对噪声电压抽样n02 1 2 3 4 5()X n202.1.2 基本概
8、率特性基本概率特性1.1.例子例子2122232.一阶（维）概率分布和密度函数一阶（维）概率分布和密度函数(;)()XF x tP X tx一阶概率分布函数一阶概率分布函数定义：定义：一阶概率密度函数一阶概率密度函数定义：定义：(;)(;)XXdfx tF x tdx24252126联合密度函数：联合密度函数：(,)(,)XYijijijfx ypxx yy联合分布函数联合分布函数：(,)(,)XYijijijFx yp u xx yy离散离散型二维随机向量的概率特性型二维随机向量的概率特性27283.二阶（维）概率分布和密度函数二阶（维）概率分布和密度函数二阶概率分布函数二阶概率分布函数定义
9、：定义：二阶概率密度函数二阶概率密度函数定义：定义：12121122(,;,)(),()XF x x t tP X tx X tx21212121212(,;,)(,;,)XXfx x t tF x x t tx x 4.分析随机过程分析随机过程本质上本质上就是分析相应的随机变量就是分析相应的随机变量 292.1.3基本数字特征基本数字特征任取任取t时，随机变量时，随机变量X(t)的的统计平均统计平均，定义为，定义为t1t2t31.1.随机信号的随机信号的均值均值t430iiixXPRDxtXPxPRCdxtxxftXEtm.)(.);()()()(对对R.Seq.:iiixXSeqRDxnX
10、PxSeqRCdxnxxfnXEnm.)(.);()()()(31例：求随机过程正弦波例：求随机过程正弦波 的数学期的数学期望，方差及自相关函数。式中，望，方差及自相关函数。式中，为常数，是为常数，是区间区间0，上均匀分布的随机变量。上均匀分布的随机变量。0()sin()x tt02解：由题可知：解：由题可知：000()()sin()sincoscossin xm tE x tEtEtt（1）0000sincos cossin sincos cossin EtEtt Et E22001cos cos()cos02Efddsin 0E同理同理()0 xm t32（2）22222()()()()(
11、)xxxxttm ttE x t 200011sin()1 cos(22)1 cos(22)22EtEtEt0011cos(2)cos2 sin2sin2 2EtEt0011 cos2cos2 sin2sin2 2t Et E可知可知 sin2 cos2 0EE21()2xt330 20 101211cos()cos()22tttt（3）12(,)xR t t12()()E x t x t1200sin()sin()Ett122100001cos(2)cos()2Etttt342.随机信号的随机信号的自相关函数自相关函数 任取任取 时，两个随机变量时，两个随机变量 的相的相 关矩，定义为关矩，
12、定义为 Ttt21,)(,(21tXtX）12(,)XtRt12()()E X t X t C.R.Seq.,D.R.Seq.可同理写出。可同理写出。1212121212()()12(,;,).(),().xxijijijx x f x x t t dx dxC R Px x P X tx X txD R P 35自相关函数自相关函数的性质：的性质：（1）相关相关的概念表征了随机信号在的概念表征了随机信号在两时刻两时刻之间之间 的的关联程度关联程度；（2）同一时刻同一时刻之间的之间的相关性相关性大于等于大于等于不同时刻不同时刻 之间的之间的相关性相关性；（3）实际中的）实际中的大多数大多数随机
13、信号，当随机信号，当两观察时刻两观察时刻 越远越远，相应随机变量的，相应随机变量的相关性相关性通常通常越弱越弱；（4）自相关函数自相关函数具有具有功率功率的的量纲量纲。363.随机信号的随机信号的协方差函数协方差函数与与方差函数方差函数(1)协方差函数协方差函数 任取任取 时，两个随机变量时，两个随机变量 的的合合中心矩，定义为中心矩，定义为Ttt21,)(,(21tXtX）12(,)XtCt121122121212()()1212()()(,;,).()()(),().xxijijijxm txm tf x x t t dx dxC R Pxm txm tP X tx X txD R P C
14、.R.Seq.,D.R.Seq.可同理写出。可同理写出。1122()()()()XXEX tmtX tmt37当当 时，协方差函数时，协方差函数退化退化为方差函数为方差函数21ttt(2)方差函数方差函数2()2()(;).()().xitixm tf x t dx C R Pxm tP X txD R PC.R.Seq.,D.R.Seq.可同理写出。可同理写出。()Var X t(,)XCt t2()()XEX tmt38)()(tXVartXX(t)的的均方差均方差（或（或标准差标准差）函数为）函数为394.相关系数相关系数 类似类似于于随机变量随机变量的相关系数，定义为的相关系数，定义为
15、12(,)1Xt t12(,)Xt t同样，同样，有关系式有关系式：当当 时，时，ttt21(,)1Xt t122212(,)()()XXXCt ttt121122(,)(,)(,)XXXCt tCt t Ct t402.1 2.1 定义与基本特性定义与基本特性2.2 2.2 典型信号举例典型信号举例2.3 2.3 一般特性与基本运算一般特性与基本运算2.4 2.4 多维高斯分布与高斯信号多维高斯分布与高斯信号2.5 2.5 独立信号独立信号目目 录录412.2 2.2 典型信号举例典型信号举例2.2.1 随机正弦信号随机正弦信号()cos(),(,)X tAtt 电路与系统中，几乎总要产生、
16、发送与接收电路与系统中，几乎总要产生、发送与接收正弦振荡信号，它本质上都是随机的。正弦振荡信号，它本质上都是随机的。,A 与部分或全部是部分或全部是随机变量随机变量。4243随机相位信号（随机相位信号（随相信号随相信号）：）：讨论讨论随相信号随相信号X(t)的的基本特性基本特性：1.均值均值()cos()E X tE At201=cos()2E Atd cos()E A Et044121212(,)()()cos()cos()XRt tE X t X tE AtAt212 cos()cos()E A Ett2212120cos(2)cos()12222ttttd21212 cos(2)cos(
17、)/2E A Etttt 2222/22202aaE Aaeda2.自相关函数自相关函数212cos()tt454622(0,)XN22212(;)xXfx te21(0,)XN 4.一阶概率密度函数一阶概率密度函数12,XX2(0,)iXN即472.2.2 伯努利随机序列伯努利随机序列48nX（n,n）01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X（9，）nX（n,1）01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数字通信中，串行传输的二进制比特流是数字通信中，串行传输的二进制比特流是伯努利序列，是通信中最常用的数学模型之一。伯努利序列，是通信中最常用的数学模型之一。491.均值均值2.
18、自相关函数自相关函数()E X np()m np或1212(,)()()XRn nE X n X n212pqnnp212122121()(),()nnE X nE X npnnE Xnp讨论讨论伯努利随机序列伯努利随机序列X(n)的的基本特性基本特性：503.一阶概率密度函数一阶概率密度函数(;)(1)()Xfx npxqx(1)()pU xqU x(;)()XFx nP X nx0,0,01 1,1xqxx512.2.3 半随机二进制传输信号半随机二进制传输信号 52ttt1(,)X t(,)iX t3(,)X t2(,)X t53ttt1(,)X t2(,)X t3(,)X t(,)iX
19、 t54均值均值pq()()XmtE X t，讨论讨论半随机二进制传输信号半随机二进制传输信号 X(t)的的基本特性基本特性：,0t 552.自相关函数自相关函数121212(,)()()0,0XRt tE X t X ttt1122/1,/1ntTntT12nn，212(,)()XRt tE Xn1pq12nn 2112(,)4(/)1 4XpqtttqR tTTp 1212(,)()()XRt tE X nE X n1 4pq 560.5pq()0Xmt 2112(,)/XRttTTtt12121 0 nnnn573.一阶密度函数一阶密度函数()1,()1P X tpP X tq (;)(
20、1)(1)Xfx tqxpx58592.1 2.1 定义与基本特性定义与基本特性2.2 2.2 典型信号举例典型信号举例2.3 2.3 一般特性与基本运算一般特性与基本运算2.4 2.4 多维高斯分布与高斯信号多维高斯分布与高斯信号2.5 2.5 独立信号独立信号目目 录录602.3 2.3 一般特性与基本运算一般特性与基本运算 1.n n维概率分布与密度函数维概率分布与密度函数 n个随机变量个随机变量 的的n n维维联合概联合概 率率分布分布函数为：函数为：)(),.,(),(21ntXtXtX12121122(,.,;,.,)();();.;()XnnnnF x xx t ttP X tx
21、 X txX tx2.3.1 n阶概率特性阶概率特性t1t2t3tn61211212121212(,.,;,.,).(,.,;,.,).nXnnxxxXnnnF x xx t ttfx xx t tt dxdxdx 成立则称则称 为其为其n n维维概率概率密度密度函数。函数。1212(,.,;,.,)Xnnfx xx t tt 如果存在如果存在 ，使，使 1212(,.,;,.,)Xnnfx xx t tt2.n n维维特征函数特征函数Ttttn,.,21nnRvvv,.,211122()().()1212(,.,;,.,)nnj v X tv X tv X tXnnv vv t ttE e
22、任取任取 与与621.随机信号的随机信号的nm维维联合概率分布和密度函数联合概率分布和密度函数 两个不同两个不同r.s.X(t)与与Y(t)之间的之间的联联合合概率特性。概率特性。对随机信号对随机信号X(t)任取任取 时，获得时，获得n个个随机变量随机变量 ;nttt,.,21)(),.,(),(21ntXtXtX2.3.2 联合特性联合特性 对随机信号对随机信号Y(t)任取任取 时，获得时，获得m个个随机变量随机变量 。msss,.,21)(),.,(),(21msYsYsY63t1t2t3tns1s2s3sm64定义定义n nmm维维联合概率联合概率分布分布函数为函数为:定义定义n nmm
23、维维联合概率联合概率密度密度函数为函数为:11111111(,;,;,;,)();();();()XYnmnmnnmmFxx yy tt ssP X txX tx Y syY sy1111()111111(,;,;,;,)(,.,;,.,;,.,;,.,).XYnmnmn mXYnmnmnmfxx yy tt ssFxx yy tt ssxx yy 652.随机信号的随机信号的互相关函数互相关函数与与互协方差函数互协方差函数 两个不同随机信号两个不同随机信号X(t)与与Y(t)的的联合联合矩特性矩特性 互相关函数互相关函数定义为定义为:12(,)XYRt t互协方差函数互协方差函数定义为定义为
24、:12(,)XYCt t1212(,)()()XYXYRt tmt m t12()()E X t Y t1122()()()()XYEX tmtY tm t66互相关系数互相关系数定义为定义为:121212(,)(,)()()XYXYXYCt tt ttt67 22121212121122(,)(,)(,)(,)()()()()XYXYYXXYXYa Rt tb R t tabRt tabRt tamtbm tamtbm t121212(,)(,)()()ZZZZCt tR t tmt mt()()XYamtbmZ ttE解：121122(,)()()()()ZR t tE aX tbY ta
25、X tbY t2212121212(,)(,)(,)(,)XYXYYXa Rt tb R t tabRt tabRt t2212121212(,)(,)(,)(,)XYXYYXa Ct tb C t tabCt tabCt t683.两个随机信号两个随机信号正交正交、线性无关线性无关与与统计独立统计独立21,tt(1)正交正交:对于任意时刻对于任意时刻 ,都有都有 则称则称X(t)与与Y(t)正交。正交。1212(,)(,)0XYYXRt tRt t成立(2)线性无关线性无关:对于任意时刻对于任意时刻 ,都有都有 21,tt1212(,)(,)0XYYXCt tCt t成立 则称则称X(t)与
26、与Y(t)线性无关。线性无关。69（3）统计独立统计独立:对于对于X(t)和和Y(t)的任一组随机的任一组随机 变量变量,都有都有11111111(,;,)(,;,)(,;,)XYnnnmXnnYnmFxxyy ttssFxx ttFyy ss成立则称则称X(t)与与Y(t)彼此统计独立。彼此统计独立。两个随机信号的两个随机信号的正交正交、线性无关线性无关与与统计独立统计独立三者三者关系关系与两个随机变量间的完全与两个随机变量间的完全相同相同。70 统计独立性，统计独立性，线性无关线性无关性和正交性性和正交性的的关系关系 1.两个随机信号两个随机信号统计独立统计独立，它们必然是，它们必然是线性
27、无关线性无关的的；2.两个随机信号两个随机信号线性无关线性无关，不一定不一定互相互相独立独立；3.在两个随机信号中在两个随机信号中任一均值为零任一均值为零时，时，线性无关线性无关 性性与与正交性正交性是等价的；是等价的；4.在两个随机信号的互相关和互协方差同时在两个随机信号的互相关和互协方差同时不为零不为零 时，它们时，它们不是线性无关不是线性无关的，也的，也不是相互正交不是相互正交的。的。71(a)一般情况下一般情况下 统统 计计 独独 立立线线 性性无无 关关 相相 互互 正正 交交 任一随机信号任一随机信号 均值为零均值为零72 当当 和和 均为均为高斯随机信号高斯随机信号时时:()X
28、t()Y t 统计独立性统计独立性和和线性无关性线性无关性是等价的；是等价的；(b)高斯随机信号高斯随机信号 线线 性性 无无 关关 统统 计计 独独 立立 进一步，且有进一步，且有一个均值为零一个均值为零时时:独立性独立性、线性无关性线性无关性和和正交性正交性三者是等价的。三者是等价的。(c)高斯随机信号，且高斯随机信号，且 有一个均值为零有一个均值为零 线线 性性 无无 关关 统统 计计 独独 立立 相相 互互 正正 交交73122212121212(,)(,)(,)(,)(,)ZXYXYYXRt ta Rt tb R t tabRt tabRt t22121212(,)(),XYZa R
29、t tRt tb Rt t22121212(,)(),XYZa Ct tCt tb Ct t若若X(t)与与Y(t)正交正交，则，则若若X(t)与与Y(t)无关无关，则，则解解:122212121212(,)(,)(,)(,)(,)ZXYXYYXCt ta Ct tb C t tabCt tabCt t742.3.3 相关函数与协方差函数的性质相关函数与协方差函数的性质性质性质1 1 ：随机信号随机信号X(t)的自相关函数等满足的自相关函数等满足 （1）对称性对称性1221(,)(,)XXRt tRt t1221(,)(,)XXCt tCt t（2）均方值为非负实数均方值为非负实数2()(,)
30、0XE XtRt t（3）方差为非负实数方差为非负实数22()(,)()0XXXtRt tmt（4）12(,)1,(,)1XXt tt t75（2）（3）121212(,)(,)()()XYXYXYCt tRt tmt mt12(,)1XYt t对信号进行对信号进行中心化中心化与与归一化归一化处理，则有处理，则有0 01212(,)(,)XYX YCt tRt t1212(,)(,)XYXYt tRt t 性质性质2 2：随机信号随机信号X(t)与与Y(t)的的联合矩联合矩特性满足特性满足 （1）对称性对称性1221(,)(,)XYYXRt tRt t7677782.1 2.1 定义与基本特性
31、定义与基本特性2.2 2.2 典型信号举例典型信号举例2.3 2.3 一般特性与基本运算一般特性与基本运算2.4 2.4 多维高斯分布与高斯信号多维高斯分布与高斯信号2.5 2.5 独立信号独立信号目目 录录792.4 2.4 多维高斯分布与高斯信号多维高斯分布与高斯信号2.4.1 多维高斯分布多维高斯分布一维高斯分布一维高斯分布 221exp22Xxfx记为 2,NX1.一维与二维高斯分布一维与二维高斯分布80一维高斯分布的一维高斯分布的特征函数特征函数为为 221exp2Xvj vv81二维高斯分布二维高斯分布 2211222221 212122121 21,e21xxyyXYfx y;,
32、;,222211NYX记为记为 82二维高斯分布的二维高斯分布的特征函数特征函数为为1222221 1221112 1 222,1exp22XYv vjvvvv vv 832.4.3 高斯随机信号高斯随机信号1.定义定义n1,nttTn1(),()nX tX tn若若对任意正整数对任意正整数及及，元随机元随机的联合分布为的联合分布为高斯分布，则称高斯分布，则称 该信号为该信号为高斯信号高斯信号（或（或正态正态变量变量维维 信号信号）。）。842.高斯随机信号的高斯随机信号的概率特性概率特性与与数字特征数字特征均值均值函数：函数：)(tm自相关自相关函数：函数：12(,)R t t协方差协方差函
33、数：函数：121212(,)(,)()()C t tR t tm t m t方差方差函数：函数：2()(,)(,)()D tC t tR t tm t记为记为)(),()(tDtmNtX85概率密度概率密度函数：函数：2()1;exp2()2()Xxm tfx tD tD t特征特征函数：函数：21,exp()()2Xv tjm t vD t v一阶一阶86()m t(,)C s t（1）所有所有分布分布由其由其和决定；决定；（2）经过）经过线性变换线性变换(或线性系统或线性系统)后仍然是高后仍然是高 斯信号；斯信号；（3）它是独立信号的它是独立信号的充要条件充要条件是是(,)0,()C s
34、tst3.高斯随机信号的性质高斯随机信号的性质872.1 2.1 定义与基本特性定义与基本特性2.2 2.2 典型信号举例典型信号举例2.3 2.3 一般特性与基本运算一般特性与基本运算2.4 2.4 多维高斯分布与高斯信号多维高斯分布与高斯信号2.5 2.5 独立信号独立信号目目 录录882.5 2.5 独立信号独立信号 1.定义定义 指它自身的任意随机变量之间指它自身的任意随机变量之间彼此统计独立彼此统计独立。2.概率特性概率特性 其其n维概率维概率分布分布(或密度、特征或密度、特征)函数满足：函数满足：12121(,.,;,.,)(,)nXnnXiiiFx xx t ttFx t12121(,;,)(;)nXnnXiiifx xx t ttfx t12121(,;,)(;)nXnnXiiiv vv t ttv t89自相关自相关函数：函数：1212(,)XR t tE X t X t协方差协方差函数：函数：自相关系数自相关系数：3.数字特征数字特征 均值均值函数：函数：()Xmt方差方差函数：函数：2Xt 21121212,E Xtttm tm ttt12(,)XCt t 211212,0,ttttt12121,0,tttt12(,)Xt t
