1、考点1 矩形,A组 20152019年江苏中考题组,1.(2019连云港,8,3分)如图,在矩形ABCD中,AD=2 AB.将矩形ABCD对折,得到折痕MN;沿着CM折叠,点D的 对应点为E,ME与BC的交点为F;再沿着MP折叠,使得AM与EM重合,折痕为MP,此时点B的对应点为G.下列 结论:CMP是直角三角形;点C、E、G不在同一条直线上;PC= MP;BP= AB;点F是 CMP外接圆的圆心.其中正确的个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5,答案 B 沿着CM折叠,点D的对应点为E, DMC=EMC. 沿着MP折叠,使得AM与EM重合,折痕为MP, AMP=EMP,AMD=180
2、, PMC=PME+CME= 180=90, CMP是直角三角形.故正确. 沿着CM折叠,点D的对应点为E, D=MEC=90, 沿着MP折叠,使得AM与EM重合,折痕为MP, MEG=A=90, GEC=180, 点C、E、G在同一条直线上,故错误.,AD=2 AB, 设AB=x(x0),则AD=2 x, 将矩形ABCD对折,得到折痕MN, CN=DM= AD= x, CM= = x, PMC=90,MNPC, CM2=CNCP, CP= = x,PN=CP-CN= x, PM= = x, = = , PC= MP,故错误.,PC= x,PB=2 x- x= x, = ,PB= AB,故正确
3、. CD=CE,EG=AB,AB=CD,CE=EG, CEM=G=90, FEPG,CF=PF, PMC=90,CF=PF=MF, 点F是CMP外接圆的圆心,故正确. 故选B.,2.(2018连云港,16,3分)如图,E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点,连接AC、HE、 EC、GA、GF,已知AGGF,AC= ,则AB的长为 .,答案 2,解析 如图,连接BD. 四边形ABCD是矩形, ADC=DCB=90,AC=BD= , CG=DG,CF=FB, GF= BD= , AGFG,AGF=90, AGD+CGF=90,又DAG+AGD=90, DAG=CGF,AD
4、GGCF, = , 设CF=BF=a,CG=DG=b, = ,b2=2a2, a0,b0,b= a, 在RtGCF中,CF2+CG2=GF2,即3a2= , a= ,b=1,AB=2b=2.,思路分析 连接BD.由ADGGCF,可得 = ,设CF=BF=a,CG=DG=b,即 = ,可得b= a,在Rt GCF中,利用勾股定理求出a,即可解决问题.,解题关键 本题考查中点四边形、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键 是综合运用所学知识,连接对角线,运用相似、勾股定理列出方程解决问题.,3.(2015苏州,18,3分)如图,四边形ABCD为矩形,过点D作对角线BD的垂线
5、,交BC的延长线于点E,取BE的中点 F,连接DF,DF=4.设AB=x,AD=y,则x2+(y-4)2的值为 .,答案 16,解析 由题意知DF是RtBDE的中线,所以DF=BF=FE=4.矩形ABCD中,AB=DC=x,BC=AD=y,在RtCDF 中,CF=BF-BC=4-y,CD=x,DF=4,由勾股定理得CD2+CF2=DF2,即x2+(y-4)2=42=16.,评析 本题考查勾股定理的应用,直角三角形的性质,综合性较强,对学生能力要求较高,属难题.,4.(2019连云港,22,10分)如图,在ABC中,AB=AC.将ABC沿着BC方向平移得到DEF,其中点E在边BC上, DE与AC
6、相交于点O. (1)求证:OEC为等腰三角形; (2)连接AE、DC、AD,当点E在什么位置时,四边形AECD为矩形?并说明理由.,5.(2019苏州,27,10分)已知矩形ABCD中,AB=5 cm,点P为对角线AC上的一点,且AP=2 cm.如图,动点M 从点A出发,在矩形边上沿着ABC的方向匀速运动(不包含点C).设动点M的运动时间为t(s),APM的面 积为S(cm2),S与t的函数关系如图所示. (1)直接写出动点M的运动速度为 cm/s,BC的长度为 cm; (2)如图,动点M重新从点A出发,在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动.同时,另一个动点N从点D出发,在矩形边上沿着DCB的
7、方向匀速运动,设动点N的运动速度为v(cm/s).已知两动点M,N经过时间x(s)在线段BC上相遇(不包含点C),动点M,N相遇后立即同时停止运动,记此时APM与DPN的面积分别为S1(cm2),S2(cm2). 求动点N运动速度v(cm/s)的取值范围; 试探究S1S2是否存在最大值.若存在,求出S1S2的最大值并确定运动时间x的值;若不存在,请说明理由.,解析 (1)2;10. (2)动点M,N相遇后停止运动, 动点M和动点N运动的距离之和为AB+BC+DC=20(cm). 又动点M,N的运动速度分别是2(cm/s),v(cm/s),且两个动点的运动时间为x(s), 2x+xv=20,v+
8、2= . 动点M,N在线段BC上相遇(不包含点C), 52x15,解得 x . 设y= , x ,由反比例函数的图象和性质得 y8,即 v+28, v6. 答:动点N运动速度v(cm/s)的取值范围为 v6. 解法一:过点P作PQAD于点Q,PHBC于点H.,易知P、Q、H在一条直线上且QHAB. AD=10,CD=5,AC=5 . PQAD,ADC=90, PQCD,APQACD, = = ,AP=2 , PQ=2,AQ=4,PH=3,DQ=6. 动点M,N在线段BC上相遇(不包含点C), S1=SABC-SMPC-SMAB = 105- 3(15-2x)- (2x-5)5=-2x+15,
9、S2=SDCP+SMCP-SDCM = 56+ 3(15-2x)- 5(15-2x)=2x,S1S2=(-2x+15)2x=-4x2+30x=-4 + . -40,且 , 当x= 时,S1S2取得最大值,最大值为 . 答:当x= 时,S1S2有最大值,最大值为 . 解法二:过点P作PQAD于点Q. AD=10,CD=5,AC=5 . PQAD,ADC=90,PQCD,APQACD, = ,AP=2 ,PQ=2.,动点M,N在线段BC上相遇(不包含点C), S1+S2=SMAD-SAPD= 105- 102=15,S2=15-S1. S1S2=S1(15-S1)=- + . 当S1= 时,S1S
10、2取得最大值,最大值为 . S1=SABC-SMPC-SMAB= 105- 3(15-2x)- (2x-5)5=-2x+15. 当S1= 时,解得x= . 答:当x= 时,S1S2有最大值,最大值为 .,6.(2017徐州,23,8分)如图,在ABCD中,点O是边BC的中点,连接DO并延长,交AB的延长线于点E,连接BD, EC. (1)求证:四边形BECD是平行四边形; (2)若A=50,则当BOD= 时,四边形BECD是矩形.,解析 (1)证明:四边形ABCD为平行四边形, ABDC,AB=CD, OEB=ODC, 又O为BC的中点, BO=CO, 在BOE和COD中, BOECOD(AA
11、S), OE=OD, 四边形BECD是平行四边形. (2)若A=50,则当BOD=100时,四边形BECD是矩形.理由如下:四边形ABCD是平行四边形,BCD=A=50, BOD=BCD+ODC, ODC=100-50=50=BCD, OC=OD, BO=CO,OD=OE, DE=BC, 又四边形BECD是平行四边形, 四边形BECD是矩形.,7.(2017宿迁,26,10分)如图,在矩形纸片ABCD中,已知AB=1,BC= ,点E在边CD上移动,连接AE,将多边形 ABCE沿直线AE翻折,得到多边形ABCE,点B、C的对应点分别为点B、C. (1)当BC恰好经过点D时(如图1),求线段CE的
12、长; (2)若BC分别交边AD,CD于点F,G,且DAE=22.5(如图2),求DFG的面积; (3)在点E从点C移动到点D的过程中,求点C运动的路径长.,解析 (1)如题图1,设CE=EC=x, 则DE=1-x, ADB+EDC=90,BAD+ADB=90, BAD=EDC, 又B=C=90, ADBDEC, = , AB=AB=1,AD= , DB= = , = , x= -2, CE= -2.,(2)如题图2, BAD=B=D=90,DAE=22.5, EAB=EAB=67.5, BAF=BFA=45, DFG=AFB=DGF=45, DF=DG. 在RtABF中,AB=FB=1, AF
13、= AB= , DF=DG= - , SDFG= ( - )2= - . (3)如图,点C运动的路径长为 的长, 在RtADC中,tanDAC= = ,DAC=30,AC=2CD=2, CAD=DAC=30, CAC=60, 的长= = .,解题关键 本题考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、弧长公式等知识,解题的关键是 正确寻找相似三角形.,8.(2017无锡,28,8分)如图,已知矩形ABCD中,AB=4,AD=m,动点P从点D出发,在边DA上以每秒1个单位的速 度向点A运动,连接CP,作点D关于直线PC的对称点E,设点P的运动时间为t(s). (1)若m=6,求当P、E、B三
14、点在同一直线上时对应的t的值; (2)已知m满足:在动点P从点D到点A的整个运动过程中,有且只有一个时刻t,使点E到直线BC的距离等于3, 求所有这样的m的取值范围.,解析 (1)如图,设PD=t,则PA=6-t. 由题意知EPC=DPC, P、E、B三点共线, BPC=DPC, ADBC, DPC=PCB, BPC=PCB,BP=BC=6, 在RtABP中, AB2+AP2=PB2, 42+(6-t)2=62, 解得t=6-2 或6+2 (舍去), PD=6-2 , 当t=6-2 时,P、E、B三点共线. (2)如图,当点P与点A重合,点E在BC的下方,点E到BC的距离为3时, 作EQBC于
15、Q,EMDC交DC的延长线于M,则EQ=3,CE=DC=4.,易证四边形EMCQ是矩形, CM=EQ=3,M=90, EM= = = , 易知DAC=EDM,又ADC=M, ADCDME, = ,即 = ,思路分析 (1)设PD=t,则PA=6-t.首先证明BP=BC=6,在RtABP中利用勾股定理即可解决问题; (2)分两种情形求出AD的值即可解决问题:当点P与点A重合,点E在BC的下方,点E到BC的距离为3时;当 点P与点A重合,点E在BC的上方,点E到BC的距离为3时.,考点2 菱形,1.(2019镇江,17,3分)如图,菱形ABCD的顶点B、C在x轴上(B在C的左侧),顶点A、D在x轴
16、上方,对角线BD的 长是 ,点E(-2,0)为BC的中点,点P在菱形ABCD的边上运动.当点F(0,6)到EP所在直线的距离取得最大值 时,点P恰好落在AB的中点处,则菱形ABCD的边长等于 ( ) A. B. C. D.3,答案 A 如图1,当点P是AB的中点时,作FGPE于G,连接EF. 图1 E(-2,0),F(0,6), OE=2,OF=6, EF= =2 . FGE=90, FGEF,当点G与E重合时,FG的值最大. 如图2,当点G与点E重合时,连接AC交BD于H,设PE交BD于J. 图2 设BC=2a(a0). PA=PB,BE=EC=a, PEAC,BJ=JH, 四边形ABCD是
17、菱形,ACBD,BH=DH= ,BJ= , PEBD, BJE=EOF=PEF=90, EBJ=FEO, BJEEOF, = , = , a= ,BC=2a= .故选A.,解后反思 本题考查菱形的性质,相似三角形的判定和性质,垂线段最短等知识.解题的关键是理解题意,添 加辅助线,构造相似三角形.属于中考选择题中的压轴题,有一定难度.,2.(2018淮安,6,3分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8,则这个菱形的周长是 ( ) A.20 B.24 C.40 D.48,答案 A 由菱形对角线的性质知,AO= AC=3,BO= BD=4,且AOBO,则AB= =5, 故这个菱形的周
18、长=4AB=20.故选A.,3.(2018宿迁,7,3分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E为边CD的中点,若菱形ABCD的周长为 16,BAD=60,则OCE的面积是 ( ) A. B.2 C.2 D.4,答案 A 过点D作DHAB于点H, 四边形ABCD是菱形, AB=BC=CD=AD, 菱形ABCD的周长为16, AB=AD=4, BAD=60, DH=4 =2 , S菱形ABCD=42 =8 ,SACD= 8 =4 , 点E为边CD的中点, OE为ADC的中位线, OEAD,CEOCDA, OCE的面积= 4 = . 故选A.,解题关键 本题考查了菱形的性质、三角形中
19、位线的判定和性质、相似三角形的判定和性质,能够证明 OE为ADC的中位线进而证明CEOCDA是解题的关键.,4.(2018南通,16,3分)如图,在ABC中,AD,CD分别平分BAC和ACB,AECD,CEAD.若从三个条件: AB=AC;AB=BC;AC=BC中,选择一个作为已知条件,则能使四边形ADCE为菱形的是 (填序号).,答案 ,解析 当BA=BC时,四边形ADCE是菱形. 理由:AECD,CEAD, 四边形ADCE是平行四边形, BA=BC, BAC=BCA, AD,CD分别平分BAC和ACB, DAC=DCA, DA=DC, 四边形ADCE是菱形.故答案为.,5.(2018镇江,
20、12,2分)如图,点E、F、G分别在菱形ABCD的边AB,BC,AD上,AE= AB,CF= CB,AG= AD.已 知EFG的面积等于6,则菱形ABCD的面积等于 .,答案 27,解析 在CD上取一点H,使得CH= CD. 连接FH,HG.连接AC,BD,交于点O,BD交EF于Q,EG交AC于P. = , EGBD,同理可证FHBD, EGFH,同理可证EFGH, 四边形EFHG是平行四边形. 四边形ABCD是菱形, ACBD,EFEG,四边形EFHG是矩形, 易证点O在线段FG上,四边形EQOP是矩形, SEFG=6,S矩形EQOP=3, 即OPOQ=3, OPOA=BEAB=23, OA
21、= OP,同理可证OB=3OQ, S菱形ABCD= ACBD= 3OP6OQ=9OPOQ=27.,6.(2016南京,16,2分)如图,菱形ABCD的面积为120 cm2,正方形AECF的面积为50 cm2,则菱形的边长为 cm.,答案 13,解析 连接BE,EF,FD,AC, 菱形、正方形为轴对称图形,对角线所在直线是其对称轴,B,E,F,D在同一条直线上, S正方形AECF= ACEF= AC2=50 cm2, AC=10 cm, S菱形ABCD= ACBD=120 cm2, BD=24 cm. 设AC,BD的交点为O,由菱形的性质可得ACBD,AO=5 cm,OB=12 cm,AB= =
22、 =13 cm.,解题关键 本题考查了四边形的综合问题,熟悉正方形和菱形的性质,会用勾股定理求线段的长度是解题 的关键,属中档题.,7.(2019宿迁,22,8分)如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点E、F分别在AB、CD上,且BE=DF= . (1)求证:四边形AECF是菱形; (2)求线段EF的长.,解析 (1)证明:在矩形ABCD中,AB=4,BC=2, CD=AB=4,AD=BD=2,CDAB,D=B=90, BE=DF= , CF=AE=4- = , 易证ADFCBE, AF=CE= = , AF=CF=CE=AE= , 四边形AECF是菱形. (2)过F作FHAB于H, 则
23、四边形AHFD是矩形, AH=DF= ,FH=AD=2,EH= - =1, EF= = = .,3.在EB上截取EF=ED,连接FG,则四边形DEFG为所求 作的菱形. 图 (1)证明小明所作的四边形DEFG是菱形; (2)小明进一步探索,发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化请你继续探索,直接写出菱 形的个数及对应的CD的长的取值范围.,在RtABC中,C=90,AC=3,BC=4, AB= =5, 则CD= x,易得AD= x, AD+CD=AC, x+ x=3, x= , CD= x= , 观察图形可知,当0CD 时,菱形的个数为0. 如图2,当四边形DAEG是菱形时,设菱形的边
24、长为m.,图2 DGAB, = , = , 解得m= , CD=3- = . 如图3,当四边形DEBG是菱形时,设菱形的边长为n.,图3 DGAB, = , = , n= , CG=4- = ,CD= = . 综上可知:当0CD 或 CD3时,菱形的个数为0; 当CD= 或 CD 时,菱形的个数为1; 当 CD 时,菱形的个数为2.,疑难突破 本题考查相似三角形的判定和性质,菱形的判定和性质,根据菱形的性质作图,找到分界点,是解 决这个问题的突破口,题目具有一定难度.,9.(2016淮安,21,8分)已知,如图,在菱形ABCD中,点E、F分别为边CD、AD的中点,连接AE、CF,求证:ADE
25、CDF.,10.(2017盐城,22,10分)如图,矩形ABCD中,ABD、CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F. (1)求证:四边形BEDF是平行四边形; (2)当ABE为多少度时,四边形BEDF是菱形?请说明理由.,解析 (1)证明:四边形ABCD是矩形, ABDC,ADBC, ABD=CDB, BE平分ABD,DF平分BDC, EBD= ABD,FDB= CDB, EBD=FDB, BEDF, 又ADBC, 四边形BEDF是平行四边形. (2)当ABE=30时,四边形BEDF是菱形. 理由如下:BE平分ABD, ABD=2ABE=60,EBD=ABE=30,四边形ABCD
26、是矩形, A=90, EDB=90-ABD=30, EDB=EBD=30, EB=ED, 又四边形BEDF是平行四边形, 四边形BEDF是菱形.,解题关键 本题主要考查矩形的性质,平行四边形、菱形的判定,熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判 定与菱形的判定是解题的关键.,考点3 正方形,1.(2016宿迁,7,3分)如图,把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN;再过点B折叠 纸片,使点A落在MN上的点F处,折痕为BE.若AB的长为2,则FM的长为 ( ) A.2 B. C. D.1,答案 B 由条件,得BM=1,BF=2,所以在RtBMF中,FM= = .故选B.,2.(
27、2019苏州,15,3分)“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造,可以拼出许多有趣的图形,被誉为“东方魔 板”.图是由边长为10 cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”,图是用该“七巧板”拼成的一 个“家”的图形.该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为 cm(结果保留根号).,答案,解析 如图,由题意得M是BC的中点,BC=10 cm,所以BM=MC=5 cm,易得三角形BME是等腰直角三角形,故 BE=ME= cm. 故所求正方形边长为 cm.,3.(2019无锡,18,2分)如图,在ABC中,AB=AC=5,BC=4 ,D为边AB上一动点(B点除外),以CD为一边作正方 形CDEF,连接
28、BE,则BDE面积的最大值为 .,答案 8,解析 过点C作CGBA交BA的延长线于点G,过点E作EHBG于点H,过点A作AMBC于点M. AB=AC=5,BC=4 , BM=CM=2 , 易证AMBCGB, = ,即 = , GB=8. 设BD=x(0x5),则DG=8-x, 易证EDHDCG(AAS), EH=DG=8-x,SBDE= BDEH= x(8-x)=- (x-4)2+8, 当x=4时,BDE的面积有最大值,最大值为8.,解后反思 本题考查了正方形,熟练运用正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定 与性质,根据三角形的面积公式,将SBDE表示为二次函数,即可求出最大
29、值.,4.(2018徐州,23,8分)如图,在矩形ABCD中,AD=4,点E在边AD上,连接CE,以CE为边向右上方作正方形CEFG, 作FHAD,垂足为H,连接AF. (1)求证:FH=ED; (2)当AE为何值时,AEF的面积最大?,解析 (1)证明:四边形CEFG是正方形, CE=EF, FEC=FEH+CED=90,DCE+CED=90, FEH=DCE, 在FEH和ECD中, FEHECD, FH=ED. (2)设AE=a(a0),则ED=FH=4-a, SAEF= AEFH= a(4-a)=- (a-2)2+2, 当AE=2时,AEF的面积最大.,解题关键 本题考查了正方形的性质、
30、矩形的性质以及全等三角形的判定和性质等知识点,熟记全等三角 形的各种判定方法是解题的关键.,5.(2018盐城,21,8分)在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF, 如图所示. (1)求证:ABEADF; (2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.,解析 (1)证明:四边形ABCD为正方形,AB=AD, ABD=ADB,ABE=ADF, 在ABE与ADF中, ABEADF(SAS). (2)四边形AECF是菱形. 理由:连接AC,四边形ABCD是正方形, OA=OC,OB=OD,ACEF, OB+BE=OD+DF,即OE=OF, O
31、A=OC,OE=OF, 四边形AECF是平行四边形, ACEF,四边形AECF是菱形.,B组 20152019年全国中考题组,考点1 矩形,1.(2019河北,16,2分)对于题目:“如图1,平面上,正方形内有一长为12、宽为6的矩形,它可以在正方形的内 部及边界通过移转(即平移或旋转)的方式,自由地从横放移转到竖放,求正方形边长的最小整数n.”甲、 乙、丙作了自认为边长最小的正方形,先求出该边长x,再取最小整数n. 图1,甲:如图2,思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去;结果取n=13. 图2 乙:如图3,思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去;结果取n=14. 图3,丙:如图4,思路
32、是当x为矩形的长与宽之和的 倍时就可移转过去;结果取n=13. 图4 下列正确的是 ( ) A.甲的思路错,他的n值对 B.乙的思路和他的n值都对 C.甲和丙的n值都对 D.甲、乙的思路都错,而丙的思路对,答案 B 当x为矩形对角线长时,根据勾股定理得x= = 13,最小整数n应为14,所以甲的思路 正确,他的n值错误;当x为矩形外接圆直径长(即矩形对角线长)时,x= 13,最小整数n应为14,所以乙的思 路正确,他的n值正确;根据丙的思路,x= (6+12)=9 13,所以丙的思路错误,他的n值 错误.故选B.,思路分析 分别按甲、乙、丙三人的思路求出各自x的值,根据题意确定各自所取n的值并
33、与矩形对角线长 进行比较即可得解.,易错警示 三者思路的正误及n值的判断取决于x值不能小于矩形对角线长.,2.(2017甘肃兰州,8,4分)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,ADB=30,AB=4,则OC= ( ) A.5 B.4 C.3.5 D.3,答案 B 因为四边形ABCD为矩形,所以AC=BD,OC= AC.已知ADB=30,故在直角三角形ABD中,BD=2 AB=8,所以AC=8,所以OC= AC=4,故选B.,3.(2018四川成都,14,4分)如图,在矩形ABCD中,按以下步骤作图:分别以点A和C为圆心,以大于 AC的长 为半径作弧,两弧相交于点M和N;作直线MN交
34、CD于点E.若DE=2,CE=3,则矩形的对角线AC的长为 .,答案,解析 如图,连接AE,由作图方法得MN垂直平分AC,EA=EC=3. 在RtADE中,AD= = = . 在RtADC中,AC= = = .,思路分析 连接AE,根据题中的作图方法,可得MN垂直平分AC,则EA=EC=3,用勾股定理先计算出AD,再计 算出AC,得解.,解题关键 本题考查了矩形的性质,基本作图(作已知线段的垂直平分线),勾股定理,识别基本作图并熟练 应用勾股定理计算是解题的关键.,4.(2015内蒙古包头,20,3分)如图,在矩形ABCD中,BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,取EF的 中点G,
35、连接CG,BG,BD,DG,下列结论: BE=CD; DGF=135; ABG+ADG=180; 若 = ,则3SBDG=13SDGF. 其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号),答案 ,解析 因为BAD=ADF=90,AE平分BAD,所以BAE=DAF=F=45,所以AD=DF=BC,AB=BE= CD.在DGF中,F=45,所以DGF135.在等腰RtEFC中,因为G为EF的中点,所以GF=GC,F= BCG=45,又因为DF=BC,所以BGCDGF(SAS),所以GBC=GDF.又因为DBC+BDC=90,所以 GBD+GDB=GBC+CBD+GDB=CBD+GDB+CDG=90,
36、所以BGD=90,在四边形ABGD 中,BAD=BGD=90,所以ABG+ADG=180.因为 = ,所以可设AB=2k,则AD=3k,所以BD= = k.所以SBDG= BD2= k2.作GMCF于M,则GM= CF= k. 所以SDGF= DFGM= k2. 所以3SBDG=13SDGF.故正确.,评析 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质与判定、三角形全等的性质与判定、三角形的面积等 知识.考查内容较多、较复杂.属难题.,5.(2016吉林,18,5分)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且DEAC,AEBD.求证:四边形AODE是 矩形.,证明 DEAC,AEBD, 四边
37、形AODE是平行四边形. (2分) 四边形ABCD是菱形,ACBD. (4分) AOD=90. 四边形AODE是矩形. (5分),考点2 菱形,1.(2019河北,5,3分)如图,菱形ABCD中,D=150,则1= ( ) A.30 B.25 C.20 D.15,答案 D 四边形ABCD是菱形,D+BAD=180,AC平分BAD, D=150,BAD=30,1=15,故选D.,2.(2019天津,8,3分)如图,四边形ABCD为菱形,A,B两点的坐标分别是(2,0),(0,1),点C,D在坐标轴上,则菱形 ABCD的周长等于 ( ) A. B.4 C.4 D.20,答案 C 由点A,B的坐标可
38、得OA=2,OB=1,根据勾股定理可得AB= = ,由菱形的性质可得AB= AD=CD=CB= , 所以菱形ABCD的周长等于4 ,故选C.,3.(2016湖南益阳,4,5分)下列判断 的是 ( ) A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B.四个内角都相等的四边形是矩形 C.四条边都相等的四边形是菱形 D.两条对角线垂直且平分的四边形是正方形,答案 D 由对角线互相平分的四边形是平行四边形及对角线互相垂直的平行四边形是菱形,易得“两条 对角线垂直且平分的四边形是菱形”,D项错误.故选D.,4.(2016宁夏,5,3分)菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AD,CD边上的中
39、点,连接EF.若EF= , BD=2,则菱形ABCD的面积为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8,答案 A 因为E,F分别是AD,CD边上的中点,所以EFAC,且EF= AC,所以AC=2EF=2 .所以S菱形ABCD= ACBD= 2 2=2 .故选A.,5.(2015安徽,9,4分)如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,点E在AB上,点F在CD上,点G、H在对角线AC上,若四边 形EGFH是菱形,则AE的长是 ( ) A.2 B.3 C.5 D.6,答案 C 连接EF交GH于点O,由四边形EGFH为菱形,可得EFGH,OH=OG,因为四边形ABCD为矩形,所 以B=90.因为AB=
40、8,BC=4,所以AC= =4 .易证AGECHF,所以AG=CH,所以AO= AC=2 ;因为EOGH,B=90,所以AOE=B,又因为OAE=BAC,所以AOEABC,所以 = = ,所以AE=5,故选C.,6.(2018吉林,24,8分)如图,在ABC中,AB=AC,过AB上一点D作DEAC交BC于点E,以E为顶点,ED为一边, 作DEF=A,另一边EF交AC于点F. (1)求证:四边形ADEF为平行四边形; (2)当点D为AB中点时,ADEF的形状为 ; (3)延长图中的DE到点G,使EG=DE,连接AE,AG,FG,得到图.若AD=AG,判断四边形AEGF的形状,并说明 理由.,解析
41、 (1)证明:DEAC,DEF=EFC. DEF=A,A=EFC. EFAB. 四边形ADEF为平行四边形. (2分) (2)菱形. (4分) (3)结论:四边形AEGF为矩形. (5分) 理由:由(1)知,四边形ADEF为平行四边形, AFDE,AD=EF,EG=ED,AFEG. 四边形AEGF是平行四边形. (6分) AD=AG,AG=EF. (7分) 四边形AEGF为矩形. (8分),思路分析 (1)根据平行四边形的定义进行判定;(2)由D为AB的中点,结合(1)知DE= AC,又AD= AB,DE =AD,ADEF为菱形;(3)利用(1)的结论先证明四边形AEGF为平行四边形,再证AG
42、=EF即可.,7.(2017北京,22,5分)如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,ADBC,AD=2BC,ABD=90,E为AD的中点, 连接BE. (1)求证:四边形BCDE为菱形; (2)连接AC,若AC平分BAD,BC=1,求AC的长.,解析 (1)证明:E为AD的中点, AD=2ED. AD=2BC,ED=BC. ADBC,四边形BCDE为平行四边形. 又在ABD中,E为AD的中点,ABD=90, BE=ED,BCDE为菱形. (2)设AC与BE交于点H,如图.,8.(2016青岛,21,8分)已知:如图,在ABCD中,E,F分别是边AD,BC上的点,且AE=CF,直线EF分别
43、交BA的延长 线、DC的延长线于点G,H,交BD于点O. (1)求证:ABECDF; (2)连接DG,若DG=BG,则四边形BEDF是什么特殊四边形?请说明理由.,考点3 正方形,1.(2018天津,11,3分)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线 段的长等于AP+EP最小值的是 ( ) A.AB B.DE C.BD D.AF,思路分析 点A关于直线BD的对称点为点C,连接CE,AP+EP的最小值就是线段CE的长度;通过证明CDE ABF,得CE=AF,即可得到PA+PE的最小值等于线段AF的长.,解后反思 本题考查轴对称、正方形的性质,
44、主要依据“两点之间线段最短”.只要作出点A(或点E)关于 直线BD的对称点C(或G),再连接EC(或AG),所得的线段长为两条线段和的最小值.,2.(2017甘肃兰州,14,4分)如图,在正方形ABCD和正方形DEFG中,点G在CD上,DE=2,将正方形DEFG绕D点 顺时针旋转60,得到正方形DEFG,此时点G在AC上,连接CE,则CE+CG= ( ) A. + B. +1 C. + D. +,答案 A 过点G作GMDC于点M,过点E作EPDC于点P. 由旋转的知识可得EDE=60,DE=DE=2. 四边形DEFG、DEFG是正方形, GDE=EDG=90,DG=DE=2. EDG=30,M
45、DG=60. 在RtDGM中,由DG=2,MDG=60,可得GM= ,DM=1. AC是正方形ABCD的对角线,DCG=45. 又GMDC, CMG是等腰直角三角形,MG=MC= . CG= ,CD=DM+CM=1+ . 在RtDEP中,由DE=2,EDG=30,可得EP=1,DP= . CP=CD-DP=1. 在RtCEP中,EP=PC=1,由勾股定理可得CE= . CE+CG= + ,故选A.,3.(2019天津,17,3分)如图,正方形纸片ABCD的边长为12,E是边CD上一点,连接AE.折叠该纸片,使点A落在 AE上的G点,并使折痕经过点B,得到折痕BF,点F在AD上.若DE=5,则GE的长为 .,答案,解析 根据题意可知DAE+BAE=90,BFAE,BAE+ABF=90,DAE=ABF,四边形ABCD 是正方形,AD=AB,BAF=D=90,AFBDEA,AF=DE=5,AD=12,根据勾股定理得AE=13. 设AE与BF交于点H,易知AFHAED, = ,即 = ,AH= ,AG=2AH= ,GE=AE-AG = .,思路分析 首先根据题意确定BFAE,进而根据正方形的性质得出AFBDEA,故AF=DE=5,然后根据 两角对应相等,两三角形相似得出AFHAED,求得AH= ,最后得出GE的长.,解题关键 本
