1、北京中考题组,答案 D 由题意可知 = = ,COM=COD.选项A的说法正确.连接ON,则OM=ON,又OM= MN,OMN是等边三角形.MON=60, = = ,AOB=COM=DON=20.选项B的说法 正确.连接CN,由圆周角定理可得MNC= MOC,DCN= DON,COM=DON,MNC=DCN, MNCD.选项C的说法正确. 通过观察可知MNMC+CD+DN=3CD.选项D的说法错误.故选D.,2.(2018北京,12,2分)如图,点A,B,C,D在O上, = ,CAD=30,ACD=50,则ADB= .,答案 70,解析 = ,BAC=CAD=30. 又BDC=BAC=30,A
2、CD=50, ADB=180-30-30-50=70.,3.(2017北京,14,3分)如图,AB为O的直径,C,D为O上的点, = .若CAB=40,则CAD= .,答案 25,解析 连接BC,BD, AB为O的直径,ACB=90, ABC=90-CAB=90-40=50. = ,ABD=CBD= ABC=25, CAD=CBD=25.,4.(2019北京,22,6分)在平面内,给定不在同一条直线上的点A,B,C,如图所示.点O到点A,B,C的距离均等于a(a 为常数),到点O的距离等于a的所有点组成图形G,ABC的平分线交图形G于点D,连接AD,CD. (1)求证:AD=CD; (2)过点
3、D作DEBA,垂足为E,作DFBC,垂足为F,延长DF交图形G于点M,连接CM.若AD=CM,求直线DE与 图形G的公共点个数.,5.(2017北京,24,5分)如图,AB是O的一条弦,E是AB的中点,过点E作ECOA于点C,过点B作O的切线交 CE的延长线于点D. (1)求证:DB=DE; (2)若AB=12,BD=5,求O的半径.,6.(2016北京,25,5分)如图,AB为O的直径,F为弦AC的中点,连接OF并延长交 于点D,过点D作O的切 线,交BA的延长线于点E. (1)求证:ACDE; (2)连接CD,若OA=AE=a,写出求四边形ACDE面积的思路.,ACDE. (2)求解思路如
4、下: 在RtODE中,由OA=AE=OD=a,可得ODE,OFA为含30角的直角三角形; 由ACD= AOD=30,可知CDOE; 由ACDE,可知四边形ACDE是平行四边形; 由ODE,OFA为含有30角的直角三角形,可求DE,DF的长,进而可求四边形ACDE的面积.,思路分析 (1)要证明两条直线平行,在圆中可借助90角的相关性质(切线的性质、等腰三角形的三线合 一、直径所对的圆周角等);(2)要从边的数量关系得特殊角的数量关系,从而求相应的线段长.,解题关键 解决本题第(2)问的关键是要从边的数量关系发现特殊角的数量关系,从而发现特殊的直角三 角形.,7.(2015北京,24,5分)如图
5、,AB是O的直径,过点B作O的切线BM,弦CDBM,交AB于点F,且 = ,连接 AC,AD,延长AD交BM于点E. (1)求证:ACD是等边三角形; (2)连接OE,若DE=2,求OE的长.,思路分析 (1)要证明等边三角形,可以借助弧等弦等的性质.(2)多次应用勾股定理求线段的长.,解题关键 解决本题的关键是要熟练应用解直角三角形的相关知识,发现可解的直角三角形.,考点一 圆的有关概念及性质,教师专用题组,1.(2019湖北黄冈,7,3分)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧( ),点O是这段弧所在圆的圆心,AB=40 m,点C 是 的中点,点D是AB的中点,且CD=10 m.则这段弯路所在圆
6、的半径为 ( ) A.25 m B.24 m C.30 m D.60 m,答案 A 连接OD,因为点C、D分别是圆弧AB和线段AB的中点,所以O、D、C三点共线.BD= AB=20 m, 设OB=x m,则OD=(x-10)m,在RtOBD中,OD2+BD2=OB2,即(x-10)2+202=x2,解得x=25,故选A.,思路分析 连接OD,利用点C、D分别是圆弧AB和线段AB的中点及弦心距的性质将问题转化到直角三角 形中,然后由勾股定理求出.,2.(2018陕西,9,3分)如图,ABC是O的内接三角形,AB=AC,BCA=65,作CDAB,并与O相交于点D,连 接BD,则DBC的大小为 (
7、) A.15 B.25 C.35 D.45,答案 A AB=AC,BCA=65,BCA=ABC=65, BAC=50,CDAB,BAC=ACD=50,根据圆周角定理的推论得ABD=ACD=50, 所以DBC=ABC-ABD=65-50=15,故选A.,3.(2018湖北武汉,10,3分)如图,在O中,点C在优弧 上,将弧 折叠后刚好经过AB的中点D.若O的半 径为 ,AB=4,则BC的长是 ( ) A.2 B.3 C. D.,答案 B 连接AO,并延长交O于点D,则ABD=90.连接BD,CD,DD,DD交BC于点E,连接OD,OB,OC, D为AB的中点,ODAB,AB=4,BD= AB=2
8、,OB= ,OD= =1,BD=2OD=2,即BD= BD,显然点D与点D关于直线BC对称.ABD=90,ABC=CBD=45,根据圆周角定理得AOC=90, DOC=90,CD= OC= ,CBD=45,BD=2,BE=ED= ,根据勾股定理得CE= = 2 ,所以BC=BE+CE=3 ,故选B.,方法指导 在求解涉及圆的性质的问题时,通常运用垂径定理或圆周角定理得到相等的线段或角或垂直关 系,求解过程中常需作合适的辅助线构造直角三角形,利用勾股定理等知识进行求解.,4.(2017福建,8,4分)如图,AB是O的直径,C,D是O上位于AB异侧的两点.下列四个角中,一定与ACD互 余的角是 (
9、 ) A.ADC B.ABD C.BAC D.BAD,答案 D AB是O的直径,ADB=90, BAD+ABD=90,易知ACD=ABD, BAD+ACD=90,故选D.,5.(2017黑龙江哈尔滨,7,3分)如图,O中,弦AB、CD相交于点P,A=42,APD=77,则B的大小是 ( ) A.43 B.35 C.34 D.44,答案 B 由三角形外角的性质可得C=APD-A=77-42=35,B与C所对的弧均为 ,B= C=35.故选B.,6.(2017甘肃兰州,4,4分)如图,在O中, = ,点D在O上,CDB=25,则AOB= ( ) A.45 B.50 C.55 D.60,答案 B 连
10、接OC,CDB=25,COB=50,又 = ,AOB=COB=50,故选B.,7.(2017陕西,9,3分)如图,ABC是O的内接三角形,C=30,O的半径为5.若点P是O上的一点, 在ABP中,PB=AB,则PA的长为 ( ) A.5 B. C.5 D.5,答案 D 连接OB、OA、OP, C=30,AOB=60,OA=OB,OAB是等边三角形,AB=5.PB=AB=OA=OP,OBAP,AP= 2ABcos 30=25cos 30=25 =5 .故选D.,8.(2016陕西,9,3分)如图,O的半径为4,ABC是O的内接三角形,连接OB、OC.若BAC与BOC互补, 则弦BC的长为 ( )
11、 A.3 B.4 C.5 D.6,答案 B BOC+CAB=180,BOC=2CAB, BOC=120,作ODBC交BC于点D,BC=2BD. OB=OC,OBD=OCD= =30, BD=OBcos 30=2 ,BC=2BD=4 ,故选B.,9.(2015甘肃兰州,9,4分)如图,经过原点O的P与x、y轴分别交于A、B两点,点C是劣弧OB上一点,则ACB = ( ) A.80 B.90 C.100 D.无法确定,答案 B 根据同弧所对的圆周角相等,得到ACB=AOB=90,故选B.,10.(2015河北,6,3分)如图,AC,BE是O的直径,弦AD与BE交于点F,下列三角形中,外心不是点O的
12、是 ( ) A.ABE B.ACF C.ABD D.ADE,答案 B 外心即为三角形外接圆的圆心,ACF的顶点F不在圆O上,圆O不是ACF的外接圆,点O 不是ACF的外心,故选B.,11.(2019安徽,13,5分)如图,ABC内接于O,CAB=30,CBA=45,CDAB于点D.若O的半径为2,则 CD的长为 .,答案,解析 如图,连接OC、OB,则COB=2CAB=60,OC=OB, COB为等边三角形,BC=2.CBA=45,CDAB, CB= CD,CD= .,解题关键 连接OC、OB,得到COB是等边三角形是解答本题的关键.,12.(2018吉林,13,3分)如图,A,B,C,D是O
13、上的四个点, = .若AOB=58,则BDC= 度.,答案 29,解析 连接OC(图略), = ,AOB=BOC=58,又点D在圆上,BDC= BOC=29.,思路分析 连接OC,由 与 相等可得圆心角AOB=BOC,再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半 即可求得BDC的度数.,13.(2018湖北黄冈,11,3分)如图,ABC内接于O,AB为O的直径,CAB=60,弦AD平分CAB,若AD=6, 则AC= .,答案 2,解析 连接BD,因为AB为O的直径,所以ADB=90,因为CAB=60,弦AD平分CAB,所以BAD=30, 因为 =cos 30,所以AB= = =4 .在RtABC中,A
14、C=ABcos 60=4 =2 .,14.(2018内蒙古包头,17,3分)如图,AB是O的直径,点C在O上,过点C的切线与BA的延长线交于点D,点E 在 上(不与点B,C重合),连接BE,CE.若D=40,则BEC= 度.,答案 115,解析 如图,连接OC,AC, CD是O的切线,DCO=90, 1=90-D=50. OA=OC,2= (180-1)=65. BEC=180-2=180-65=115.,15.(2018安徽,12,5分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则DOE= .,答案 60,解析 AB,AC分别与圆O相切于点D,E,ODAB,
15、OEAC,在菱形ABOC中,AB=BO,点D是AB的中点, BD= AB= BO,BOD=30,B=60,又OBAC, A=120,在四边形ADOE中,DOE=360-90-90-120=60.,解题关键 由题意得出OD垂直平分AB及AB=BO是解答本题的关键.,16.(2017江苏南京,15,2分)如图,四边形ABCD是菱形,O经过点A、C、D,与BC相交于点E,连接AC、AE.若 D=78,则EAC= .,答案 27,解后反思 本题综合考查菱形的性质、圆的内接四边形对角互补的性质,掌握这两个性质是解决问题的关键.,解析 四边形ABCD是菱形,ADBC,CA平分DCB. D=78,DCB=1
16、80-D=102,ACE= DCB=51.A、E、C、D四点共圆,D+AEC=180, AEC=102.在AEC中,EAC=180-AEC-ACE=180-102-51=27.,17.(2016新疆乌鲁木齐,13,4分)设I为ABC的外心,若BIC=100,则A的度数为 .,答案 50或130,解析 当I在ABC的内部时,如图1,A= BIC=50; 当I在ABC的外部时,如图2,A+ BIC=180,A=130. 图1 图2,18.(2016江苏南京,13,2分)如图,扇形AOB的圆心角为122,C是 上一点,则ACB= .,答案 119,解析 如图,在扇形AOB所在圆优弧AB上取一点D,连
17、接DA,DB.AOB=122,D=61,ACB+D= 180,ACB=119.,19.(2015内蒙古包头,18,3分)如图,O是ABC的外接圆,AD是O的直径,若O的半径是4,sin B= ,则线 段AC的长为 .,答案 2,解析 连接CD,在O中,因为AD为直径,所以ACD=90,因为B=D,所以AC=ADsin D=8 =2.,20.(2019江西,15,6分)在ABC中,AB=AC,点A在以BC为直径的半圆内.请仅用无刻度的直尺分别按下列要 求画图(保留画图痕迹). (1)在图1中作弦EF,使EFBC; (2)在图2中以BC为边作一个45的圆周角.,解析 连接CO并延长,交AB于点D,
18、则CDAB,所以D为AB的中点,所求运行轨道的最高点C到弦AB所在直 线的距离即为线段CD的长. 在RtAOD中,AD= AB=3,OAD=41.3, OD=ADtan 41.330.88=2.64,OA= =4, CD=CO+OD=AO+OD=4+2.64=6.64. 答:运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米. (10分) 其他运算途径得到的正确结果也可赋分,思路分析 本题考查垂径定理和三角函数的应用,通过垂径定理求得AD的长,再通过解三角形,求得AO和 OD的长,从而求出点C到弦AB所在直线的距离.,22.(2019内蒙古包头,24,10分)如图,在O中,B是O上一点,A
19、BC=120,弦AC=2 ,弦BM平分ABC交AC 于点D,连接MA,MC. (1)求O半径的长; (2)求证:AB+BC=BM.,解析 (1)ABC=120,BM平分ABC, MBA=MBC= ABC=60. 易知ACM=ABM=60,MAC=MBC=60, AMC是等边三角形. 如图,连接OA,OC,AO=CO,AOC=2AMC=120, OAC=OCA=30.作OHAC于点H, AH=CH= AC= . 在RtAOH中,cosOAH= , 即 = ,AO=2. O的半径为2. (4分) (2)证明:在BM上截取BE=BC,连接CE, MBC=60,BE=BC,EBC为等边三角形, CE=
20、CB=BE,BCE=60,BCD+DCE=60. ACM=60,ECM+DCE=60,ECM=BCD. AMC为等边三角形,AC=MC,ACBMCE,AB=ME. ME+EB=BM,AB+BC=BM. (10分),23.(2018安徽,20,10分)如图,O为锐角ABC的外接圆,半径为5. (1)用尺规作图作出BAC的平分线,并标出它与劣弧 的交点E(保留作图痕迹,不写作法); (2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.,思路分析 对于(2),连接OE交BC于点M,再连接OC,由BAE=CAE可得 = ,可推出OEBC,最后利 用勾股定理求出CE.,24.(2015安徽,20,1
21、0分)在O中,直径AB=6,BC是弦,ABC=30,点P在BC上,点Q在O上,且OPPQ. (1)如图1,当PQAB时,求PQ长; (2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.,解析 (1)OPPQ,PQAB,OPAB. 在RtOPB中,OP=OBtanABC=3tan 30= . (3分) 如图,连接OQ,在RtOPQ中, PQ= = = . (5分) (2)PQ2=OQ2-OP2=9-OP2, 当OP最小时,PQ最大.此时,OPBC. (7分) OP=OBsinABC=3sin 30= . PQ长的最大值为 = . (10分),25.(2017江苏南京,24,8分)如图,PA、P
22、B是O的切线,A、B为切点.连接AO并延长,交PB的延长线于点C.连 接PO,交O于点D. (1)求证:PO平分APC; (2)连接DB.若C=30,求证:DBAC.,26.(2017安徽,20,10分)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,B=D,AD不平行于BC,过点C作CEAD交ABC 的外接圆O于点E,连接AE. (1)求证:四边形AECD为平行四边形; (2)连接CO,求证:CO平分BCE.,思路分析 (1)根据“在同一个圆中同一段弧所对的圆周角相等”可推出E=B,再由D=B,CEAD 可推出AEDC,问题得证;(2)作OMCE,ONBC,垂足分别为M、N,由已知及(1)得出CE=B
23、C,再根据“同 一个圆内等弦对应的弦心距相等”可得OM=ON,从而由角平分线的判定定理可得结论.,解题关键 抓住“在同一个圆中同一段弧所对的圆周角相等及同圆内等弦对应的弦心距相等”是解决本 题的关键.,27.(2016宁夏,23,8分)已知ABC,以AB为直径的O分别交AC于D,BC于E,连接ED.若ED=EC. (1)求证:AB=AC; (2)若AB=4,BC=2 ,求CD的长.,评析 本题考查圆内接四边形的性质,三角形相似的判定与性质.属中档题.,28.(2015江苏南京,26,8分)如图,四边形ABCD是O的内接四边形,BC的延长线与AD的延长线交于点E,且 DC=DE. (1)求证A=
24、AEB; (2)连接OE,交CD于点F,OECD.求证:ABE是等边三角形.,29.(2015江苏苏州,26,10分)如图,已知AD是ABC的角平分线,O经过A、B、D三点,过点B作BEAD,交 O于点E,连接ED. (1)求证:EDAC; (2)若BD=2CD,设EBD的面积为S1,ADC的面积为S2,且 -16S2+4=0,求ABC的面积.,解析 (1)证明:AD是ABC的角平分线, BAD=DAC.E=BAD,E=DAC. BEAD,E=EDA. EDA=DAC.EDAC. (2)BEAD,EBD=ADC. 由(1)知E=DAC, EBDADC,且相似比k= =2. =k2=4,即S1=
25、4S2, -16S2+4=0,16 -16S2+4=0,即(4S2-2)2=0, S2= . = = = =3,SABC= .,考点二 与圆有关的位置关系及综合运用,1.(2019河北,10,3分)根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是 ( ),答案 C 由作图痕迹可以判断选项A作了一个角平分线和一边的垂直平分线,选项B作了两个角的角平分 线,选项C作了两条边的垂直平分线,选项D作了一边的高线和一边的垂直平分线,而三角形的外心是三边垂 直平分线的交点,所以在选项C中可以用直尺成功找到三角形的外心,故选C.,2.(2018重庆,9,4分)如图,已知AB是O的直径,点P在BA的延长线上
26、,PD与O相切于点D,过点B作PD的垂 线交PD的延长线于点C.若O的半径为4,BC=6,则PA的长为 ( ) A.4 B.2 C.3 D.2.5,答案 A 连接DO,PD与O相切于点D,PDO=90.BCPC,PCB=90,DOBC,POD PBC, = , = ,PA=4,故选A.,思路分析 利用切线的性质得出PDO=90,再利用相似三角形的判定和性质求出结果.,3.(2017湖北武汉,9,3分)已知一个三角形的三边长分别为5,7,8,则其内切圆的半径为 ( ) A. B. C. D.2,答案 C 如图,AB=7,BC=5,AC=8. 过点A作ADBC于点D,设BD=x,则CD=5-x.
27、由勾股定理得AB2-BD2=AD2,AC2-CD2=AD2, 则72-x2=82-(5-x)2,解得x=1,AD=4 . 设ABC的内切圆的半径为r, 则有 (5+7+8)r= 54 ,解得r= .故选C.,4.(2015重庆,9,4分)如图,AB是O的直径,点C在O上,AE是O的切线,A为切点,连接BC并延长交AE于点 D.若AOC=80,则ADB的度数为 ( ) A.40 B.50 C.60 D.20,答案 B AE是O的切线,BAE=90,B= AOC=40,ADB=90-B=50,故选B.,5.(2015江苏南京,6,2分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD、AB、BC分
28、别与O相切于E、F、G三点,过 点D作O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为 ( ) A. B. C. D.2,答案 A 在矩形ABCD中,O分别与边AD、AB、BC相切,又DM为O的切线,所以由切线长定理得AE= AF=BF=BG,DE=DN,MN=MG,且易知BG=2,DN=3,设MN=MG=x,在RtDCM中,DM2=MC2+DC2,即(3+x)2=(3 -x)2+42,解得x= ,则DM=3+ = .故选A.,6.(2019内蒙古包头,18,3分)如图,BD是O的直径,A是O外一点,点C在O上,AC与O相切于点C,CAB =90,若BD=6,AB=4,ABC=CBD,则弦BC的长
29、为 .,答案 2,解析 连接CD,BD是直径,DCB=90,又CAB=90,ABC=CBD,CABDCB, = , 即 = ,BC= =2 .,7.(2018山西,15,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=8,点D是AB的中点,以CD为直径作O,O 分别与AC,BC交于点E,F,过点F作O的切线FG,交AB于点G,则FG的长为 .,答案,思路分析 连接OF,可判断OFFG,由OCF=OFC,OCF=B可得OFC=B,所以OFBD,所以AB FG.在RtABC中求出sinB,再在RtBFG中,利用FG=BFsinB求得FG.,8.(2019四川成都,20,10分)如图,AB
30、为O的直径,C,D为圆上的两点,OCBD,弦AD,BC相交于点E. (1)求证: = ; (2)若CE=1,EB=3,求O的半径; (3)在(2)的条件下,过点C作O的切线,交BA的延长线于点P,过点P作PQCB交O于F,Q两点(点F在线段 PQ上),求PQ的长.,解析 (1)证明:连接OD. OCBD,OCB=DBC,OB=OC,OCB=OBC, OBC=DBC,AOC=COD, = . (2)连接AC. = ,CBA=CAD. 又BCA=ACE,CBACAE. = . CA2=CECB=CE(CE+EB)=1(1+3)=4.CA=2. AB为O的直径,ACB=90. 在RtACB中,由勾股
31、定理,得AB= = =2 .O的半径为 .,(3)如图,设AD与CO相交于点N,思路分析 (1)依据题意推得AOC=COD,可证 = ;(2)先证CBACAE,求得CA的长,再在 RtACB中,由勾股定理求得AB的长,进而可得半径长;(3)作OHPQ,证OHPACB,根据相似的性 质以及勾股定理求得HQ的长,再求PQ的长.,9.(2019辽宁大连,23,10分)如图1,四边形ABCD内接于O,AC是O的直径,过点A的切线与CD的延长线相 交于点P,且APC=BCP. (1)求证:BAC=2ACD; (2)过图1中的点D作DEAC,垂足为E(如图2).当BC=6,AE=2时,求O的半径.,10.
32、(2019贵州贵阳,23,10分)如图,已知AB是O的直径,点P是O上一点,连接OP,点A关于OP的对称点C恰 好落在O上. (1)求证:OPBC; (2)过点C作O的切线CD,交AP的延长线于点D,如果D=90,DP=1,求O的直径.,方法指导 针对含有切线的解答题,首先要想到的是作“辅助线”,由此获得更多能够证明题目要求的条 件.一般作“辅助线”的方法为“见切点,连圆心”,从而构造直角三角形(垂直),然后利用切线性质及直角 三角形边角关系、勾股定理等进行证明或计算.,11.(2019江西,19,8分)如图1,AB为半圆的直径,点O为圆心,AF为半圆的切线,过半圆上的点C作CDAB交AF 于
33、点D,连接BC. (1)连接DO,若BCOD,求证:CD是半圆的切线; (2)如图2,当线段CD与半圆交于点E时,连接AE,AC,判断AED和ACD的数量关系,并证明你的结论.,解析 (1)证法一:连接OC. AF为半圆的切线,A=90. BCDO,CBO=AOD,BCO=COD. OC=BO,CBO=BCO.COD=AOD. 在OAD和OCD中, OADOCD(SAS).OCD=A=90. CD是半圆的切线.,思路分析 (1)要证CD与半圆相切,由于点C为半圆上一点,所以必须连接OC并证明OCD=90,其中证法 一的思路是通过证明OCDOAD,从而得到OCD=A=90.证法二的思路是证明四边
34、形OADC是矩 形,从而得到OCD=90. (2)通过观察,易得到AED+ACD=90.证法一的思路是由ABCD得DCA=CAB,由四边形ABCE 为圆内接四边形得到B=AED,由AB为直径得ACB=90,从而得到B+CAB=90,最终推出 AED+ACD=90. 证法二的思路是连接BE,易证DCA=EBA,由ABCD得EAB=AED,由AB为直径易得EBA+EAB=90, 最终推出AED+ACD=90.,12.(2018内蒙古包头,24,10分)如图,在RtACB中,ACB=90,以点A为圆心,AC长为半径的圆交AB于点D, BA的延长线交A于点E,连接CE,CD,F是A上一点,点F与点C位
35、于BE两侧,且FAB=ABC,连接BF. (1)求证:BCD=BEC; (2)若BC=2,BD=1,求CE的长及sinABF的值.,解析 (1)证明:ACB=90,BCD+ACD=90. DE是A的直径,DCE=90, BEC+CDE=90. AD=AC,CDE=ACD,BCD=BEC. (3分) (2)BCD=BEC,EBC=CBD,BDCBCE, = = . BC=2,BD=1,BE=4,EC=2CD,DE=BE-BD=3. 在RtDCE中,DE2=CD2+CE2=5CD2=9, CD= ,CE= . (6分) 过点F作FMAB于点M, FAB=ABC,FMA=ACB=90, AFMBAC
36、, = .,DE=3,AD=AF=AC= ,AB= ,FM= . 过点F作FNBC于点N,FNC=90. FAB=ABC,FABC, FAC=ACB=90,四边形FNCA是矩形. FN=AC= ,NC=AF= ,BN= . 在RtFBN中,BF= . 在RtFBM中,sinABF= = . (10分),思路分析 (1)由ACB=90得BCD+ACD=90,由DE是A的直径知DCE=90,所以BEC+CDE= 90,由AD=AC得CDE=ACD,根据等角的余角相等可得结论;(2)证得BDCBCE,求出RtDCE的各 边边长,作FMAB,构造直角三角形,由相似求得FM,作FNBC于点N,得矩形FN
37、CA和RtFNB,求得FB的 长,在RtFBM中,由 求得sinABF的值.,解后反思 本题考查了圆周角定理,勾股定理,相似三角形的判定和性质等知识.由BDCBCE不仅要 求得BE的长,还需得到结论EC=2CD,这是求得CE的关键,作出辅助线构造直角三角形和矩形是求相应线段 长度的有效途径.,13.(2018湖北黄冈,18,7分)如图,AD是O的直径,AB为O的弦,OPAD,OP与AB的延长线交于点P,过B点 的切线交OP于点C. (1)求证:CBP=ADB; (2)若OA=2,AB=1,求线段BP的长.,解析 (1)证明:连接OB,则OBBC,OBD+DBC=90,又AD为O的直径,DBA=
38、90, DBP=DBC+CBP=90,OBD=CBP, 又OD=OB,OBD=ODB,ODB=CBP,即ADB=CBP. (2)在RtADB和RtAPO中,DAB=PAO, RtADBRtAPO, = , AB=1,AO=2,AD=4,AP= =8,BP=7.,14.(2018辽宁沈阳,22,10分)如图,BE是O的直径,点A和点D是O上的两点,过点A作O的切线交BE延长 线于点C. (1)若ADE=25,求C的度数; (2)若AB=AC,CE=2,求O半径的长.,15.(2017甘肃兰州,27,10分)如图,ABC内接于O,BC是O的直径,弦AF交BC于点E,延长BC到点D,连接 OA,AD
39、,使得FAC=AOD,D=BAF. (1)求证:AD是O的切线; (2)若O的半径为5,CE=2,求EF的长.,解析 (1)证明:BC是O的直径, BAC=90. (1分) BAF+FAC=90. (2分) FAC=AOD,D=BAF,D+AOD=90. (4分) OAAD.OA为O的半径, AD是O的切线. (5分) (2)如图,连接BF.BE=BC-CE=2OC-CE=10-2=8.,ACE=OCA,FAC=AOC, OACAEC. (6分) = = ,即 = = ,AE= . (7分) AEC=BEF,ACB=BFE, AECBEF. (9分) = ,即 = ,EF= . (10分),方
40、法规律 在有关圆的问题中,有直径通常作直径所对的圆周角,构造直角三角形解决问题;有关切线的证 明,遵循“有切点,连半径,证垂直;无切点,作垂直,证半径”的原则.关于圆的一些定理或推论形成的基本图 形应熟记于心,并能在组合图形中识别、分解出来.,16.(2017山西,21,7分)如图,ABC内接于O,且AB为O的直径.ODAB,与AC交于点E,与过点C的O的 切线交于点D. (1)若AC=4,BC=2,求OE的长; (2)试判断A与CDE的数量关系,并说明理由.,解析 (1)AB是O的直径,ACB=90. 在RtABC中,由勾股定理得AB= = =2 ,AO= AB= 2 = . (1分) OD
41、AB,AOE=ACB=90, 又A=A,AOEACB, (2分) = ,OE= = = . (3分) (2)CDE=2A. (4分) 理由如下: 证法一:连接OC.OA=OC,1=A. CD是O的切线,OCCD, OCD=90,2+CDE=90. (5分) ODAB,2+3=90,3=CDE. (6分) 3=A+1=2A,CDE=2A. (7分),证法二:连接OC.CD是O的切线, OCCD,1+2=90. ODAB,AOE=90,A+3=90. (5分) OA=OC,1=A,2=3. (6分) 又3=4,2=4=3=90-A, CDE=180-(2+4)=180-2(90-A)=180-29
42、0+2A=2A. (7分),解后反思 求线段长度的方法,除了简单的直接加减之外,还可以把线段长度放在方程中求解,建立方程的 常见方法:通过相似得到比例建立方程;通过勾股定理建立方程;通过三角函数建立边与边之间的关系,等等. 在这几种方法的选择上,要具体问题具体分析,选择一种最简单的方法.,17.(2016辽宁沈阳,21,8分)如图,在ABC中,以AB为直径的O分别与BC,AC相交于点D,E,BD=CD,过点D作 O的切线交边AC于点F. (1)求证:DFAC; (2)若O的半径为5,CDF=30,求 的长.(结果保留),18.(2016新疆乌鲁木齐,23,10分)如图,已知AB为O的直径,点E
43、在O上,EAB的平分线交O于点C,过点 C作AE的垂线,垂足为D,直线DC与AB的延长线交于点P. (1)判断直线PC与O的位置关系,并说明理由; (2)若tanP= ,AD=6,求线段AE的长.,解析 (1)PC与O相切,理由如下: 连接OC,AC平分EAB,EAC=CAB,又OA=OC, CAB=ACO,EAC=ACO, OCAD,而ADPD,OCP=ADP=90, 又点C在O上,PC与O相切. (2)在RtADP中,ADP=90,AD=6,tanP= ,PD=8,则AP=10. 设O的半径为r,由(1)知OCAD, = ,即 = ,解得r= , 连接BE,AB是直径,E在O上,AEB=9
44、0,BEPD,ABE=P. AE=ABsinABE=ABsinP=2 = .,19.(2015天津,21,10分)已知A,B,C是O上的三个点,四边形OABC是平行四边形,过点C作O的切线,交AB 的延长线于点D. (1)如图,求ADC的大小; (2)如图,经过点O作CD的平行线,与AB交于点E,与 交于点F,连接AF,求FAB的大小.,解析 (1)CD是O的切线,C为切点,OCCD,即OCD=90. 四边形OABC是平行四边形,ABOC,即ADOC. 有ADC+OCD=180.ADC=180-OCD=90. (2)如图,连接OB,则OB=OA=OC.四边形OABC是平行四边形,OC=AB.OA=OB=AB.,20.(2015浙江温州,21,10分)如图,AB是半圆O的直径,CDAB于点C,交半圆于点E,DF切半圆于点F. 已知AEF=135. (1)求证:DFAB; (2)若OC=CE,BF=2 ,求DE的长.,解析 (1)证明:连接OF,DF切半圆O于点F,DFOF. AEF=135,四边形ABFE为圆内接四边形,B=45. FOA=90,ABOF,DFAB. (2)连接OE,BF=2 ,FOB=90,OB=OF=2. OC=CE,CEAB,OE=
