1、2019年辽宁省铁岭市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1（3分）2的相反数是AB2CD02（3分）下面四个图形中，属于轴对称图形的是ABCD3（3分）下列运算正确的是ABCD4（3分）如图所示几何体的主视图是ABCD5（3分）为了建设“书香校园”，某班开展捐书活动班长将本班44名学生捐书情况统计如下：捐书本数2345810捐书人数25122131该组数据捐书本数的众数和中位数分别为A5，5B21，8C10，4.5D5，4.56（3分）某公司招聘职员，公司对应聘者进行了面试和笔试（满分均为100分），规定笔试成绩
2、占，面试成绩占应聘者蕾蕾的笔试成绩和面试成绩分别为95分和90分，她的最终得分是A92.5分B90分C92分D95分7（3分）如图，在中，连接，则的度数是ABCD8（3分）如图，点为上一点，以点为圆心、任意长为半径画弧，交于点，交于点再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点作射线，在上取点，连接，过点作，垂足为点若，则的长可能为A1B2CD9（3分）在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，则下列判断正确的是ABCD10（3分）如图，在中，于点，点为边上一动点，交射线于点，作关于的轴对称图形得到，设的长为，与重合部分的面积为下列图象中，能反映点从点向点运动过程中，与的函数关系的是ABC
3、D二、填空题（本大题共8小题,每小题3分,共24分)11（3分）我国科技成果转化2018年度报告显示：2017年，我国公立研发机构、高等院校的科技成果转化合同总金额达到12100000000元将数据12100000000用科学记数法表示为12（3分）若在实数范围内有意义，则的取值范围是13（3分）一个不透明的布袋中只装有红球和白球两种球，它们除颜色外其余均相同若白球有9个，摸到白球的概率为0.75，则红球的个数是14（3分）若，满足方程组，则15（3分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是16（3分）如图，点，在上，则的长为17（3分）如图，直角边分别落在轴和轴上，斜边相交
4、于点，且若四边形的面积为6，反比例函数的图象经过点，则的值为18（3分）如图，在中，过点作，垂足为点，过点作交于点，得到；过点作，垂足为点，过点作交于点，得到；过点作，垂足为点，过点作交于点，得到；按照上面的作法进行下去，则的面积为（用含正整数的代数式表示）三、解答题(本大题共2小题,共22分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19（10分）先化简，再求值：，其中，20（12分）书法是我国的文化瑰宝，研习书法能培养高雅的品格某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用，表示，并将测试结果绘制成如图两幅不
5、完整的统计图请根据统计图中的信息解答以下问题：（1）本次抽取的学生人数是，扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数是（2）把条形统计图补充完整（3）若该学校共有2800人，等级达到优秀的人数大约有多少？（4）等级的4名学生中有3名女生1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率四、解答题（本大题共2小题,共24分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)21（12分）某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多
6、1元（1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件，求：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具多少件？22（12分）如图，聪聪想在自己家的窗口处测量对面建筑物的高度，他首先量出窗口到地面的距离为，又测得从处看建筑物底部的俯角为，看建筑物顶部的仰角为，且，都与地面垂直，点，在同一平面内（1）求与之间的距离（结果保留根号）（2）求建筑物的高度（结果精确到（参考数据：，五、解答题（本大题共1小题,共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)23（12分）小李在景区销售一种旅
7、游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为（元，日销量为（件，日销售利润为（元（1）求与的函数关系式（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？（3）求日销售利润（元与销售单价（元的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润六、解答题（本大题共1小题,共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)24（12分）如图，在中，以点为圆心、的长为半径的恰好经过的中点，连接，与交于点（1）求证：与相切（2）若，求的长七、解答题
8、（本大题共1小题,共12分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤25（12分）如图，中，垂直平分，交线段于点（点与点不重合），点为上一点，点为上一点（点与点不重合），且（1）如图1，当时，线段和的数量关系是（2）如图2，当时，猜想线段和的数量关系，并加以证明（3）若，请直接写出的长八、解答题（本大题共1小题,共14分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)26（14分）如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，直线交轴于点（1）求抛物线的解析式（2）如图2，将沿直线平移得到当点落在抛物线上时，求点的坐标在移动过程中，存在点使为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标20
9、19年辽宁省铁岭市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1（3分）2的相反数是AB2CD0【解答】解：根据相反数的定义，2的相反数是故选：2（3分）下面四个图形中，属于轴对称图形的是ABCD【解答】解：、不属于轴对称图形，故此选项错误；、不属于轴对称图形，故此选项错误；、属于轴对称图形，故此选项正确；、不属于轴对称图形，故此选项错误；故选：3（3分）下列运算正确的是ABCD【解答】解：，故选项错误；不能合并，故选项错误；，故选项错误；，故选项正确；故选：4（3分）如图所示几何体的主视图是ABCD【解
10、答】解：从正面可看到的图形是：故选：5（3分）为了建设“书香校园”，某班开展捐书活动班长将本班44名学生捐书情况统计如下：捐书本数2345810捐书人数25122131该组数据捐书本数的众数和中位数分别为A5，5B21，8C10，4.5D5，4.5【解答】解：由表可知，5出现次数最多，所以众数为5；由于一共调查了44人，所以中位数为排序后的第22和第23个数的平均数，即：5故选：6（3分）某公司招聘职员，公司对应聘者进行了面试和笔试（满分均为100分），规定笔试成绩占，面试成绩占应聘者蕾蕾的笔试成绩和面试成绩分别为95分和90分，她的最终得分是A92.5分B90分C92分D95分【解答】解：根
11、据题意得：（分答：她的最终得分是92分故选：7（3分）如图，在中，连接，则的度数是ABCD【解答】解：连接并延长交于点，故选：8（3分）如图，点为上一点，以点为圆心、任意长为半径画弧，交于点，交于点再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点作射线，在上取点，连接，过点作，垂足为点若，则的长可能为A1B2CD【解答】解：由作法得平分，平分，点到的距离为3，故选：9（3分）在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，则下列判断正确的是ABCD【解答】解：一次函数的图象经过一、二、四象限，故选：10（3分）如图，在中，于点，点为边上一动点，交射线于点，作关于的轴对称图形得到，设的长为，与重合部分
12、的面积为下列图象中，能反映点从点向点运动过程中，与的函数关系的是ABCD【解答】解：，与关于对称，当点与重合时，即，当点与点重合时，即，如图1，当时，选项错误；如图2，当时，选项错误；如图3，当时，选项错误故选：二、填空题（本大题共8小题,每小题3分,共24分)11（3分）我国科技成果转化2018年度报告显示：2017年，我国公立研发机构、高等院校的科技成果转化合同总金额达到12100000000元将数据12100000000用科学记数法表示为【解答】解：，故答案为：12（3分）若在实数范围内有意义，则的取值范围是【解答】解：若在实数范围内有意义，则，解得：故答案为：13（3分）一个不透明的布
13、袋中只装有红球和白球两种球，它们除颜色外其余均相同若白球有9个，摸到白球的概率为0.75，则红球的个数是3【解答】解：设红球的个数是，根据题意得：，解得：，答：红球的个数是3；故答案为：314（3分）若，满足方程组，则7【解答】解：，得：，解得：，把代入得：，则，故答案为：715（3分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是且【解答】解：由题意可知：，且，故答案为：且16（3分）如图，点，在上，则的长为【解答】解：连接，则的长，故答案为：17（3分）如图，直角边分别落在轴和轴上，斜边相交于点，且若四边形的面积为6，反比例函数的图象经过点，则的值为4【解答】解：连接，过点分别作
14、于点，于点，即，又，又，又，点为的中点，同理可得点为的中点，在中，设，故答案为418（3分）如图，在中，过点作，垂足为点，过点作交于点，得到；过点作，垂足为点，过点作交于点，得到；过点作，垂足为点，过点作交于点，得到；按照上面的作法进行下去，则的面积为（用含正整数的代数式表示）【解答】解：，同理，同理，同理，故答案为：三、解答题(本大题共2小题,共22分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19（10分）先化简，再求值：，其中，【解答】解：原式，当，原式20（12分）书法是我国的文化瑰宝，研习书法能培养高雅的品格某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，
15、测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用，表示，并将测试结果绘制成如图两幅不完整的统计图请根据统计图中的信息解答以下问题：（1）本次抽取的学生人数是40人，扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数是（2）把条形统计图补充完整（3）若该学校共有2800人，等级达到优秀的人数大约有多少？（4）等级的4名学生中有3名女生1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率【解答】解：（1）本次抽取的学生人数是（人，扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数是，故答案为：40人、；（2）等级人数为（人，补全条形图
16、如下：（3）等级达到优秀的人数大约有（人；（4）画树状图为：或列表如下：男女1女2女3男（女，男）（女，男）（女，男）女1（男，女）（女，女）（女，女）女2（男，女）（女，女）（女，女）女3（男，女）（女，女）（女，女）共有12种等可能情况，1男1女有6种情况，被选中的2人恰好是1男1女的概率为四、解答题（本大题共2小题,共24分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)21（12分）某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元（1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？（2）玩具售完后，超市决定再次
17、购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件，求：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具多少件？【解答】解：（1）设甲种玩具的进货单价为元，则乙种玩具的进价为元，根据题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，答：甲种玩具的进货单价6元，则乙种玩具的进价为5元（2）设购进甲种玩具件，则购进乙种玩具件，根据题意得：，解得：，为整数，答：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具112件22（12分）如图，聪聪想在自己家的窗口处测量对面建筑物的高度，他首先量出窗口到地面的距离为，又测得从处看建筑物底部的俯角为，看建筑物顶部的仰角为，且，都与地面垂直，点，在
18、同一平面内（1）求与之间的距离（结果保留根号）（2）求建筑物的高度（结果精确到（参考数据：，【解答】解：（1）作于，则四边形为矩形，在中，则，答：与之间的距离；（2）在中，则，答：建筑物的高度约为五、解答题（本大题共1小题,共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)23（12分）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为（元，日销量为（件，日销售利润为（元（1）求与的函数关系式（2）要使日销售利润为720元，销售单价
19、应定为多少元？（3）求日销售利润（元与销售单价（元的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润【解答】解：（1）根据题意得，故与的函数关系式为；（2）根据题意得，解得：，（不合题意舍去），答：要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元；（3）根据题意得，当时，随的增大而增大，当时，答：当为12时，日销售利润最大，最大利润960元六、解答题（本大题共1小题,共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)24（12分）如图，在中，以点为圆心、的长为半径的恰好经过的中点，连接，与交于点（1）求证：与相切（2）若，求的长【解答】（1）证明：四边形都是平行四边形，是等边三角形，
20、是的半径，与相切（2）如图，作于是等边三角形，在中，七、解答题（本大题共1小题,共12分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤25（12分）如图，中，垂直平分，交线段于点（点与点不重合），点为上一点，点为上一点（点与点不重合），且（1）如图1，当时，线段和的数量关系是（2）如图2，当时，猜想线段和的数量关系，并加以证明（3）若，请直接写出的长【解答】解：（1）相等，理由：如图1，连接，垂直平分，；故答案为：；（2），理由：如图2，连接，垂直平分，在中，；（3）当在上时，如图3，连接，垂直平分，过作于点，在的左侧，；当点在上，如图4，同（1）可得，综上所述，的长为2.5或5八、解答题（本
21、大题共1小题,共14分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)26（14分）如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，直线交轴于点（1）求抛物线的解析式（2）如图2，将沿直线平移得到当点落在抛物线上时，求点的坐标在移动过程中，存在点使为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标【解答】解：（1）抛物线的表达式为：，即：，解得：，故抛物线的表达式为：，令，解得：或，故点，函数的对称轴为：，故点；（2）将点、的坐标代入一次函数表达式：得：，解得：，故直线的表达式为：，设点，则点，将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故点的坐标为，或，；点，点、的坐标分别为、，则，当为直角时，由勾股
22、定理得：，解得：，当为直角时，同理可得：，当为直角时，同理可得：，故点的坐标为：或，或，或， 2018年辽宁省铁岭市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1（3分）的绝对值是AB3CD2（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是ABCD3（3分）计算的结果正确的是ABCD4（3分）如图是由6个大小相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是ABCD5（3分）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是ABCD6（3分）有8张看上去无差别的卡片，正面分别写着1、2、3、4、5、6、7、8把卡片背面朝上洗匀后，从中任意抽取一张卡片，卡片上的数字是偶数的概率是AB
23、CD7（3分）如图，则的度数是ABCD8（3分）下表是我市6个县（市区今年某日最高气温的统计结果：地区银川区调兵山清河区西丰昌图开原温度313030292930则该日最高气温的众数和中位数分别是A31，31B30，30C30，29D31，309（3分）如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，于点，则的长是A4BC5D10（3分）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，点在直线上，连接，若，则的值为ABCD二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）11（3分）据统计， 去年我国汽车进口总量超过 1200000 辆， 将 1200000 用科学记数法表示为12（3分）分解因式：
24、13（3分）某校九年级甲、乙两名男生将近期6次立定跳远的平均成绩都是2.2米，方差分别是，则两名男生中成绩较稳定的是（填“甲”或“乙” 14（3分）不等式组的解集是15（3分）若且，是两个连续的整数，则的值是16（3分）如图，直线与轴交于点，以为斜边在轴上方作等腰直角三角形，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，则平移的距离是17（3分）在半径为3的中，弦的长是，则弦所对的圆周角的度数是18（3分）如图，点在直线上，过点作轴的平行线交直线于点，过点作的垂线交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作的垂线交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点，分别作的平行线交于点，交于点，交于点，按此规律继续下去
25、，若，则点的坐标为（用含正整数的式子表示）三、解答题（19题10分，20题12分，共22分）19（10分）先化简， 再求值：，其中20（12分）自我省深化课程改革以来，铁岭市某校开设了：利用影长求物体高度，制作视力表，设计遮阳棚，制作中心对称图形，四类数学实践活动课规定每名学生必选且只能选修一类实践活动课，学校对学生选修实践活动课的情况进行抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图根据图中信息解决下列问题：（1）本次共调查名学生，扇形统计图中所对应的扇形的圆心角为度；（2）补全条形统计图；（3）选修类数学实践活动的学生中有2名女生和2名男生表现出色，现从4人中随机抽取2人做校报设计，请用
26、列表或画树状图法求所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的概率四、解答题（21题12分，22题12分，共24分）21（12分）俄罗斯足球世界杯点燃了同学们对足球运动的热情，某学校计划购买甲、乙两种品牌的足球供学生使用已知用1000元购买甲种足球的数量和用1600元购买乙种足球的数量相同，甲种足球的单价比乙种足球的单价少30元（1）求甲、乙两种品牌的足球的单价各是多少元？（2）学校准备一次性购买甲、乙两种品牌的足球共25个，但总费用不超过1610元，那么这所学校最多购买多少个乙种品牌的足球？22（12分）如图，某地质公园中有两座相邻小山游客需从左侧小山山脚处乘坐竖直观光电梯上行100米到达山顶处，
27、然后既可以沿水平观光桥步行到景点处，也可以通过滑行索道到达景点处，在山顶处观测坡底的俯角为，观测处的俯角为，已知右侧小山的坡角为（图中的点，均在同一平面内，点，在同一直线上）（1）求的度数及的长度；（2）求，两点之间的距离（结果保留根号）五、解答题（12分）23（12分）如图，四边形中，连接，以为直径的过点，交于点，过点作于点（1）求证：是的切线；（2）若，求的长（结果保留六、解答题（12分）24（12分）铁岭市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元之间满足一次函数关系，其图
28、象如图所示：（1）求与之间的函数关系式；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？（3）该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？七、解答题（12分）25（12分）如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，将绕点顺时针旋转（1）如图1，当点在上，点在上时，则的形状为；（2）将绕点顺时针旋转至图2的位置，请判断的形状，并说明理由；（3）若，将由图1位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值八、解答题（14分）26（14分）如图，抛物线交轴于点，交轴于点点的坐标为点的坐标为，点与点关于抛物线的对称轴对称（1）求抛物线的解析式；（2）若点
29、为抛物线对称轴上一点，连接，以，为边作平行四边形，是否存在这样的点，使得是矩形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；（3）点在轴右侧抛物线上运动，当的面积与的面积相等时，请直接写出点的坐标2018年辽宁省铁岭市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1（3分）的绝对值是AB3CD【解答】解：的绝对值是：3故选：2（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是ABCD【解答】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；、是轴对称图形，也是中心对称图
30、形，故此选项正确故选：3（3分）计算的结果正确的是ABCD【解答】解：故选：4（3分）如图是由6个大小相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是ABCD【解答】解：从正面看易得从下到上第一层有2个正方形，第二层有1个正方形，第三层有1个正方形，如图所示：故选：5（3分）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是ABCD【解答】解：中，没有实数根；中，有两个相等实数根；中，没有实数根；中，有两个不相等的实数根；故选：6（3分）有8张看上去无差别的卡片，正面分别写着1、2、3、4、5、6、7、8把卡片背面朝上洗匀后，从中任意抽取一张卡片，卡片上的数字是偶数的概率是ABCD【解答】解：共
31、有8张无差别的卡片，其中偶数有2、4、6、8，共4张，从中任意抽取一张卡片数字是偶数的概率是；故选：7（3分）如图，则的度数是ABCD【解答】解：，又，故选：8（3分）下表是我市6个县（市区今年某日最高气温的统计结果：地区银川区调兵山清河区西丰昌图开原温度313030292930则该日最高气温的众数和中位数分别是A31，31B30，30C30，29D31，30【解答】解：在这6个数中，出现了3次，出现的次数最多，该日最高气温的众数是30；把这组数据按照从小到大的顺序排列为：29，29，30，30，30，31，则中位数为：；故选：9（3分）如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，于点，则的长是A4
32、BC5D【解答】解：四边形是菱形，设，则，故选：10（3分）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，点在直线上，连接，若，则的值为ABCD【解答】解：作轴于，如图，当时，则；当时，解得，则，当时，则，为等腰直角三角形，而，即，解得，为等腰直角三角形，把代入得故选：二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）11（3分）据统计， 去年我国汽车进口总量超过 1200000 辆， 将 1200000 用科学记数法表示为【解答】解：，故答案为：12（3分）分解因式：【解答】解：，故答案为：13（3分）某校九年级甲、乙两名男生将近期6次立定跳远的平均成绩都是2.2米，方差分别是，则两名
33、男生中成绩较稳定的是甲（填“甲”或“乙” 【解答】解：甲、乙两名男生6次立定跳远的平均成绩都是2.2米，两名男生中成绩较稳定的是甲；故答案为：甲14（3分）不等式组的解集是【解答】解：，由得，由得，所以，不等式组解集为，故答案为15（3分）若且，是两个连续的整数，则的值是3【解答】解：，即，则，故答案为：316（3分）如图，直线与轴交于点，以为斜边在轴上方作等腰直角三角形，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，则平移的距离是6【解答】解：，当时，解得：，即，过作于，是以为斜边的等腰直角三角形，即点的坐标是，设平移的距离为，则点的对称点的坐标为，代入得：，解得：，即平移的距离是6，故答案为：617（
34、3分）在半径为3的中，弦的长是，则弦所对的圆周角的度数是或【解答】解：如图所示，连接、，过作，则，故答案为：或18（3分）如图，点在直线上，过点作轴的平行线交直线于点，过点作的垂线交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作的垂线交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点，分别作的平行线交于点，交于点，交于点，按此规律继续下去，若，则点的坐标为（用含正整数的式子表示）【解答】解：，与轴的夹角为，与轴的夹角为，点作的垂线交于点，是等边三角形，同理可得等边三角形四边形是菱形；，点的坐标为：，；，解得，点的横坐标为，点的横坐标为：，点的纵坐标为，点的横坐标为：2，即点的坐标为；点的横坐标为2，点的横坐标
35、为：，点的纵坐标为点的横坐标为：，故点的坐标为，则点的坐标为故答案为：三、解答题（19题10分，20题12分，共22分）19（10分）先化简， 再求值：，其中【解答】解： 原式，当时， 原式20（12分）自我省深化课程改革以来，铁岭市某校开设了：利用影长求物体高度，制作视力表，设计遮阳棚，制作中心对称图形，四类数学实践活动课规定每名学生必选且只能选修一类实践活动课，学校对学生选修实践活动课的情况进行抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图根据图中信息解决下列问题：（1）本次共调查60名学生，扇形统计图中所对应的扇形的圆心角为度；（2）补全条形统计图；（3）选修类数学实践活动的学生中有2
36、名女生和2名男生表现出色，现从4人中随机抽取2人做校报设计，请用列表或画树状图法求所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的概率【解答】解：（1）本次调查的学生人数为（名，则扇形统计图中所对应的扇形的圆心角为故答案为：60，（2）类别人数为（人，则类别人数为（人，补全条形图如下：（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的结果数为8，所以所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的概率为四、解答题（21题12分，22题12分，共24分）21（12分）俄罗斯足球世界杯点燃了同学们对足球运动的热情，某学校计划购买甲、乙两种品牌的足球供学生使用已知用1000元购买甲种
37、足球的数量和用1600元购买乙种足球的数量相同，甲种足球的单价比乙种足球的单价少30元（1）求甲、乙两种品牌的足球的单价各是多少元？（2）学校准备一次性购买甲、乙两种品牌的足球共25个，但总费用不超过1610元，那么这所学校最多购买多少个乙种品牌的足球？【解答】解：（1）设甲种品牌的足球的单价为元个，则乙种品牌的足球的单价为元个，根据题意得：，解得：，经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，答：甲种品牌的足球的单价为50元个，乙种品牌的足球的单价为80元个（2）设这所学校购买个乙种品牌的足球，则购买个甲种品牌的足球，根据题意得：，解得：答：这所学校最多购买12个乙种品牌的足球22（12分）如图
38、，某地质公园中有两座相邻小山游客需从左侧小山山脚处乘坐竖直观光电梯上行100米到达山顶处，然后既可以沿水平观光桥步行到景点处，也可以通过滑行索道到达景点处，在山顶处观测坡底的俯角为，观测处的俯角为，已知右侧小山的坡角为（图中的点，均在同一平面内，点，在同一直线上）（1）求的度数及的长度；（2）求，两点之间的距离（结果保留根号）【解答】解：（1），过作于，则，米；（2），过作于，米答：，两点之间的距离是米五、解答题（12分）23（12分）如图，四边形中，连接，以为直径的过点，交于点，过点作于点（1）求证：是的切线；（2）若，求的长（结果保留【解答】（1）证明：设圆心为，连接，为的直径，是的切线；
39、（2）解：连接，是等边三角形，的长六、解答题（12分）24（12分）铁岭市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求与之间的函数关系式；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？（3）该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）设与之间的函数关系式为：，把和代入得，解得：，与之间的函数关系式为：；（2）根据题意得，解得：或，为了让顾客得到更大的实惠，答：这种干果每千克应降价9元；（3）该干果每千克降价元时，商贸公司获利最大，最大利润是元，根据题意得，故该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元七、解答题（12分）25（12分）如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，将绕点顺时针旋转（1）如图1，当点在上，点在上时，则的形状为等边三角形；（2）将绕点顺时针旋转至图2的位置，请判断的形状，并说明理由；（3）若，将由图1位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值【解答】解：（1）如图1中，是等边三角形，四边形是平行四边形，是等边三角形，
