1、1.(2016漳州,8,4分)下列尺规作图,能判断AD是ABC边BC上的高是 ( ),A组 20152019年福建中考题组,考点一 三角形的相关概念,答案 B 过点A作BC的垂线,垂足为D,因此可以判断只有B选项符合题意.,2.(2015龙岩,8,4分)如图,在边长为 的等边三角形ABC中,过点C垂直于BC的直线交ABC的平分线于点P, 则点P到边AB所在直线的距离为 ( ) A. B. C. D.1,答案 D 由题意可得,PBC=30,在RtPBC中,PC=BCtan 30=1,因为BP是ABC的平分线,所以点P到 AB的距离等于点P到BC的距离,即为1,故选D.,3.(2017福建,12,
2、4分)如图,ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,连接DE,若DE=3,则线段BC的长等于 .,答案 6,解析 D,E分别是边AB,AC的中点, DE是ABC的中位线. BC=2DE,DE=3,BC=6.,4.(2017福建,19,8分)如图,ABC中,BAC=90,ADBC,垂足为D.求作ABC的平分线,分别交AD,AC于P, Q两点,并证明AP=AQ. (要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法),解析 如图,BQ是所求作的ABC的平分线,P,Q是所求作的点. 证明如下: ADBC,ADB=90,BPD+PBD=90. BAC=90,AQP+ABQ=90. ABQ=PBD,BPD=AQP
3、. BPD=APQ,APQ=AQP,AP=AQ.,1.(2016厦门,3,3分)如图,点E,F在线段BC上,ABF与DCE全等,点A与点D、点B与点C是对应顶点,AF与 DE交于点M,则DCE= ( ) A.B B.A C.EMF D.AFB,考点二 三角形全等,答案 A ABF与DCE全等,点A与点D、点B与点C是对应顶点,DCE=B,故选A.,2.(2016莆田,6,4分)如图,OP是AOB的平分线,点C,D分别在角的两边OA,OB上,添加下列条件,不能判定 POCPOD的选项是 ( ) A.PCOA,PDOB B.OC=OD C.OPC=OPD D.PC=PD,答案 D A项,PCOA,
4、PDOB得出PCO=PDO=90,根据AAS可判定POCPOD;B项,OC=OD, 根据SAS可判定POCPOD;C项,OPC=OPD,根据ASA可判定POCPOD;D项,PC=PD,根据 SSA不能判定POCPOD.,3.(2019福建,18,8分)如图,点E,F分别在矩形ABCD的边AB,CD上,且DF=BE.求证:AF=CE.,证明 本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识. 四边形ABCD是矩形,D=B=90,AD=CB. 在ADF和CBE中, ADFCBE,AF=CE.,4.(2017福建,18,8分)如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF
5、.求证:A=D.,证明 BE=CF,BE+EC=CF+EC,即BC=EF. 在ABC和DEF中, ABCDEF,A=D.,5.(2016福州,21,8分)一个平分角的仪器如图所示,其中AB=AD,BC=DC. 求证:BAC=DAC.,证明 在ABC与ADC中, ABCADC(SSS).BAC=DAC.,6.(2016宁德,19,8分)如图,D是AC上一点,AB=DA,DEAB,B=DAE.求证:BC=AE.,证明 DEAB, BAC=ADE. 在ABC和DAE中, ABCDAE. BC=AE.,7.(2016泉州,20,9分)如图,ABC、CDE均为等腰直角三角形,ACB=DCE=90,点E在
6、AB上.求证: CDACEB.,8.(2016漳州,25,14分)现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板,移动三角板,使三角板两直角边所 在直线分别与直线BC,CD交于点M,N. (1)如图1,若点O与点A重合,则OM与ON的数量关系是 ; (2)如图2,若点O在正方形的中心(即两对角线交点),则(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由; (3)如图3,若点O在正方形的内部(含边界),当OM=ON时,请探究点O在移动过程中可形成什么图形; (4)图4是点O在正方形外部的一种情况. 当OM=ON时,请你就“点O的位置在各种情况下(含外部)移动所形成的图形”提出一个正确的结论(不必 说明理由
7、).,解析 (1)OM=ON. (2)OM=ON仍然成立. 如图,过O作OEBC于E,OFCD于F, OEM=OFN=90, O是正方形ABCD的中心, OE=OF, EOF=90, 2+3=90, 1+2=90, 1=3, OEMOFN, OM=ON.,(3)如图,过O作OEBC于E,OFCD于F, OEM=OFN=90, C=90, 2+3=90, 1+2=90, 1=3, OM=ON, OEMOFN, OE=OF, 点O在BCD的平分线上,点O在正方形内(含边界)移动过程中形成的图形是线段AC. (4)O在移动过程中所形成的图形为直线AC.,1.(2019河北,10,3分)根据圆规作图的
8、痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是 ( ),B组 20152019年全国中考题组,考点一 三角形的相关概念,答案 C 由作图痕迹可以判断选项A作了一个角的平分线和一边的垂直平分线,选项B作了两个角的角平 分线,选项C作了两条边的垂直平分线,选项D作了一边的高线和一边的垂直平分线,而三角形的外心是三边 垂直平分线的交点,所以在选项C中可以用直尺成功找到三角形的外心,故选C.,2.(2017吉林,5,2分)如图,在ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD.若B=40, C=36,则DAC的度数是 ( ) A.70 B.44 C.34 D.24,答案 C 由作图知BA=B
9、D,BAD=BDA=70,BDA=C+DAC,DAC=BDA-C=34,故 选C.,3.(2016江苏南京,4,2分)下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是 ( ) A.3,4,4 B.3,4,5 C.3,4,6 D.3,4,7,答案 C 由三角形的三边关系知A,B,C能构成三角形,D不能构成三角形. 设一个三角形的三边长分别为a,b,c,且ac2,则三角形为锐 角三角形;若a2+b2c2,则三角形为钝角三角形. 32+4262,长为3,4,6的三条线段可组成钝角三角形,故选C.,4.(2018内蒙古包头,8,3分)如图,在ABC中,AB=AC,ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且DAE=
10、90,AD= AE.若C+BAC=145,则EDC的度数为 ( ) A.17.5 B.12.5 C.12 D.10,答案 D AB=AC,B=C.B=180-(C+BAC)=35,C=35.DAE=90,AD=AE, AED=ADE=45,EDC=AED-C=45-35=10.故选D.,5.(2015四川绵阳,5,3分)如图,在ABC中,ABC、ACB的平分线BE、CD相交于点F,ABC=42,A=60 ,则BFC= ( ) A.118 B.119 C.120 D.121,答案 C 在ABC中,ACB=180-A-ABC=180-60-42=78. BE、CD分别平分ABC、ACB,FBC=
11、ABC=21,FCB= ACB=39, BFC=180-FBC-FCB=180-21-39=120.故选C.,评析 本题主要考查三角形内角和定理,角平分线的概念,属容易题.,6.(2019北京,10,2分)如图,已知ABC,通过测量、计算得ABC的面积约为 cm2.(结果保留一位小 数),答案 2.6,解析 过点C作CD垂直AB于D,经过测量可知AB2.6 cm,CD2 cm,所以可求得ABC的面积约为2.6 cm2.,7.(2018湖北黄冈,12,3分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10x+21=0的根,则三角形的周 长为 .,答案 16,解析 x2-10x+21=(x
12、-3)(x-7)=0, x1=3,x2=7, 3+3=6, 3不能作为该三角形的第三边长, 三角形的第三边长为7, 三角形的周长为3+6+7=16.,8.(2018湖北武汉,16,3分)如图,在ABC中,ACB=60,AC=1,D是边AB的中点,E是边BC上一点.若DE平分 ABC的周长,则DE的长是 .,答案,解析 延长BC至点F,使CF=AC,连接AF, D是AB的中点,AD=DB. DE平分ABC的周长, AC+CE+AD=DB+BE, AC+CE=BE, BE=CF+CE=EF, DE是ABF的中位线, DEAF, ACB=60, ACF=120,又AC=CF=1, FAC=AFC=3
13、0,作CHAF,则AH= AC, AF= AC= ,DE= AF= .,思路分析 延长BC至点F,使CF=AC,利用已知条件证明DE为ABF的中位线,由已知条件求得AF的长,从 而求得DE的长.,解题技巧 对于求线段长度的问题,若条件涉及三角形边的中点,可以考虑运用中位线定理来解答.,1.(2018四川成都,6,3分)如图,已知ABC=DCB,添加以下条件,不能判定ABCDCB的是 ( ) A.A=D B.ACB=DBC C.AC=DB D.AB=DC,考点二 三角形全等,答案 C 根据题中已有条件,分别添加A=D,ACB=DBC,AB=DC,符合判定三角形全等的AAS, ASA,SAS定理,
14、能推出ABCDCB,故选项A,B,D不符合题意;添加AC=BD,不符合全等三角形的判定定 理,不能推出ABCDCB,选项C符合题意.故选C.,2.(2019四川成都,12,4分)如图,在ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,BAD=CAE,若BD=9,则CE的长为 .,答案 9,解析 AB=AC,B=C. 又BAD=CAE,BADCAE(ASA),CE=BD=9.,3.(2019黑龙江齐齐哈尔,12,3分)如图,已知在ABC和DEF中,B=E,BF=CE,点B、F、C、E在同一条 直线上,若使ABCDEF,则还需添加的一个条件是 (只填一个即可).,答案 AB=DE(或A=D或ACB=D
15、FE或ACDF),解析 由BF=CE可得BC=EF, 又B=E, 此时可选择的判定方法有“SAS”“AAS”或“ASA”. (1)根据“SAS”,可添加AB=DE. (2)根据“AAS”,可添加A=D. (3)根据“ASA”,可添加ACB=DFE或ACDF.,方法点拨 本题属于条件开放题,属于中考常见类型,根据隐含条件(FC为公共线段)把已知条件转化为一 边一角对应相等,所以可以根据“SAS”“AAS”或“ASA”添加不同的条件,需要注意的是不能根据 “SSA”添加条件.,4.(2016江苏南京,14,2分)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,ABOADO.下列结论:AC BD;
16、CB=CD;ABCADC;DA=DC.其中所有正确结论的序号是 .,答案 ,解析 ABOADO,BAC=DAC,AOB=AOD,AB=AD.AOB+AOD=180,AOB=90 ,ACBD,正确. AB=AD,BAC=DAC,AC=AC,ABCADC, 正确. ABCADC,CB=CD,正确. DA与DC不一定相等,不正确.,5.(2015江西南昌,9,3分)如图,OP平分MON,PEOM于E,PFON于F,OA=OB,则图中有 对全等 三角形.,答案 3,解析 根据题图的特征以及角平分线的性质可以得到AOPBOP,EOPFOP,AEPBFP,所 以题图中有3对全等三角形.,6.(2019吉林
17、,18,5分)如图,在ABCD中,点E在边AD上,以C为圆心,AE长为半径画弧,交边BC于点F.连接BE, DF.求证:ABECDF.,证明 四边形 ABCD为平行四边形, AB=CD,A=C. (2分) 由作图,得AE=CF, (3分) ABECDF. (5分),7.(2019贵州贵阳,25,12分) (1)数学理解:如图,ABC是等腰直角三角形,过斜边AB的中点D作正方形DECF,分别交BC,AC于点E,F,求 AB,BE,AF之间的数量关系; (2)问题解决:如图,在任意直角ABC内,找一点D,过点D作正方形DECF,分别交BC,AC于点E,F,若AB=BE +AF,求ADB的度数; (
18、3)联系拓广:如图,在(2)的条件下,分别延长ED,FD,交AB于点M,N,求MN,AM,BN的数量关系.,解析 (1)四边形DECF为正方形且D为等腰直角ABC斜边AB的中点, AF=FC=CE=EB=DE=FD, 在RtAFD和RtBED中, AD= AF,BD= BE, AB=AD+BD= (AF+BE). (2)四边形DECF是正方形, DF=DE, 将ADF以点D为旋转中心,逆时针旋转90得到ADE,如图, AD=AD,AF=AE,且ADA=90. AB=BE+AF,AB=BE+AE=AB. 在ABD和ABD中, ,ABDABD,ADB=ADB, ADB= = =135. (3)由(
19、2)得,AD,BD分别是CAB和CBA的平分线, MAD=FAD,NBD=EBD, 由题意得EMCA,FNCB, MDA=FAD,NDB=EBD, MDA=MAD,NDB=NBD,AM=MD,ND=BN. 在RtMDN中,MN2=MD2+ND2, MN2=AM2+BN2.,思路分析 (1)根据题意得出ADF和BDE均为等腰直角三角形,AD= AF,BD= BE,进而得出结果;(2) 将ADF绕点D逆时针旋转90,旋转到ADE的位置,进一步证明ABD与ABD全等,得出ADB=A DB,进而求出ADB的度数;(3)由(2)问易得AD平分BAC,BD平分ABC,结合EMAC,FNBC,得出AM= D
20、M,DN=BN,最后根据勾股定理得出结论.,难点突破 对于(3)问,三条线段在同一直线上,利用“角平分线+平行”得出等腰ADM和等腰BDN,把 所求三条线段转化为直角三角形DMN的三边,问题迎刃而解.,8.(2019河北,23,9分)如图,ABC和ADE中,AB=AD=6,BC=DE,B=D=30.边AD与边BC交于点P(不与点 B,C重合),点B,E在AD异侧.I为APC的内心. (1)求证:BAD=CAE; (2)设AP=x,请用含x的式子表示PD,并求PD的最大值; (3)当ABAC时,AIC的取值范围为mAICn,分别直接写出m,n的值.,备用图,解析 (1)证明:AB=AD,B=D,
21、BC=DE, ABCADE. (3分) BAC=DAE.BAC-DAC=DAE-DAC. BAD=CAE. (4分) (2)PD=6-x. (5分) 如图,当ADBC时,x最小,PD最大.,B=30,AB=6,x= AB= 6=3. PD的最大值为3. (7分) (3)m=105,n=150. (9分) 提示:根据I为APC的内心可得IAC= PAC,ACI= ACP,所以AIC=180- PAC- ACP=90 + APC,所以AIC的大小取决于APC的大小.假设点P与点B重合,此时AIC=90+ B=105,随着点 P接近点C,APC的最大值接近于120,假设APC=120,此时AIC=9
22、0+ 120=150,即105AIC15 0,所以m=105,n=150.,思路分析 (1)根据SAS可证明ABCADE,得出BAC=DAE,进而可得BAD=CAE;(2)易得PD=6 -x,根据x的取值判断当AP最短(ADBC)时,PD取得最大值;(3)根据I为APC的内心易知AIC=90+ APC,可得AIC的大小取决于APC的大小.根据30APC120进而确定105AIC150,所以m=105, n=150.,1.(2018河北,1,3分)下列图形具有稳定性的是 ( ),C组 教师专用题组,考点一 三角形的相关概念,答案 A 三角形具有稳定性.故选A.,2.(2016湖南长沙,7,3分)
23、若一个三角形的两边长分别为3和7,则第三边长可能是 ( ) A.6 B.3 C.2 D.11,答案 A 设第三边长为x,根据三角形的三边关系,可得7-3x7+3,即4x10,故选A.,3.(2016河北,10,3分)如图,已知钝角ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹. 步骤1:以C为圆心,CA为半径画弧; 步骤2:以B为圆心,BA为半径画弧,交弧于点D; 步骤3:连接AD,交BC延长线于点H. 下列叙述正确的是 ( ) A.BH垂直平分线段AD B.AC平分BAD C.SABC=BCAH D.AB=AD,答案 A 由作图可知点B、C到线段AD的两个端点的距离分别相等,点B、C都在线段AD
24、的垂直平分线 上,即直线BC垂直平分线段AD.故选A.,4.(2015广东广州,10,3分)已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三 角形ABC的两条边长,则三角形ABC的周长为 ( ) A.10 B.14 C.10或14 D.8或10,答案 B 把2代入方程得m=4,解方程x2-8x+12=0得另外一个根是6;根据三角形三边之间的关系可知:当 6是腰,2是底边时,周长是6+6+2=14;当2是腰,6是底边时,2+26,不能构成三角形,ABC的周长是14,故 选B.,评析 本题考查了一元二次方程的解法,三角形三边之间的关系,等腰三角形的性质等知识,属
25、于容易题.,5.(2017河北,17,3分)如图,A,B两点被池塘隔开,不能直接测量其距离.于是,小明在岸边选一点C,连接CA,CB, 分别延长到点M,N,使AM=AC,BN=BC,测得MN=200 m,则A,B间的距离为 m.,答案 100,解析 AM=AC,BN=BC,AB是CMN的中位线,AB= MN,MN=200 m,AB=100 m.,6.(2015天津,18,3分)在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C,D均在格点上,点E,F分别为线段BC,DB上 的动点,且BE=DF. (1)如图,当BE= 时,计算AE+AF的值等于 ; (2)当AE+AF取得最小值时,请在如图所示的网
26、格中,用 的直尺,画出线段AE,AF,并简要说明点E和 点F的位置是如何找到的(不要求证明) .,答案 (1) . (2)如图,取格点H,K,连接BH,CK,相交于点P.连接AP,与BC相交于点E.取格点M,N,连接DM,CN,相交于点G.连 接AG,与BD相交于点F.线段AE,AF即为所求.,解析 (1)由题图可知,AD=4,AB=3,则DB= =5,因为BE= ,BE=DF,所以DF= ,所以F是RtABD斜 边BD的中点,所以AF= BD= .因为AE= = ,所以AE+AF= . (2)如图,取格点H,K,连接BH,CK,相交于点P.连接AP,与BC相交于点E.取格点M,N,连接DM,
27、CN,相交于点G.连 接AG,与BD相交于点F.线段AE,AF即为所求,思路提示 在求两条线段长度之和的最小值时,常用方法是利用两点之间线段最短,题中E、F均为动点,不 能直接应用两点之间线段最短这一结论,可考虑利用三角形全等把AE+AF转化为两个定点到一个动点的距 离之和. 先考虑一条边为AF的AFD.因为ADBC,所以FDA=DBC,设D点关于BC的对称点为H,则有HBC =DBC=FDA,因为AD=4,为了在BH上找一点P到B的距离也等于4,可取格点K,连接CK,设BH与CK相交,于P,则有BP=4.在AFD与PEB中, 所以AFDPEB,所以AF=PE,故AF+AE=PE+AE,要使P
28、E+AE有最小值,则连接AP,AP与BC的交点就是 要求的点E. 与找E点类似,要找到符合条件的点F,考虑一条边为AE的ABE,想法构造一个与ABE全等的三角形,取 格点M,连接DM,易知DMDF,为了在DM上找一点G,使DG=AB=3,取格点N,连接CN,设DM与CN相交于G,则 DG=AB=3, 在ABE与GDF中, 所以ABEGDF,所以GF=AE,故AE+AF=GF+AF,要使GF+AF最小,只要连接AG,AG与BD交于F,则F就 是所求使得AE+AF最小的点F.,7.(2019重庆A卷,20,10分)如图,在ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD.BE平分ABC交AC于点
29、E, 过点E作EFBC交AB于点F. (1)若C=36,求BAD的度数; (2)求证:FB=FE.,解析 (1)AB=AC,ABC=C. 又D是BC的中点, AD平分BAC,即BAD= BAC. (3分) C=36,BAC=180-2C=180-236=108. BAD=54. (5分) (2)证明:BE平分ABC,FBE=EBD. EFBC,FEB=EBD, FBE=FEB. (9分) FB=FE. (10分),8.(2016江苏南京,21,8分)用两种方法证明“三角形的外角和等于360”. 如图,BAE、CBF、ACD是ABC的三个外角. 求证:BAE+CBF+ACD=360. 证法1:
30、, BAE+1+CBF+2+ACD+3=1803=540. BAE+CBF+ACD=540-(1+2+3). , BAE+CBF+ACD=540-180=360. 请把证法1补充完整,并用不同的方法完成证法2.,解析 BAE+1=CBF+2=ACD+3=180; 1+2+3=180. 证法2:如图,过点A作射线AP,使APBD. APBD, CBF=PAB,ACD=EAP.,BAE+PAB+EAP=360, BAE+CBF+ACD=360.,9.(2016广东,19,6分)如图,已知ABC中,D为AB的中点. (1)请用尺规作图法作边AC的中点E,并连接DE(保留作图痕迹,不要求写作法); (
31、2)在(1)的条件下,若DE=4,求BC的长.,解析 (1)如图. (2分) E点,DE即为所求. (3分) (2)DE是ABC的中位线,且DE=4, BC=2DE=24=8. (6分),评析 本题主要考查平面几何中尺规作图的基本方法(中点的作法),以及三角形中位线的性质.,1.(2016河北,16,2分)如图,AOB=120,OP平分AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且PMN为等边 三角形,则满足上述条件的PMN有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.3个以上,考点二 三角形全等,答案 D 如图所示,过点P分别作OA,OB的垂线,垂足分别为C,D,连接CD,则PCD为等
32、边三角形.在OC, DB上分别取M,N,使CM=DN,则PCMPDN,所以CPM=DPN,PM=PN,MPN=60,则PMN为等边 三角形,因为满足CM=DN的M,N有无数个,所以满足题意的三角形有无数个.,2.(2019天津,18,3分)如图,在每个小正方形的边长均为1的网格中,ABC的顶点A在格点上,B是小正方形边 的中点,ABC=50,BAC=30,经过点A,B的圆的圆心在边AC上. (1)线段AB的长等于 ; (2)请用 的直尺,在如图所示的网格中,画出一个点P,使其满足PAC=PBC=PCB,并简要说明点P 的位置是如何找到的(不要求证明) .,答案 (1) (2)如图,取圆与网格线
33、的交点E、F,连接EF,与AC相交,得圆心O;AB与网格线相交于点D,连接DO并延长,交 O于点Q,连接QC并延长,与点B,O的连线BO相交于点P,连接AP,则点P满足PAC=PBC=PCB,解析 (1)根据勾股定理得AB= = . (2)取圆与网格线的交点E、F,连接EF与AC相交,根据90度的圆周角所对的弦是直径,可得EF与AC的交点为 圆心O;AB与网格线相交于点D,连接DO并延长交O于点Q,连接QC并延长,与点B,O的连线BO相交于点P, 连接AP. 由图形可知点D为AB的中点,ODAB, OA=OB,BAC=30, BAC=ABO=30,AOD=BOD=60, BOC=60, ABC
34、=50, CBP=20, AOD=COQ=60, BOC=COQ.,OB=OQ,OC=OC, COQCOB, Q=CBO=20, AOP=POQ=120,且OA=OQ,OP=OP, POQPOA, Q=CAP=20, ABC=50,BAC=30, ACB=100, ACP=Q+COQ=20+60=80, PCB=ACB-ACP=100-80=20, PAC=PBC=PCB=20,点P符合条件.,难点突破 点P位置的确定需要学生清楚BAC=30,经过点A、B的圆的圆心在边AC上,进而确定圆心位 置,利用圆的对称性把PAC转化到Q,最后只要求PCB=20,便可把所求问题进行有效转化,显然射线 QC
35、与线段OB的交点即为所求的点P.,3.(2019云南,16,6分)如图,AB=AD,CB=CD. 求证:B=D. 证明 在ABC和ADC中, ABCADC. (4分) B=D. (6分),思路分析 利用全等三角形的判定和性质来证明.,方法总结 证明一般三角形全等的方法有4种:边边边,角角边,角边角,边角边.,4.(2019甘肃兰州,20,6分)如图,AB=DE,BF=EC,B=E.求证:ACDF.,证明 BF=EC, BF+CF=EC+CF, BC=EF,在ABC与DEF中, ABCDEF(SAS), ACB=EFD, ACDF.,5.(2019陕西,18,5分)如图,点A、E、F、B在直线l
36、上,AE=BF,ACBD,且AC=BD. 求证:CF=DE. 证明 AE=BF, AF=BE. (2分) ACBD, CAF=DBE. 又AC=BD, ACFBDE. (4分),CF=DE. (5分),6.(2019山西,17,7分)已知:如图,点B,D在线段AE上,AD=BE,ACEF,C=F.求证:BC=DF.,证明 AD=BE,AD-BD=BE-BD. AB=DE. (2分) ACEF,A=E. (4分) 在ABC和EDF中,(5分) ABCEDF. (6分) BC=DF. (7分),7.(2019安徽,20,10分)如图,点E在ABCD内部,AFBE,DFCE. (1)求证:BCEAD
37、F; (2)设ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求 的值.,解析 (1)证明:如图1,延长FA与CB的延长线交于点M, ADBC,FAD=M, 又AFBE,M=EBC,FAD=EBC. 同理得FDA=ECB. 在BCE和ADF中,EBC=FAD, BC=AD,ECB=FDA,BCEADF. (5分) (2)解法一:如图1,连接EF,由(1)知BCEADF,AF=BE,又AFBE, 四边形ABEF为平行四边形,SAEF=SAEB. 同理SDEF=SDEC,T=SAEB+SDEC, 又T=SAED+SADF=SAED+SBCE,S=SAEB+SDEC+SAED+SBCE=2T. =2.
38、 (10分) 解法二:BCEADF,T=SAED+SBCE. 如图2,过点E作HGBC交BC于G,交AD于H,则EGBC,EHAD.于是,T=SAED+SBCE= BC(EG+EH)= BC,GH= S,即 =2. (10分) 图1,图2,思路分析 (1)延长FA与CB的延长线交于M,根据平行四边形ABCD的性质可以证明EBC=FAD,ECB =FDA,从而证明BCEADF(ASA);(2)解法一:连接EF,易证四边形ABEF、CDFE都是平行四边形,从 而得T=S四边形AEDF=SAEF+SDEF=SAEB+SDEC,再证得T=SAED+SBCE,即可得出结果.解法二:利用BCEADF可 证
39、T=SAED+SBCE,然后作HG垂直BC,由三角形的面积公式及AD=BC得出结果.,方法总结 求不规则四边形的面积常将不规则四边形分割成三角形,求三角形的面积和或转化成求熟悉易 求的图形面积.,8.(2018吉林,16,5分)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且BE=CF.求证:ABEBCF. 证明 在正方形ABCD中, AB=BC,ABC=C=90. (2分) 又BE=CF, (3分) ABEBCF. (5分),9.(2018湖北武汉,18,8分)如图,点E、F在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C,AF与DE交于点G,求证:GE=GF.,证明 BE=CF,BF=CE
40、. 在ABF和DCE中, ABFDCE. AFB=DEC, GF=GE.,10.(2018陕西,18,5分)如图,ABCD,E、F分别为AB、CD上的点,且ECBF,连接AD,分别与EC、BF相交于 点G、H.若AB=CD,求证:AG=DH.,证明 ABCD,A=D. ECBF, BHA=CGD. (2分) AB=CD, ABHDCG, AH=DG,AG=DH. (5分),思路分析 首先利用平行线的性质得出A=D,BHA=CGD,进而判定ABHDCG,最后根据全 等三角形的性质及等量减等量差相等,得出结果.,归纳总结 全等三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS和HL.要根据已知条件恰
41、当选择判定定理. 当已知两边对应相等时,可考虑证夹角相等或第三边相等.当已知两角对应相等时可考虑证夹边相等或 一角对边相等.当已知角及邻边对应相等时可选用SAS、ASA或AAS.,11.(2017湖北武汉,18,8分)如图,点C,F,E,B在一条直线上,CFD=BEA,CE=BF,DF=AE.写出CD与AB之间 的关系,并证明你的结论.,解析 CD与AB之间的关系为CD=AB,且CDAB. 证明:CE=BF, CF=BE. 在CDF和BAE中, CDFBAE, CD=BA,C=B, CDBA.,思路分析 先证明CDFBAE,再利用全等三角形的性质得到CD与AB之间的关系.,易错警示 CD与AB
42、之间的位置关系是平行,数量关系是相等,本题容易出现的错误是只得到CD与AB之间 的一种关系.,12.(2016重庆,19,7分)如图,点A,B,C,D在同一条直线上,CEDF,EC=BD,AC=FD.求证:AE=FB.,证明 CEDF,ACE=D. (3分) 在ACE和FDB中, EC=BD,ACE=D,AC=FD, (5分) ACEFDB. (6分) AE=FB. (7分),13.(2015江苏苏州,24,8分)如图,在ABC中,AB=AC.分别以B、C为圆心,BC长为半径在BC下方画弧,设两弧 交于点D,与AB、AC的延长线分别交于点E、F,连接AD、BD、CD. (1)求证:AD平分BA
43、C; (2)若BC=6,BAC=50,求 、 的长度之和(结果保留).,解析 (1)证明:由题意可知BD=CD, 在ABD和ACD中, ABDACD(SSS). BAD=CAD,即AD平分BAC. (2)AB=AC,BAC=50, ABC=ACB=65. BD=CD=BC, BDC为等边三角形. DBC=DCB=60, DBE=DCF=55,BC=6, BD=CD=6. 的长度= 的长度= = . 、 的长度之和为 + = .,14.(2018辽宁沈阳,24,12分)已知:ABC是等腰三角形,CA=CB,0ACB90,点M在边AC上,点N在边BC 上(点M、点N不与所在线段端点重合),BN=A
44、M,连接AN,BM.射线AGBC,延长BM交射线AG于点D,点E在直 线AN上,且AE=DE. (1)如图,当ACB=90时: 求证:BCMACN; 求BDE的度数; (2)当ACB=,其他条件不变时,BDE的度数是 ;(用含的代数式表示) (3)若ABC是等边三角形,AB=3 ,点N是BC边上的三等分点,直线ED与直线BC交于点F,请直接写出线段 CF的长.,备用图1 备用图2,解析 (1)证明:CA=CB,BN=AM, CB-BN=CA-AM, 即CN=CM, BC=AC,MCB=ACN,CM=CN, BCMACN. BCMACN, MBC=NAC, EA=ED, EAD=EDA, AGB
45、C, GAC=ACB=90,ADB=DBC, ADB=NAC, ADB+EDA=NAC+EAD=180-90=90,BDE=90. (2)或180-. (3)4 或 . 详解:(2)由E在直线AN上,可知,分两种情况讨论:如图1,E与N在点A异侧,可得BDE=180-;如图2,E与 N在点A同侧,可得BDE=. 图1,图2 (3)由点N是BC边上的三等分点可知,分两种情况讨论: 如图3, 当CN=MC= BC=2 时,由ADBC可得ADMCBM, = , = = = , AD= .由EA=ED得AN=DF,又由BCMACN可得AN=BM.过点A作AHBC于H,由勾股定理可得,AN= .由(2)知BDE=120 BDF=60,从而可得BC
